第三章 模型的簡(jiǎn)化

第三章模型的簡(jiǎn)化本章圍繞模型如何簡(jiǎn)化展開(kāi)討論，第一部分是有關(guān)模型描述變量的簡(jiǎn)化方法，它適應(yīng)于各類系統(tǒng)模型的簡(jiǎn)化；第二部分是有關(guān)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的模型簡(jiǎn)化的時(shí)域方法，它包括“集結(jié)法”和“攝動(dòng)法”。3.1模型描述變量的簡(jiǎn)化模型描述變量是系統(tǒng)建模的基礎(chǔ)，它們選取的主要依據(jù)是建模的目標(biāo)，而它們的選取則決定了模型的復(fù)雜程度。建模過(guò)程中，在能滿足建模的前提下，系統(tǒng)的描述變量應(yīng)是愈簡(jiǎn)單愈好。模型描述變量一般有以下四種方法：1、 淘汰一個(gè)或多個(gè)實(shí)體、描述變量或相互關(guān)系規(guī)則；2、 隨機(jī)變量取代確定性變量；3、 粗化描述變量；4、 粗化描述變量和歸組實(shí)體及聚焦變量。3.1.1淘汰一個(gè)或多個(gè)實(shí)體、描述變量或相互關(guān)系原則1、淘汰實(shí)體或描述變量建模者決定淘汰那些次要因素，只要忽略的因素不會(huì)顯著地改變整個(gè)模型行為，相反卻使不必要的復(fù)雜了。淘汰一個(gè)實(shí)體可能要淘汰或修改其他實(shí)體：批淘汰一個(gè)實(shí)體，需要淘汰所有涉及這個(gè)實(shí)體的描述變量；淘汰一個(gè)描述變量，需要淘汰或修改涉及該變量的相互關(guān)系。

P53圖P53圖3.1例子2、相互關(guān)系的淘汰相互關(guān)系的淘汰通?？捎锰├占?jí)數(shù)展開(kāi)式的簡(jiǎn)化來(lái)實(shí)現(xiàn)，它可使一組數(shù)值變量之間的相互關(guān)系變得更加簡(jiǎn)潔。3.1.2隨機(jī)變量取代確定性變量在一個(gè)確定性模型中，相互關(guān)系的規(guī)則控制著整個(gè)描述變量的值。有些隨機(jī)值也是由相互關(guān)系的規(guī)則確定，為了使模型相對(duì)簡(jiǎn)化，可利用概率原理，用隨機(jī)變量來(lái)取代某些變量的相互關(guān)系規(guī)則，從而將影響變量轉(zhuǎn)換成隨機(jī)變量。P53頁(yè)書(shū)圖3.23.1.3粗化描述變量描述變量是描述模型實(shí)體條件的一種方法，變量可能出現(xiàn)的值表示在某一時(shí)間可找到這個(gè)實(shí)體的一種可能條件，其變量的范圍集是變量可能出現(xiàn)的所有值的集合。描述變量的范圍粗化也是一個(gè)簡(jiǎn)化過(guò)程。粗化有以下2種方法：1、 舍入.根據(jù)需要，將描述變量的范圍進(jìn)行一定的縮小。例如，記賬常用元角分，簡(jiǎn)化后只有元，角和分舍入。2、 歸類和非一致粗化。對(duì)于歸類和非一致粗化，簡(jiǎn)化前后的描述變量雖然還是一一對(duì)應(yīng)，但是它們所代表的物理意義已經(jīng)不同。見(jiàn)P54例子3.1.4歸組實(shí)體及聚焦變量把具有相同性質(zhì)的實(shí)體或描述變量聚焦起來(lái)，合并并成一個(gè)實(shí)體或描述變量，這稱為實(shí)體的歸組和聚焦。特點(diǎn)：在聚焦過(guò)程中信息不受損失，且合成變量的范圍粗化。P54例子3。13.2動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的模型簡(jiǎn)化---集結(jié)法在動(dòng)態(tài)模型簡(jiǎn)化的時(shí)域方法中，主要有“集結(jié)法”和“攝動(dòng)法”，這兩種方法分別是從經(jīng)濟(jì)理論與數(shù)學(xué)中引進(jìn)來(lái)的。