2023年新高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新題型微專題04 三角函數(shù)（新定義）（原卷版）

專題04三角函數(shù)（新定義）一、單選題1．（2023秋·山東臨沂·高一統(tǒng)考期末）我們學(xué)過(guò)度量角有角度制與弧度制，最近，有學(xué)者提出用“面度制”度量角，因?yàn)樵诎霃讲煌耐膱A中，同樣的圓心角所對(duì)扇形的面積與半徑平方之比是常數(shù)，從而稱這個(gè)常數(shù)為該角的面度數(shù)，這種用面度作為單位來(lái)度量角的單位制，叫做面度制.在面度制下，角的面度數(shù)為，則角的正弦值為（

）A． B． C． D．2．（2023秋·江蘇蘇州·高一統(tǒng)考期末）定義:正割，余割.已知為正實(shí)數(shù)，且對(duì)任意的實(shí)數(shù)均成立，則的最小值為（）A．1 B．4 C．8 D．93．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）密位制是度量角的一種方法，把一周角等分為6000份，每一份叫做1密位的角．在角的密位制中，單位可省去不寫(xiě)，采用四個(gè)數(shù)碼表示角的大小，在百位數(shù)與十位數(shù)之間畫(huà)一條短線，如7密位寫(xiě)成“0-07”，478密位寫(xiě)成“4-78”．若，則角可取的值用密位制表示錯(cuò)誤的是（

）A．12-50 B．2-50 C．13-50 D．32-504．（2022秋·山東青島·高三山東省青島第五十八中學(xué)校考階段練習(xí)）計(jì)算器是如何計(jì)算，，，，等函數(shù)值的呢？計(jì)算器使用的是數(shù)值計(jì)算法，其中一種方法是用容易計(jì)算的多項(xiàng)式近似地表示這些函數(shù)，通過(guò)計(jì)算多項(xiàng)式的值求出原函數(shù)的值，如，，其中，英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了這些公式，可以看出，右邊的項(xiàng)用得越多，計(jì)算得出的和的值也就越精確.運(yùn)用上述思想，可得到的近似值為（

）A．0.50 B．0.52 C．0.54 D．0.565．（2022春·廣東中山·高二統(tǒng)考期末）密位制是度量角與弧的常用制度之一，周角的稱為1密位.用密位作為角的度量單位來(lái)度量角與弧的制度稱為密位制.在密位制中，采用四個(gè)數(shù)字來(lái)記角的密位，且在百位數(shù)字與十位數(shù)字之間加一條短線，單位名稱可以省去，如15密位記為“00—15”，1個(gè)平角＝30—00，1個(gè)周角＝60—00，已知函數(shù)，，當(dāng)取到最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的x用密位制表示為（

）A．15—00 B．35—00 C．40—00 D．45—006．（2022春·云南昆明·高二?？计谀┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系xOy中，P（x，y）（xy≠0）是角α終邊上一點(diǎn)，P與原點(diǎn)O之間距離為r，比值叫做角α的正割，記作secα；比值叫做角α的余割，記作cscα；比值叫做角α的余切，記作cotα．四名同學(xué)計(jì)算同一個(gè)角β的不同三角函數(shù)值如下：甲：；乙：；丙：；?。海绻挥幸幻瑢W(xué)的結(jié)果是錯(cuò)誤的，則錯(cuò)誤的同學(xué)是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁7．（2023秋·湖南邵陽(yáng)·高一統(tǒng)考期末）設(shè)，定義運(yùn)算，則函數(shù)的最小值為（

）A． B． C． D．8．（2023秋·浙江杭州·高一浙江大學(xué)附屬中學(xué)?？计谀┱罴坝喔钸@兩個(gè)概念是由伊朗數(shù)學(xué)家阿布爾威發(fā)首先引入的．定義正割，余割．已知為正實(shí)數(shù)，且對(duì)任意的實(shí)數(shù)均成立，則的最小值為（

