2015年高考理科數(shù)學(xué)試題全國卷1

2015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

理科數(shù)學(xué)第I卷一.選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1+z(1)設(shè)復(fù)數(shù)Z滿足；一=，貝/Z|=1-z(A)1 (B)<2(C)v；3(D)2(2)sin20°cos10。一cos160°sin10>°=v3 <311(A) 2 (B)2(C)一2(d)2(3)設(shè)命題P：3neN,n2>2n,則「P為(A)VneN,n2>2n(B)3neN，n2<2n(C)VneN,n2<2n(D)3neN，n2=2n(4)投籃測試中，每人投3次，至少投中2次才能通過測試.已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨立，貝該同學(xué)通過測試的概率為(A)0.648 (B)0.432 (C)0.36 (D)0.312x2TOC\o"1-5"\h\z5已知M(%,y0)是雙曲線C：—-y2=1上的一點，F(xiàn)1、F2是C上的兩個焦點，若MF-MF<0,， 2 12則y0的取值范圍是_ 一 一<3 \：3 \：3 <3 2V2 2V2 2V3 2<3 —a—T，TB—T，~6~)(C)(-/，/)(D)(一丁，/)(6)《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題:“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺.問:積及為米幾何?”其意思為:“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖，米堆為一個圓錐的四分之一)，米堆底部的弧度為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放斛的米約有(a)14斛 (B)22斛 (C)36斛(D)66斛TOC\o"1-5"\h\z⑺設(shè)D為ABC所在平面內(nèi)一點BC=3CD,則14 14(a)AD=--AB+-AC (b)AD=-AB--AC() 3 3一」) 3 341 41(c)-DD=—AB+—AC (DAD==AB-=AC() 3 3 (~ 3 38函數(shù)fx=cos(")x+(P)的部分圖像如圖所示，則fx的單調(diào)遞減區(qū)間為b2-疝m+.1 32k--,2k+—4 4,『CkEzD(9)執(zhí)行右面的程序框圖，如果輸入的t=0.01,則輸出的n=(A)5 (B)6(C)7(D)8(io)(x2+x+y)5的展開式中，x5y2的系數(shù)為(A)10 (B)20 (C)30 (D)60(11)圓柱被一個平面截去一部分后與半球(半徑為廠)組成一個幾何體，(12)該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示.若該幾何體的(13)表面積為16+20兀，則r=正視圖(A)1(B)2(C)4(D)812設(shè)函數(shù)fx=ex2x—1—ax+a，其中a:1,若存在唯一的整數(shù)x0,使得fx0)0，則a的取值范圍是3 33 33 3A.2e'I)F'4C2['4D2['1第II卷二、填空題：本大題共3小題，每小題5分13若函數(shù)f(x)=xln(x+xa+x2)為偶函數(shù)，則a=x2y214一個圓經(jīng)過橢圓二+一=1的三個頂點，且圓心在x軸上，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為164x-1-015若x,y滿足約束條件|x-y<0 ，則-的最大值為x+y-4<0 x16在平面四邊形ABCD中，/A=ZB=ZC=75°,BC=2,則AB的取值范圍是三.解答題：解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.17本小題滿分12分Sn為數(shù)列｛n的前n項和已知an0,1+2an=4Sn+3\求a__的通項公式： nII設(shè)“與%+1,求數(shù)列出〃的前n項和18如圖，四邊形ABCD為菱形，ZABC=120°,E,F是平面ABCD同一側(cè)的兩點，BE，平面ABCD,DF，平面ABCD,BE=2DF,AE±EC1證明：平面AEC，平面AFC2求直線AE與直線CF所成角的余弦值19某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費，需了解年宣傳費％單位：千元對年銷售量y單位：t和年利潤z單位：千元的影響，對近8年的年宣傳費X.和年銷售量y（=1,2,???，8數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.年|銷.售量/1年|銷.售量/1年宣傳費（千元）xyw￡(xi-x)2i=1￡ (wi-W)2i=1￡(xi-x)(y.-i=1y)一￡,一(wi-i=1w)(y.-y)467656.3678289.8-1.6一1469108.8,,表中嗎=x：1xii=1 _I根據(jù)散點圖判斷，y=。+bx與y=c+d6哪一個適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）II根據(jù)I的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于X的回歸方程；in以知這種產(chǎn)品的年利率z與x、y的關(guān)系為z=02y-x根據(jù)II的結(jié)果回答下列問題：（） 年宣傳費x=49時，年銷售量及年利潤的預(yù)報值是多少？（i年宣傳費x為何值時，年利率的預(yù)報值最大？附：對于一組數(shù)據(jù)uv,uv.……uv）其回歸線v=a+Pu的斜率和截距的最小二乘估11 22 nn計分別為：V/-、/一、乙（u-u）（v-v）i i 一八一P=-4=1 ,a=v—Pu、， 一、乙（u-u）2ii=120本小題滿分12分x2在直角坐標(biāo)系xoy中，曲線C：y=—與直線y=kx+aa0交于M,N兩點，I當(dāng)k=0時，分別求C在點M和N處的切線方程；II）軸上是否存在點P，使得當(dāng)k變動時，總有NOPM=ZOPN?說明理由

