圓中的計算問題小結(jié)

28.3圓中的計算問題

【知識梳理】（一）弧長和扇形的面積1.弧長的計算公式如果弧長為l，圓心角度數(shù)為n，圓的半徑為r，那么，弧長的計算公式為：．2.扇形的面積公式如果設(shè)圓心角是n°的扇形面積為S，圓的半徑為r，那么扇形面積為說明：⑴對于弧長公式和扇形面積公式，無須死記硬背，應(yīng)在明確其“來歷”的基礎(chǔ)上理解掌握．⑵在應(yīng)用弧長公式或扇形面積公式進行計算時，要注意公式中的的意義，表示1°的圓心角的倍數(shù)，因此不帶單位．⑶扇形的另一個面積公式與三角形的面積公式有些類似．形式基本一樣，可以聯(lián)系起來記憶．

（二）圓錐的側(cè)面積和全面積如圖，我們把圓錐底面圓周上任意一點與圓錐頂點的連線叫做圓錐的母線．連結(jié)頂點與底面圓心的線段叫做圓錐的高．如圖，沿著圓錐的母線，把一個圓錐的側(cè)面展開，得到一個扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，而扇形的半徑等于圓錐的母線的長．圓錐的側(cè)面積就是弧長為圓錐底面的周長、半徑為圓錐的一條母線的長的扇形面積，而圓錐的全面積就是它的側(cè)面積與它的底面積的和．說明：⑴研究圓錐的側(cè)面積和全面積，必須先將其展開．圓錐的側(cè)面展開圖是扇形，這個扇形的半徑是圓錐的母線長，弧長是圓錐底面圓的周長．⑵若設(shè)圓錐的母線長為，底面半徑為，則圓錐的側(cè)面積就是其展開圖——扇形的面積，；圓錐的全面積是側(cè)面積與底面積的和，是．另外，知道扇形的半徑和弧長，還可以求得扇形的圓心角．

【典型例題】例1.如圖，一塊長為8的正方形木板ABCD，在水平桌面上繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到ADEF的位置，則頂點C從開始到結(jié)束所經(jīng)過的路徑長為（

）A.16；

B.16；

C.8；

D.4分析：在旋轉(zhuǎn)過程中，AC的長度保持不變，所以頂點C從開始到結(jié)束所經(jīng)過的路徑長是以A為圓心，AC長為半徑的90°的弧長，因為AC＝8，所以，，故選D．

例2.如圖，⊙A、⊙B、⊙C、⊙D互相外離，它們的半徑都是1，順次連結(jié)四個圓心得到四邊形ABCD，則圖中四邊形內(nèi)的四個扇形面積之和為（

）A.

2；

B.；

C.

；

D.

分析：根據(jù)題中的條件無法求出四個扇形的圓心角的度數(shù)，因而從整體考慮，可以發(fā)現(xiàn)四個扇形的圓心角分別是四邊形的四個內(nèi)角，所以四個扇形的圓心角的度數(shù)之和為360°，故選B．

例3.如圖，如果圓錐的底面圓的半徑是8，母線長是15，那么這個圓錐側(cè)面展開圖的扇形的圓心角的度數(shù)是

．分析：由圓錐的底面圓的半徑是8，可以求出底面圓的周長，也就是扇形CAB的弧長，再利用弧長公式即可求扇形的圓心角的度數(shù)．解：∵圓錐底面圓的半徑是8，∴∵母線長為15∵∴∴圓心角的度數(shù)為192°．

例4.如圖，一把紙扇完全打開后，外側(cè)兩竹條AB和AC的夾角為120°，AB長為25cm，貼紙部分的寬BD為17cm，則貼紙部分的面積為_______．（結(jié)果保留π）分析：扇形面積公式有兩個，一是，另一個是，貼紙部分的面積實際是由兩個扇形的面積相減所得．由解意很容易列出關(guān)于所求貼紙部分的面積：＝187π（cm2）．

例5.如圖1，在正方形鐵皮上剪下一個圓形和扇形，使之恰好圍成圖2所示的一個圓錐模型．設(shè)圓的半徑為r，扇形半徑為R，則圓的半徑與扇形半徑之間的關(guān)系為A.R＝2r

B.R＝r

C.R＝3r

D.R＝4r分析：注意題中的“底面圓的半徑”與“扇形的半徑”是兩個不同的概念．要找到圓的半徑與扇形半徑之間的關(guān)系，需要得到一個等量關(guān)系，由圓錐的有關(guān)概念，根據(jù)圓錐底面圓的周長等于扇形的弧長，可得2πr＝πR∴R＝4r

∴答案選D

例6.如圖所示，半徑是10cm的圓紙片，剪去一個圓心角是120°的扇形（圖中陰影部分），用剩下部分圍成一圓錐，求圓錐的高和底面圓的半徑．分析：首先，根據(jù)題意畫出圓錐體的示意圖，從圖中可知，要求圓錐的底面圓的半徑需求出其所在圓的周長，而底面圓的周長為左圖中剩下扇形的弧長，這樣轉(zhuǎn)化到求弧長的問題；關(guān)于圓錐的高，只要由底面半徑與圓錐的母線長構(gòu)造直角三角形即可．解：如答圖中的甲、乙圖，∵n＝360°－120°＝240°，R＝10cm，如圖（甲）所示，