）A． B． C． D．9．（2022春·江西景德鎮(zhèn)·高二景德鎮(zhèn)一中?？计谥校?duì)集合和常數(shù)，把定義為集合相對(duì)于的“正弦方差"，則集合相對(duì)于的“正弦方差”為（

）A． B． C． D．與有關(guān)的值10．（2022秋·山東·高三山東聊城一中校聯(lián)考階段練習(xí)）現(xiàn)有如下信息：（1）黃金分割比（簡(jiǎn)稱：黃金比）是指把一條線段分割為兩部分，較短部分與較長(zhǎng)部分的長(zhǎng)度之比等于較長(zhǎng)部分與整體長(zhǎng)度之比，其比值為（2）黃金三角形被譽(yù)為最美三角形，是較短邊與較長(zhǎng)邊之比為黃金比的等腰三角形．（3）有一個(gè)內(nèi)角為的等腰三角形為黃金三角形，由上述信息可求得（

）A． B．C． D．11．（2021秋·四川巴中·高一校聯(lián)考期末）定義運(yùn)算，如果的圖像的一條對(duì)稱軸為滿足等式，則取最小值時(shí)，函數(shù)的最小正周期為（

）A． B． C． D．12．（2020·全國(guó)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）對(duì)于集合，定義：為集合相對(duì)于的“余弦方差”，則集合相對(duì)于的“余弦方差”為（

）A． B． C． D．13．（2020秋·江西宜春·高三奉新縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)的圖象與直線的相鄰交點(diǎn)間的距離為，若定義，則函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)的圖象是A． B．C． D．14．（2022春·陜西延安·高一?？茧A段練習(xí)）對(duì)于函數(shù)，在使成立的所有常數(shù)中，我們把的最大值稱為函數(shù)的“下確界”.若函數(shù)，的“下確界”為，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．15．（2020·全國(guó)·高一假期作業(yè)）如果函數(shù)在區(qū)間上是凸函數(shù)，那么對(duì)于區(qū)間內(nèi)的任意，，…，，都有，若在區(qū)間上是凸函數(shù)，那么在中，的最大值是（

）A． B．3 C． D．二、多選題16．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）定義：為集合相對(duì)常數(shù)的“余弦方差”.若，則集合相對(duì)的“余弦方差”的取值可能為（

）A． B． C． D．17．（2021秋·全國(guó)·高三校聯(lián)考期中）數(shù)學(xué)中一般用表示a，b中的較小值，表示a，b中的較大值；關(guān)于函數(shù)：；，有如下四個(gè)命題，其中是真命題的是（

）A．與的最小正周期均為B．與的圖象均關(guān)于直線對(duì)稱C．的最大值是的最小值D．與的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱18．（2022·江蘇·高一專題練習(xí)）已知角和都是任意角，若滿足，則稱與“廣義互余”若，則下列角中，可能與角“廣義互余”的有（

）A． B． C． D．19．（2022春·遼寧沈陽(yáng)·高一沈陽(yáng)市第一二〇中學(xué)校考階段練習(xí)）在數(shù)學(xué)史上，為了三角計(jì)算的簡(jiǎn)便并且更加追求計(jì)算的精確性，曾經(jīng)出現(xiàn)過(guò)下列兩種三角函數(shù)：定義為角的正矢，記作，定義為角的余矢，記作，則下列命題正確的是（

）A．B．C．若，則D．函數(shù)的最大值為20．（2022秋·河南濮陽(yáng)·高一濮陽(yáng)一高?？计谀┰跀?shù)學(xué)史上，為了三角計(jì)算的簡(jiǎn)便并且更加追求計(jì)算的精確性，曾經(jīng)出現(xiàn)過(guò)下列兩種三角函數(shù):定義為角的正矢，記作，定義為角的余矢，記作，則下列命題中正確的是（

