新課堂九數上學用

關于的一元二次方程##$#(#$((# "'+#"#(##+#

!0'#$0(的一個解#則"的值為 !$#$#6(有一個解是(#那么"' "$!(#$!#0是方程#"!%0($#&$#&#$$

的值是 #$%#%!$題的兩"!程的條件#即必須滿足二次項系數不能為(#"""""""""#(非零根%%#則$%%的值 /0 #4#(05##(的一個根是(#則$' 0#$$#(為(#則$' 0下列方程中是關于!的一元二次方程的

4根據題意#列出方程#化為一般形式#并指出各項系數":#差:#求較長直角邊的長%!#年的年產值為萬元#由于技術改進##預值為#&萬元#求每年平均增長率%

( $!!0"!#"0 $##7#(#下列方程中#無論$取何值時#總是關于的一元二次方程的 !!###%#6(##!0#0$元旦節(jié)班上數學興趣小組的同學#互贈新年賀卡#每兩個同學都相互贈送一張#小明統計出全組共互送了6(張新年賀卡#那么數學興趣小組的人數是多少&設數學興趣小組人數為!人#則可列方程 !!0"( !0!0"6( !0"!#"# #二次項系數 #一次項 #常數項是 !"&#(方程#則"'#5如圖#將邊長為&的正方形#沿兩邊剪去陰影部分#剩余部分的面積為6#可列出方程為

!$校計劃在一塊長4米#寬5米的矩形草坪的中出面積為05平方米的矩形地塊栽花使這塊矩形草坪四周的草地的寬度都一樣#求四周草地的寬度應為多少%&'(寶樂牌童裝平#每件盈利&(元為了迎接六一##大銷###件童#均每0##裝應降價多少元& "#"#

#0(的一個實數根的倒數恰是它本身#則"的值是 %

#(05$ $ 或/ %或

#$0($ 么代數 8$#

的值 $$# $0"!0(的#0(#%的&## 一元二次方程的解#0直接開平方法和因式分解#$##類型有如下幾種'#$!("$!!$"!%($"!("$用因式分解法解一元二次方程的步!0將方程右邊化 !#將方程的左邊分解 的積!"令 #得兩個一元一次方程#再求解#用直接開平方法解下列方程'!0"&#(% !#"!#$"#!$#0將常數項移到等號右邊得&!6

#( '#'# '&#在實數范圍內定義一種運算(&)#其規(guī)則為$&##( $用直接開平方法解下列方程!0槡7槡7"#(%0&!$"!$0"#( !'#+'!! 得$'!#$$#或$'!#+!'0#!0# !"&!0!0用用因式分解法解下列方程!0"5!07!0!#"!#0"#%!0(%!$!05#!57"!0(#

!$"#5(%!$"6!#$"#7(+57(0(#+!!0 !#分解因式*!#0!0+*#0!0(#+$!#" (+!(!#% #0( 0 (#+!!0# 0式分解法解一元二次方程#經常會遇到方程兩邊含有相同因式的情況#此時不能將其約去移項將方程右為#再提取#否則!#用因式分解法解方程的關鍵是'一要把方#二要靈活分解因式!$對于較復雜的一元二次方程#應靈活根據方程的特點分解因式#&下列解方程正確的 解方程##得'##5(##0#0(#解得0

!0"6 &! ! '' !## 0 0和 0$下列說法正確的 !#7#7!#$7#'$#$$&#$#$&0!$#"&$###$"個'和##0(!0"0#0

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'##$$#(#的一個根#則$的值 !#"!方程$7"##7的根是 !#0!04!%"的根 5用因式分解法解下列方程"%#%

滿足!&!&(#$" 用直接開平方法解下列方程!0"##(%!#!0(!$"!$0"#("!#!&

#0!0"( #或 (或 00(小奇設計了一個魔術盒#當任意實數對!$#%"進入其中時#會得到一個新的實數$#%$%%7#例如!##"則"' 00閱讀材料#解答問題 !!0"(# 4用因式分解法解下列方程

