2023智軒其次基礎基礎導學橋 第七章 無窮級數(shù)

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第七章無窮級數(shù)

2023考試內(nèi)容(本大綱為數(shù)學1，數(shù)學2-3需要根據(jù)大綱作部分增刪)

常數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散的概念收斂級數(shù)的和的概念級數(shù)的基本性質(zhì)與收斂的必要條件幾何級數(shù)與p級數(shù)及其收斂性正項級數(shù)收斂性的判別法交織級數(shù)與萊布尼茨定理任意項級數(shù)的絕對收斂與條件收斂函數(shù)項級數(shù)的收斂域與和函數(shù)的概念冪級數(shù)及其收斂半徑、收斂區(qū)間（指開區(qū)間）和收斂域冪級數(shù)的和函數(shù)冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)簡單

冪級數(shù)的和函數(shù)的求法初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式函數(shù)的傅里葉（Fourier）系數(shù)與傅里葉級數(shù)狄利克雷（Dirichlet）定理函數(shù)在[－l，l]上的傅里葉級數(shù)函數(shù)在[0，l]上的正弦級數(shù)和余弦級數(shù)

2023考試要求

1.理解常數(shù)項級數(shù)收斂、發(fā)散以及收斂級數(shù)的和的概念，把握級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。2.把握幾何級數(shù)與p級數(shù)的收斂與發(fā)散的條件。

3.把握正項級數(shù)收斂性的比較判別法和比值判別法，會用根值判別法。4.把握交織級數(shù)的萊布尼茨判別法。

5.了解任意項級數(shù)絕對收斂與條件收斂的概念以及絕對收斂與收斂的關系。

6.了觖函數(shù)項級數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念。

7.理解冪級數(shù)收斂半徑的概念，并把握冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法。

8.了解冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)（和函數(shù)的連續(xù)性、逐項求導和逐項積分），會求一些冪級數(shù)在

收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)，并會由此求出某些數(shù)項級數(shù)的和。9.了解函數(shù)展開為泰勒級數(shù)的充分必要條件。

10.把握ex,sinx,cosx,ln(1?x)及(1?x)?的麥克勞林（Maclaurin）展開式，會用它們將一些簡單函數(shù)間接展開為冪級數(shù)。

11.了解傅里葉級數(shù)的概念和狄利克雷收斂定理，會將定義在[0，l]上的函數(shù)展開為正弦級數(shù)與余弦級數(shù)，

會寫出傅里葉級數(shù)的和的表達式。

一、三基層面及其拓展

?1.級數(shù)收斂充要條件：部分和存在且極值唯一，即：Sn?lim?uk存在，稱級數(shù)收斂。

n??k?1?2.級數(shù)的本質(zhì)：級數(shù)就是無限項求和，記為?un?u1?u2???un??，雖然在形式上是用

n?1m加法依次連成，但在意義上與有限項求和形式?un?u1?u2???um完全不同。

n?1從有限到無限發(fā)生了本質(zhì)的變化，如級數(shù)一般不滿足結合律（可任意加括號）和交換律（可任意變換相加順序），只有當級數(shù)收斂時才滿足結合律，當級數(shù)絕對數(shù)收斂時才滿足交換

?律。所以，無窮級數(shù)不能看成是有限項相加，?un?u1?u2???un??只是形式上的記號而

n?1325

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已。

無窮級數(shù)的特征就是收斂性，收斂性的定義就是部分和極限存在，只有在收斂時，才能探討無窮級數(shù)的性質(zhì)。研考數(shù)學需要把握的級數(shù)對象分為三類：常數(shù)項級數(shù)（正項、負項、交織和任意項），函數(shù)項級數(shù)（只要求把握冪級數(shù)），傅里葉級數(shù)。研究常數(shù)項級數(shù)首先是研究正項級數(shù)（又稱不變號級數(shù)，由于正項級數(shù)的全部收斂性質(zhì)也代表負項級數(shù)）分為收斂和發(fā)散兩種；任意項級數(shù)（又稱變號級數(shù)，包含交織級數(shù)）如分為絕對收斂與發(fā)散，條件收斂與發(fā)散兩組，若任意項級數(shù)?un收斂，?un發(fā)散，則稱?un條件收斂，若?un收斂，則

n?1n?1n?1n?1n?????稱級數(shù)?unn?1??1?絕對收斂，絕對收斂的級數(shù)一定條件收斂。任意項級數(shù)（如?）加上nn???2?n?2??絕對值后就是正項級數(shù)，交織級數(shù)（如?n?2??1?nn）是任意項級數(shù)的特例，故判別它們的收斂

性，就必需首先考慮其絕對收斂性，這時，所有正項級數(shù)的判斂法都能使用。假使任意項級數(shù)不絕對收斂，原級數(shù)不一定發(fā)散，需要用其他方法判別，如對交織級數(shù)使用萊布尼茨定理判斂。而其它不絕對收斂的任意項級數(shù)類型一般使用拆項法或定義法，更繁雜的類型不是考研數(shù)學的范疇。級數(shù)收斂時，去掉有限個項不影響其收斂性，如去掉奇次項或偶次項（無限次），則會影響收斂性，如an?(?1)n1n，則?an收，?a2n發(fā)，。