21)本(小題滿分12分1已知函數(shù)f(=x3+ax+4,g(x)=一lnxI當(dāng)a為何值時，x軸為曲線y=f(x)的切線；II用min{m,幾}表示m，n中的最小值，設(shè)函數(shù)h(x)=minIf(x),g(x)}(x>0)，討論h(零點的個數(shù)請考生在(22)、(23)、(24)三題中任選一題作答.注意：只能做所選定的題目.如果多做，則按所做第一個題目計分，做答時，請用2B鉛筆在答題卡上將所選題號后的方框涂黑.(22)(本題滿分10分)選修4－1：幾何證明選講如圖，AB是。O的直徑，AC是。O的切線，BC交。O于點E()若D為AC的中點，證明：DE是。O的切線;(I若OA=耳CE，求NACB的大小(23)(本小題滿分10分)選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xOy中.直線C1:x=—2,圓C2：(x-1)2+(y—2)2=1,以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.求C,C的極坐標(biāo)方程；12若直線C的極坐標(biāo)方程為9=：(PeR)，設(shè)C與C的交點為M,N,求^CMN的面積3 4 23 2(24)(本小題滿分10分)選修4—5：不等式選講(I)當(dāng)a=1時，求不等式f(x)>1的解集；(I(I)當(dāng)a=1時，求不等式f(x)>1的解集；(I)若f(x)的圖像與x軸圍成的三角形面積大于6,求a的取值范圍2015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

理科數(shù)學(xué)試題答案A卷選擇題答案一、選擇題（1）A （2）D（7）A （8）DA、B卷非選擇題答案二、填空題（3）C （4）A（9）C（10）C(5)A (6)B(11)B (12)D3 25(13)1 (14)(x土-)2+y2=—24（16）收-正狀-血（15）3、解答題(17)解：(I)由a2+2a=4S+3，可知a2+2a=4S+3.nnn可得a2一a2+2(a一a)=4an+1 n n+12(a +a)=a2n+1 n n+1n+1 n+1 n+1即n+1一a2=(a+a)(a一a)由于a>0可得an n+1又a2+2a=4a+3所以｛a｝是首相為3n(II)由a=2n+1n n+1一a=2.nn+1解得a二一1（舍去），a=311公差為2的等差數(shù)列，通項公式為a=2n+1.nnb=

