新初中數(shù)學(xué)銳角三角函數(shù)的經(jīng)典測(cè)試題及答案

新初中數(shù)學(xué)銳角三角函數(shù)的經(jīng)典測(cè)試題及答案一、選擇題1．如圖，在中，，，為邊上的中線，平分，則的值（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)角平分線定理可得AE：BE＝AC：BC＝3:4，進(jìn)而求得AE＝AB，再由點(diǎn)D為AB中點(diǎn)得AD＝AB，進(jìn)而可求得的值．【詳解】解：∵平分，∴點(diǎn)E到的兩邊距離相等，設(shè)點(diǎn)E到的兩邊距離位h，則S△ACE＝AC·h，S△BCE＝BC·h，∴S△ACE：S△BCE＝AC·h：BC·h＝AC：BC，又∵S△ACE：S△BCE＝AE：BE，∴AE：BE＝AC：BC，∵在中，，，∴AC：BC＝3:4，∴AE：BE＝3:4∴AE＝AB，∵為邊上的中線，∴AD＝AB，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線定理的應(yīng)用及三角函數(shù)的應(yīng)用，通過(guò)面積比證得AE：BE＝AC：BC是解決本題的關(guān)鍵．2．如圖，某地修建高速公路，要從地向地修一條隧道（點(diǎn)，在同一水平面上）．為了測(cè)量，兩地之間的距離，一架直升飛機(jī)從地起飛，垂直上升1000米到達(dá)處，在處觀察地的俯角為，則兩地之間的距離約為（）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】C【解析】【分析】在Rt△ABC中，∠CAB=90°，∠B=α，AC=1000米，根據(jù)，即可解決問(wèn)題．【詳解】解：在中，∵，，米，∴，∴米．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．3．如圖，對(duì)折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平，再一次折疊紙片，使點(diǎn)A落在EF上的點(diǎn)A′處，并使折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，得到折痕BM，若矩形紙片的寬AB=4，則折痕BM的長(zhǎng)為()A． B． C．8 D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)折疊性質(zhì)可得BE=AB，A′B=AB=4，∠BA′M=∠A=90°，∠ABM=∠MBA′，可得∠EA′B=30°，根據(jù)直角三角形兩銳角互余可得∠EBA′=60°，進(jìn)而可得∠ABM=30°，在Rt△ABM中，利用∠ABM的余弦求出BM的長(zhǎng)即可.【詳解】∵對(duì)折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，AB=4，∴BE=AB=2，∠BEF=90°，∵把紙片展平，再一次折疊紙片，使點(diǎn)A落在EF上的點(diǎn)A’處，并使折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，∴A′B=AB=4，∠BA′M=∠A=90°，∠ABM=∠MBA′，∴∠EA′B=30°，∴∠EBA′=60°，∴∠ABM=30°，∴在Rt△ABM中，AB=BMcos∠ABM，即4=BMcos30°，解得：BM=，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)及三角函數(shù)的定義，折疊前后，對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等；在直角三角形中，銳角的正弦是角的對(duì)邊比斜邊；余弦是角的鄰邊比斜邊；正切是角的對(duì)邊比鄰邊；余切是角的鄰邊比對(duì)邊；熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵.4．在課外實(shí)踐中，小明為了測(cè)量江中信號(hào)塔離河邊的距離，采取了如下措施：如圖在江邊處，測(cè)得信號(hào)塔的俯角為，若米，，米，平行于，的坡度為，坡長(zhǎng)米，則的長(zhǎng)為()（精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：，，）A．78.6米 B．78.7米 C．78.8米 D．78.9米【答案】C【解析】【分析】如下圖，先在Rt△CBF中求得BF、CF的長(zhǎng)，再利用Rt△ADG求AG的長(zhǎng)，進(jìn)而得到AB的長(zhǎng)度【詳解】如下圖，過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線，交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，延長(zhǎng)DE交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)G∵BC的坡度為1:0.75∴設(shè)CF為xm，則BF為0.75xm∵BC=140m∴在Rt△BCF中，，解得：x=112∴CF=112m，BF=84m∵DE⊥CE，CE∥AB，∴DG⊥AB，∴△ADG是直角三角形∵DE=55m，CE=FG=36m∴DG=167m，BG=120m設(shè)AB=ym∵∠DAB=40°∴tan40°=解得：y=78.8故選：C【點(diǎn)睛】本題是三角函數(shù)的考查，注意題干中的坡度指的是斜邊與水平面夾角的正弦值.5．一個(gè)物體的三視圖如圖所示，其中主視圖和左視圖是全等的等邊三角形，俯視圖是圓，根據(jù)圖中所示數(shù)據(jù)，可求這個(gè)物體的表面積為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由三視圖可知：該幾何體是一個(gè)圓錐，其軸截面是一個(gè)高為的正三角形．可計(jì)算邊長(zhǎng)為2，據(jù)此即可得出表面積．【詳解】解：由三視圖可知：該幾何體是一個(gè)圓錐，其軸截面是一個(gè)高為的正三角形．∴正三角形的邊長(zhǎng)．∴圓錐的底面圓半徑是1，母線長(zhǎng)是2，∴底面周長(zhǎng)為∴側(cè)面積為，∵底面積為，∴全面積是．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的計(jì)算，正確理解圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖與原來(lái)的扇形之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，理解圓錐的母線長(zhǎng)是扇形的半徑，圓錐的底面圓周長(zhǎng)是扇形的弧長(zhǎng)．6．如圖，矩形紙片，，，點(diǎn)在邊上，將沿折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處，、分別交于點(diǎn)、，且，則的值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得出DC=DE、CP=EP，由∠EOF=∠BOP、∠B=∠E、OP=

