第十七章 應(yīng)力分析

第十七章應(yīng)力分析第一節(jié)柯西應(yīng)力張量一、 連續(xù)介質(zhì)模型連續(xù)介質(zhì)力學(xué)研究物體的宏觀機(jī)械運(yùn)動(dòng)。雖然物體是由大量分子組成的，每個(gè)分子又在不停息地作無(wú)規(guī)則的熱運(yùn)動(dòng)，但決定物體宏觀運(yùn)動(dòng)特性的不是個(gè)別分子的行為，而是大量分子無(wú)序運(yùn)動(dòng)的統(tǒng)計(jì)平均結(jié)果。因此，可以不考慮物體內(nèi)部的分子結(jié)構(gòu)，將實(shí)際物體抽象為連續(xù)介質(zhì)模型。連續(xù)介質(zhì)是一種理論模型。該模型認(rèn)為物質(zhì)連續(xù)地分布在物體所占有的空間之內(nèi)，這樣就可以運(yùn)用數(shù)學(xué)分析工具來(lái)研究物體的宏觀機(jī)械運(yùn)動(dòng)。連續(xù)介質(zhì)的質(zhì)點(diǎn)，實(shí)際上表示一個(gè)物質(zhì)微塊，它的尺度和所研究問(wèn)題的宏觀尺度相比是充分小，小到在這微塊內(nèi)，每一物理量都可以看作是均勻分布的常量，因而在數(shù)學(xué)上能把這微塊當(dāng)作一點(diǎn)來(lái)處理。另一方面，又要求這微塊的尺度和分子運(yùn)動(dòng)的尺度相比是足夠大，使得微塊內(nèi)包含大量的分子，從而能對(duì)分子的運(yùn)動(dòng)作統(tǒng)計(jì)平均，以得到表征宏觀現(xiàn)象的物理景。對(duì)微塊尺度的這種宏觀小、微觀大的要求，實(shí)際上完全可以實(shí)現(xiàn)。例如，體積為10-9的固體，其中包含的分子個(gè)數(shù)為1012量級(jí)，其數(shù)量是非常龐大的。二、 體力和面力作用在連續(xù)介質(zhì)全部質(zhì)點(diǎn)上的力稱為體力。體力的大小正比子物體的質(zhì)量。作用在單位質(zhì)量上的體力稱為體力密度。重力、引力與電磁力都是體力。當(dāng)物體之間或物體內(nèi)部的各部分之間直接接觸時(shí)，作用子外表面或內(nèi)表面的質(zhì)點(diǎn)上的力，稱為面力。面力的大小和方向都和作用面的方向有關(guān)。作用在物體表向上的集中載荷、正壓力和摩擦力都是面力。當(dāng)方向一定時(shí)，單位面積上的面力稱為面力密度。三、 柯西應(yīng)力張量的定義設(shè)物體在外力的作用下處于平衡狀態(tài)，現(xiàn)假想沿某一截面把物體切開(kāi)，分成X.與比一副分，以、作為研究*寸象、如圖所示”彳蜀粗截面上任取??思C,在點(diǎn)G的鄰域取?微面元AS,它的面積為單位外法線矢量為叭設(shè)作用在面元AS上的內(nèi)力為As定義應(yīng)力矢魚(yú)P為

?17-1應(yīng)力圖172?17-1應(yīng)力顯然，點(diǎn)6,處的應(yīng)力:矢量『與微面元dS的大小無(wú)美，而與微面元dS的法線方向m有關(guān)：.通常i己微面元矢量時(shí)為dhLdSri 【17-2)顯然,物體在外力作用F'處于平衡狀態(tài)時(shí)的構(gòu)形為現(xiàn)時(shí)枸形“在實(shí)歐氏空間中取坐標(biāo)系0-勺叼珥，作取行于坐標(biāo)面的微長(zhǎng)方體元,如圖口-2所示-本書(shū)稱以坐標(biāo)系的基矢電為法線矢量，艮1平行于對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)平面的微面元為如彼坐標(biāo)胡筒稱為微坐標(biāo)面兀.