naa(2n+1)(2n+3)=2(2n71-2nz3).設(shè)數(shù)列”{/}的前n項和為T，則nT=b+b++b

n12 n=1(1=1(1一1)+

235+(2n+1)一(2n+3)n3(2n+3)（18）解：連結(jié)EG，F(xiàn)G，EF.（I）連結(jié)連結(jié)EG，F(xiàn)G，EF.在菱形ABCD中不妨設(shè)GB=1.由/ABC=120°，可得AG=GC=<3.由BE±平面ABCD,AB=BC可知AE=EC.又AE±EC，所以EG=v'3，且EG±AC.在RtAEBG中，可得BE=42故DF=-2.在RtAFDG中，可得FG="^2-.在直角梯形BDFE中，由BD=2，BE=<2，2DF=^-可得fe=芋.從而EG2+FG2=EF2,所以EG1FG又AC^FG=G,又AC^FG=G,可得EG1平面AFC.因為EGu平面AEC所以平面AEC1平面AFC（Ill）如圖，以G為坐標(biāo)原點，分別以GB,GC的方向為x軸，y軸正方向，GB為單位長，建立空間直角坐標(biāo)系G-xyz.由(I)可得A(0,-,3,0),E(1，0，2),F(-1O*),C(0，3,0)所以AE=(1,3<2),CF=(-1,3,^22).故cos；AE,所以直線AE與直線CF所成直角的余弦值為J3：的回歸方程類（19）解:的回歸方程類（I）由散點圖可以判斷，y=c+dXx適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費x2分2分（II）令w=v-x，先建立y關(guān)于w的線性回歸方程。由于108.81.6=68X(w-w)(y-y108.81.6=68i=1- X(w-w)2ii=1八c=y-dw=563-68x6.8=100.6。所以y關(guān)于w的線性回歸方程為y=100.H6而8因此y關(guān)于x的回歸方程為y=100.6+68yx。 .…??6分（III）（i）由（II）知，當(dāng)_x=49時，年銷售量y的預(yù)報值y=100.6+68<49=576.6年利潤z的預(yù)報值z=576.6x0.2-49=66.32。 ……9分（ii）根據(jù)（II）的結(jié)果知，產(chǎn)利潤z的預(yù)報值_Z=0.2（100.6+684x）-x=-x+13.64x+20.12TOC\o"1-5"\h\z一13.6一 八所以當(dāng)E=——=6.8，即x=46.24時，工取得最大值故年宣傳費為46.24千元時，年利潤的預(yù)報值最大。 ……12分(20)解：x X2-，.一:—(I)有題設(shè)可得M(24a,a),N(-24a,a),或M(2r)又y=—，故y=一在x=2?2 4處的導(dǎo)數(shù)值為y,a ,C在點(而a,出)的切線方程為y-a=a(xV2艮a■)■■, a-x-y=a0X2y=—在x=-2qa，即、/ax-y+a=0.股所求切線方程為ax--y-a=0和%Ex+y+a=0(III)存在符合題意的點，證明如下：設(shè)P(0，b)為符合題意的點，M(x,y),N(x,y)直線PM,PN的斜率分別為勺,勺y=kx+a代入。的方程得x2-4kx-4a=0.TOC\o"1-5"\h\z故x+x=4k,xx=-4a.1 2 12從而kx+a代入。的方程得2-4kx-4a=0.故x+x=4k,xx=-4a.1 2 12從而k+k2=「+」1 xx122kxx+(a-b)(x+x) 1 2—xx12_k(a+b)a當(dāng)b=-a時，有k+k=0,則直線PM的傾角與直線的傾角互補，故/ =/ p所以點符合題意12(21)解：TOC\o"1-5"\h\z(x,0)則f(x)=0,f(x)=0即00 0「 1」x3+ax+—=0⑴設(shè)曲線丫=蟻)與x軸相切于點{0 04 >3x2+a=0013解得1,a=-302 43因此，當(dāng)a=-一時，x軸為曲線y=f(x)的切線4(II)當(dāng)xe(1,+^)時，g(x)=-1nx<0,從而 {f(x),g(x)}<g(x)<0,故h(x)在(1,+^)無零點當(dāng)乂=1時，若a>一5貝ljf(1)=a+5>0,h(1)=min{f(1),g(1)}=g(1)=0,故乂=44是h(x)的零點；若a〈一5,則 {(⑴)(1)}=i(1)<0,故x=1不是h(x的零點4當(dāng)xe(0,1)時，g(x)=-1nx>0.所以只需考慮f 在()的零點個數(shù)⑴若a< 或a>則f'() 2在()無零點，故在()單調(diào)f(0)=1,f(1)a+5,所以當(dāng)<時，f在()有一個零點；當(dāng)a>時￡ 在()沒有零點44(訪若-3<a<0,則￡(x)在(0，，二*)單調(diào)遞減，在(后二)單調(diào)遞增，故在()中當(dāng)x=%：一時，f(x)取得最小值，最小值為f(、一3)=與、一3+4①若f(F3)>。即一4<a<0,f(x)在()無零點；②若f(匚a 即a-則f(x)在(0,1)有唯一零點TOC\o"1-5"\h\z\3 4③若f(',1'-3)<0,即一3<a<-4,由于f(0)=4,f(1)=a+4<a<-3時，f(x)在()有兩個零點；當(dāng)<4時，f(x)在(0,1)有一個零點.綜上，當(dāng)35 3 5a>—或@<-一時，h(x)有一個零點；當(dāng)a=--或2=--時，h(x)有兩個零點44 4 453當(dāng)一一<a<-一時，h(x)有三個零點.44(22)解：(I)鏈接人￡,由已知得，AE1BCAC1AB在RtAAEC中，由已知得，DE=DC故/DEC=/DCE鏈接OE,則UNOBE=NOEB又NACB+乙ABC=90°所以(DEC+乙OEB=90°故NOED=90。,DE是口O得切線(II)設(shè)CE=1,人￡=乂，由已知得AB=2<3,BE=<12-x2由攝影定理可得，AE=CE.BE,所以x2=J12-x2即x4+x2-12=0可得