2023第十八屆全國中學(xué)生物理競賽復(fù)賽試題解答

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一、參考解答

1．對于一個望遠(yuǎn)系統(tǒng)來說，從主光軸上無限遠(yuǎn)處的物點發(fā)出的入射光為平行于光軸的光線，它經(jīng)過系統(tǒng)后的出射光線也應(yīng)與主光軸平行，即像點也在主光軸上無限遠(yuǎn)處，如圖18－2－6所示，圖中Ｃ1為左端球面的球心．

圖18－2－6

由正弦定理、折射定律和小角度近似得（

－Ｒ１）／Ｒ１＝ｓｉｎｒ１／ｓｉｎ（ｉ１－ｒ１）≈ｒ１／（ｉ１－ｒ１）

＝1／（（ｉ１／ｒ１）－1）≈1／（ｎ－1），①即（

／Ｒ１）－1＝1／（ｎ－1）．②

光線ＰＦ１射到另一端面時，其折射光線為平行于主光軸的光線，由此可知該端面的球心Ｃ２一定在端面頂點Ｂ的左方，Ｃ２Ｂ等于球面的半徑Ｒ２，如圖18－2－6所示．

仿照上面對左端球面上折射的關(guān)系可得（又有

／Ｒ２）－1＝1／（ｎ－1），③＝Ｌ－

，④

由②、③、④式并代入數(shù)值可得Ｒ２＝5ｃｍ．

則右端為半徑等于5ｃｍ的向外凸的球面．

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1

圖18－2－7

2．設(shè)從無限遠(yuǎn)處物點射入的平行光線用①、②表示，令①過Ｃ１，②過Ａ，如圖18－2－7所示，則這兩條光線經(jīng)左端球面折射后的相交點Ｍ，即為左端球面對此無限遠(yuǎn)物點成的像點．現(xiàn)在求Ｍ點的位置，在△ＡＣ１Ｍ中，有

／ｓｉｎ（π－φ１）＝

／ｓｉｎφ１＝Ｒ１／ｓｉｎ（φ１－φ１′），

又ｎｓｉｎφ１′＝ｓｉｎφ１，已知φ１、φ１′均為小角度，則有

／φ１＝Ｒ１／φ１（1－（1／ｎ））．

≈

，即Ｍ位于過Ｆ１垂直于主光軸的平面上．上面已

與②式比較可知，

知，玻璃棒為天文望遠(yuǎn)系統(tǒng)，則凡是過Ｍ點的傍軸光線從棒的右端面射出時都將是相互平行的光線．簡單看出，從Ｍ射出Ｃ２的光線將沿原方向射出，這也就是過Ｍ點的任意光線（包括光線①、②）從玻璃棒射出的平行光線的方向，此方向與主光軸的夾角即為φ２，由圖18－2－7可得2／φ１＝

