三角函數(shù)在實(shí)際中的應(yīng)用

三角函數(shù)在實(shí)際中的應(yīng)用數(shù)學(xué)來源于生活，又回歸于生活。專題3銳角三角函數(shù)在實(shí)際中的應(yīng)用解題技巧：1．如果圖形不是直角三角形，一定要考慮添加適當(dāng)?shù)妮o助線（作平行線或作垂線），構(gòu)造直角三角形，然后選擇恰當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)（正弦、余弦或正切）；2．在求線段長(zhǎng)度的時(shí)候，如果不能直接求出長(zhǎng)度，可以考慮列方程求值。一仰角、俯角問題1．某數(shù)學(xué)興趣小組在活動(dòng)課上測(cè)量學(xué)校旗桿的高度．已知小亮站著測(cè)量，眼睛與地面的距離（AB）是1.7米，看旗桿頂部E的仰角為30°；小敏蹲著測(cè)量，眼睛與地面的距離（CD）是0.7米，看旗桿頂部E的仰角為45°．兩人相距5米且位于旗桿同側(cè)（點(diǎn)B、D、F在同一直線上）．（1）求小敏到旗桿的距離DF．（結(jié)果保留根號(hào)）（2）求旗桿EF的高度．（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：≈1.4，≈1.7）2．如圖所示，某古代文物被探明埋于地下的A處，由于點(diǎn)A上方有一些管道，考古人員不能垂直向下挖掘，他們被允許從B處或C處挖掘，從B處挖掘時(shí)，最短路線BA與地面所成的銳角是56°，從C處挖掘時(shí)，最短路線CA與地面所成的銳角是30°，且BC=20m，若考古人員最終從B處挖掘，求挖掘的最短距離．（參考數(shù)據(jù)：sin56°=0.83，tan56°≈1.48，≈1.73，結(jié)果保留整數(shù)）6．(2015丹東10分)如圖，線段AB，CD表示甲、乙兩幢居民樓的高，兩樓間的距離BD是60米．某人站在A處測(cè)得C點(diǎn)的俯角為37°，D點(diǎn)的俯角為48°(人的身高忽略不計(jì))，求乙樓的高度CD.(參考數(shù)據(jù)：sin37°≈eq\f(3,5)，tan37°≈eq\f(3,4)，sin48°≈eq\f(7,10)，tan48°≈eq\f(11,10))7.如圖，一樓房AB后有一假山，其斜坡CD坡比為1：，山坡坡面上點(diǎn)E處有一休息亭，測(cè)得假山坡腳C與樓房水平距離BC=6米，與亭子距離CE=20米，小麗從樓房頂測(cè)得點(diǎn)E的俯角為45°．（1）求點(diǎn)E距水平面BC的高度；（2）求樓房AB的高．（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)≈1.414，≈1.732）8．如圖，某飛機(jī)于空中探測(cè)某座山的高度，在點(diǎn)A處飛機(jī)的飛行高度是AF＝3700米，從飛機(jī)上觀測(cè)山頂目標(biāo)C的俯角是45°，飛機(jī)繼續(xù)以相同的高度飛行300米到B處，此時(shí)觀測(cè)目標(biāo)C的俯角是50°，求這座山的高度CD.(參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20)9.（2015?荊門）如圖，在一次軍事演習(xí)中，藍(lán)方在一條東西走向的公路上的A處朝正南方向撤退，紅方在公路上的B處沿南偏西60°方向前進(jìn)實(shí)施攔截，紅方行駛1000米到達(dá)C處后，因前方無法通行，紅方?jīng)Q定調(diào)整方向，再朝南偏西45°方向前進(jìn)了相同的距離，剛好在D處成功攔截藍(lán)方，求攔截點(diǎn)D處到公路的距離（結(jié)果不取近似值）．10．（2015?達(dá)州）學(xué)習(xí)“利用三角函數(shù)測(cè)高”后，某綜合實(shí)踐活動(dòng)小組實(shí)地測(cè)量了鳳凰山與中心廣場(chǎng)的相對(duì)高度AB，其測(cè)量步驟如下：（1）在中心廣場(chǎng)測(cè)點(diǎn)C處安置測(cè)傾器，測(cè)得此時(shí)山頂A的仰角∠AFH=30°；（2）在測(cè)點(diǎn)C與山腳B之間的D處安置測(cè)傾器（C、D與B在同一直線上，且C、D之間的距離可以直接測(cè)得），測(cè)得此時(shí)山頂上紅軍亭頂部E的仰角∠EGH=45°；（3）測(cè)得測(cè)傾器的高度CF=DG=1.5米，并測(cè)得CD之間的距離為288米；已知紅軍亭高度為12米，請(qǐng)根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)求出鳳凰山與中心廣場(chǎng)的相對(duì)高度AB．（取1.732，結(jié)果保留整數(shù)）11．（2015?河南）如圖所示，某數(shù)學(xué)活動(dòng)小組選定測(cè)量小河對(duì)岸大樹BC的高度，他們?cè)谛逼律螪處測(cè)得大樹頂端B的仰角是30°，朝大樹方向下坡走6米到達(dá)坡底A處，在A處測(cè)得大樹頂端B的仰角是48°，若坡角∠FAE=30°，求大樹的高度（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11，≈1.73）12．