系統(tǒng)的集結(jié)法是指用一組“較粗略的”狀態(tài)變量來(lái)描述系統(tǒng)的模型，但應(yīng)使這個(gè)系統(tǒng)的關(guān)鍵性不變。集結(jié)法的基本思想可用映射的觀點(diǎn)加以說(shuō)明，圖3.3表示了用集結(jié)法進(jìn)行模型降階過(guò)程的示意圖。在圖中，X、Y、Z和V為拓?fù)淇臻g；f是線性連續(xù)映射，它表示外生變量xex與內(nèi)生變量yeY之間的關(guān)系，即為原始高階模型；h和g表示集結(jié)過(guò)程，其中h:X-Z和g:Y-V;zeZ和yeY分別是集結(jié)起點(diǎn)變量和集結(jié)終點(diǎn)變量；連續(xù)映射k:Z-V表示簡(jiǎn)化模型或集結(jié)模型。用集結(jié)法簡(jiǎn)化模型的方法就是在給定原始高階模型f并以適當(dāng)方式確定h和g后求解k的方法。3.2.1精確集結(jié)法1、線性定常系統(tǒng)的集結(jié)過(guò)程和分析如圖3.4所示，對(duì)于一個(gè)線性系統(tǒng):

3.1x(t)=Ax(t)+Bu(t),x(0)=x0y(t)=Dx(t)3.1x(t)為(nX1)狀態(tài)向量，u(t)為(mX1)控制向量，y(t)為(rX1)輸出向量。A,B,D分別是nXn，nXm和rXn矩陣。設(shè)z(t)=Cx(t),z(0)=zo=Cxo,C為lXn(l<n)常數(shù)集結(jié)矩陣，Z為x的集結(jié)(1X1),設(shè)Rank|C|=1,集結(jié)系統(tǒng)為Z(t)=Fz(t)+Gu(t),z(0)=z0J(t)=Kz(t)把z(t)=Cx(t)代入，集結(jié)系統(tǒng)變?yōu)?.2Cx(t)=FCx(t)+Gu(t),j(t)=KCx(t)3.2對(duì)比式(3,1)和(3.2)，可得動(dòng)態(tài)精確性條件為：FC=CAG=CBKC=D定義誤差向量e(t)=z(t)-Cx(t),則e(t)=z(t)-Cx(t)=Fz(t)+Gu(t)-CAx(t)-CBu(t)=F(z(t)-Cx(t))+(FC-CA)x(t)+(G-CB)u(t)=Fe(t)+(FC-CA)x(t)+(G-CB)u(t)若滿足前二個(gè)條件，F(xiàn)C=CAG=CB，則e(t)=Fe(t)因此，對(duì)于誤差向量e(t),若e(0)=0,e(t)=0,此集結(jié)為動(dòng)態(tài)精確性集結(jié)；若e(0)#0，而為穩(wěn)定矩陣，則e(t)=Fe(t)，即漸進(jìn)滿足動(dòng)態(tài)精確性集結(jié)。2、集結(jié)矩陣確定方法(1)利用廣義逆由數(shù)學(xué)知識(shí)可知，任何矩陣P都有其廣義逆矩陣Pt(PPt)-1。因此，對(duì)于Rank[C]=r,有G=CBFC=CAnF=CAC+=CACt(CCt)-1G=CB因此但是(2)只要知道C就可求因此但是(2)這種方法要求知道A的全體特征根，這一要求對(duì)于大系統(tǒng)講是很不實(shí)用的。利用可控矩陣