／

＝（

－Ｒ１）／（

－Ｒ２），

由②、③式可得（－Ｒ１）／（－Ｒ２）＝Ｒ１／Ｒ２，

則φ２／φ１＝Ｒ１／Ｒ２＝2．二、參考解答

1．由圖18－2－8知在海平面處，大氣壓強ｐ（0）＝101．3×10３Ｐａ．在ｚ＝5000ｍ時，大氣壓強為

ｐ（5000）＝53×10３Ｐａ．

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2

圖18－2－8

圖18－2－9

此處水沸騰時的飽和蒸氣壓ｐＷ應(yīng)等于此值．由圖18－2－9可知，對應(yīng)的溫度即沸點為ｔ２＝82℃．

達(dá)到此溫度時，鍋內(nèi)水開始沸騰，溫度不再升高，故在5000ｍ高山上，若不加蓋壓力鍋，鍋內(nèi)溫度最高可達(dá)82℃．

2．由圖18－2－9可知，在ｔ＝120℃時，水的飽和蒸氣壓ｐＷ（120°）＝198×10

３

Ｐａ，而在海平面處，大氣壓強ｐ（0）＝101×10３Ｐａ．可見壓力閥的附加壓強為

ｐＳ＝ｐＷ（120°）－ｐ（0）＝（198×10－101．3×10）Ｐａ＝96．7×10３Ｐａ．

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3

３

３

在5000ｍ高山上，大氣壓強與壓力閥的附加壓強之和為ｐ′＝ｐＳ＋ｐ（5000）＝（96．7×10３＋53×10３）Ｐａ＝149．7×103Ｐａ．

若在ｔ＝ｔ２時閥被頂起，則此時的ｐＷ應(yīng)等于ｐ′，即ｐＷ＝ｐ′，

由圖18－2－9可知ｔ２＝112℃．

此時鍋內(nèi)水開始沸騰，溫度不再升高，故按正確方法使用此壓力鍋，在5000ｍ高山上鍋內(nèi)水的溫度最高可達(dá)112℃．

3．在未按正確方法使用壓力鍋時，鍋內(nèi)有空氣，設(shè)加壓力閥時，內(nèi)部水蒸汽已飽和．由圖18－2－9可知，在ｔ＝27℃時，題中已給出水的飽和蒸氣壓ｐＷ（27°）＝3．6×10３Ｐａ，這時鍋內(nèi)空氣的壓強（用ｐａ表示）為ｐａ（27°）＝ｐ（5000）－ｐＷ（27°）＝（53×10３－3．6×10３）Ｐａ＝49．4×10３Ｐａ．

當(dāng)溫度升高時，鍋內(nèi)空氣的壓強也隨之升高，設(shè)在溫度為ｔ（℃）時，鍋內(nèi)空氣壓強為ｐａ（ｔ），則有

ｐａ（ｔ）／（273＋ｔ）＝ｐａ（27℃）／（273＋27），ｐａ（ｔ）＝（164．7ｔ＋45．0×10３）Ｐａ．若在ｔ＝ｔ′時壓力閥剛好開始被頂起，則有ｐＷ（ｔ′）＋ｐａ（ｔ′）＝ｐ′，由此得

ｐＷ（ｔ′）＝ｐ′－ｐａ（ｔ′）＝（105×10３－164．7ｔ′）Ｐａ，畫出函數(shù)ｐ′－ｐａ（ｔ′）的圖線，

?。簦?℃，有ｐ′－ｐａ（0℃）＝105×10３Ｐａ，?。簦?00℃，有ｐ′－ｐａ（100℃）＝88．6×10３Ｐａ．

由此二點便可在圖18－2－9上畫出此直線，此直線與圖18－2－9中的ｐＷ（ｔ）－ｔ曲線的交點為Ａ，Ａ即為所求的滿足上式的點，由圖可看出與Ａ點對應(yīng)的溫度為ｔ′＝97℃．

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即在壓力閥剛開始被頂起時，鍋內(nèi)水的溫度是97℃，若繼續(xù)加熱，壓力閥被頂起后，鍋內(nèi)空氣隨水蒸汽一起被排出，最終空氣排凈，鍋內(nèi)水溫仍可達(dá)112℃．

三、參考解答

為使氫原子從基態(tài)躍遷到激發(fā)態(tài)，需要能量最小的激發(fā)態(tài)是ｎ＝2的第一激發(fā)態(tài)．已知氫原子的能量與其主量子數(shù)的平方成反比．即Ｅｎ＝ｋ１／ｎ２，①

又知基態(tài)（ｎ＝1）的能量為－13．58ｅＶ，即Ｅ１＝ｋ１／1２＝－13．58ｅＶ，所以ｋ＝－13．58ｅＶ．ｎ＝2的第一激發(fā)態(tài)的能量為

Ｅ２＝ｋ１／2２＝－13．58×（1／4）＝－3．39ｅＶ．②為使基態(tài)的氫原子激發(fā)到第一激發(fā)態(tài)所需能量為

Ｅ內(nèi)＝Ｅ２－Ｅ１＝（－3．39＋13．58）ｅＶ＝10．19ｅＶ．③這就是氫原子從第一激發(fā)態(tài)躍遷到基態(tài)時發(fā)出的光子的能量，即ｈν＝Ｅ內(nèi)＝10．19ｅＶ＝10．19×1．602×10－19Ｊ＝1．632×10－18Ｊ．④

式中ν為光子的頻率，從開始碰見發(fā)射出光子，根據(jù)動量和能量守恒定律有ｍｖ０＝ｍｖＡ＋ｍｖＢ＋光子的動量，⑤

（1／2）ｍｖ０２＝（1／2）ｍ（ｖＡ２＋ｖＢ２）＋ｈν，⑥

光子的動量ｐν＝ｈν／ｃ．由⑥式可推得ｍｖ０＞2ｈν／ｖ０，由于ｖ０>ｈν／ｃ，故⑤式中光子的動量與ｍｖ０相比較可忽略不計．⑤式變?yōu)椋恚觯埃剑恚觯粒恚觯拢剑恚ǎ觯粒觯拢?，?/p>

符合⑥、⑦兩式的ｖ0的最小值可推求如下