（cm）

如圖乙中連結(jié)O′P，則O′P⊥CD，設(shè)⊙O′半徑為r，∵，∴，∴r＝（cm）∴O′P＝（cm）

例7.已知矩形ABCD中，AB＝1cm，BC＝2cm，以B為圓心，BC長為半徑作圓弧交AD于F，交BA的延長線于E，求陰影部分面積．分析：要求陰影部分面積，只須將它轉(zhuǎn)化為求規(guī)則圖形的面積的和差，故需連結(jié)BF，解：連結(jié)BF∵BC＝2，F(xiàn)點在以B為圓心，BC為半徑的圓上∴BF＝2∵矩形ABCD，AB＝1，BF＝2∴∠ABF＝60°∴∴＝答：陰影部分面積為．

例8.如圖已知圓錐的底面半徑r＝10cm，母線長為40cm．⑴求它的側(cè)面展開圖的圓心角和表面積；⑵若一只甲蟲從A點出發(fā)沿著圓錐側(cè)面繞行到母線SA的中點B，它所走的最短路程是多少？

分析：⑴把圓錐的側(cè)面沿母線SA展開，如圖則的長為2πr＝20π，SA＝40所以20π＝所以n＝90°所以圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角是90°S表面＝S側(cè)＋S底＝＋π·102＝500π（cm2）⑵由圓錐的側(cè)面展開圖可見，甲蟲從A點出發(fā)沿著圓錐側(cè)面繞行到母線SA的中點B所走的最短路程是線段AB的長在Rt△ASB中，∠ASB＝90°，SA＝40，SB＝20所以AB＝＝20cm答：圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角是90°，圓錐的表面積是500π，甲蟲所走的最短路程長20cm．

例9.如圖，扇形OAB的圓心角為90°，分別以O(shè)A、OB為直徑在扇形內(nèi)作半圓，P和Q分別表示兩個封閉圖形的面積，那么P和Q的大小關(guān)系是（

）A.P＝Q；

B.P＞Q；

C.P＜Q；

D.無法確定．分析：本題中兩個封閉圖形的面積不易直接求，可用代數(shù)方法來求，根據(jù)圖形的對稱性，另兩個封閉圖形的面積相等，不妨設(shè)為M，再設(shè)OA＝2r，由圖形可得M＋Q＝，2M＋P＋Q＝，解得P＝Q，故選A．[方法探究]在一個問題不能直接解決的情況下，就要善于從另一個角度來尋找其它的途徑．本題是通過設(shè)未知數(shù)，把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，即通過方程思想，使問題迎刃而解．

例10.如圖，秋千拉繩長AB為3米，靜止時踩板離地面0.5米，某小朋友蕩該秋千時，秋千在最高處時踩板離地面2米（左右對稱），請計算該秋千所蕩過的圓弧長（精確到0.1米）？解析：由題意要求圓弧BF的長，只要求得圓心角∠BAF的度數(shù)即可，根據(jù)左右對稱，所以將∠BAC置于一個直角三角形中來計算其度數(shù)．過點B作BE⊥地面于點E，作BG⊥AD于點G，則有GD＝BE＝2，又AD＝AC＋CD＝3.5，所以AG＝1.5，則在RtΔABG中，AB＝3，AG＝1.5，所以∠BAC＝60°，所以∠BAF＝120°．則弧BF的長＝＝2π≈6.3（米）．

例11.如圖是某學校田徑體育場一部分的示意圖，第一條跑道每圈為400米，跑道分直道和彎道，直道為長相等的平行線段，彎道為同心的半圓型，彎道與同心的半圓型，彎道與直道相連接．已知直道BC的長為86.96米，跑道的寬為1米（＝3.14，結(jié)果精確到0.01米）⑴求第一條跑道的彎道部分的半徑；⑵求一圈中第二條跑道比第一條跑道長多少米？⑶若進行200米比賽，求第六道的起點F與圓心O的連線FO與OA的夾角∠FOA的度數(shù)．解析：⑴彎道的半圓周長為＝113.04（米），由圓周長L＝2r，所以半圓弧線長，則第一道彎道部分的半徑r＝＝36.00（米）⑵第二道與第一道的直跑道長相等，第二道與第一道的彎跑道的半徑之差為1米，第二道與第一道的彎跑道長的差即為兩圓周長之差，即2（r＋1）－2r＝2＝6.28（米）．⑶從第一道200米，是以A點為始點，第六道上的運動員需要跑86.96米的直道和113.04米的彎道，即弧長為113.04米，又第六道彎道半圓的半徑為41米，由弧長與半圓、圓心角的關(guān)系得n＝，所以∠FOA＝180°－158.05°＝21.95°．

【模擬試題】（答題時間：30分鐘）1.一個扇形的弧長是20πcm，面積是240π，則扇形的半徑是（）

A.6cm

B.21cm

C.24cm

D.

cm2.一個圓錐的側(cè)面積是底面積的3倍，這個圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角是（）

A.60°

B.90°

C.120°

D.180°3.底面圓半徑為3cm，高為4cm的圓錐側(cè)面積是（）A.7.5π

B.12π

C.15π

D.24π4.扇形的半徑OA＝20cm，∠AOB＝135，用它做成一個圓錐的側(cè)面，此圓錐底面的半徑是（

）

A.3.75cm

B.7.5cm

C.15cm

D.30cm5.如圖，⊙A，⊙B，⊙C兩兩不相交，且半徑都是0.5cm，則圓中的三個扇形即（三個陰影部分）的面積之和為（）

A.

B.

C.

D.6.一個圓錐的底面積是25π，母線長13cm，則這個圓