3.任何級數(shù)收斂的必要條件是limun?0

n??n?k這是由于部分和Sn?nn?1k?uk?1?limSn?n???uk?1k?S

?uk??uk?1??uk?Sn?Sn?1?limuk?limSn?limSn?1?S?S?0

k?1k??k??k??????4．若有兩個級數(shù)?un和?vn，?un?s,?vn??

n?1n?1n?1n?1則

??①?(un?vn)?s??，??un?n?1n?1????????v???n??s????n?1??。

②?un收斂，?vn發(fā)散，則?(un?vn)發(fā)散。

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③若二者都發(fā)散，則?(un?vn)不確定，如?1,???1?發(fā)散，而??1?1??0收斂。

n?1k?1k?1k?1????已知級數(shù)???1?n?1????n?1??an?2,?a2n?1?5,求?ann?1n?1??。

解：?an=?a2nn?1n?1??n?1??a2n?1=?????1?an?n?1?n?1?a?2n?1??n?1??an?12n?1???2?5??5?8

5．下面三個重要結論及其證明方法具有代表性，請讀者反復歷練。

?①?(an?an?1)收斂?liman存在n?1n??證明：

n?(ai?1?n?an?1)??a1?a0???a2?a1??a3?a2?????an?1?an?2???an?an?1??an?a0

n??n???(an?1n?an?1)收斂?lim?an?a0??liman?a0??liman?n??②正項（不變號）級數(shù)?an收?結論。證明：

??a收，反之不成立，假使不是不變號級數(shù)，則無此2n?n?an?1收斂?liman?0?an?1??an??2n?an??an?12n收斂

③?an2和?bn2都收斂?證明：

0?anbn???2n?anbn收，?ann或?bnn收1?a222n?bn2?12n?an?1和?bn收?n?1?2?an?1??bn1n2?收??n?1??anbn收

令bn?1n???n?1ann收,令an???n?1bnn收二、正項（不變號）級數(shù)斂散性的判據(jù)與常用技巧

1.達朗貝爾比值法327

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un?1un?l?1,收???l?l?1,發(fā)（實際上導致了lim?n?0)

n??????l?1,單獨探討（當?n為連乘時）limn??2.柯西根值法

?l?1,收?un?l?l?1,發(fā)（當?n為某n次方時）??l?1,單獨探討limnn??3.比階法

??nn??①代數(shù)式un?vn?unvn?v收斂??un?1n?1?收斂，?un發(fā)散?n?1??v發(fā)散

nn?1②極限式limn???A，其中：?unn?1和?vn都是正項級數(shù)。

n?1

??nn???A?0?un是vn的高階無窮小?un?vn??v收斂??un?1??nn?1收斂，?un發(fā)散?n?1?vn?1n發(fā)散。?A?0?un是vn的同階無窮小?un?kvn??A???vn是un的高階無窮小?vn?un??un?1?和?vn斂散性一致。n?1??nn?n

發(fā)散。?un?1n收斂??v發(fā)散??u?v收斂，n?1n?1n?1●三個常用于比較判斂的參考級數(shù)：

?a,收斂，r?1?na)等比級數(shù)：?ar??1?rn?0?發(fā)散，r?1???b)P級數(shù)：?n?1?1np?收斂，p?1???發(fā)散，p?11c)對數(shù)級數(shù)：?n?2??收斂，p?1??pnlnn?發(fā)散，p?1?1lnn!?1n例如，級數(shù)?n?21lnn!?1nlnn??lnii?1，故?n?21lnn!發(fā)散。

●斯特定公式：

328

2023智軒考研數(shù)學其次基礎導學橋系列高等數(shù)學n!?n??n?n?12n2?n????e,0??n?1?e?n?????lnn!?n(lnn?1)?nlimn!ennnn???limnen?n2?n?e?ennn12nn???limn??2?n???

●常用收斂快慢

正整數(shù)lnn?n?(??0)?an(a?1)?n!?nn由慢到快連續(xù)型lnx?x?(??0)?ax(a?1)?xx由慢到快例如根據(jù)上面的規(guī)律可以快速判斷l(xiāng)imn??annn?0等等。

4．積分判斂法若f?x??0，在?1,???上單調(diào)遞減，則?f?n?與反常積分?1n?1???f?x?dx同斂散。

5．對數(shù)判斂法ln1an?lnn1an?若

lnn?1???an?0,??0???a收斂。

n?1lnn?1?an?0???a發(fā)散。

nn?1ln1an??lnxlnnlnn??lnx??lnx?1?當x?e時，原級數(shù)收斂。

?1例如?a?an?nlnx?lnn?b??n?2?1lnlnn1an?lnn?lnlnnlnn?lnlnn?1，原級數(shù)收斂。

?lnn??lnn陳氏第17技大收小收，小發(fā)大發(fā)，同階同斂散。只有大收小發(fā)情形下，比較法才可判斂。