（2014?河南）在中俄“海上聯(lián)合﹣2014”反潛演習(xí)中，我軍艦A測(cè)得潛艇C的俯角為30°，位于軍艦A正上方1000米的反潛直升機(jī)B測(cè)得潛艇C的俯角為68°，試根據(jù)以上數(shù)據(jù)求出潛艇C離開海平面的下潛深度．（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin68°≈0.9，cos68°≈0.4，tan68°≈2.5，1.7）二坡度、坡角問題13．如圖，水壩的橫斷面是梯形，背水坡AB的坡角∠BAE＝45°，壩高BE＝20米．汛期來臨，為加大水壩的防洪強(qiáng)度，將壩底從A處向后水平延伸到F處，使新的背水坡BF的坡角∠F＝30°，求AF的長(zhǎng)度．(結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：eq\r(2)≈1.414，eq\r(3)≈1.732)114．(2014山西)如圖，點(diǎn)A、B、C表示某旅游景區(qū)三個(gè)纜車站的位置，線段AB，BC表示連接纜車站的鋼纜，已知A，B，C三點(diǎn)在同一鉛直平面內(nèi)，它們的海拔高度AA′，BB′，CC′分別為110米，310米，710米，鋼纜AB的坡度i1＝1∶2，鋼纜BC的坡度i2＝1∶1，景區(qū)因改造纜車線路，需要從A到C直線架設(shè)一條鋼纜，那么鋼纜AC的長(zhǎng)度是多少米？(注：坡度i是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比)15．（2015?廣安）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師和學(xué)生一起去測(cè)量學(xué)校升旗臺(tái)上旗桿AB的高度，如圖，老師測(cè)得升旗臺(tái)前斜坡FC的坡比為i=1：10（即EF：CE=1：10），學(xué)生小明站在離升旗臺(tái)水平距離為35m（即CE=35m）處的C點(diǎn)，測(cè)得旗桿頂端B的仰角為α，已知tanα=，升旗臺(tái)高AF=1m，小明身高CD=1.6m，請(qǐng)幫小明計(jì)算出旗桿AB的高度．三方向角問題16．如圖，小島在港口P的北偏西60°方向，距港口56海里的A處，貨船從港口P出發(fā)，沿北偏東45°方向勻速駛離港口P，4小時(shí)后貨船在小島的正東方向．求貨船的航行速度．（精確到0.1海里/時(shí)，參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73）17．某海域有A、B兩個(gè)港口，B港口在A港口北偏西30°的方向上，距A港口60海里．有一艘船從A港口出發(fā)，沿東北方向行駛一段距離后，到達(dá)位于B港口南偏東75°方向的C處．求該船與B港口之間的距離即CB的長(zhǎng)(結(jié)果保留根號(hào))．18.如圖，要測(cè)量A點(diǎn)到河岸BC的距離，在B點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)在B點(diǎn)的北偏東30°方向上，在C點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)在C點(diǎn)的北偏西45°方向上，又測(cè)得BC＝150m．求A點(diǎn)到河岸BC的距離．(結(jié)果保留整數(shù))(參考數(shù)據(jù)：eq\r(2)≈1.41，eq\r(3)≈1.73)19.(2013年河南省)我國(guó)南水北調(diào)中線工程的起點(diǎn)是丹江口水庫(kù)，按照工程計(jì)劃，需對(duì)原水庫(kù)大壩進(jìn)行混凝土培厚加高，使壩高由原來的162米增加到176.6米，以抬高蓄水位，如圖是某一段壩體加高工程的截面示意圖，其中原壩體的高為，背水坡坡角，新壩體的高為，背水坡坡角。求工程完工后背水坡底端水平方向增加的寬度.(結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：）答案1．考點(diǎn):解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題．分析:（1）過點(diǎn)A作AM⊥EF于點(diǎn)M，過點(diǎn)C作CN⊥EF于點(diǎn)N．設(shè)CN=x，分別表示出EM、AM的長(zhǎng)度，然后在Rt△AEM中，根據(jù)tan∠EAM=，代入求解即可；（2）根據(jù)（1）求得的結(jié)果，可得EF=DF+CD，代入求解．解：（1）過點(diǎn)A作AM⊥EF于點(diǎn)M，過點(diǎn)C作CN⊥EF于點(diǎn)N，設(shè)CN=x，在Rt△ECN中，∵∠ECN=45°，∴EN=CN=x，∴EM=x+0.7﹣1.7=x﹣1，∵BD=5，∴AM=BF=5+x，在Rt△AEM中，∵∠EAM=30°∴=，∴x﹣1=（x+5），解得：x=4+3，即DF=（4+3）（米）；（2）由（1）得：EF=x+0.7=4++0.7≈4+3×1.7+0.7≈9.8≈10（米）．