對(duì)于原有系統(tǒng)，可控性矩陣WA=[BABA2B???An-1B];對(duì)于集結(jié)系統(tǒng)，可控性矩陣W=[GFGF2G???Fn-iG]。根據(jù)條件FG=CA和G=CB，可有W=CW。F FA若原系統(tǒng)可控，則有rank{W)=n，所以矩陣CAC=WW+=WWT(WWT)-1 3.3FAFAFAP573.2例子3.2.2模態(tài)集結(jié)法模態(tài)集結(jié)法，首先通過(guò)線性變換將高階系統(tǒng)方程化為模態(tài)形式，然后再簡(jiǎn)化，使得集結(jié)模型能精確地保留原高階系統(tǒng)的主要模態(tài)，以實(shí)現(xiàn)完全集結(jié)。對(duì)于式(3.1)的線性定常系統(tǒng)，如果其特征值為X.{A}，系統(tǒng)集結(jié)時(shí)希望保留r個(gè)優(yōu)勢(shì)特征值，即時(shí)間常數(shù)較大的優(yōu)勢(shì)極點(diǎn)。模態(tài)集結(jié)法就是用某些特征向量組成的矩陣作為集結(jié)的基礎(chǔ)，它的第一步工作就是將原有的狀態(tài)方程變換為模態(tài)形式。如果原系統(tǒng)的特征值不同，則模態(tài)形式的系統(tǒng)矩陣是對(duì)角陣，其對(duì)角元素為特征值的情況，則為分塊對(duì)角陣。一般情況下，首先將特征值按[郵A}]的模遞升次序排列。設(shè)mf為第i個(gè)特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量，模態(tài)矩陣由這些特征向量構(gòu)成，為M=[m1m2?叫]根據(jù)特征向量的定義，有AM=MJ,J為特征值對(duì)角陣或分塊對(duì)角陣。對(duì)于式(3.1)的餓線性定常系統(tǒng)，作線性變換x(t)=Mw(t),得到w(t)為狀態(tài)的模態(tài)形式方程布(t)=M-1AMw(t)+M-1Bu(t)因?yàn)镸-1AM=M-1MJ=J，并設(shè)K=M-1B，則模態(tài)形式方程1W(t)=Jw(t)+Ku(t)如果原系統(tǒng)的優(yōu)勢(shì)極點(diǎn)和劣勢(shì)極點(diǎn)的分界非常明顯，其模態(tài)矩陣M和模態(tài)形式方程可表示成wJ03wJ03(t)K1=11+1w2_0J2-也(t)K2MMM= 1 2MM1- 3 4」U(t)(3.4)1、戴維森法思路簡(jiǎn)單一一只考慮原系統(tǒng)的優(yōu)勢(shì)極點(diǎn)，完全忽略其他特征根的影響。這樣由式(3.4)，有w(t)=Jw(t)+PKu(t)=PJPtw(t)+PM-1Bu(t)1 11 1其中P：［I］0］是lXn變換矩陣，又有w()=M「氣(t)，得到集結(jié)方程w(t)=MPM-iAMPtM-ix(t)+MPM-1Bu(t)因此對(duì)于戴維森模態(tài)集結(jié)法，其集結(jié)矩陣F，G為F=MiPM-1AMPtM-i，G=MPM-iBP60例子3.33、奇達(dá)巴拉法3.2.3連分式集結(jié)法連分式集結(jié)法是一種比較流行的大系統(tǒng)降階方法，它是以系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)在s=0處的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式為基礎(chǔ)，研究多輸入多輸出系統(tǒng)的降階模型。在此，主要是利用連分式集結(jié)法來(lái)求單輸入單輸出線性時(shí)不變大系統(tǒng)在集結(jié)概念下產(chǎn)生的降階模型。對(duì)于線性定常系統(tǒng)x(t)=Ax+Bu 、(3.9)y(t)=Cx步驟：1、 通過(guò)線性變換，可將上式變成可控矩陣的第二標(biāo)準(zhǔn)型，得到標(biāo)準(zhǔn)型下的A,B,C。2、 采用修正的Routh-Hurwitz陣列求得P陣。