平移、旋轉(zhuǎn)、對稱

平移、旋轉(zhuǎn)、對稱【本講教育信息】一、教學(xué)內(nèi)容：寒假專題——圖形與坐標(biāo)認(rèn)識圖形經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)、對稱、放大或縮小等運動之后點的坐標(biāo)的變化，并能得出一些簡單的規(guī)律．二.知識要點：1.平面直角坐標(biāo)系中點的表示方法（1）在平面直角坐標(biāo)系里，根據(jù)點的位置寫出其坐標(biāo)的方法是：從點A向x軸、y軸作垂線，垂足在x軸和y軸上對應(yīng)的數(shù)分別為x0，y0，x0叫做點A的橫坐標(biāo)，y0叫做點A的縱坐標(biāo)，有序?qū)崝?shù)對（x0，y0）叫做點A的坐標(biāo)，記為A（x0，y0）．（2）對于直角坐標(biāo)系的任意一點，都有一對有序?qū)崝?shù)和它對應(yīng)；反過來，對于任意一對有序?qū)崝?shù)，在平面內(nèi)都有一點和它對應(yīng)，平面內(nèi)的點和有序?qū)崝?shù)對是一一對應(yīng)的．（3）平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點的坐標(biāo)特征：①x軸上的點的縱坐標(biāo)為零；y軸上的點的橫坐標(biāo)為零．②第一、三象限角平分線上的點橫、縱坐標(biāo)相等；第二、四象限角平分線上的點橫、縱坐標(biāo)互為相反數(shù)．③在任意的兩點中，如果兩點的橫坐標(biāo)相同，則兩點的連線平行于縱軸；如果兩點的縱坐標(biāo)相同，則兩點的連線平行于橫軸．2.關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的點的坐標(biāo)特點在直角坐標(biāo)系中，有一些特殊點，如果沿x軸或y軸對折后，兩個點正好完全重合，把這樣的兩個點叫做關(guān)于x軸或y軸對稱．即：P（x，y）eq\f(關(guān)于x軸對稱,)P＇（x，－y）；P（x，y）eq\f(關(guān)于y軸對稱,)P＇（－x，y）．3.平面直角坐標(biāo)系中兩點之間的距離（1）點到軸及原點的距離點到x軸的距離為︱y︱；點到y(tǒng)軸的距離為︱x︱；點到原點的距離為x的平方加y的平方再開根號，即eq\r(,x2＋y2)．（2）平面直角坐標(biāo)系中兩點之間的距離可以通過構(gòu)造直角三角形，應(yīng)用勾股定理求得．設(shè)點A（x1，y1）、B（x2，y2），點A和點B之間的距離AB＝eq\r(,（x2－x1）2＋（y2－y1）2)．4.圖形經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)、放大或縮小等運動后點的坐標(biāo)的變化規(guī)律（1）沿x軸平移后，點的變化規(guī)律是：點的縱坐標(biāo)不變，而橫坐標(biāo)都增加了相同的數(shù)量；沿y軸平移，點的橫坐標(biāo)不變，而縱坐標(biāo)都增加了相同的數(shù)量．（2）圖形放大或縮小后，對應(yīng)點的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都擴(kuò)大或縮小相同的倍數(shù)．5.二元一次方程（組）的解和點的坐標(biāo)（1）二元一次方程的解有無數(shù)個，以這個二元一次方程的所有解為坐標(biāo)的點組成的圖形是一條直線，那么直線上任意一個點的坐標(biāo)都滿足這個二元一次方程，所有以二元一次方程的解為坐標(biāo)的點都在這條直線上．（2）每一個二元一次方程對應(yīng)一條直線，若兩條直線只有一個交點，則二元一次方程組有唯一解，交點坐標(biāo)就是方程組的解；若兩條直線互相平行，則說明兩直線無交點，因此由兩平行直線所組成的二元一次方程組無解；若兩條直線重合，則說明這兩條直線有無數(shù)個交點，因此，由兩重合直線所組成的二元一次方程組有無數(shù)多個解．三.考點分析：圖形與坐標(biāo)的內(nèi)容在中考題當(dāng)中所占比重不大，通常有一個選擇題或填空題，多數(shù)是考查直角坐標(biāo)系內(nèi)點的坐標(biāo)的特征．另外在一些和函數(shù)相關(guān)的綜合題中常常用到這部分內(nèi)容．【典型例題】例1.（1）點P（－2，1）關(guān)于x軸的對稱點的坐標(biāo)為（）A.（2，1） B.（－2，－1） C.（2，－1） D.（1，－2）（2）如圖，小手蓋住的點的坐標(biāo)可能為（）A.（5，2） B.（－6，3） C.（－4，－6） D.（3，－4）（3）若點P（a，－6）先沿x軸的負(fù)方向平移3個單位，再沿y軸的正方向平移4個單位得點的坐標(biāo)為（－2，b），則a＋b的值為__________．（4）如果一個多邊形各個頂點的縱坐標(biāo)分別都乘以m（m＞1的整數(shù)），那么所得多邊形形狀__________，大小__________．