!#!! #!!$

原方程化

(0(##$#(##( 0#'$##$ &##"#6(0##!&"#!#$"!$(##74%!5"!$0"#$0#(

00##'0#$&#解答問題"填空在由原方程得到方程!的過程中#利用 達到了降次的目的#體現 的數學思想"#$"##$(!#(05"#(-0(###(05#(0-(",的值#$把一個一元二次方程配

##!$"$ $% "#!&"# !! "#的形式從而求一元二次方程的解的方法叫做配方法$用配方法解一元二次方程的一般步!0二次項系數化 #移項'把常數項移到方程 $配方'兩邊同時加上 平方#從而化成!"#'!其中$"均為常數"的形式%!&當方程左邊是 #右邊是非負數或完全平方式時#利用直接開平方法求解#用配方法解下列方程'"#0( !#"$##(##&0&!#7###

&列方程"#6(##0!$"##0'$%

"方程兩邊同時除以$#得$

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(%配方得%

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# 點評!配方法是解一元二次方程的重要方法#熟練"""""""""0!#0(變形 !&"0- !&"07!&"#0- !&"#07

代數式#

的值恒小于

并求出

代數#下列配方有錯誤的 #0(#"7#54(#!$"0

##分析!可以用配方法證明0#- ##5(#%

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'#%$在橫線上填上適當的數#使等式成立 0 %#(!0"!4" !% "#0 ##7 ! "##7 ! "#

(##0 #當!'#該代數式的值最大#最大值為%##點評!用配方法解決一個代數式的值恒大小于零是常用的方法#

用配方法解下列方程!0"!#(05安徽##%&

7 #$#5( #&0(0#&$(時#原方程可變形 #" #"#-!#"0 !#"06#0(

!#"#0$%"0"#!#"!$!#0"'7# !0#! !0#! !#! $下列解題過程正確的 #6

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#"$(!0"60$#&#&$(#!#"-若#&7(0"&在橫線上填上適當的數#使等式成立#0! ! "#!#"#! !% "#

## !$"!"#! ! "!&"&#! !% "#7#(07#$( #$(!",形式是 !#0)0(."#(!#.#("!$!##. ( ! ! ! #$#則 #0#00&-(# ()'$)$#$###&#'$#"若)0(#$點評!用公式法解一元二次方程一定要先化為一般##(!#$%(時#方程的根 $$$$&的#直接代入公這種解一元二次方程的方法叫做公式法#$能根據一元二次方程的具體特征#靈活選擇方

方程根的情況#若方程有實數根#再代入求根公式求出方程的解###5( 0 0(#的解法#體會解決問題方法的多樣性#進一步體會轉化

! !$ 降次的數學思想用公式法解下列方程'"#0((##0#分析!用求根公式法解一元二次方程的關鍵是找"0#'�(#&$00(4+'! #0 #+### ##$(#0#$

0#'07#$! ! !7!#4 #其中$' #% '#%#%&$' #方程的根為%"!$0&$#"'"'(#則#%&$' #此方程的根 $用方程"##(+#&##0$4(+此方程無實數根##$!$"#!$'57!&"$#7!#$"(#用用適當的方法解下列方程$7("!&"&!&$(%!$"&7(%#&($#7$'7#+4#!'#%

'!##(#0#0(#0$(%#!70"#!70較簡便的方法依次 "#$!"#$!#"##$因式分解法!5用適當的方法解下列方程!0"&!$#"#$5"#$(!$"$#7!#0"(%$"!$( "!&"!&(#!$!0(+!'$#!'0% !#0"50 +0'###'#

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0#點評!在解一元二次方程時#應根據方程的特點 活地選用解題方法#一般較簡便的方法是因式分解法#7%##(%#5(%$5

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##0(則它的周長 0#

(4用適當的方法解下列方程!0"!$&&6$0(###&一元二次方程根的判別##"(!$!(")!#

#(07實數根的方程!0"(

—元二次方程中有兩個不相等 ##06(#(

#&( #0(情況的判別方法方程有兩個不相等的實數根

列—元二次方程沒有實數根 方程有兩個相等的實數根 方程沒有實數根

##0( ###( ##0(當當"!情況

不解方程請直接判斷下列方程根

!0"#!#$"0(0有兩個不相等的實數根!#有兩個相等的實數根0#$&(

'%!#"&

!$沒有實數根!$"7#$ !&"$#!般形##%&$&##%&$&的"##$'+$##!&0+方程有兩個不相等的實數根

解!*此方程是關于的一元二次方程+0(#即""0#'!#"$#"0!!#$!0"!0"'#("7#0"7&"整理得#"&

( "!%0時#原方程有兩個不相等0''

