2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第八章立體幾何82空間幾何體的

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第八章立體幾何8.2空間幾何體的表面積與體積理

1．多面體的表面積、側(cè)面積

由于多面體的各個面都是平面，所以多面體的側(cè)面積就是所有側(cè)面的面積之和，表面積是側(cè)面積與底面面積之和．

2．圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式

圓柱圓錐圓臺側(cè)面展開圖側(cè)面積公式

3.柱、錐、臺和球的表面積和體積

名稱幾何體柱體(棱柱和圓柱)錐體(棱錐和圓錐)臺體(棱臺和圓臺)球

1．與體積有關(guān)的幾個結(jié)論

(1)一個組合體的體積等于它的各部分體積的和或差．(2)底面面積及高都相等的兩個同類幾何體的體積相等．2．幾個與球有關(guān)的切、接常用結(jié)論

表面積S圓錐側(cè)＝πrlS圓柱側(cè)＝2πrlS圓臺側(cè)＝π(r1＋r2)l體積S表面積＝S側(cè)＋2S底V＝Sh13S表面積＝S側(cè)＋S底13V＝ShV＝(S上＋S下＋S上S下)hS表面積＝S側(cè)＋S上＋S下S＝4πR2V＝πR343「優(yōu)質(zhì)」資料推薦下載1

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(1)正方體的棱長為a，球的半徑為R，①若球?yàn)檎襟w的外接球，則2R＝3a；②若球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，則2R＝a；③若球與正方體的各棱相切，則2R＝2a.

(2)若長方體的同一頂點(diǎn)的三條棱長分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝a＋b＋c.(3)正周邊體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3∶1.

判斷以下結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊台暬颉啊哩?(1)多面體的表面積等于各個面的面積之和．(√)(2)錐體的體積等于底面積與高之積．(×)(3)球的體積之比等于半徑比的平方．(×)

(4)簡單組合體的體積等于組成它的簡單幾何體體積的和或差．(√)(5)長方體既有外接球又有內(nèi)切球．(×)

(6)圓柱的一個底面積為S，側(cè)面展開圖是一個正方形，那么這個圓柱的側(cè)面積是2πS.(×)

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2

2

1．(教材改編)已知圓錐的表面積等于12πcm，其側(cè)面展開圖是一個半圓，則底面圓的半徑為()A．1cmC．3cm答案B

解析S表＝πr＋πrl＝πr＋πr·2r＝3πr＝12π，∴r＝4，∴r＝2cm.

2．某幾何體的三視圖(單位：cm)如下圖，則此幾何體的表面積是()

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B．2cm3

D.cm2

A．90cmC．132cm答案D

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B．129cmD．138cm

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解析該幾何體如下圖，長方體的長，寬，高分別為6cm,4cm，3cm，直三棱柱的底面是直角三角形，邊長分別為3cm,4cm，5cm，所以表面積S＝[2×(4×6＋4×3)＋3×6＋3×3]12

＋(5×3＋4×3＋2××4×3)＝99＋39＝138(cm)．

2

3．(2023·全國甲卷)體積為8的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球面的表面積為()A．12πC．8π答案A

解析由題意可知正方體的棱長為2，其體對角線23即為球的直徑，所以球的表面積為4πR＝(2R)π＝12π，應(yīng)選A.

14．《九章算術(shù)》商功章有題：一圓柱形谷倉，高1丈3尺3寸，容納米2000斛(1丈＝10

3尺，1尺＝10寸，斛為容積單位，1斛≈1.62立方尺，π≈3)，則圓柱底面圓周長約為()A．1丈3尺C．9丈2尺答案B

解析設(shè)圓柱底面半徑為r尺，高為h尺，依題意，圓柱體積為V＝πrh＝2000×1.62≈3×r×13.33，所以r≈81，即r≈9，所以圓柱底面圓周長為2πr≈54,54尺＝5丈4尺，即圓柱底面圓周長約為5丈4尺，應(yīng)選B.

5．(2023·成都一診)如圖為一個半球挖去一個圓錐后的幾何體的三視圖，則剩余部分與挖去部分的體積之比為________．

2

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2

2

2

32B.π3D．4π

B．5丈4尺D．48丈6尺

答案1∶1

13

解析由三視圖可知半球的半徑為2，圓錐底面圓的半徑為2，高為2，所以V圓錐＝×π×238141683

＝π，V半球＝×π×2＝π，所以V剩余＝V半球－V圓錐＝π，故剩余部分與挖去部分的體32333

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積之比為1∶1.

題型一求空間幾何體的表面積

例1(1)(2023·淮北月考)一個多面體的三視圖如下圖，則該多面體的表面積為()

A．21＋3C．21

B．18＋3D．18

(2)一個六棱錐的體積為23，其底面是邊長為2的正六邊形，側(cè)棱長都相等，則該六棱錐的側(cè)面積為________．答案(1)A(2)12

解析(1)由幾何體的三視圖可知，該幾何體的直觀圖如下圖，因此該幾何體的表面積為132

6×(4－)＋2××(2)＝21＋3.應(yīng)選A.

24

(2)設(shè)正六棱錐的高為h，側(cè)面的斜高為h′.11

由題意，得×6××2×3×h＝23，

32∴h＝1，∴斜高h(yuǎn)′＝1＋

2

3

2

＝2，

1

∴S側(cè)＝6××2×2＝12.

2

思維升華空間幾何體表面積的求法

(1)以三視圖為載體的幾何體的表面積問題，關(guān)鍵是分析三視圖確定幾何體中各元素之間的位

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置關(guān)系及數(shù)量．

(2)多面體的表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理．(3)旋轉(zhuǎn)體的表面積問題注意其側(cè)面展開圖的應(yīng)用．

(2023·大連模擬)如下圖的是一個幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為

________．

答案26

解析該幾何體為一個長方體從正上方挖去一個半圓柱剩下的部分，長方體的長，寬，高分別為4,1,2，挖去半圓柱的底面半徑為1，高為1，所以表面積為S＝S長方體表－2S半圓柱底－S圓柱12

＋S＝2×4×1＋2×1×2＋2×4×2－π×1－2×1＋×2π×1＝26.軸截面半圓柱側(cè)

2題型二求空間幾何體的體積

命題點(diǎn)1求以三視圖為背景的幾何體的體積

例2(2023·山東)一個由