OF可得出△OEF≌AOBP(AAS)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出0E=OB、EF=BP，設(shè)EF=x，則BP=x、DF=4-x、BF=PC=3-x，進(jìn)而可得出AF=1+x，在Rt△DAF中，利用勾股定理可求出x的值，再利用余弦的定義即可求出cos∠ADF的值．【詳解】解：∵矩形紙片，點(diǎn)在邊上，將沿折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處，根據(jù)折疊性質(zhì)，可得：△DCP≌△DEP

，∴.DC=DE=4，

CP=

EP，

在△OEF和△OBP中

∴△OEF≌△OBP(AAS)∴ОE=OB，

EF=

ВР.設(shè)EF=x,則BP=x，DF=

DE-EF=4-X，

又∵

BF=OB+OF=OE+

OP=PE=PC,

РС=ВC-BP=3-x,

∴AF=AB-BF=1+x.

在Rt△DAF中，AF2+AD2=

DF2，即(1+x)

2+32=

(4-x)2解得:

x=∴DF=4-x=∴cos∠ADF=故選:

C.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及解直角三角形，利用勾股定理結(jié)合AF=1+x，求出AF的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．7．如圖，四邊形內(nèi)接于，為直徑，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接交于點(diǎn).若，，則的長(zhǎng)為()A．10 B．12 C．16 D．20【答案】D【解析】【分析】連接，如圖，先利用圓周角定理證明得到，再根據(jù)正弦的定義計(jì)算出，則，，接著證明，利用相似比得到，所以．【詳解】解：連接，如圖，為直徑，，，，而，，，，而，，，，在中，，，，，，，，，即，，．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，的圓周角所對(duì)的弦是直徑．也考查了解直角三角形．8．如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝10，E、F分別在邊BC，AD上，BE＝DF．將△ABE，△CDF分別沿著AE，CF翻折后得到△AGE，△CHF．若AG、CH分別平分∠EAD、∠FCB，則GH長(zhǎng)為（）A．3 B．4 C．5 D．7【答案】B【解析】【分析】如圖作GM⊥AD于M交BC于N，作HT⊥BC于T．通過(guò)解直角三角形求出AM、GM的長(zhǎng)，同理可得HT、CT的長(zhǎng)，再通過(guò)證四邊形ABNM為矩形得MN＝AB＝2，BN＝AM＝3，最后證四邊形GHTN為平行四邊形可得GH＝TN即可解決問(wèn)題．【詳解】解：如圖作GM⊥AD于M交BC于N，作HT⊥BC于T．∵△ABE沿著AE翻折后得到△AGE，∴∠GAM＝∠BAE，AB＝AG＝2，∵AG分別平分∠EAD，∴∠BAE＝∠EAG，∵∠BAD＝90°，∴∠GAM＝∠BAE＝∠EAG＝30°，∵GM⊥AD，∴∠AMG＝90°，∴在Rt△AGM中，sin∠GAM＝，cos∠GAM＝，∴GM＝AG?sin30°＝，AM＝AG?cos30°＝3，同理可得HT＝，CT＝3，∵∠AMG＝∠B＝∠BAD＝90°，∴四邊形ABNM為矩形，∴MN＝AB＝2，BN＝AM＝3，∴GN＝MN﹣GM＝，∴GN＝HT，又∵GN∥HT，∴四邊形GHTN是平行四邊形，∴GH＝TN＝BC﹣BN﹣CT＝10﹣3﹣3＝4，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換，解直角三角形，矩形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．9．如圖，4個(gè)形狀、大小完全相同的菱形組成網(wǎng)格，菱形的頂點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn)，己知菱形的一個(gè)內(nèi)角為60°，、、都是格點(diǎn)，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】直接利用菱形的對(duì)角線平分每組對(duì)角，結(jié)合銳角三角函數(shù)關(guān)系得出EF,的長(zhǎng)，進(jìn)而利用得出答案．【詳解】解:連接DC，交AB于點(diǎn)E．由題意可得:∠AFC=30°,DC⊥AF,設(shè)EC=x,則EF=,∴,故選:A【點(diǎn)睛】此題主要考查了菱形的性質(zhì)以及解直角三角形，正確得出EF的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．10．如圖所示，中，，頂點(diǎn)分別在反比例函數(shù)與的圖象器上，則的值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】過(guò)A作AC⊥x軸，過(guò)B作BD⊥x軸于D，于是得到∠BDO=∠ACO=90°，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)得到S△BDO=，S△AOC=，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到=，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論．【詳解】解：過(guò)A作AC⊥x軸，過(guò)B作BD⊥x軸于D，則∠BDO=∠ACO=90°，