實數根 7( &+!0(&+方程有兩個相等的實數根#5(7'5+!75&5(#+方程沒有實數根##($''+$!0#+方程有兩個不相等的實數根!運用一元二次方程根的判別式來判斷方程根況的一般步驟是!0把不是一般形式的一元二次般形%!確定$$$的并求出#%"#次方程根的情況#

& #&0( 有兩個不相等的實數即當

時#原方程有兩個相等的實數根0

&0"#"7(<&#有實數根點評!此類題目需要根據一元二次方程的解的多少來確定方程中的字母系數的取值范圍但一定要注#%&$&的判別式的使用前提'方程必須是一元二次方程#

(則#"!5張家界"若關于!的一元二次方程#%#"-(無實數根#則實數-的取值范圍 !#(05撫順若關于!的一元二次方程%0"#0(##(等的實數根#則可取的最大整數為#!$!#!0求證'對于任意實數#方程總有兩個不相等的實數根%#若方程的一個根是0#求"的值及方程的另一個根#0!#0( !./有兩個不相等的實數 有兩個相等的實數只有一個實數 沒有實數#下列方程沒有實數根的 #&0 $#4$(##$( !#"!$"0##0(圍是 !"7 70 &#(05##$"#( #$(根#則整數$的最大值是 0#$%( "##0(無解#則$的取值范圍

"#!#&"0(#當"為何值時'!0方程有兩個不相等的實數根!#方程有兩個相等的實數根!$方程沒有實數根""#"!"(#$++并說明理由"#試判斷+的#%"+程的根##!0"0(確的 (0當'0#當(時#方程總有兩個不相等的實數"0##0( 有兩個不相等的實數個相等數#!#0(0#!0!0%#(# /$

"當"#&菱形的邊長%/ #!" #&

(#7 一元二次方程的根與系數的關$#5$( 根#則#"0的值等 $一元二次方程的根與系數的關#"!"'($"#它的兩根之間的關系是

/5 0 0 0# #0# 運#$利用一元二次方程的根與系數的關系求代數

0"#!,!的形式#這樣才方便使用根與系數的關系#如 #$!$"!"$#(0-'0#的值時#常見的代數式有"##

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0 0#0("求的取值范圍#實數使此方程的兩個實數根的倒數和等于(若存在#求出-的值%若不存在#請說明理由!##-!(這%0"#0#關系式#代入即可#解!!0*方程有兩個不相等的實數根+#$*0且(0<%$且(0即<%$且(!#不存在理由如下#

0!5#&(別為0$##則0"#等 00 & % #!' / 0 !"!0" #$$( # (#'0# 0

根為%##則另一個根 0

/0 7$#(05##0(<%且(矛盾#故使方程的兩個實數根的倒數 $為不存在&$!#""#(

#! 0 &下列關于一元二次方程的四種說法#你認為正確 0 0 ( "(立&下列結論正確的 "( "#"( 不存7!#(0$#"$#$#%,#"#(07'