分析：（1）平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，對稱點的坐標(biāo)規(guī)律是：關(guān)于哪條軸對稱，則哪一個坐標(biāo)不變，另一個坐標(biāo)變?yōu)樵瓉頂?shù)的相反數(shù)．點P（－2，1）關(guān)于x軸的對稱點的坐標(biāo)為（－2，－1），故選B.（2）各象限內(nèi)點的坐標(biāo)特征是：第一象限橫、縱坐標(biāo)都大于0；第二象限橫坐標(biāo)小于0，縱坐標(biāo)大于0；第三象限橫、縱坐標(biāo)都小于0；第四象限橫坐標(biāo)大于0，縱坐標(biāo)小于0．小手蓋住的是第四象限的點，這個點的橫坐標(biāo)應(yīng)大于0，縱坐標(biāo)應(yīng)小于0，故選D.（3）點P（a，－6）沿x軸負(fù)方向平移3個單位后的坐標(biāo)是（a－3，－6），再沿y軸的正方向平移4個單位后的坐標(biāo)是（a－3，－6＋4），即（a－3，－2）．已知點P兩次移動后的坐標(biāo)為（－2，b）．所以a－3＝－2，－2＝b，所以a＝1，b＝－2，所以a＋b＝－1．解：（1）B（2）D（3）－1（4）被縱向拉長為m倍，改變．例2.當(dāng)m為何值時，點（m＋6，4m＋3）到x軸的距離是它到y(tǒng)軸的距離的二倍．分析：點（m＋6，4m＋3）到x軸的距離是︱4m＋3︱，到y(tǒng)軸的距離是︱m＋6︱，即︱4m＋3︱＝2︱m＋6︱．分兩種情況來解，4m＋3＝±2（m＋6）．解4m＋3＝2（m＋6）得m＝eq\f(9,2)；解4m＋3＝－2（m＋6）得m＝－eq\f(5,2)．解：因為點（m＋6，4m＋3）到x軸的距離是它到y(tǒng)軸的距離的二倍，所以有︱4m＋3︱＝±2︱m＋6︱．即4m＋3＝2（m＋6）或4m＋3＝－2（m＋6），分別解這兩個方程得：m＝eq\f(9,2)或m＝－eq\f(5,2)．所以當(dāng)m＝eq\f(9,2)或m＝－eq\f(5,2)時點（m＋6，4m＋3）到x軸的距離是它到y(tǒng)軸的距離的二倍．評析：點到x軸的距離是點的縱坐標(biāo)的絕對值，點到y(tǒng)軸的距離是點的橫坐標(biāo)的絕對值．例3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一顆棋子從點P處開始依次關(guān)于點A、B、C作循環(huán)對稱跳動，即第一次跳到點P關(guān)于點A的對稱點M處，接著跳到點M關(guān)于點B的對稱點N處，第三次再跳到點N關(guān)于點C的對稱點處，…．如此下去．（1）在圖中畫出點M、N，并寫出點M、N的坐標(biāo)：_____________．（2）求經(jīng)過第2022次跳動之后，棋子落點與點P的距離．分析：第一次跳動后點M的坐標(biāo)是（－2，0），第二次跳動后點N的坐標(biāo)是（4，4），第三次跳動后的坐標(biāo)為（0，－2），第四次跳動后的坐標(biāo)為（－2，0），…．每隔3次跳動后位置便重復(fù)出現(xiàn)，2022÷3＝669……1．所以第2022次跳動后的坐標(biāo)和第一次跳動后點M的坐標(biāo)相同，為（－2，0）．在Rt△OPM中，OP＝2，OM＝2，所以PM＝eq\r(,22＋22)＝2eq\r(,2)．解：（1）M（－2，0），N（4，4）(畫圖略)（2）棋子跳動3次后又回到點P處，所以經(jīng)過第2022次跳動后，棋子落在點M處，所以PM＝eq\r(,OM2＋OP2)＝eq\r(,22＋22)＝2eq\r(,2)，即經(jīng)過第2022次跳動后，棋子落點與P點的距離為2eq\r(,2)．例4.如圖所示，直線l1和l2的交點坐標(biāo)為（）A.(4，－2) B.(2，－4) C.(－4，2) D.(3，－1)分析：兩條直線的交點坐標(biāo)就是這兩條直線所對應(yīng)的二元一次方程所組成的二元一次方程組的解．根據(jù)圖示所提供的信息確定這兩個二元一次方程，由于任何一個二元一次方程都可以寫成y＝kx＋b的形式．直線l1經(jīng)過（0，2）和（2，0）兩點，將其代入得：eq\b\lc\{(\a\al\vs3(b＝2,2k＋b＝0))解得eq\b\lc\{(\a\al\vs3(b＝2,k＝－1))，所以直線l1是y＝－x＋2．同理，從圖中可以看出直線l2經(jīng)過點（0，0）和（－2，1），將其代入得：eq\b\lc\{(\a\al\vs3(b＝0,－2k＋b＝1))，解得eq\b\lc\{(\a\al\vs3(b＝0,k＝－eq\f(1,2)))，所以直線l2是y＝－eq\f(1,2)x．這二者組成方程組，eq\b\lc\{(\a\al\vs3(y＝－x＋2,y＝－\f(1,2)x))，解得eq\b\lc\{(\a\al\vs3(x＝4,y＝－2))．所以直線l1和直線l2的交點坐標(biāo)是（4，－2）．