∵頂點(diǎn)A，B分別在反比例函數(shù)與的圖象上，∴S△BDO=，S△AOC=，∵∠AOB=90°，

∴∠BOD+∠DBO=∠BOD+∠AOC=90°，

∴∠DBO=∠AOC，

∴△BDO∽△OCA，∴，∴，∴tan∠BAO=.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)．解題時(shí)注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意掌握輔助線的作法．11．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，A（8，0），B（0，6），∠BAO，∠ABO的平分線相交于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作CD∥x軸交AB于點(diǎn)D，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）A．（，2） B．（，1） C．（，2） D．（，1）【答案】A【解析】【分析】延長(zhǎng)DC交y軸于F，過(guò)C作CG⊥OA于G，CE⊥AB于E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到FC＝CG＝CE，求得DH＝CG＝CF，設(shè)DH＝3x，AH＝4x，根據(jù)勾股定理得到AD＝5x，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠DCA＝∠CAG，求得∠DCA＝∠DAC，得到CD＝HG＝AD＝5x，列方程即可得到結(jié)論．【詳解】解：延長(zhǎng)DC交y軸于F，過(guò)C作CG⊥OA于G，CE⊥AB于E，∵CD∥x軸，∴DF⊥OB，∵∠BAO，∠ABO的平分線相交于點(diǎn)C，∴FC＝CG＝CE，∴DH＝CG＝CF，∵A（8，0），B（0，6），∴OA＝8，OB＝6，∴tan∠OAB＝＝＝，∴設(shè)DH＝3x，AH＝4x，∴AD＝5x，∵CD∥OA，∴∠DCA＝∠CAG，∵∠DAC＝∠GAC，∴∠DCA＝∠DAC，∴CD＝HG＝AD＝5x，∴3x+5x+4x＝8，∴x＝，∴DH＝2，OH＝，∴D（，2），故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，進(jìn)行的判定和性質(zhì)，解直角三角形，正確的作出輔助線構(gòu)造矩形和直角三角形是解題的關(guān)鍵．12．如圖，Rt△AOB中，∠AOB=90°，AO=3BO，OB在x軸上，將Rt△AOB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△RtA'OB'，其中點(diǎn)B'落在反比例函數(shù)y=﹣的圖象上，OA'交反比例函數(shù)y=的圖象于點(diǎn)C，且OC=2CA'，則k的值為（）A．4 B． C．8 D．7【答案】C【解析】【詳解】解：設(shè)將Rt△AOB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至Rt△A'OB'的旋轉(zhuǎn)角為α，OB=a，則OA=3a，由題意可得，點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（acosα，﹣asinα），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2asinα，2acosα），∵點(diǎn)B'在反比例函數(shù)y=﹣的圖象上，∴﹣asinα=﹣，得a2sinαcosα=2，又∵點(diǎn)C在反比例函數(shù)y=的圖象上，∴2acosα=，得k=4a2sinαcosα=8.故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查反比例函數(shù)與幾何圖形的綜合問(wèn)題，解此題的關(guān)鍵在于先設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和三角函數(shù)設(shè)出點(diǎn)B'與點(diǎn)C的坐標(biāo)，再通過(guò)反比例函數(shù)的性質(zhì)求解即可.13．如圖，在正方形中，，點(diǎn)在的邊上，且，與關(guān)于所在直線對(duì)稱(chēng)，將按順時(shí)針?lè)较蚶@點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°得到，連接，則的值是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】過(guò)點(diǎn)E作，交AB于H，交CD于G，作于N，首先證明，則有，設(shè)，則，，在中利用勾股定理求出x的值，進(jìn)而可求的長(zhǎng)度，進(jìn)而可求FN，再利用勾股定理求出EF的長(zhǎng)度，最后利用即可求解．【詳解】過(guò)點(diǎn)E作，交AB于H，交CD于G，作于N，則，∵四邊形ABCD是正方形，∴，∴四邊形AHGD,BHEN,ENCG都是矩形．由折疊可得，，，，，．設(shè)，則，在中，，，解得或（舍去），，．．在中，由勾股定理得，，．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)，能夠作出輔助線是解題的關(guān)鍵．14．定義：在等腰三角形中，底邊與腰的比叫做頂角的正對(duì)，頂角的正對(duì)記作，即底邊:腰.如圖，在中，，.則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】證明△ABC是等腰直角三角形即可解決問(wèn)題．【詳解】解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，