#0(##(#&$"方和為-#則"'07#(07#""(($# 0##%#"0(圍是 #"$!#%

#!#"0(列結論正確的 0(

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時方程兩根互為相反 "#0($

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時方程有實數& "求實數的取值范圍

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5,(#!,# " " #0(#(!(取何方程都有一個負數#其中正確的填序號!%"##$$( 兩個實數根%0"0#&"#存#$%##00#0的整數值#4#(07#!##0若方程有實數根#求實數"的取值范圍 "$## $0"0##"## 實踐與探索第一課時$某種電腦病毒傳播的非?？烊绻慌_電腦被$利用一元二次方程解決相互循環(huán)問正確理解數量關系#區(qū)分單循環(huán)$雙循環(huán)以及輪流問題#列出一元二次方程求解#$利用一元二次方程解決增長率問注0注意變化率所依據的變化基礎#找出題中所含明顯或隱含的等量關系$!#與變化率有關的問題#可直接套用公式!0!減的次數環(huán)"#恰好需要打75場比賽#求共有多少支球隊參加比賽#場等量關系為'隊的個數!隊的個數%075#把相關數值代入計算即可#!設共有支球隊參加比賽由題意#!0"04#'-答'共有4支球隊參加比賽對于單循環(huán)問題握手$兩隊賽一場比賽"'設握手人數為#則握()次數為#%對于雙循環(huán)問題兩隊賽兩場比賽$#!0'#!0

染#經過兩輪感染后就會有40臺電腦被感染#若病毒得不到有效控制#三輪感染后#被感染的電腦有多少臺&在在紅五月讀書活動中社區(qū)計劃07(((元購買科普書籍和文藝物經初步了解#07#0##07(上增加了$其中$7如果每戶平均集資$07多$#$的值解!根據題意##(!$0"0(((0%7007((($(((#解得0((#$#7(!答'$的值為點評!解決增長率或減少率問題的關鍵是明確基礎量和變化后的量#&#(05六盤水"#(05年某市僅教育費附加就投

#用于發(fā)展本市的教育#預計到#(04年0在一次同學聚會上#若每兩人握一次手#一共握了&7次手#則參加這次聚會的同學一共有多少名&設參加這次聚會的同學一共有名#則根據題意可列方 !!0" #!0"7/0!0"&7 !0"&7#畢業(yè)典禮后#九年級!"班有若干人#若每人給全班的其他成員贈送一張畢業(yè)紀念卡#則全班送賀卡共006(張#九年級!0班人數 !$ $7 $5 $

#方程 -""-"-""-#((#=#年該農場擴大了種植面積#并引進新品種#使產量增長到5((((=已知今年種植面積的增長率是今年平均畝產量增長率的#倍#則今年平均畝產量的增長率為 5該產品總成$制造成本$銷售成本三部分#經##(0&為$0#(0&$別為&萬元0&((萬元#!0$的#并(年少萬元%!##該公司#(07年及#(05年增加#"7(0"#%了擴大銷售(05年的銷售成本在#(0&年的基礎上提高(0經過以上變革##(05&該產品總成本達到#0年該產品總成本的7#

7合肥大建設再創(chuàng)新高潮#繼(高架時代)后合肥即將邁入(地鐵時代)#(07年合肥市投入#((億元用于地下軌道交通建設#并計劃#(05年$#(0-年兩年累計再投入7#4億元用于地下軌道交通建設##列方程為 #704&到五月份營業(yè)額的月平均增長率為#-#(05#的年銷售額從#(0$年的萬元增長到#(07年的分率#40(#5(((=#今#并且引進新品種超級水)#04(((=#已知種植面積的增長倍#長率#0#(05恩施某商品的售價為0元連續(xù)兩次降0 # $5 04#某航空公司有若干個飛機場#每兩個飛機場之間都開共有飛機 !7 5 - 4#(05行###$月份$萬件設該快遞公司這兩個月投遞總件數的月平均

6元旦當天#小明將收到的一條短信#發(fā)送給若干人#每個收到短信的人又給相同數量的人轉發(fā)了這條短信長率

#

此時收到這條短信的人共有07人#則小明給其他5$!0#"5$!"5$!0"5$5$!"5$!"&某商品經過連續(xù)兩次降價#銷售單價由原來的0#7元降到4(元#則平均每次降價的百分率

發(fā)送的短信數量 0 00 0# 0$0(!#(07畢節(jié)"一個容器盛滿純藥液&(@#第一次倒出若干升后#用水加滿%第二次又倒出同樣體積的溶 007#以后資#作為一年年初投入的資金繼續(xù)經營##恰#多少&1%''年利潤年初投入的資金0((0"#0#第55#求一年的年獲利率#