3、 根據(jù)集結(jié)的要求選取S=［Ir,0］，主要定r的大小4、 根據(jù)已算出的P和R的大小，可求出集結(jié)后的系統(tǒng)為Z=Fz+Gu其中，F(xiàn)S=SPAP-i，G=SPBP65例子3.53.2.4鏈?zhǔn)郊Y(jié)法1、概念鏈?zhǔn)郊Y(jié)法是根據(jù)非集結(jié)系統(tǒng)的信息結(jié)構(gòu)，用“廣義海森堡表達(dá)式”來(lái)描述，集結(jié)過(guò)程中可舍去系統(tǒng)中的弱可觀測(cè)部分。對(duì)于線性定常系統(tǒng)x(t)=Ax+Buy(t)=Cx利用輸出方程作為集結(jié)方程，通過(guò)線性變換Zi=Cx對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行集結(jié)。zieRn^為集結(jié)模型的狀態(tài)變量，,Yn。集結(jié)模型為：1z1=F]]氣+Guy二氣如能滿足CA=F11C1和G1=C1B，集結(jié)模型能給出原系統(tǒng)輸入一輸出的精確描述。由于一般情況下，第一次集結(jié)不會(huì)得到完全集結(jié)模型，需要進(jìn)行第二次集結(jié)來(lái)擴(kuò)大集結(jié)模型的維數(shù)。這種重復(fù)集結(jié)的過(guò)程就是鏈?zhǔn)郊Y(jié)。2、鏈?zhǔn)郊Y(jié)方法（1）把系統(tǒng)通過(guò)線性變換，轉(zhuǎn)換成能觀標(biāo)準(zhǔn)型，把系統(tǒng)分成兩個(gè)串聯(lián)的子系統(tǒng)，一個(gè)能觀測(cè)的子系統(tǒng)，即為集結(jié)子系統(tǒng)，另一個(gè)為不可觀子系統(tǒng)，為剩余子系統(tǒng)。（2）步驟求變換矩陣F根據(jù)rank（Ci）=ri，通過(guò)狀態(tài)排序，將R表示成(3.17)C1=[C111C"，detC11豐0(3.17)得到一個(gè)變換矩陣T1：7C01C- n—r]-做線性變換Z=TiX得到z-FF]z「G]1=~11~121+1?zFFzG1-2」212222其中，z1為集結(jié)子系統(tǒng)，z2為剩余子系統(tǒng)。判斷系統(tǒng)是否完備，*戶廣0,有CA=F11C1此時(shí)大系統(tǒng)就可表示成兩個(gè)串聯(lián)子系統(tǒng)。~*F疽0，就進(jìn)行第二次集結(jié)，通過(guò)對(duì)剩余子系統(tǒng)的集結(jié)來(lái)擴(kuò)大集結(jié)子系統(tǒng)以尋求集結(jié)模型。~方法是把％=F2z2，同理再取變換矩陣，常取E2=I2,對(duì)剩余的子系統(tǒng)進(jìn)行集結(jié)。同理判斷第二次集結(jié)是完全的可終止鏈?zhǔn)郊Y(jié)過(guò)程。P69例子3.63.3動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的模型簡(jiǎn)化----攝動(dòng)法攝動(dòng)法的基本概念是略去模型內(nèi)部的某些相互作用，從而用一個(gè)低階模型來(lái)逼近系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，它是一種近似集結(jié)法，包括弱耦合和強(qiáng)耦合模型，也叫做非奇異攝動(dòng)法和奇異攝動(dòng)法。