）A．函數(shù)在上是減函數(shù)B．函數(shù)的最小正周期為C．D．三、填空題21．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）我們規(guī)定把叫做對(duì)的余弦方差，那么對(duì)任意實(shí)數(shù)B，B對(duì)的余弦方差是______．22．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知都是定義在上的函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，使得，則稱是，在上生成的函數(shù).若，以下四個(gè)函數(shù)中：①；

②；③；

④.所有是在上生成的函數(shù)的序號(hào)為_(kāi)_______.23．（2021春·江蘇淮安·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）形如的式子叫做行列式，其運(yùn)算法則為，則行列式的值是___________.24．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若兩個(gè)函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)若干次平移后能夠重合，則稱這兩個(gè)函數(shù)為“同形”函數(shù)．給出下列四個(gè)函數(shù)：①；②；③；④．其中“同形”函數(shù)有__________．（選填序號(hào)）25．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）在直角坐標(biāo)系中，橫?縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)叫格點(diǎn).若函數(shù)的圖像恰好經(jīng)過(guò)個(gè)格點(diǎn)，則稱函數(shù)為階格點(diǎn)函數(shù).在上，下列函數(shù)中，為一階格點(diǎn)函數(shù)的是___________.(選填序號(hào))①；②；③；④26．（2022春·河南商丘·高一商丘市第一高級(jí)中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系中，已知任意角以坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為始邊，若終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且，定義：，稱“”為“正余弦函數(shù)”，對(duì)于“正余弦函數(shù)”，有同學(xué)得到以下性質(zhì)：①該函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

②該函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；③該函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱；

④該函數(shù)為周期函數(shù)，且最小正周期為；⑤該函數(shù)的遞增區(qū)間為.其中正確的是__________．（填上所有正確性質(zhì)的序號(hào)）27．（2015秋·廣東揭陽(yáng)·高一統(tǒng)考期中）定義一種運(yùn)算，令，且，則函數(shù)的最大值是_______________四、解答題28．（2023春·云南文山·高一校考階段練習(xí)）人臉識(shí)別技術(shù)在各行各業(yè)的應(yīng)用改變著人類的生活，所謂人臉識(shí)別，就是利用計(jì)算機(jī)分析人臉視頻或者圖像，并從中提取出有效的識(shí)別信息，最終判別對(duì)象的身份，在人臉識(shí)別中為了檢測(cè)樣本之間的相似度主要應(yīng)用距離的測(cè)試，常用測(cè)量距離的方式有曼哈頓距離和余弦距離.若二維空間有兩個(gè)點(diǎn)，，則曼哈頓距離為：，余弦相似度為：，余弦距離為(1)若，，求A，B之間的曼哈頓距離和余弦距離；(2)已知，，，若，，求的值29．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）知道在直角三角形中，一個(gè)銳角的大小與兩條邊長(zhǎng)的比值相互唯一確定，因此邊長(zhǎng)與角的大小之間可以相互轉(zhuǎn)化．與之類似，可以在等腰三角形中建立邊角之間的聯(lián)系，我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對(duì)．如圖，在中，．頂角的正對(duì)記作，這時(shí)．容易知道一個(gè)角的大小與這個(gè)角的正對(duì)值也是相互唯一確定的．根據(jù)上述對(duì)角的正對(duì)定義，解下列問(wèn)題：(1)的值為（

）A．

B．

C．

D．(2)對(duì)于，的正對(duì)值的取值范圍是______．(3)已知，其中為銳角，試求的值．30．（2020秋·全國(guó)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若函數(shù)，平面內(nèi)一點(diǎn)坐標(biāo)，我們稱為函數(shù)的“相伴特征點(diǎn)”，為的“相伴函數(shù)”．（1）已知，求函數(shù)的“相伴特征點(diǎn)”；（2）記的“相伴函數(shù)”為，將圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍（橫坐標(biāo)不變），再將所得圖象上所有點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的（縱坐標(biāo)不變），再將所得的圖象上所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，