∵∠A=2∠B，

∴∠B=∠C=45°，∠A=90°，

∴在Rt△ABC中，BC==AC，∴sin∠B?sadA=,故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．15．如圖，將一個(gè)小球從斜坡的點(diǎn)O處拋出，小球的拋出路線可以用二次函數(shù)y＝4x－x2刻畫(huà)，斜坡可以用一次函數(shù)y＝x刻畫(huà)，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A．斜坡的坡度為1:2B．小球距O點(diǎn)水平距離超過(guò)4米呈下降趨勢(shì)C．小球落地點(diǎn)距O點(diǎn)水平距離為7米D．當(dāng)小球拋出高度達(dá)到7.5m時(shí)，小球距O點(diǎn)水平距離為3m【答案】D【解析】【分析】求出拋物線與直線的交點(diǎn)，判斷、；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出對(duì)稱(chēng)軸，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)判斷；求出當(dāng)時(shí)，的值，判定．【詳解】解：，解得，，，∶7=1∶2，∴A正確；小球落地點(diǎn)距點(diǎn)水平距離為7米，C正確；，則拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，即小球距點(diǎn)水平距離超過(guò)4米呈下降趨勢(shì)，B正確，當(dāng)時(shí)，，整理得，解得，，，當(dāng)小球拋出高度達(dá)到時(shí)，小球水平距點(diǎn)水平距離為或，D錯(cuò)誤，符合題意；故選：D【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的坡度問(wèn)題、二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握坡度的概念、二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．如圖，一架飛機(jī)在點(diǎn)A處測(cè)得水平地面上一個(gè)標(biāo)志物P的俯角為α，水平飛行m千米后到達(dá)點(diǎn)B處，又測(cè)得標(biāo)志物P的俯角為β，那么此時(shí)飛機(jī)離地面的高度為()A．千米 B．千米 C．千米 D．千米【答案】A【解析】【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的概念進(jìn)行作答.【詳解】在P點(diǎn)做一條直線垂直于直線AB且交于點(diǎn)O，由銳角三角函數(shù)知，AO=PO，BO=PO，又AB=m=AO-BO=PO-PO=.所以答案選A.【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的概念，熟練掌握銳角三角函數(shù)是本題解題關(guān)鍵.17．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E、F分別在AB、BC上，且AE=BF=1，CE、DF交于點(diǎn)O，下列結(jié)論：①∠DOC=90°，②OC=OE，③CE=DF，④tan∠OCD=，⑤S△DOC=S四邊形EOFB中，正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【解析】分析：由正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，AE=BF=1，利用SAS易證得△EBC≌△FCD，然后全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，易證得①∠DOC=90°正確，③CE=DF正確；②由線段垂直平分線的性質(zhì)與正方形的性質(zhì)，可得②錯(cuò)誤；易證得∠OCD=∠DFC，即可求得④正確；由①易證得⑤正確．詳解：∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，∴BC=CD=4，∠B=∠DCF=90°．∵AE=BF=1，∴BE=CF=4﹣1=3．在△EBC和△FCD中，，∴△EBC≌△FCD（SAS），∴∠CFD=∠BEC，CE=DF，故③正確，∴∠BCE+∠BEC=∠BCE+∠CFD=90°，∴∠DOC=90°；故①正確；連接DE，如圖所示，若OC=OE．∵DF⊥EC，∴CD=DE．∵CD=AD＜DE（矛盾），故②錯(cuò)誤；∵∠OCD+∠CDF=90°，∠CDF+∠DFC=90°，∴∠OCD=∠DFC，∴tan∠OCD=tan∠DFC==，故④正確；∵△EBC≌△FCD，∴S△EBC=S△FCD，∴S△EBC﹣S△FOC=S△FCD﹣S△FOC，即S△ODC=S四邊形BEOF．故⑤正確；故正確的有：①③④⑤．故選D．點(diǎn)睛：本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識(shí)．此題綜合性較強(qiáng)，難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．18．如圖，已知⊙O上三點(diǎn)A，B，C，半徑OC=1，∠ABC=30°，切線PA交OC延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，則PA的長(zhǎng)為（）A．2 B． C． D．【答案】B【解析】【分析】連接OA，由圓周角定理可求出∠AOC=60°，再根據(jù)∠AOC的正切即可求出PA的值.【詳解】連接OA，∵∠ABC=30°，∴∠AOC=60°，∵PA是圓