7月7千克豬肉至少要花0元錢#那么今年年初豬肉的最低價格為每千克多少元&#"月日#豬肉價格為每千克&(元7月#0日#(0#(元的情況下#該天的兩種豬肉總銷量比7月日$加了$且儲備豬肉的銷量占總銷量的&#兩種豬0的總金額比7月日提高了($求$的值#(05府定的單價時#政府將投入儲備豬肉以平抑豬肉價格#07月豬肉價格不斷#7月初價格上漲了50某市民在今年## 實踐與探索第二課時0(#07%-7##(%$列一元二次方程解決圖形類的應用與幾何圖形有關的應用問題#應把握幾何圖形的

#07$面$體關系求出未知量與已知量間的內在聯系#根據關列方#再過程出題的解#但應注意求得的解應符合題意和實際意義#如圖$0#要建一個07(#約材料雞場的一邊靠著原有的一

#%07(#(#只有#0#07%當$%#0(#7##(#!!#"問#讓我們體驗到#中去和探索問題的能力##墻長為$#另三邊用竹籬笆圍成如果籬笆的長為$7#0雞場的長與寬各是多少

圖$

0#(07"04(的矩形活動場地#它的長比寬多00米#設場地的寬為米#則可列方程 !#墻的長度$對題目的解起著怎樣的作用!已#設其寬即可表示其#顯#的一邊長不能超過$#否則問題無解#解0"如圖$0#設垂直于墻的一邊長為#"#!$7"((!-

!00" ##0"(!00"04( ##0"(#(07個邊$:##知盒$:$#!"0: 000

第三邊可能構成一個三角形###(個長$($寬#(:的長方形/ 上修建三條同樣寬的通道#使其

0#!'% 0!平行#其余部分種花草要使每 圖##%$

$&(點4不重合#塊花草的面積都為-4##那么通道的寬應設計 成多少米&設通道的寬為#由題 &$%$有一塊矩形的土地該土地長$##現設住宅#乙建丙開辟成公司若已知丙地的面積$#平方米#你能算出的值嗎圖$如圖$&在矩形/*'#$$$$$$$$所在運動邊的另一個端點時#運動即停止已知在相同3:1##5#圖$"$"當以$$$平行四邊形&$$41/#####3!#$1!#即"#3+#$#來求的值%#$$$5形#341在#/53%15/+3根#!!0153與點4+'$#(75##734""知#點3只能在點4的左側(!$"0(!##!0###"當點1在點5的右側時#"#0(##&#&#&$$$邊形是平行四邊形#!動#一#其化而變化的量用含有未知數的代數式表#通過這些代數式之間的數量關系建立方程求解

#方法稱為參數法與動點關聯的符合某個條件的存問題#一般由所列方程是否有解來決定#7如圖%$7在矩形/中5#0#*以0#$$ B圖##%$#'+'+#$$$##圖$-%$%-##為!$5"點)03)沿)+以##$3$)同時出發(fā)#問'#!#"'#

$:9!:#化簡可得 7#一個菱形的面積為#&#它的兩條對角線的和0&#則此菱形的邊長 的下方作正方形#取邊上一點#以)8)*##圖*#

圖$圖$0#!#(07佛山"如圖##%$%4#將一塊正方形空地劃出###方形空地的邊長 !- 0圖##%$ 圖##%$$6#0$4地上互相垂直的道#剩余部分進行綠#-5&&#為多&!#!"0((4(0((4(-!""#!""0((4$75$#(07%$004$5#相同#5#地之的寬度為米#則可以列出關于的方程是!"#64#64(#64##64( 圖$

為了使同學們更好地解答本題#我們提供了一種解題思路#你可以依照這個思路填空#并完成本題解答的全如果你選用其他的解題方案此時不必填空#只需按照解答題的一般要求#進行解答即可#:$:##$比為$使所有彩條所占面積為原矩形圖案面積#&圖$'$$可設每個橫彩條##$找#$#"結合以上分析完成填空'如圖##%$0#"#用含的代數式表示'*':%)/' 矩形的面積為 #%#列出方程并完成本題解答$$$*#/#$$發(fā)#1$*#*為止#點3以#的速度向點/移動問'!0$3#的面積是$$:#&!#1$3#點1$3離是0:&圖$::#方形#$的值不可能 # ##75 $點#且矩形的面積等$#則點)的坐標