3.3.1弱耦合模型1、弱耦合系統(tǒng)的集結(jié)有的情況下，線性定常系統(tǒng)可表示成由兩個(gè)子系統(tǒng)組成的弱耦合系統(tǒng)X_A￡A一「x[B￡B一「U]1=1121+1121X￡AAX￡BBu1-2」21222122式中￡是個(gè)小的正耦合參數(shù)，七eRn1和u1eRm1分別為第一子系統(tǒng)的狀態(tài)和控制向量，TOC\o"1-5"\h\zxeR%和ueR%分別為第二子系統(tǒng)的狀態(tài)和控制向量，n+n=n,m+m=m，且A，2 2 12 12B的各個(gè)塊分為常數(shù)矩陣。顯然，當(dāng)￡=0時(shí)，系統(tǒng)可解耦為兩個(gè)獨(dú)立的系統(tǒng)X=Af+BU11 11x=AX+BU22 22當(dāng)￡非常小時(shí)，原有系統(tǒng)也可集結(jié)為以上兩個(gè)模型。這樣整個(gè)系統(tǒng)就可按兩個(gè)分散系統(tǒng)來(lái)進(jìn)行設(shè)計(jì)、仿真，可明顯減少計(jì)算量。2、弱耦合系統(tǒng)的判定條件對(duì)于上述系統(tǒng)設(shè)人｛A｝=｛尤,尤，...尤｝,i=1,2,…,n人｛A｝=｛尤，...尤｝,j=n+1,…,n+n2 勺+1 n 1 12人｛A｝=｛人，人，…人｝,k=1,2,…,n?表示氣的特征值位于復(fù)平面上以r為半徑的圓內(nèi)或圓上。r=maxl*｝|_：?表示氣的特征值位于復(fù)平面上以r為半徑的圓內(nèi)或圓上。?表示氣的特征值位于復(fù)平面上以R為半徑的圓內(nèi)或圓上。r=maxl人ja2｝|_j?表示氣的特征值位于復(fù)平面上以R為半徑的圓內(nèi)或圓上。?表示七之的中元素的模數(shù)最大值。%=max^(a?i?表示七之的中元素的模數(shù)最大值。ij￡12=maxlma21)k」一一一一表示a21的中元素的模數(shù)最大值。ij若滿足下列條件，這系統(tǒng)則稱為弱耦合系統(tǒng)：rR<<1 分離比(n1￡12￡21)/R2<<1P72例子3.73.3.2強(qiáng)耦合模型有一類系統(tǒng)，它的狀態(tài)變量之間耦合較強(qiáng)不允許被忽略，但特征值的模之間數(shù)值差別較大，也就是過(guò)渡過(guò)程速度上差別較大。1、 非奇異攝動(dòng)法在狀態(tài)方程的左側(cè)，對(duì)狀態(tài)向量的時(shí)間微分項(xiàng)乘以一個(gè)小參數(shù)x(t)=Ax(t)+Az(t)+Bu(t),x(t)=x (319)￡Z(t)=Ax(t)+Az(t)+Bu(t),z(t)=z21 2 2 0 0式中，xG曲和zG人勺為系統(tǒng)的狀態(tài)向量，UGRm〔為控制向量，且￡是一個(gè)小的正數(shù)，它表示系統(tǒng)中慢模態(tài)和快模態(tài)變化速度之比。若A2是穩(wěn)定且非奇異的，當(dāng)￡趨近0時(shí)x(t)=(A-AA-1A)x(t)+(B-AA-1B)U(t)122 21 1 122 2 0 (3.20)z(t)=-A-1Ax(t)-A-1BU(t)21 2 2這樣上式可看作系統(tǒng)的一個(gè)近似集結(jié)模型，即原系統(tǒng)的n個(gè)特征值可用現(xiàn)系統(tǒng)(A1-A12A2-1A21)的1個(gè)特征值來(lái)近似表示。對(duì)于式(3.19)非時(shí)變奇異攝動(dòng)系統(tǒng)，其對(duì)應(yīng)的狀態(tài)矩陣為「A A一A=A/￡A/￡1-21 2」過(guò)渡過(guò)程較快的模所對(duì)應(yīng)的元素(A21/￡，A￡)比上半部分大一個(gè)數(shù)量級(jí)，當(dāng)￡=0，矩陣A的元素為無(wú)界，￡從￡=0到￡>0的變化稱為奇異攝動(dòng)。2、 集結(jié)系統(tǒng)的校正從式(3.19