解：A評析：現(xiàn)階段這道例題有一定的難度，通過對它的分析，我們可以站在一個更高的層面上來理解二元一次方程、二元一次方程組、兩條直線的交點之間的內(nèi)在聯(lián)系．【方法總結(jié)】學(xué)習(xí)本講內(nèi)容時要注意兩點：一是圖形變化后點的坐標(biāo)的變化規(guī)律，二是在解決相關(guān)問題時注意數(shù)形結(jié)合的思想方法，把平面內(nèi)點的問題轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)的問題．【模擬試題】（答題時間：45分鐘）一.選擇題1.如圖，已知棋子“車”的坐標(biāo)為（－2，3），棋子“馬”的坐標(biāo)為（1，3），則棋子“炮”的坐標(biāo)為（）A.（3，2） B.（3，1） C.（2，2） D.（－2，2）2.已知點P在第二象限內(nèi)，且到x軸距離是2，到y(tǒng)軸的距離是3，則點P坐標(biāo)是（）A.（3，2） B.（－3，2） C.（－3，－2） D.（3，－2）3.平面上有一點P（m，n），且mn＝0，點P的位置在（）A.原點 B.x軸上 C.y軸上 D.坐標(biāo)軸上4.已知△ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，將△ABC向右平移6個單位，則平移后A點的坐標(biāo)是（）A.（－2，1） B.（2，1） C.（2，－1） D.（－2，－1）*5.無論x為何實數(shù)，點P（x＋1，x－1）都不在第幾象限（）A.一 B.二 C.三 D.四6.將△ABC三個頂點的橫坐標(biāo)乘以－1，縱坐標(biāo)不變，則所得圖形與原圖形（）A.關(guān)于x軸對稱B.關(guān)于y軸對稱C.圖形向x軸正方向平移1個單位D.圖形向x軸負(fù)方向平移1個單位7.若（a＋2）2＋eq\r(,b－3)＝0，則M（a，b）關(guān)于y軸的對稱點在第幾象限（）A.一 B.二 C.三 D.四8.點B與點C的橫坐標(biāo)相同且均不為0，縱坐標(biāo)不同，則直線BC與y軸的關(guān)系是（）A.平行 B.垂直 C.相交 D.重合9.P（2x－6，x－5）是第四象限內(nèi)的點，則x的取值范圍是（）A.3＜x＜5 B.－3＜x＜5 C.－5＜x＜3 D.－5＜x＜－310.下列圖象中，以方程y－2x－2＝0的解為坐標(biāo)的點組成的圖象是（）二.填空題1.點A（－eq\r(,3)，1）到x軸的距離為__________，到y(tǒng)軸的距離是__________，到原點的距離為__________．2.如果點M（a，a－1）在x軸下側(cè)，y軸右側(cè)，則a的取值范圍是__________．3.點P（2，－5）關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)是__________，關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)是__________．4.若點M（a，－1）與N（－2，b）關(guān)于y軸對稱，則a＝__________，b＝__________．5.若點M、N的坐標(biāo)分別為（－eq\r(,2)，3）和（－eq\r(,2)，－3），則直線MN與y軸的位置關(guān)系是__________．6.已知點A（5，2），B（5，6），則線段AB__________于x軸，線段AB__________于y軸．三.解答題1.用圖象法解方程組eq\b\lc\{(\a\al\vs3(x－y＝5,y＝3－x))．2.求直線y＝3x＋12與y＝－2x＋3的交點坐標(biāo)．*3.求直線y＝4x－8與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積．**4.如圖所示，已知在Rt△OBA中，斜邊OA在x軸的正半軸上，直角頂點B在第四象限內(nèi)，S△OBA＝20，OB∶BA＝1∶2，求A、B兩點的坐標(biāo)．

【試題答案】一.選擇題1.A2.B3.D4.B5.B6.B7.A8.A9.A10.C二.填空題1.1，eq\r(,3)，22.0＜a＜13.（2，5）、（－2，－5）4.2，－15.平行6.垂直，平行三.解答題1.（1）在直線y＝x－5上任取兩組解eq\b\lc\{(\a\al\vs3(x＝0,y＝－5))，eq\b\lc\{(\a\al\vs3(x＝5,y＝0,))．描點（0，－5），（5，0），過這兩點作直線l1．（2）在直線y＝3－x上任取兩組整數(shù)解eq\b\lc\{(\a\al\vs3(x＝0,y＝3))、eq\b\lc\{(\a\al\vs3(x＝3,y＝0))，描點（0，3）、（3，0），過這兩點作直線l2．（3）直線l1、l2相交于點P（4，－1），所以方程組的解為eq\b\lc\{(\a\al\vs3(x＝4,y＝－1))．2.eq\b\lc\{(\a\al\vs3(x＝－\f(9,5),y＝\f(33,5)))3.當(dāng)x＝0時，y＝－8，所以在y