!$"!0"$!#"0:為$:!$#:#理由#/#/+6(#+05#+0##/#0#/)#3+#+*0個*運#點$3分$+#當3運*點1隨運動設運動的時間為秒#系式%"當#以$$3等腰三角形&圖$00實驗與操作 圖#$%$#成一個棱長為&:的正方體#0如圖##%$%07!所示#在頂面中心位置從上到下打一個邊長為0:的正方形孔#打孔后的橡皮泥塊的表面積為 :#%圖$!#!#如$07"邊長為0:的正方形通孔那么打孔后的橡皮泥塊的表面積 ### 實踐與探索第三課時$一個兩位數的兩個數字之積是這個兩位數兩個$列一元二次方程解決實際問題的一般步0設未知數#注意單位#審題#找等量關系#這是關鍵!$列出符合題意的方程!&解方程#注意檢驗解是否符合題意!7書寫答案$利用一元二次方程解決銷售利潤問"售價

倍若這個兩位數加上6#則得到的和恰好數的倍#求原兩位數是多少#"'商品進

0((0%"',#7##的平方小-#求原來的兩位數##%#解!設這個兩位數的個位數字為則十位數字為7#0(7&6-7%""+-60$#6答'原來的兩位數是$"#'0(,"數字#$&"#&$#$&&$5#則實數的值 !$或 $ $上可以用一個矩形圈$數如5#(##0###"#若圈出的 圖##%$

某商店購進5個旅游紀念品#進價為每個5#0元的價格售出個#第二周若按0#但商店為了適當#銷售!根據市場調查#單價每降低0元#可多售出7(個#但售價不得低于進價"#單價降低!元銷售一周后#商店對剩余旅游紀念品清倉處理#以每個&元的價格全部售出如果這批旅游紀念品共獲利0#7元#問第二周每個旅游紀念品的銷售價格為多少元&分析!根據紀念品的進價和售價以及銷量表示出兩周的總利潤#進而得出等式求出即可解!由題意#!(!57"!7("(#"!7("7("#0(0#0則第二周的銷售單價為6元答'第二周旅游紀念品的銷售單價為6元點評!本題涉及的未知量及已知量較多#可列表進行整理#再列出一元二次方程求解# &0#日銷!!系如下表'!&!&要使每日的銷售利潤為元#每件產品的銷售和!個數中#最大數與最小數的積為06##則這6個數和!"

$# 0#5 0$7 0&&應 #( #7$( #7#&#銷7元#可04#定價0元#銷售量凈減少0個%0元#0#04##則應進貨多少個&定價為多少元&5#(05#$##該品牌粽子每個售價&元時#7#0#0###該品牌粽子售價不能超過進價的((##利潤為4元#

方程 !!$"(7"!&"!$"!0"每千克(元#按每千克5(元出售#平均每天可售出0((千克后來經過市場調查發(fā)現#單價每降低#元#則平均每天的銷售可增加#(千克若該專賣店銷售這種臍橙要想平均每天獲利#元#為減少庫存#每千克臍橙應降價 !"& 5&元或5 7&#(07達州"新世紀百貨大樓(寶樂)牌童裝平均每天可售出#(件#每件盈利&(元為了迎接(六一)兒童節(jié)#商場決定采取適當的降價措施經調#如果每件童裝降價0元#那么平均每天就可多售出#件要想平均每天銷售這種童裝盈利0#((元#則每件童裝應降價多少元&設每件童裝應降價!元#可列方程 7%$%04放#請仔細觀察#第個圖形有6&個小圓#-圖$5#先做了市場調查#得到數據如下表'!元&!&-&如果這種運動服的買入價為每件(元#當銷售利潤為4(((元時的賣出價格!銷售利潤'銷售收入%買入支出"為 位上的數字比個位上的數字小&#十位平方與個位的數字的平方之和等于這各個數位上的數字之和的7倍求這個兩位數#0若兩個連續(xù)整數的積為75#則這兩個連續(xù)整數的和 07 07 07 0##每盆$#&%若0#平7每盆應多植多少株&設每盆多植!株#則可以列出4推準如圖##%$%06所示'圖$工去具斯地特的果風景#共#-#請問該有多少工具喀特貌征的黃果樹風景區(qū)旅游&