答：旗桿的高度約為10米．點(diǎn)評(píng):本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)仰角構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)的知識(shí)求解．考點(diǎn):解直角三角形的應(yīng)用．2．分析:作AD⊥BC交CB延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，線段AD即為文物在地面下的深度．設(shè)AD=x．通過解直角△ABD求得BD=；通過解直角△ACD求得CD=x，由此列出關(guān)于x的方程，通過方程求得AD的長(zhǎng)度．最后通過解直角三角形ABD來求AB的長(zhǎng)度即可．解：作AD⊥BC交CB延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，線段AD即為文物在地面下的深度．根據(jù)題意得∠CAD=30°，∠ABD=56°．設(shè)AD=x．在直角△ABD中，∵∠ABD=56°，∴BD==．在直角△ACD中，∵∠ACB=30°，∴CD=AD=x，∴x=+20．解得x≈18.97，∴AB=≈≈23．答：從B處挖掘的最短距離為23米．點(diǎn)評(píng):此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，主要是正切、余弦概念及運(yùn)算，關(guān)鍵把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題加以計(jì)算．3．【思路分析】首先，過點(diǎn)A作AE⊥CD于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BF⊥CD于點(diǎn)F，易得四邊形ABFE為矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)，可得AB＝EF，AE＝BF.由題意可知，AE＝BF＝1100－200＝900米，CD＝1.99×104米，然后分別在Rt△AEC與Rt△BFD中，利用三角函數(shù)求得CE與DF的長(zhǎng)，繼而求得兩海島間的距離AB.解：如解圖，過點(diǎn)A作AE⊥CD于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BF⊥CD，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.則四邊形ABFE為矩形，∴AB＝EF，AE＝BF.由題意可知AE＝BF＝1100－200＝900(米)，CD＝19900(米)．∴在Rt△AEC中，∠C＝45°，AE＝900(米)，∴CE＝eq\f(AE,tan∠C)＝eq\f(AE,tan45°)＝900(米)，在Rt△BFD中，∠BDF＝60°，BF＝900(米)，∴DF＝eq\f(BF,tan∠BDF)＝eq\f(900,tan60°)＝300eq\r(3)(米)，∴AB＝EF＝CD＋DF－CE＝19900＋300eq\r(3)－900＝(19000＋300eq\r(3))米．答：兩海島之間的距離AB是(19000＋300eq\r(3))米．考點(diǎn):解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題．分析:（1）作PQ⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于H，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)計(jì)算；（2）設(shè)PQ=xm，根據(jù)正、余弦的定義表示出QH、BH，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)列式計(jì)算即可．解：（1）作PQ⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于H，由題意得，∠QBH=30°，∠PBH=60°，∴∠BQH=60°，∠PBQ=30°，∴∠BPQ=∠BQH﹣∠PBQ=30°；（2）設(shè)PQ=xm，∵∠BPQ=∠PBQ，∴BQ=PQ=xm，∵∠QBH=30°，∴QH=BQ=x，BH=x，∵∠A=45°，∴6+x=xx，解得x=2+6≈9．答：該電線桿PQ的高度約為9m．點(diǎn)評(píng):本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，掌握仰角俯角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn):解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題．分析:過點(diǎn)A作AE⊥CD于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BF⊥CD于點(diǎn)F，設(shè)高度為x米，在Rt△AEC中可得CE==，在Rt△BFD中有DF==x，根據(jù)AB=EF=CD+DF﹣CE列出方程，解方程可求得x的值．