三角形四心的向量性質(zhì)

三角形四心的向量性質(zhì)PAGEPAGE4三角形“四心”的向量性質(zhì)及其應用一、三角形的重心的向量表示及應用命題一已知是不共線的三點，是內(nèi)一點，若．則是的重心．證明：如圖1所示，因為，所以．以，為鄰邊作平行四邊形，則有，所以．又因為在平行四邊形中，交于點，所以，．所以是的邊的中線．故是的重心．點評：①解此題要聯(lián)系重心的定義和向量加法的意義；②把平面幾何知識和向量知識結(jié)合起來解決問題是解此類問題的常用方法．例1如圖2所示，的重心為為坐標原點，，，，試用表示．解：設(shè)交于點，則是的中點，圖2圖2而點（0，1），并與曲線交于P、Q兩點，且滿足，求直線的方程。解（1）設(shè)C（x,y），則G（），其中，由于∥，故，外心M（0，），，得軌跡E的方程是（2）略。三、三角形的垂心的向量表示及應用命題三：已知是內(nèi)一點，滿足，則點G為垂心。（2005全國文12）證明:由.即 則 所以P為的垂心.點評：本題將平面向量有關(guān)運算、“數(shù)量積為零，則兩向量所在直線垂直”、三角形垂心定義等相關(guān)知識巧妙結(jié)合。變式：若H為△ABC所在平面內(nèi)一點，且則點H是△ABC的垂心BCHBCHA圖60即0同理，故H是△ABC的垂心四、三角形的內(nèi)心的向量表示及應用命題四：O是內(nèi)心的充要條件是變式1：如果記的單位向量為，則O是內(nèi)心的充要條件是變式2：如果記的單位向量為，則O是內(nèi)心的充要條件也可以是。例4（2003江蘇）已知O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，滿足，，則P的軌跡一定通過△ABC的內(nèi)心。PECOPECOABD圖7，，設(shè)，，D、E在射線AB和AC上。AP是平行四邊行的對角線。又，ADPE是菱形。點P在即的平分線上。故P點的軌跡一定通過△ABC的內(nèi)心。五、三角形外心與重心的向量關(guān)系及應用命題五：設(shè)△ABC的外心為O，則點G為△ABC重心的充要條件為：圖8證明：如圖8，設(shè)G為重心，連結(jié)AG并延長，交BC于D，則D為BC的中點。圖8∴反之，若，則由上面的證明可知：設(shè)D為BC的中點，則，從而，∴G在中線AD上且AG=AD，即G為重心。六、三角形外心與垂心的向量關(guān)系及應用命題六：設(shè)△ABC的外心為O，則點H為△ABC的垂心的充要條件是。證明：如圖2，若H為垂心，以O(shè)B、OC為鄰邊作平行四邊形OBDC，圖9則圖9∵O為外心，∴OB=OC，∴平行四邊形OBDC為菱形∴OD⊥BC，而AH⊥BC，∴AH∥OD，∴存在實數(shù)，使得∴①。同理，存在實數(shù)，，使得②③比較①、②、③可得，，∴反之，若，則，∵O為外心，∴OB=OC∴∴AH⊥CB，同理，BH⊥AC?！郒為垂心。例6、已知H是△ABC的垂心，且AH=BC，試求∠A的度數(shù)解：設(shè)△ABC的外接圓半徑為R，點O是外心?！逪是△ABC的垂心∴∴∴∵，∴∵AH=BC，∴∴而∠A為△ABC的內(nèi)角，∴0＜2A＜360°從而2A=90°或270°∴∠A的度數(shù)為45°或135°。七、三角形的外心、重心、垂心的向量關(guān)系及應用命題七：△ABC的外心、重心、垂心分別為O、G、H，則O、G、H三點共線（O、G、H三點連線稱為歐拉線），且OG=GH。圖10證明：如圖10，由命題五、六知，連結(jié)AG并延長，交BC于D，則D為BC的中點。圖10，，∴∴O、G、H三點共線，且OG=GH。例7、已知O（0，0），B（1，0），C（b，c），是OBC的三個頂點。試寫出OBC的重心G，外心F，垂心H的坐標，并證明G、F、H三點共線。（2002年全國）解：重心G為，設(shè)H點的坐標為∵，BC=(b-1，c)，，故H點的坐標為設(shè)外心F的坐標為由|FO|=|FC|，得，所以F點的坐標為（，）。從而可得出GH=（，），F(xiàn)H=（，），GH∥FH，F(xiàn)、G、H三點共線。點評：向量不僅是平面解析幾何入門內(nèi)容，而且是解在關(guān)數(shù)形結(jié)合問題的重要工具。它一般通過概念的移植、轉(zhuǎn)化，將坐標與向量結(jié)合起來，從而使一些難題在思路上獲得新的突破。例8、已知P是非等邊△ABC外接圓上任意一點，問當P位于何處時，PA2+PB2+PC2取得最大值和最小值。解：如圖11，設(shè)外接圓半徑為R，點O是