6的70#多少元&6某商場購進一批運動服用了0(((元#每件按0(元全部賣出#賣出這批運動服所得的利潤剛好是買進00件運動服所用的錢數#則這批運動服 !0( 6( 00( 07(040##按進貨價而定可由目前的0增加!0( 00水果批發(fā)市場有一種高檔水果#若每千克盈利!毛利潤"0(元#每天可售出7((千克#現經市場調查發(fā)現#在進價不變的情況下#若每千克漲價0元#日銷量將減少#(千克#!0若每千克盈利04元#問每天的毛利潤為多少元#現市場要保證每天總毛利潤為5(元#同時又要使得顧客得到實惠#則每千克應漲價多少元&$現需按毛利的(繳納各種稅費#人工費按銷

05##'若當0#則該輛汽車的進價為$7#每多出0輛所有售出的汽車的進價均降低0##4含4輛"#每輛返利5萬!0若該公司當月售出$輛汽車#則每輛汽車的進價 萬元%!#如果汽車的售價為$5萬元輛#該公司計劃當月盈利0萬元#那么需要售出多少輛汽車&盈利'銷售利潤"返利"$ 成比例線$具有相同形狀的圖形稱為相似圖形$

00#下列各組線段!單位':"中#成比例線段的是 0 0$#$#$&$ 0$#$#$$如圖

上一點#為)*的 圖#$%0 的長度之比等于另外兩條線段的長度之比#如

##(#/## %(已知$%#% $% 已知$%#% $% '# 的值%比例線段此時也稱這四條線段成比例 "'%'

解法一 $%#'7#+$#$'7$$ $%即$(

'#

'%$%$%#%比例時#要將這四條線段按順序列出#判斷四條線段是否成比例#只要把四條線段按順序排列#分別計算前兩條線段和后兩條線段的比是

解法二 !7%$%'$7 '$相等

$%

00%

%%$ $'若'(#則$反之#

+% %'%'$! $

$%#% #% 解法三

'

%'% % $ %%$ % %#%$

#+

#"'$$$們能否成比例線段

$% 00 ####(5%

解法四

$%#% $%#%(5#&4#007

' '% %$%#%槡 &槡

7#$7$7#槡槡 解0" $#( '5#槡槡

00%$&+%'$ '!#" '#'#+$$($$!線段有順序#判斷幾條線段是否成#可#行判斷#

點!以幾種方法是解決此類問題的常用方法#如例的合比性質掌握不錯可直接用解法一求解#否則可選用其他方法#但是要掌握處理問題的一些技巧#如設比值法的靈活運用等# ! 0如果線段$$$$(是成比例線段#且$&#%05# &#(07東營" '# 的值 ! 4 05 # $#

-

/ / 試用等比性質解決下面的問題+7下列各式的推導中不正確的 ' "'(! @@ % ( &$!&

7(# -#如圖#$0網格中的每個小正方形的邊長都是1/'0

!!% ! &$% '8%

%' $$$83$'&$0

請說明理由% (0%%

( '0 '# ' $!#

(!(

圖#$0$#%

$ !$

#$%%

&$#7

#$&0

'#則下列等式中不一定正確的是 '#

&"%$$4已知 ' #試求&$#的值 #$ ' '

/'7#下列四組線段中#不是成比例線段的 $$#5###(&$0#$#7#(0($##7#% $則$已知$'# 的值是 $%則/# &#(05&((((

#*/'/5#-#/5(## =# *4 )4*'# $%

)+0

%%

%

)/0#+#+

'0$+4$ '

圖#$0"已

'#則 '#

其中正確的結論 &!$!六盤水"已知&'7'5!(#

0 # $ &$(%

0(已知$$$$(是非零實數#并滿 $('$('%$!&"!蘭州如

!("?