解：過點(diǎn)A作AE⊥CD于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BF⊥CD于點(diǎn)F，設(shè)高度為x米∵AB∥CD，∴∠AEF=∠EFB=∠ABF=90°，∴四邊形ABFE為矩形．∴AB=EF，AE=BF．由題意可知：AE=BF=x米，CD=500米．在Rt△AEC中，∠C=60°，∴CE==（米）．在Rt△BFD中，∠BDF=45°，∴DF==x（米）．∴AB=EF=CD+DF﹣CE，即500+x﹣x=541.91解得：x=99答：飛機(jī)行飛行的高度是99米．6．【思路分析】本題考查三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用．題中有角度沒直角三角形，先考慮過點(diǎn)C向AB作垂線CE構(gòu)造直角三角形，利用正切分別求得AB、AE，最后利用線段和差關(guān)系求解即可．解：過點(diǎn)C作CE⊥AB交AB于點(diǎn)E，則四邊形EBDC為矩形，∴BE＝CD，CE＝BD＝60米．(2分)根據(jù)題意可得，∠ADB＝48°，∠ACE＝37°.在Rt△ADB中，tan48°＝eq\f(AB,BD)，則AB＝tan48°·BD≈eq\f(11,10)×60＝66(米)；(5分)在Rt△ACE中，tan37°＝eq\f(AE,CE)，則AE＝tan37°·CE≈eq\f(3,4)×60＝45(米)，(8分)∴CD＝BE＝AB－AE＝66－45＝21(米)，∴乙樓的高度CD為21米．(10分)考點(diǎn):解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題．分析:（1）過點(diǎn)E作EF⊥BC于點(diǎn)F．在Rt△CEF中，求出CF=EF，然后根據(jù)勾股定理解答；（2）過點(diǎn)E作EH⊥AB于點(diǎn)H．在Rt△AHE中，∠HAE=45°，結(jié)合（1）中結(jié)論得到CF的值，再根據(jù)AB=AH+BH，求出AB的值．解：（1）過點(diǎn)E作EF⊥BC于點(diǎn)F．在Rt△CEF中，CE=20，，∴EF2+（EF）2=202，∵EF＞0，∴EF=10．答：點(diǎn)E距水平面BC的高度為10米．（2）過點(diǎn)E作EH⊥AB于點(diǎn)H．則HE=BF，BH=EF．在Rt△AHE中，∠HAE=45°，∴AH=HE，由（1）得CF=EF=10（米）又∵BC=6米，∴HE=6+10米，∴AB=AH+BH=6+10+10=16+10≈33.3（米）．答：樓房AB的高約是33.3米．8．解：設(shè)EC＝x，在Rt△BCE中，tan∠EBC＝eq\f(EC,BE)，則BE＝eq\f(EC,tan∠EBC)＝eq\f(EC,tan50°)≈eq\f(5,6)x(米)，在Rt△ACE中，tan∠EAC＝eq\f(EC,AE)，則AE＝eq\f(EC,tan∠EAC)＝eq\f(EC,tan45°)＝x(米)，∵AB＋BE＝AE，∴300＋eq\f(5,6)x＝x，解得：x＝1800(米)，∴這座山的高度CD＝DE－EC＝AF－CE＝3700－1800＝1900(米)．答：這座山的高度是1900米．14．【思路分析】對(duì)于解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用問題，首先要考慮把要求的線段和已知線段、角放到直角三角形中求解．如解圖，過點(diǎn)A作AE⊥CC′于點(diǎn)E，交BB′于點(diǎn)F，過點(diǎn)B作BD⊥CC′于點(diǎn)D.分別在Rt△AFB和Rt△BDC中根據(jù)坡度求得AF，BD的長(zhǎng)度，再在Rt△AEC中，根據(jù)勾股定理求得AC的長(zhǎng)度．解：如解圖，過點(diǎn)A作AE⊥CC′于點(diǎn)E，交BB′于點(diǎn)F，過點(diǎn)B作BD⊥CC′于點(diǎn)D.則△AFB，△BDC和△AEC都是直角三角形，四邊形AA′B′F，BB′C′D和BFED都是矩形．∴BF＝BB′－FB′＝BB′－AA′＝310－110＝200(米)，∴CD＝CC′－DC′＝CC′－BB′＝710－310＝400(米)．∵i1＝1∶2，i2＝1∶1，∴AF＝2BF＝400(米)，BD＝CD＝400(米)．又∵FE＝BD＝400(米)，DE＝BF＝200(米)．∴AE＝AF＋FE＝800(米)，第8題解圖∴CE＝CD＋DE＝600(米第8題解圖∴在Rt△AEC中，AC＝eq\r(AE2＋CE2)＝eq\r(8002＋6002)＝1000(米)．答：鋼纜AC的長(zhǎng)度為1000米．考點(diǎn):解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題．分析:由已知可得AB⊥PQ，∠QAP=60°，∠A=30°，AP=56海里，要求貨船的航行速度，即是求PB的長(zhǎng)，可先在直角三角形APQ中利用三角函數(shù)求出PQ，然后利用三角函數(shù)