設(shè)作用在此微坐標(biāo)面元上的成力矢最為趴&)?定義在電方向上的投影為應(yīng)力張量4的分量也’參看圖17U,，是有咖一p；pF <17?3日)在法線矢建為-蛭成微面元上的應(yīng)力關(guān)量應(yīng)為-P⑴,定為幾'二(一P普；；’?〔一 婦9=九 (17-3b)/稱為何西攻力張量或匚應(yīng)力張量，下標(biāo)*=丁時(shí)，隊(duì)*h稱為王應(yīng)力；，/時(shí)，處禰為切應(yīng)力或艦成力,通常也記為卬，式［17^3｝給出了外的大小和符號(hào),這?規(guī)定使得拉伸時(shí)的(E應(yīng)力為1E值,而壓縮時(shí)為負(fù)蘊(yùn)o應(yīng)*叫的第一個(gè)下標(biāo)表示相.聽(tīng)作用的微坐標(biāo)而兒的法線方向，m第一個(gè)卜標(biāo)則表書(shū)相本身的作用方向..由式《部頃河得=事濾」 (17-4)斜截面上的應(yīng)力矢景設(shè)G是現(xiàn)時(shí)構(gòu)形中的任一點(diǎn),旦在E坐標(biāo)系.gg中危C處的應(yīng)力張量。為己知，即己知過(guò)點(diǎn)C的全部應(yīng)力分量物'在點(diǎn)C的微小鄰域內(nèi)作一法線為任一單位矢量帷的斜截面’得一微四面體GABCt.如割17-3所示o設(shè)斜截面7L的面積為dS,作用「?其I.的力為p")d$.、倫法線-四的羸坐標(biāo)面花，.的作用力為-?.在d島，d，4是d5在味坐標(biāo)平:面「的投影，即匿173輪或面匕誠(chéng)病力矢景c=.rijtd5,n^-n-e*匿173輪或面匕誠(chéng)病力矢景W點(diǎn)。處的停力密度為兒加速度為g由牛頓第二定律可得di^dr1-p1 -ptj.idS；-fodv(17-6)式中,也二h(15/3,h為點(diǎn)一C到斜面的距離.則h與min■由式(17-5〕.上戒^邊除以亦，并令微叫血體無(wú)嗎：-C點(diǎn).攻馳限哽尚P'"'\二.上成-，如妙=NF(】7-為)(177h：(177h：P；-叫山(i-1.2,3)注意，上忒中的所足斜截面元上的成.力矢量/心在牌坐標(biāo)軸匕的分量，而PW則是肆微坐標(biāo)面元上的應(yīng)力矢量，二者不可混淆口已知p3是矢量’*為任一單位矢量，由張量識(shí)別定理和式(17-7)可知，＜7呈-個(gè)一階張量:.因此，由式(6-1為可知，如果一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在某一笛卡爾坐標(biāo)系中的應(yīng)力張量為己知，就可以求得該質(zhì)點(diǎn)存任一別的笛K兒坐標(biāo)系中的全部應(yīng)力分最于是，一點(diǎn)處的方方張量乂叫做該點(diǎn)的應(yīng)力伏態(tài)過(guò)小小布一個(gè)撤憶方普元,它的每個(gè)面元拾是微坐標(biāo)面無(wú)，參■看圖172，田力劄平衡條件木難推得皿=右姑 (存瑚)由此，何西應(yīng)力張信是一個(gè)二階實(shí)對(duì)稱報(bào)量，如果點(diǎn)m于物體的邊界面l式H7-7)就是應(yīng)力邊界條件第一節(jié)主應(yīng)力和主力向、其應(yīng)力的極值-■主應(yīng)力和主方向山于用兩應(yīng)力張量是一個(gè)一階實(shí)對(duì)稱張最.故(T有三個(gè)實(shí)r值卸三個(gè)對(duì)應(yīng)的且互相正交的主方向。應(yīng)力張量的主值稱為主應(yīng)力，主應(yīng)力就是該應(yīng)力張量的特征值，也是正應(yīng)力的極值；而主方向就是對(duì)應(yīng)的特征方向，也是正應(yīng)力的極值方向。于是，在應(yīng)力主軸坐標(biāo)系中，所有的剪應(yīng)力均為零?應(yīng)力張量是一個(gè)對(duì)角張量。在本書(shū)中，如果基礎(chǔ)坐標(biāo)系為E坐標(biāo)系O—xyz，則三個(gè)主應(yīng)力分別記為】，刁％二、剪應(yīng)力的極值1.斜截面上的剪應(yīng)力由式(17-7)可知，在圖17-3種所示的斜截面元上的法向應(yīng)力隊(duì)艮廣二lp3F=p：")，pS為%=*如fl=鞏宅；?〔Mt.)="K% (1，9)漢 p，=t.?！禾?,'l為兇婦)-叫療制圮如 U7-在主軸坐標(biāo)系中，有。斤二+療；+C73吊:二口；17/： {17-11)段 茂二吊房+書(shū)房+藥W二穌術(shù) (17U2)于是,斜藪面元的磐應(yīng)力r為r2=p2- - -(cyij)2 (17-13)2剪應(yīng)力的極值由式(17—13)可知，斜截面上的剪應(yīng)力是斜截面的單位法線矢量n的函數(shù)，即與斜截面的方向有關(guān)。一般把剪應(yīng)力有極值的平面稱為主剪應(yīng)力平面，稱剪應(yīng)力的極值為主剪應(yīng)力。由于標(biāo).凸一)，求式口7-13)5：這-約束條件下依極值等價(jià)于求函數(shù)小二9%；-C叮WF+I-朝"J (a)的丸條件極值'將式對(duì)外求偏導(dǎo)，舊得-2招孔疚a—4()(g叫?e、q兀〔上勺勿叫+禽湘相=2“殆-2S崩)％??A]=。 f)

代人式的前二式中，可得歹3〉［（.一。3）—2（.◎I—。3）『彳一Kg-內(nèi)）幾壬］用1-0

(iT?一g)[I.S—(73.)—2(ff]—(7g)M-2(Bj-無(wú))，耳」叱二代人式的前二式中，可得(由(d)方程組（d）的一組解是心暨=0,得聽(tīng)二±1,這是一對(duì)內(nèi)主平血.乾應(yīng)力為零，不是我們所需的解.如果少=0=的二八由式（1713）(由(d)-TjjTi；）-cr2（n^n；J2~J-cf2s0 （司這時(shí)式（d）無(wú)解口如果叫關(guān)tr?二四則由第一1式求得7（.）-±1Z/2,這時(shí)，與軸成4羅（或135。）的任一平面都是主剪應(yīng)力平面。一般情況下，設(shè)門(mén)*美產(chǎn)網(wǎng)，如果外產(chǎn)（），電時(shí)D,這時(shí)式（d）變?yōu)椋ā福阂弧?）—2，濟(jì)］—（?3）孔1一2（仔：2—^3）*七.、"（Ji）—2!t7：—t?3）只3—2二--

Z222

raH/k.-將式（f）的第一式減去第一式可求得切f而這與前提條件矛盾，故這種情況下式（d）也尢解口因此，牛與叱之中必有一個(gè)為零，這時(shí)二--

Z222

raH/k.-（0,±l/；^,±1/；2）,（'.±1福,0,30 成如果由式.）的第一式求出A并代入式（c）的第二，一式中，在5產(chǎn)皿尹皿的條件下，還可求得另一組得（土1/花，土*，,0〕 （h）將式（Q、（h）代入式（17-13）與代人（17-9）中，可求得主剪應(yīng)力及對(duì)應(yīng)的法向應(yīng)Zf,即正應(yīng)力分別為（17-14）綜二所述,上取應(yīng)力平面成對(duì)出現(xiàn)且互相正交，它們分別垂直一（17-14）綜二所述,上取應(yīng)力平面成對(duì)出現(xiàn)且互相正交，它們分別垂直一個(gè)主平面并與另外二個(gè)主平面成45。的夾角，如圖1"所示：第二節(jié)應(yīng)力偏張量、等效應(yīng)力一、應(yīng)力偏張量由式（16-33）可知，應(yīng)力張量a的二個(gè)正應(yīng)力之和是坐標(biāo):變換下的不變量,i殳d是二個(gè)止應(yīng)力的平均值，在。矽不坐標(biāo)系中，有（7"=~（+^）-y（（T1+<T2+i?3）=y（<5^'cr^） （17-15）式中，⑴?及丁3是主應(yīng)力口應(yīng)力偏張量，定義為式中,%稱為應(yīng)力球張量,也禰為靜力壓力由上式可知,成力偏張量也是一階對(duì)稱張量，設(shè)工是應(yīng)刀張量停的一個(gè)沖征女量,4是對(duì)扁的特征恒，則有o-U-ku山ff■-ffh-可得.印一。■此一蒞j■ii=一-(」一％?? :m上式表式,應(yīng)力偏張量妒與對(duì)應(yīng)的應(yīng)力張量有相同的特仙方向,目丁的特征值等于療的對(duì)應(yīng)特征值戚去平均成力％5力偏張量的主值稱為主偏應(yīng)力，因此,應(yīng)力偏限星與基荷的戍力強(qiáng)甘有相』的住方?向，fl土偏宏力等于對(duì)疵竹*應(yīng)力減去由此,不誰(shuí)得出應(yīng)力炳張量的三個(gè)不■量燈,介及乙為J'l=^1.―丁、■b沽二。h--竟己心W*： 〔1禮①工*J"二Jet［；等效應(yīng)力筒致直力。是笙性變形中的一個(gè)重要物埋量，在?！鍪雷鴺?biāo)系與主制坐標(biāo).系中,它的定義為 { —— 「- Jr , ，-r>—-c=yv((?s-cry)2+；w,—?dú)釬+<j.-cr,)2+6(r；十r*+rt,)二如:葉叫yH；.：廠【3亍 ：口-1知：￡式中,巧,皿及43為主應(yīng)力』如果用I站力偏張量*來(lái)表示-.則不難證得u二\|'~| 3八 {17-I8b^由「式可，知I.在單?苴應(yīng).〃狀態(tài)下,設(shè)tf}/0+電二二"0、劇右$■■-fjJ (17-19〉例如，試樣進(jìn)行單向均勻拉伸時(shí)就是單向應(yīng)力狀態(tài)，這時(shí)，治拉伸方向的正成力就是主應(yīng)Jj門(mén)〉0.且沔-力二。,故有廿二門(mén)c三、 成力莫爾圓應(yīng)力莫爾圓是應(yīng)力張量、即應(yīng)力狀態(tài)的--種幾何描述。設(shè)已知某應(yīng)力狀態(tài)的―個(gè)主應(yīng)力叫,仆在應(yīng)力主軸坐標(biāo)系代中，作-斜切微分面,其單位法向矢量為如在式(17-10),式(L7-U)及式門(mén)7?⑵中，將法向應(yīng)力或者說(shuō)正應(yīng)力土改寫(xiě)為『可有b二療占?『*沁-(叩汗 (K及 ^；rt.-I W：如果*二，即斜切微分平面平行于尷標(biāo)肱，或者說(shuō)該微分面垂百于0-{T2^3坐林平面，則有23R-23R-1.d-十22(d)f*.=?1-2?Aj—(^2^2+J)'及f*.=?1-2?Aj—(^2^2+J)'及 斗卜璃二1將式8）.展開(kāi)井利用式（J）可得 .房〔]-滔）2<72^n2re3=（^2■E)仃)再由式（d）可有（I-礎(chǔ)房）=（I-礎(chǔ)房）=S17-5應(yīng)力S17-5應(yīng)力莫爾圓得 （「藝）3七（十）⑴當(dāng)電二。或吧=。時(shí)，同理分別可得（「寸）+曰^『⑴式⑴，⑴反⑴所描述的圓稱為應(yīng)力莫爾圓.如圖17：所示.由式（h）可知，當(dāng)H]=0時(shí)，該斜切微分面上的應(yīng)力位于圓心為（*■四Z0）且半徑為0-材/2的圓周上口對(duì)于式⑴、（j）也有同樣的幾何解釋G第四節(jié)動(dòng)力學(xué)基本方程一、二個(gè)常用的引理…般說(shuō)來(lái).連通的區(qū)域可統(tǒng)禰為流渺,：流形可以是曲線、曲荀或空間區(qū)域二引理1沒(méi)f為定義在流形S上的連續(xù)函數(shù)，如果對(duì)干$上的任意區(qū)域。，恒有|/ds=0（as是區(qū)域d中的微元），則在s上恒有/=&插2設(shè)/是定義在流形S上的連續(xù)函數(shù)，如果對(duì)于定義在8上的任意的連續(xù)函數(shù)比，恒有[羅爵二饑姻在S上恒有廠0。這二》引理的證明方法相同，引理I的證明留給讀者作為緯習(xí)，以下證明引理％證用反證法，設(shè)在5中有一點(diǎn)瓦，使f（地j攔0,不仿設(shè)|[|于r在點(diǎn)為處連續(xù)*故在S上必有點(diǎn)互的鄰域D-\x]X-圳<o\C5存在,使得在z>中'有/a■近取連續(xù)函數(shù)"口下：在場(chǎng)二住||*-的,1壬必2；匚/>中.o=t;在區(qū)域D-Di)=|xI(5/2<\x-x^\^S\中】u=2(l-I士-中/廿)：于是,在Z)的邊界-頃-.1x-xol=d}h,有必二0|而在區(qū)域S-D中，因此，獨(dú)是定義在S上的正值的連續(xù)函數(shù)一于是有^/udS-i^/ud5>口血dS二，用3> 〔心)為>0這與口知條件矛盾，證畢二.質(zhì)理守恒定律質(zhì)鼠守恒定律指出、在運(yùn)動(dòng)和變形過(guò)程中,物體的質(zhì)量保持為常數(shù)Q設(shè)在初始構(gòu)形中.物體的密度為何二尹(夏，切).而在現(xiàn)時(shí)構(gòu)形中，物體的密度為在初始構(gòu)形中任取--體元d峋，在時(shí)刻《,它變?yōu)楝F(xiàn)時(shí)構(gòu)形中的體元dF,則有dV=JdV() (17-20)式中，J是變換(1&41)式的Jacobi行列式,，在初始構(gòu)形中任取一體積Vn,在任一時(shí)刻Z的現(xiàn)時(shí)構(gòu)形中，它變?yōu)轶w積K質(zhì)量守恒定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式為洛 =#"1x(X,t)?(I/dFp—"息"*。i廠5dK.L。 (17-21)日于體積處的任意性，由二式可得密叫)二。因此.0=常數(shù)=?在初始構(gòu)形中I死=KL厘.￡,-%!二福，得Jq=U且P二㈣，所以何=*，或佝d'A二Jpd1%=pd7 (17-22)設(shè)物體的初始構(gòu)形為10,在任一瞬時(shí)f的現(xiàn)時(shí)構(gòu)形為L(zhǎng)蝴對(duì)定義在F中的任--物理量乎，由1.式有名"(E)沖=#j機(jī)心,山頃印。二二L舞展"(1 I? Qnl JV得 g楓―t)fidV=冬pdV (17*23)UiJy 如i，1IJt三、動(dòng)力學(xué)基本方程設(shè)小叫》*3是慣性參照系，在物體的現(xiàn)時(shí)構(gòu)形中任取體積匕"表面為S,表面上任一點(diǎn)處的單位外法線矢量為刈應(yīng)力矢■:為沒(méi)V中任一點(diǎn)的體力密度為了,加速度為L(zhǎng)在打中任取一微體元d隊(duì)其質(zhì)量.為pdK由牛頓第二定律可得pd而二E"+pEd$ (曲將上式對(duì)整個(gè)體積礦積分.聽(tīng)得皿dF—t/dV+pE'ilS ■:b）-k ,V J5由于內(nèi)力互相抵消，故式⑴中的pG是作用在V的邊界S上的外力的應(yīng)力矢量、由式（I"）及散度定理可得]pr,-as-{"叩必心一「小*泌史心‘）也二；鬲.〔q由式（立⑴口j得【L」叫,-斗+鞏）仆〕*=u 〔已；由于體積v的任意悵故在現(xiàn)時(shí)構(gòu)形中有曲，「L料七+機(jī)二二就；一巧虹+戒二。"二1,2,3） 〔1724}I式禰為動(dòng)力學(xué)基本方?程.也稱為控刮方程,；如果忽略質(zhì)點(diǎn)的加速質(zhì)4上式就W誑=%,：十協(xié)二（）O二1,2,3） i17-15）式（17-24）稱為靜力平衡微分方程。在小應(yīng)變條件下，由于物質(zhì)坐標(biāo)與空間坐標(biāo)可以不加區(qū)別，故這時(shí)的式（17-24）或（17-25）是在初始構(gòu)形中進(jìn)行的。第五節(jié)虛功原理與虛功率原理一、變形功、變形功增量及變形功率物體在小應(yīng)變時(shí)的變形功，在任一微小變形過(guò)程元中的變形功增量，以及在任一變形瞬時(shí)的變形功率，是連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中的三個(gè)重要物理量。單位體積的變形功、變形功增量及變形功率分別稱為變形功密度、變形功增量密度與變形功率密度，且分別記為癡及卻，它們的定義為做="異在扁中 （17-26）dit=cJi.-de, 、. *牛在『中 （17-27）式中，島是物體的初始構(gòu)形；而V是物體的現(xiàn)時(shí)構(gòu)形『由后面的式（由-3L）與（17-33）可知,上面定義的叭血及mi的確具有能量密度禰能鼠率密度仆勺本質(zhì)和量綱“于是，任?物悻的宏形當(dāng)*.變彬功.增量dlF及變形力率麻為T(mén)OC\o"1-5"\h\z,r n n-審二!邳捉0，dW= =|港『It （r；JbP .1 、 '1二、邊界條件 _將物體的邊界分為桅和5戶二部分[在S…卜給定了位移。或速度瓦而在給定了焉服，存變量上部加」”表示紿.定值，則.'辿已條件口「匚為W廣兀.在y.上 U7-29j鳥(niǎo)=山或【.，在n上 （17-3（）j二、邊界條件特物體的沈界?妤.為脫和宮_：部分「U黑「粉，"7■仲移V或速度瓦竹在%_駝土了蘇一如.侖變度上部加“一”表示給定值’則邊K條件「"乓為方四一北，在普訂｝-. ，17-19）阿=齊或土--&，在SjJ-. （17-3?！橙摴υ砼c虛功率原理虛N原理與虛功率原理是連續(xù)介質(zhì)力-學(xué)的-個(gè)基本原埋-育先.亍嘵小脂史條件下的虛功原牌-（一）嘲功京理在物體的運(yùn)動(dòng)和變形過(guò)程中，義『T任一附加的虛位移場(chǎng)r泊〔汕=U,在桅上）,外力和上性力所作的虛功等于物體的內(nèi)應(yīng)力在虛應(yīng)變上所作的虛變形功o在初始構(gòu)形中，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為I氣M招處=fP（/t-fLtVotIr/sh.dS（17-31）、'％ ，rL f證對(duì)于任-附切的虛位移場(chǎng)洶由式n7-23）有1*1j1日￥,：?一戶；協(xié)虹lIF?—。 ：:導(dǎo)』■r-Jit式（16-覓）及4=尊礦虧推得、.；乩；二（屯腿）廠N=（氣&隊(duì)）j一*〔孔膈七+%&%.]=M〕.；-%灸u11」乂由位移約束條件（