北京大學量子力學課件-第12講

第十二講

Ⅰ.算符的對易性

一般而言，兩算符的乘積和次序有關，不能彼此對易。若,

，

1則算符

引入對易子：和的對易子對易子有如下性質

2并有在算符的運算時，要特別小心。已證明

所以3

下面是一些有用的對易關系稱為Levi-Civita符號。取值，為從123→ijk的對換數(shù)。如123→312的對換數(shù)24

◎對易關系是與坐標選擇無關

◎對易關系與表象選擇無關

5

Ⅱ.算符的厄密性（Hermiticity）

（1）

算符復共軛：若對波函數(shù)（任意）有則稱為的復共軛算符，以表示

6

（2）算符的轉置

A.

標積定義：若體系有兩個波函數(shù)，其標積為對于標積，有性質

☆

7

☆

☆

☆則稱這兩波函數(shù)正交。

B.轉置定義：算符

稱為算符

的轉置算符8

通常以

算符表示算符的轉置算符。即

(3)算符的厄密共軛

定義：算符的厄密共軛是該算符取復共軛，再轉置，（以表示），

910

(4)厄密算符:若算符的厄密共軛就是它自身，則稱該算符為厄密算符。

(5)厄密算符的性質

A.厄密算符相加、減仍是厄密算符；但厄密算符之積并不一定為厄密算符。

11

B.任何狀態(tài)下，厄密算符的平均值必為實數(shù)

C.在任何狀態(tài)下，平均值為實的線性算符必為厄密算符。易證：若是厄密算符，則。12Ⅲ.厄密算符的本征值和本征函數(shù)

(1)算符的本征方程

對有一定幾率分布（圍繞最大幾率測量值）的狀態(tài)，進行一次測量，其偏差大小可由一“漲落”來定義，即由方均根來定義。要使“漲落”為零，即測量值只取確定值，則13

令這一特殊狀態(tài)為

我們稱上述方程為算符的本征方程。顯然，僅當體系處于本征函數(shù)所描述的狀態(tài)時，測量值即為本征值（這時“漲落”為0）。量子力學又一個基本假設：在量子力學中，力學量對應于一個線性厄密算符；當對體14系進行該力學量的測量時，一切可能測得值，只能是算符

的本征方程的本征值。例1：求軌道角動量在z方向分量的本征值和本征函數(shù)。

有解

15

從是厄密算符得不出上述結論。

例2求繞固定軸轉子的能量本征值和本征函數(shù)。

16

固定轉子的能量本征值和本征函數(shù)為

17（2）力學量算符的本征值和本征函數(shù)性質

A.力學量的每一可取值都是實數(shù)（即本征值）；

B.相應不同本征值的本征函數(shù)是正交的證：18取復共軛，則有

19由于是厄密算符，所以

，即正交。這就使波函數(shù)對某力學量的本征函數(shù)展開時，是唯一的。

C.Schmit正交化方法如果一個本征值An對應S個線性無關的本征函數(shù)，這組本征函數(shù)并不一定正交，我們可以通20過Schmit正交化方法來實現(xiàn)正交歸一化。取

使

；取，顯然，保證，且。同樣有這必然有

，且

21

D.任何一個算符總可表示為兩個厄密算符之和；其中

(3)測量結果的幾率現(xiàn)來計算測量力學量取值的幾率。根據(jù)態(tài)疊加原理，如能測得，則體系所處的態(tài)必為

22

所以

表達式表明，在中測量力學量取值的幾率為。所以，要在一體系中（以描述），測量力學量，取值的幾率振幅為

23

(4)

直接可觀測的力學量的本征函數(shù)構成一完備組。

如是力學量 的本征函數(shù)組，則任一波函數(shù)可以以 表示根據(jù)態(tài)疊加原理，體系處于態(tài)中，那進24行力學量的測量。如測量值為，則體系只可能處于這些本征值所相應的本征函數(shù)的線性疊加態(tài)上。即§4.3連續(xù)譜本征函數(shù)“歸一化”

（1）連續(xù)譜本征函數(shù)“歸一化”

A.本征函數(shù)，本征譜

（取分立值）

（取連續(xù)值）

25

B.任一波函數(shù)可按其展開（已歸一化）（已歸一化）

C.

26

所以，

是一“奇異函數(shù)”。

我們引入一個奇異函數(shù)，即，其定義

27

，以及因此，如，則

28這就保證獲得我們所需結果。所以，連續(xù)譜歸一化的本征函數(shù)

應使其有

例1：求“正交歸一”的動量本征函數(shù)設：是平方可積，即可進行Fourier展開

29于是應有所以，“正交歸一”的動量本征函數(shù)為

30

事實上，由于物理波函數(shù)在無窮遠為031

于是有例2，求“正交歸一”的坐標本征函數(shù)（自做）由本征方程

32

的“正交歸一”的坐標本征函數(shù)為

它是完備的：

D.

表示在態(tài)中測量力學量的幾率。因而由33由這可見（如

已歸一化），為測量取值在區(qū)域中的幾率。

(2)δ函數(shù)

A.δ函數(shù)的定義和表示δ函數(shù)不是一般意義下的函數(shù)，而是一分布。但習慣上仍將它看作一函數(shù)。34

其重要性和意義在積分中體現(xiàn)出來；它可用一函數(shù)的極限來定義。a<b

35

現(xiàn)看不定積分

3637

寫得更為明確一些

（對任意a）

3839

顯然下面給出另一些δ表示式（作為函數(shù)參量極限）40c41

B.δ函數(shù)的性質下面給出δ函數(shù)的性質，是表示當它們在積分中出現(xiàn)時，左邊表示可被右邊表示代替。推論：如有方程A＝B，則

42

例

所以，由于對于a,b都大于零或都小于零，兩式相等；但a>0,b<0或a<0,b>0,則兩式不等，從而可定出c，即

43

若，但，即不是重根。

44例于是有推論

45

但是由

46

這一矛盾或錯誤的來源是，是有條件的。為清楚看到這一點，取

47所以，

48

這表明，無條件地由是不對的。僅當才成立。

C.δ函數(shù)的導數(shù)δ函數(shù)具有任何級的導數(shù)，可以證明49假設50假設51

例：求之解.因,所以特解是而相應齊次方程是有解

。

從而得通解

事實上

52應特別注意，但（3）本征函數(shù)的封閉性已經(jīng)討論過厄密算符本征態(tài)的正交，歸一和完備性，即

（正交，歸一）

53

（完備）對于連續(xù)譜下面我們來討論本征函數(shù)的封閉性

54

所以由此可見，上述表示式稱為本征函數(shù)的封閉性，它表明本征函數(shù)組可構成一δ函數(shù)。例1的本征函數(shù)

55

有

，即人們熟習的形式：例2的本征函數(shù)56

A.封閉性是正交、歸一的本征函數(shù)完備性的充分必要條件。若是完備的封閉性（必要條件）有封閉性完備的（充分條件）57

1．必要條件已證過2．充分條件：有封閉性: