第八章園軸的扭轉

第八章軸的扭轉工程構件一般可分為三類。第四章已指出：桿是某一方向尺寸遠大于其它二方向尺寸的構件，若桿件的軸線為直線，則稱為直桿。此外，若構件在某一方向的尺寸遠小于其它二方向的尺寸，稱之為板。若構件在X、y、z三個方向的尺寸具有相同的數(shù)量級，則稱為塊體。本課程主要討論直桿，這是一種最簡單的構件。如同4.4節(jié)所述，在空間任意力系的作用下，桿件截面內力的最一般情況是六個分量都不為零，其變形是很復雜的。為了簡化討論，我們將桿的基本變形分成為三類，即拉壓、扭轉、彎曲，如圖4.3所示。前面已經(jīng)討論了在軸向載荷作用下桿的拉伸和壓縮；現(xiàn)在再來研究桿的另一類基本變形，即扭轉問題。§8.1扭轉的概念和實例工程中承受扭轉的構件是很常見的。如圖8.1所示的汽車轉向軸，駕駛員操縱方向盤將力偶作用于轉向軸AB的上端，轉向軸的下端B則受到來自轉向器的阻抗力偶的作用，使轉向軸AB發(fā)生扭轉。又如圖8.2中的傳動軸，輪C上作用著主動力偶矩，使軸轉動；輪。輸出功率，受到阻力偶矩的作用，軸CD也將發(fā)生扭轉。圖8.2傳動軸圖8.2傳動軸以上二例都是承受扭轉的構件實例。由于工程中承受扭轉的構件大多為圓截面直桿，故稱之為軸。本章亦僅限于討論直圓軸的扭轉問題。

圖8.3所示為等截面直圓軸扭轉問題的示意圖。M圖8.3扭轉及扭轉角扭轉問題的受力特點是：在各垂直于軸線的平面內承受力偶作用。如在圖8.3中，圓軸AB段兩端垂直于軸線的平面內，各作用有一個外力偶M。，此二力偶的力偶矩相等而轉向相反，故是滿足平衡方程的。圓軸扭轉問題的變形特點是：在上述外力偶系的作用下，圓軸各橫截面將繞其軸線發(fā)生相對轉動；任意兩橫截面間相對轉過的角度，稱為相對扭轉角，以9表示。圖8.3中，9ab表示截面B相對于截面A的扭轉角。必須指出，工程中的傳動軸，除受扭轉作用外，往往還伴隨有彎曲、拉伸（壓縮）等其它形式的變形。這類問題屬于組合變形，將在M圖8.3扭轉及扭轉角§8.2扭矩與扭矩圖已知軸所傳遞的功率、轉速，可利用6.3節(jié)提供的“功率、轉速與傳遞的扭矩之關系”來計算作用于傳動軸上的外力偶矩肱°。M0給出以后，即可用截面法確定扭轉軸各橫截面上的內力。顯然，對于承受扭轉作用的軸，橫截面上的內力是作用于截面上的內力偶矩，稱之為扭矩。為確定圖8.4（。）所示之扭轉軸內任意橫截面C上的內力，可截取左段為研究對象，如圖8.4（b）所示。截面C上的內力（扭矩）記為mt，由平衡方程有：圖8.4截面上的扭矩吟Mt-Mo=0圖8.4截面上的扭矩即得： MT=M0若截取軸的右段為研究對象，如圖8.4(c)所示，同樣可求得截面C上的扭矩Mt=m0。Mt與mt是作用力與反作用力關系，其數(shù)值相等，轉向相反，作用在不同的軸段上。為了使截取不同研究對象所求得的同一截面上的扭矩不僅數(shù)值相等，而且符號也相同，可對扭矩符號作如下規(guī)定：采用右手螺旋法則，用四指表示扭矩的轉向，大拇指的指向與截面的外法線方向相同時，該扭矩為正，反之為負。應用此規(guī)則可知，圖8.4所示截面C之扭矩為正號。當軸上作用有兩個以上的外力偶矩時，應分段計算軸的扭矩。為了清楚地表示扭矩沿軸線的變化情況，通常以橫坐標表示截面的位置，縱坐標表示扭矩的大小，給出各截面扭矩隨其位置而變化的圖線，稱為扭矩圖。扭矩圖與軸力圖一樣，應畫在載荷圖的對應位置，一目了然。例8.1傳動軸如圖8.5(a)所示，已知轉速n=300r/min，主動輪人輸入功率NpA=400kW，三個從動輪輸出的功率分別為：NpB=NpC=120kW，NpD=160kW，試作軸的扭矩圖。解：(1)計算外力偶矩由(6-10)式知：M(kN.m)=9.55NP(kW)/n(r/min)故有：Ma=9.55x400kW/300(r/min)=12.73kN.mMb=Mc=9.55x120kW/300(r/min)=3.82kN.mMMMM:(a)'5090'Mt(N.m)圖8.5例8.1圖MMMMM:(a)'5090'Mt(N.m)圖8.5例8.1圖=5.09kN.m用截面法求截面扭矩BC段：沿截面1-1將軸截開，取左段為研究對象，沿正向假設截面扭矩為Mt1，如圖8.5(b)。由平衡方程可知有：￡Mx=MT1+MB=0得到： Mt1=-Mb=-3.82kN.mCA段：截取研究對象如圖8.5(c)所示，由平衡方程可知截面扭矩^2為：葉MT2+Mb+MC=0得到： Mt2=-(Mb+Mc)=-7.64kN.mAD段：沿3-3截面截開后取右段為研究對象，如圖8.5(d)所示。有平衡方程：葉MT3MD=0得到： Mt3=MD=5.09kN.m應當指出，在求以上各截面的扭矩時，采用了“設正法”，即截面扭矩按正向假設；若所得結果為負，則表示該扭矩的實際方向與假設的方向相反。本題計算結果表明BC段及CA段扭矩為負，AD段扭矩為正。作扭矩圖注意到軸各段內的扭矩均相同，則由上述結果不難作出如圖8.5(e)所示之扭矩圖?？梢?，該軸的最大扭矩IMt/x=7.64kN.m，作用在CA段上。討論一：扭矩圖的簡捷畫法類似于第四章所述軸力圖的簡捷畫法，對于扭矩圖，同樣可以從左端開始，按扭矩符號規(guī)定標出參考正向如圖8.6，圖中Mb為負，扭矩圖向下畫至3.82kN.m；BC段無外力偶矩作用，畫水平線；C處峰與參考正向相反，扭矩圖繼續(xù)向下行

3.82kN.m至7.64kN.m；CA段無外力偶矩作用，畫水平線；A處町與參考正向相同，扭矩圖向上行MA=12.73kN.m；AD段無外力矩作用，仍畫水平線；D處MD與參考正向相反，扭矩圖向下行MD=5.09kN.m；回至零，圖形封閉，滿足平衡條件EM頂0。這樣得到的結果必然是與截面法一致的。圖8.6扭矩圖的簡捷畫法，若將主動輪A與從動輪圖8.6扭矩圖的簡捷畫法，若將主動輪A與從動輪D的位置對換，作扭矩圖后可知，軸的最大扭矩在AD段，且為|MTlm/12.73kN.m。由此可見，合理安排主、從動輪的位置，可以使軸的最大扭矩值降低。例8.2試作圖8.7所示固定支承軸的扭矩圖。已知MB=40kN.m例8.2試作圖8.7所示固定支承軸的扭矩圖。已知MB=40kN.m，MC=MD=10kN.m。解：1）求固定端約束反力偶。設固定端反力偶MA如圖，有平衡方程:SMx=MA+Mb-MC-Md=0MT(kN?MA=Mc+MD—MB=—20kN?m2）在左端設置參考正向如圖。20J?10.4一。x20圖8.7例8.2圖3）畫扭矩圖。從左端開始，Ma為-20kN?mAB段畫水平線；B處MB為正，向上行40kN?m，至+20kN?m，再畫水平線;C處Mc為負，向下行10kN?m；D處MD亦為負，再向下行10kN.m，回至零。結果如圖所示?！?.3§8.3軸扭轉時的應力和變形8.3.1圓軸扭轉的應力公式分析研究變形體靜力學問題的主線，是研究力的平衡、變形的幾何協(xié)調及力與變形間的物理關系。與桿的拉伸壓縮相比較，差別主要在于圓軸扭轉時的變形有其特殊性。因此，我們首先討論圓軸扭轉時的變形幾何關系，找出應變的變化規(guī)律；然后再利用物理關系，找出應力分布規(guī)律；最后，根據(jù)靜力平衡關系導出應力計算公式。變形幾何關系(a)變形前(b)變形后圖8.8扭轉變形現(xiàn)象為建立圓軸扭轉時變形幾何關系，首先應通過試驗觀察圓軸扭轉時的變形現(xiàn)象。在圓軸表面作圓周線與軸向線，如圖8.8(a)(a)變形前(b)變形后圖8.8扭轉變形現(xiàn)象根據(jù)所觀察到的圓軸表面變形現(xiàn)象，可以設想圓軸由一系列剛性平截面(橫截面)組成，在扭轉過程中，相鄰兩剛性橫截面只發(fā)生相對轉動。于是可作出如下假設：圓軸的橫截面變形后仍保持為平面，其形狀和大小不變(半徑尺寸不變且仍為直線)，相鄰兩橫截面間的距離不變。這一假設稱為圓軸扭轉的剛性平面假設。這一假設是否正確，應當根據(jù)由此假設所導出的結論一圓軸扭轉的應力和變形計算公式，是否符合實驗結果來驗證。

依據(jù)上述剛性平面假設，注意到橫截面間的距離不變即軸向線的長度未發(fā)生改變，于是可知扭轉時圓軸橫截面上只有垂直于半徑方向的剪應力，而無正應力。為了研究圓周扭轉時剪應變的變化和分布規(guī)律，在圖8.9(a)所示圓軸上相距為dx的截面1-1和截面2-2間取楔形體如圖8.9(b)。(a)(a)圖8.9扭轉變形分析在扭矩的作用下，截面2-2相對于截面1-1轉動了一個微小角度邸。故截面2-2上的兩條半徑O2c和O2d都旋轉了同一角度d中，而變成為O2c，和O2d，；矩形abcd變成了平行四邊形abcd，如圖8.9(b)所示。由△acc’和^O2CC’可以看到，弧段cc'=rd^=ydx，所以有：Y=rd?/dx。式中Y是圖8.9(b)中a、b處直角的改變量，即半徑為r處(即軸表面處)的剪應變。同理，在截面上任一點(距截面中心?處)，由圖8.9(b)可給出剪應變丫?為：=pd?/dxp式中，丫「為距中心為?處的剪應變；d?/dx稱為軸單位長度上的相對扭轉角。由剛性平面假設還可知，圓軸的橫截面變形后仍保持平面，不僅形狀和大小不變，半徑也仍然保持為直線。所以，在同一橫截面上d?/dx為常數(shù)。故上式表明，圓軸扭轉時，橫截面上各點的剪應變Yp與該點到截面中心的距離p成正比。

物理關系對于線性彈性材料，剪圖8.10橫截面剪應力分布材料的剪應力（T）-剪應變?。╆P系同樣可以由實驗獲得。切虎克定律T=Gy成立，G為剪切彈性模量，與彈性模量E一樣，G也是材料常數(shù)。在線彈性物理關系下，剪應力t與剪應變y成正比，故橫截面上任一距截面中心0為p對于線性彈性材料，剪圖8.10橫截面剪應力分布t=Gy=Gpd^/dx（a）pp上式給出了扭轉圓軸橫截面上的剪應力分布規(guī)律。因為G是材料常數(shù)，在同一橫截面上d9/dx亦為常數(shù)，故截面上任意一點的剪應力Tp與該點到軸心的距離p成正比；由于剪應變發(fā)生在垂直于半徑的平面內，故剪應力方向與半徑垂直。顯然，剪應力T在橫截面上是線性分布的，在p=r的外圓周上剪應力T最大，且有:t=Grd^/dx在圓心p=0處，剪應力t=0，如圖8.10所示。靜力平衡條件上述剪應力Tp的表達式中，d9/dx尚為未知量，故還不能計算出剪應力的值。需要進一步討論力的平衡關系。在軸的橫截面上距圓心？處取微面積dA，其上作用的微內力為TpdA。如圖8.10所示。為保持力的平衡，截面所有微面積上的微內力對軸中心0處的力矩之總和，應等于作用在該截面上的扭矩MT，即jp?TdA=M將t=Gy=Gpd^/dx代入上式，并將常量。、d^/dx提到積分號外，有：pP

G?！籔2dA=Mt式中，』p2dA是只與橫截面形狀和尺寸有關的幾何量，用1p表示，即:G?！籔2dA=Mt式中，』p2dA是只與橫截面形狀和尺寸有關的幾何量，用1p表示，即:I=』p2dA---(8-1)Ip稱為橫截面的極慣性矩，量綱為［長度］4。相對扭轉角d^/dx即可寫為:T-dxGIP---(8-2)將上式代入（〃）式，即得到橫截面上任一距軸心為?處的剪應力公式為:T=——T

pIP---(8-3)上式再一次指出，圓軸扭轉時橫截面上任意一點的剪應力％與該點到軸心的距離p成正比；p越大，剪應力Tp越大；在截面中心p=0，Tp=0；當p=r時，位于橫截面外圓周邊各點處的剪應力最大，且有:TmaxT=——T-Ip WT---(8-4)式中，WT=Ip/r，稱為抗扭截面模量，量綱為［長度］3。綜上所述可知，圓軸扭轉時橫截面上的應力是剪應力，剪應力T在橫截面上線性分布，在截面中心p=0，Tp=0；在外圓周邊各點p=r，Tp=Tmax=MT/WT；^應力T與半徑垂直，其指向可由作用在該點上的微內力對軸心之矩與截面扭矩mt轉向一致來確定。對于空心圓軸，可以進行類似的分析，得到同樣的應力和變形公式，不同的只是極慣性矩1p和抗扭截面模量WT的計算。

8.3.2極慣性矩和抗扭截面模量的計算1?實心圓截面對于直徑為D的實心圓截面，可取一距圓心為？、厚度為dp的圓環(huán)作為微面積dA,如圖8.11(a)所示。則dA=2兀pdp,代入(8-1)式積分即得極慣性矩為：I=jD/22np3dp=^32---(8-5)(a)實心圓截面I=jD/22np3dp=^32---(8-5)(a)實心圓截面(b)空心圓截面(c)溥壁圓環(huán)圖8.11極慣性矩的計算抗扭截面模量wT則為：I

W=m=

tr16---(8-6)2.空心圓截面對于內徑為d,外徑為D的空心圓截面，同樣可取距圓心為？、厚度為dp的圓環(huán)作為微面積，如圖8.11(b)所示。其極慣性矩為:I=jD/22Kp3dp= ~d4)=-^(1-a4)p " ”---(8-7)d/2式中，a=d/D,是內徑與外徑之比?？古そ孛婺Ａ縿t為:W=詈（1—以4） ―（8-8）令a=0（即d=0），可得到實心圓截面的結果。3.薄壁圓環(huán)截面壁厚t與平均半徑R0之比t/R°<10的空心圓截面，可視為薄壁圓環(huán)截面。由于其內、外徑相差甚小，截面上各點p值可近似以平均半徑R0代替，如圖8.11（c）。故極慣性矩為：I=jp2dAaR2jdA=2兀R3t （8-9）PA 0A 0式中，平均半徑R0=（D+d）/2?？古そ孛婺Ａ縿t為：嗎牝2兀Rjt ---（8-10）8.3.3扭轉圓軸任一點的應力狀態(tài)前節(jié)已給出了圓軸扭轉時各橫截面上的應力。如圖8.12（。）所示，二相鄰橫截面上有剪應力I作用，I由（8-2）式給出。取相距dr的兩橫截面間任一點A處單位厚度的應力均為弓且方向如圖8.12(b)所示。微元左右二邊作用的剪力FQ=Tdy，大小相等，方向相反。顯然，要使微元保持平衡，則微元上下二面應有力(因此也有應力)作用，由于扭轉變形只是橫截面作剛性平面轉動，微元除形狀改變外并不發(fā)生尺寸的改變，故上下二面也只有剪應力寸。以C為矩心，列力矩平衡方程有：圖8.12扭轉圓軸上任一點的應力狀態(tài)圖8.12扭轉圓軸上任一點的應力狀態(tài)SMC(F)=Tdydx-Trdxdy=0得到： T，=To剪應力互等定理：物體內任一點處二相互垂直的截面上，剪應力總是同時存在的，它們大小相等，方向是共同指向或背離二截面的交線的。圖8.12(b)給出了扭轉圓軸中任一點的應力狀態(tài)，這種微元各面只有剪應力作用的應力狀態(tài)稱為純剪應力狀態(tài)。如第四章所敘，已知一點應力狀態(tài)的一種描述，即可得到任意斜截面上的應力。下面討論過A點45。斜截面上的應力。如圖8.12(c)所示，假定45。斜截面上的應力為正應力氣5。和剪應力t45O。注意到微元厚度為1，有力的平衡方程：SF%=Tdx+(T45Odx/cos45o)cos45o+(o45Odx/cos45o)sin45°=0SFy=Tdx-(T45Odx/cos45o)sin45o+(o45Odx/cos45o)cos45°=0解得：%o=fT 45O=0。同樣可求得與45o斜截面相垂直的135。斜截面上的應力為b135O2；t135O=0(請讀者自行驗證)，故A點的純剪應力狀態(tài)等價于轉過45O后微元的二向等值拉壓應力狀態(tài)(如圖8.12(d)所示)。綜上所述，扭轉圓軸中任一點的應力狀態(tài)是純剪應力狀態(tài)；在橫截面和過軸線的縱向截面上有大小相等的剪應力；外圓周處剪應力最大；在與圓軸縱向母線夾角為45。的斜截面上有正應力作用，且b=T；一些脆性材料(例如粉筆、鑄鐵等)承受扭轉作用時發(fā)生沿軸線45。方向的破壞，就是由此拉應力控制的。

8.3.4圓軸扭轉時的變形圓軸扭轉時的變形，可用相對扭轉角來度量。式(8-2)給出相距dx的兩橫截面間的相對扭轉角為:Md甲=——4dxGIp則相距l(xiāng)之兩截面間的相對扭轉角為:9=fld中=j，Mtdx0 0GIp若兩截面之間的扭矩叫不變，軸為等直桿(《不變)，且材料不變(G不變)，則在長l的軸段內MT/GIp為常量。上式之積分可給出軸扭轉變形的計算公式為:---（8-11）Ml---（8-11）——TGIp相對扭轉角9的單位為弧度(rad)。注意，若在長l的軸段內，扭矩叫、截面極慣性矩《、材料的剪切彈性模量G中有一個發(fā)生變化，則應分段計算。若以0表示單位長度軸的扭轉角，則O=d^/dx，在(8-11)式成立的相同條件下，有：---（8-12）0=9=Mt---（8-12）lGIp0的單位為弧度/米(rad/m)。式(8-11)與(8-12)中的GIp稱為圓軸的抗扭剛度，抗扭剛度G"取決于軸的材料和幾何。材料的剪切彈性模如越大、極慣性矩％越大，則圓軸的抗扭剛度GIp越大，扭轉變形越小。

例8.3空心圓軸如圖8.13(a)所示，在A例8.3空心圓軸如圖8.13(a)所示，在A、B、C三處受外力偶作用。已知MA=150N.m ， MB=50N.m ，Mc=100N.m，材料G=80GPa，試求：軸內的最大剪應力c；maxC截面相對A截面的扭轉角9aco解：1)作扭矩圖如圖8.13(b)所示。2)計算各段剪應力。雖然AB段扭矩較大，但BC段橫截面Mt(N.m)J.150(a)(b)圖8.13例8.3圖較小，故應分別計算出各段的最大剪應力，再加以比較。由(8-4)式有:AB段:c-M——T1WT1M T1 — 150*103 MPa-80.8MPa號[1-(18)4]16 24max1兀D3 116[1-§)4]1BC段：C -Mt2max2 WrT2 M^ 100X103 MPa-86.7MPa-D![1-(幺)4]^*223[1-(^)4]16 D 16 222可見，此軸最大剪應力出現(xiàn)在8。段。注意，這里用的是N-mm-MPa^位系。3)計算變形。注意(8-11)式的應用限制。當扭矩、材料、截面幾何改變時應分段計算各段的變形。這里，分別考慮AB、BC段的扭轉變形。C截面相對于A截面的扭轉角9ac，等于B截面相對于A截面的扭轉角9ab與C截面相對于B截面的扭轉角9b』勺代數(shù)和。扭轉角的轉向是由各段扭矩的轉向決定的，所以扭轉角的正負由扭矩的正負確定

。本例中AB段和BC段的扭矩均為正值，所以％B、％C亦為正值。于是有:Ml—GIP1150x10。本例中AB段和BC段的扭矩均為正值，所以％B、％C亦為正值。于是有:Ml—GIP1150x103 M^ = … =0.0842G^D^u-(4)4] 80x103丸x244[1-(史)4]32D 32 241MlTGIP2100x103 M^ = …… =0.0985G^D-[1-(4)4] 80x103KX224[1-凸4]32D 32 222中=^ +中=0.183red§8.4圓軸扭轉的強度條件和剛度條件8.4.1強度條件第六章給出的強度條件，要求最大工作應力（扭轉時是軸內的最大剪應力）不超過材料的許用應力（在此應是許用剪應力），以保證構件具有足夠的強度。所以，圓軸扭轉時的強度條件可寫為:tmax=MT/WrV［t］式中［t］為材料的許用剪應力。材料的許用剪應力［t］與許用正應力［。］之間一般有如---(8-13)下的關系:對于鋼材t]a(0.5-0.6)[b]對于鑄鐵t]a(0.8-1.0)[b]8.4.2剛度條件在某些情況下除需要滿足強度條件外，還要求對軸的扭轉變形加以限制，以滿足正常工作所必須的剛度條件。例如機床主軸的扭轉角過大會影響加工精度，內燃機軸的扭轉角過大易引起振動等。一般來說，凡有精度要求或限制振動的機械，都必須考慮軸的扭轉剛度。剛度條件通常以軸單位長度的最大扭轉角Omax不得超過單位長度許用扭轉角［0］表示，即：在某些情況下*［七工程中，許用扭轉角［0］常常采用的單位是［度/米］(o/m),而(8-12)式中的扭轉角是以弧度(rad)給出的。注意到單位的一致性，當［0］用的度/米給出時，圓軸扭轉的剛度條件應寫為：0 =虹?!8^<［0］ ----(8-14)maxGI兀單位長度許用扭轉角［0］的數(shù)值依據(jù)軸的精度要求確定，可由有關設計手冊查得。傳動精度要求高的軸，［0］=(0.25-0.50)。沛；一般傳動軸，［0］=(0.5-1.0)。沛；要求不高的軸，［0］=(1.0-2.5)。血。例8.4若例8.1中的傳動軸為鋼制實心圓軸，其許用剪應力［T］=30MPa，剪切彈性模量G=80GPa，許用扭轉角［0］=0.3o/m。試設計軸的直徑。解：注意到軸為等直徑圓軸，最大剪應力在扭矩最大的CA段且MT=7640N?m，故只需校核此段的強度與剛度即可。由強度條件有：T -M^_MX<rTiTmax=F^-瓶亦<［T］T得到：d>J 』a^=J16x7640m=0.109m=109mm\丸[T] 3丸x30x106由剛度條件有:得到:6 =』maxGIP.180?！狹J—.劉如]兀 G得到:6 =』maxGIP.180?！狹J—.劉如]兀 G冗d4/32兀,'32Mi zX180■32x7640x180: m=0.117m=117mm80X109X兀2X0.3可見，按強度設計要求d>109mm，按剛度設計要求dZ117mm。為保證所設計的軸既滿足強度條件，又滿足剛度條件，應選用其中較大者，即應有：d>max(109mm，117mm}=117mm設計時可取d=120mm。討論：若取a=0.5，試設計空心圓軸的直徑D。按強度設計，有：\M MIT= Tmax= Tmax <[T]max叩 冗D3(1—a4)/16T得到：D>J16Mtmax=J 16X7640 m=0.112m=112mm杼(1—a4)[t] 3兀x0.9375x30x106由剛度條件有：6=KL.1B

maxGI兀得到：Ml 180。 Tmax . GkD4(1—a4)/32 兀<[6]|32|MtLx180_] 32x7640x1804Gn2(1—aa4)[6]=\：80x109x兀2x0.9375x0.3=0.119m=119mm由上述結果知，按實心圓軸設計，需d>117mm；按a=0.5設計空心圓軸設計，要求DZ119mm。二者的重量比為：空心軸_[叨2/4—兀(aD)2/4]Ly_D2. = =—(1—a2)=u./o實心軸 (nd2/4)L d2可見，設計成空心圓軸，可減輕重量。a越大，意味著材料離軸線越遠，可承受的應力越大，發(fā)揮的作用越大，因此減輕的重量越多。但是應注意，孔的加工，尤其是長軸中孔的加工，將增加制造成本。例8.5聯(lián)軸節(jié)如圖8.14所示。軸徑D=1UUmm，四個直徑d=2Umm的螺栓對稱置于D]=32Umm的圓上，t=12mm。若[t]=8UMPh，[b,]=12UMPa。試確定許用的扭矩Mo(a)(b)(c)(a)(b)(c)圖8.14例8.5圖解：1)考慮軸的扭轉。設軸承受的扭矩為M，由扭轉強度條件有：T =MTmax= M—<[T]max Wt nD3/16得到：Mffl<nD3[T]/16=(1UU3nx8U/16)N.mm=15.7x106N.mm=15.7kN.m考慮螺栓剪切。沿剪切面切開，取右端部分研究，受力如圖8.14(b)所示。由平衡方程有：4Fq(D1/2)=M剪切強度條件為：c=Fq/(兀d2/4)<[c]故有：Fq=M/2D1<兀d2R]/4=(202X3.14X80/4)=25.12X103N=25.12kN得到：M剪<4Fq(D1/2)<4X25.12kNX0.16m=16.1kN.m考慮螺栓擠壓。除去螺栓，取右端部分研究，受力如圖8.14(c)所示。擠壓力由平衡條件確定，有：4F.(D/2)=M擠壓強度條件為：bj=F./A.=F./td<[bj]即：Fj<td[bj]=12mmX20mmX120MPa=28.8X103N=28.8kN得到：M擠<4X28.8kNX0.16m=18.4kN.m。為保證聯(lián)軸節(jié)安全工作，所允許使用的扭矩為：M=min{M扭，M剪，M擠}=15.7kN.m§8.5靜不定問題和彈塑性問題在討論桿的拉壓時，已經(jīng)指出：求解變形體靜力學問題的基本方程是平衡方程、變形幾何方程和反映材料力與變形關系的物理方程。只不過研究靜不定問題時,需要聯(lián)立求解上述方程；研究彈塑性問題時，物理方程需要用彈塑性應力應變關系描述。這種研究思維，同樣適用于扭轉問題。本節(jié)將用二個例題，對圓軸扭轉靜不

定問題和彈塑性問題的分析方法來進行說明和討論。例8.6如圖8.15（。）所示，兩端固定的圓截面桿A8,在C截面處受外力偶肱C作用，試求兩固定端的反力偶矩。解：1）受力分析:桿AB求兩固定端的反力偶矩。解：1）受力分析:桿AB上只有外力偶g作用，故二固定端約束力為反力偶，受力如圖8.15（b）。有平衡方程:(衡方程:(。)，即Ma+Mb=Mc---(1)2），即Ma+Mb=Mc---(1)2）變形幾何協(xié)調方程:桿受固定端約束，二端相對扭轉角為零%B=%C+電=0 ---(2)Ma(b)MbMC3）物理方程:3）物理方程:(c)扭轉時，材料的物理關系由剪切虎克定圖8.15例8.6圖理c=Gy描述。由此得到的扭矩與扭轉角的關系為:MaGt~扭轉時，材料的物理關系由剪切虎克定圖8.15例8.6圖理c=Gy描述。由此得到的扭矩與扭轉角的關系為:MaGt~；Pb+——B—GIP---(3)4）聯(lián)立求解:將（3）式代入（2）式，有:-MAa+MBb=0---(4)由（1）、（4）二式得到:ma=-b~bMc；本例再一次表明，無論靜定問題還是靜不定問題，求解的基本方程都是平衡方程、變形幾何協(xié)調方程和反映材料力與變形關系的物理方程，只不過研究靜不定問題時需要聯(lián)立求解上述方程而已，二者并無本質上的差別。例8.7圖8.16（。）所示空心圓軸承受扭轉作用。若材料服從如圖8.16（b）所示之理想彈塑性剪應力-剪應變關系，試估計軸開始發(fā)生屈服時的扭矩MS，及軸可承受的（。）（。）解：1）彈性階段：（mt<ms）彈性階段剪切虎克定律成立，有"Gy。8.3節(jié)的分析已給出截面剪應力分布如圖8.16（c）所示。且有：Tmax=Mt/Wt2）開始屈服：（Mt=Ms）當MT=MS時，Tmax=Tys，進入屈服，此時有：Zys=Ms/WT故屈服扭矩為：兀D3 兀R3M=咋=_^（1—a4）r=__（1-a以3）屈服階段：（mt>ms）扭矩到達屈服扭矩時，截面最外層首先進入屈服，如圖8.17（。）所示。對于理想彈塑性材料，已經(jīng)屈服的部分材料承擔的載荷不再進一步增加，I三Iys。其余彈性

部分的材料，承受的應力小于屈服應力，故扭矩還可以增大。隨著扭矩的進一步增大，截面上的剪應力由外向內逐漸進入屈服；未屈服的彈性材料部分，剪應力仍呈線性分布，如圖8.17(b)所示。極限扭矩：(虬=虬)直到全部材料進入屈服，截面上各處應力均到達％，如圖8.17(c)所示，載荷才不能繼續(xù)增加。此時的載荷就是軸所能承受的極限載荷，稱為極限扭矩。圖8.17理想彈塑性扭轉在圖8.17(c)中取微面積dA，微面積上作用的剪力為TysdA，其對軸心的矩為p%dA，在整個截面上積分，即得極限扭"為:(1-a3)=JtpdA=tf2兀p2dp=(1-a3)A r若空心圓軸a=0.5,則極限扭矩與屈服扭矩之比為:MU/MS=4(1-a3)/3(1-a4)=56/45對于實心圓軸，a=0，則有：兀R3屈服扭矩： Ms=kT亢, … 2兀R3極限扭矩： Mu=—^-T”可見，對于實心圓軸，極限扭矩比屈服扭矩大，MU/MS=4/3O

小結1） 扭轉時，橫截面上的內力是扭矩虬，其正負按右手螺旋法則規(guī)定。2） 圓軸扭轉時橫截面上任意一點的剪應力％與該點到軸心的距離p成正比；橫截面外周邊各點處的剪應力最大，且有：MrMmaxI ^W剪應力方向與半徑垂直，其指向由截面扭矩確定。截面中心處剪應力為零。3）內徑與外徑之比a=d/D的空心圓截面的極慣性矩為：32(132(1-a4)抗扭截面模量則為：W=四（1-a4）T16令a=0,即得到實心圓截面的結果。4） 若軸兩截面間的扭矩肱丁不變，軸為等直桿（Ip不變）且材料不變（G不變），則單位長度軸的扭轉角為：M…、0=中/1=g,（rad/m）PGIp是圓軸的抗扭剛度。GIp值越大，則軸的扭轉變形越小。5） 圓軸扭轉的強度條件為：匚max=MT/WT<[t]圓軸扭轉的剛度條件為：0 ='t.I'。＜[0] ([0]的單位為。/m)maxGI兀

思考題8-1.建立圓軸扭轉剪應力公式時，剛性平面假設起何作用8-2.已知二軸長度及所受外力矩完全相同。若二軸材料不同、截面尺寸不同，其扭矩圖相同否？若二軸材料不同、截面尺寸相同，二者的扭矩、應力是否相同？變形是否相同