則代數$("

$"!("!$$(" 的值 *0#形與矩形/的長 圖#$%0

$$$的長 0#$$$ %&0##

$& $4 ' '0#7#0#7! $平行線分線段成比例定兩條直線被一組平行線所截所$&7 圖#$%09*'#9$推論'平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交#截得的對應線段成比例#圖形大致有以下三種如圖#$05

0(! 即的長為$點評!本題運用方程思想#根據題意得到比例式#運用方程思想列方程求得相關線段的長0#$$$$$#!#!# 9

9圖#$0.#*7#0(

9 圖#$%0 圖#$%0分析!由題意可

)/ #再通過設未知/*

#列

#(0.. 程可以求得的長 $$$.

)'$ 9+' 圖#$0

.$

#

#

$*# (..+#$#07#

B4#9 $

圖#$0

圖#$0如圖如圖#$%0008為平行四邊形/##于點證'#',',#*7

0#(0.只需 $$

$$ 8 .+ ' '#則 等78 圖#$0

*+ *.#+ / *7由!"得 '+#點評!當所要證明的比例式等積式不能由一個定理直接得出時#往往由兩個比例式進行聯立得出所求#"""""""""$$$$上#且.#.若##

圖#$%0 圖#$%0##(07/8###等 的值

/ /

$如圖#$%0%0-#已知.#.下列結論中不一定正確的 8

2/ /圖#$%0 圖#$%00$#08'#

0##則'#+.#/#*&

圖#$%0 圖#$%0/)%#.#*'+0##8' .

0(#/ $$$$#*$8&

0# 9#+' 圖#$%0 圖#$%05 #$%0%#(# .#.#++#*'6#+'5#9的周長為

則等 0 0 # &圖#$%0 圖#$%0#(07如圖/# +0###

5#則4

' 圖#$0

+4.#.交于點#0的值"

' '#/ )* '8# " ' 圖#$0

圖#$0問#'!'0)+

'00

)'#)/

'##0)'0

'0時#有)'#)+)8

0#0

# #當 ' 時#有 )+-

0$ $'0 圖#$%0 $ 相似圖$對應角 #對應邊 的兩個多邊形叫做相似多邊形#

分析!抓住相似多邊形的性質'對應角相等和對應邊的比相等求解#!*四邊形和四邊形相似+它們的對應邊的比相等#對應角相等$相似多邊形的性質'對應 #對應

+!'

#//04(/#(#如圖'相似$(# 寫出

'''' 04/5#+5#點評!求相似多邊形某些線段的長和某些角的度數可根據相似多邊形對應邊的比相等#對應角相等來解題關鍵是找準對應邊和對應角#從而列出正確的比例式#

三個正確的結論! " 分析!依據相似多邊形 圖#$%#概念可得'對應角相等$對應邊成比例

&下列各組圖形不是相似多邊形的 +$#

-!!/5(:"'##/!

:$:0下面給出了一些關于相似多邊形的命題#其中真題 !菱形都相似 "等腰直角三角形都相似

矩形相似則留下矩形的面積#

圖#$#正方形都相似 $矩形都相似%正六邊形都相似0 # $ &#:#4E6#!"&& && 00( ##($已知四邊形/與四邊形相似-57&#若四邊形的周長為&&#則

##*'#/$(##與矩形&圖#$已知圖已知圖#$中的兩個四邊形$$$ 圖#$0下列圖形中一定相似的一組 1

"000*0000#/

長對應成比例的兩個等腰三角有一條邊相等的兩個矩#一個多邊形的邊長為##$##5#另一個和它相似的多邊形的最長邊為#&#則這個多邊形的最短邊長 ! 0#30$如圖#$%#%7#有三個矩形#其中是相似圖形的 !圖#$甲和 甲和乙和 甲$乙和&在四邊形/與四邊形中#)'

#$$/似/&+68的值#圖#$//#/+/#//'/# @/ '#則四邊 2四邊@ #且它們的相似比 7#$5#相似四邊形中#根據已知的數據可得 # # 圖#$5兩個相似多邊形的最長邊分別為0(:和#(:#其中:#邊為 -#$*/8相似各字母已按對應關系排列

6在研究相似問題時#甲$乙同學的觀點如下'$$&$7的三角形按圖#$6!的方式##它們的對應邊間距為0#則新#外擴張#得到新的矩形#它們的對應邊間距均為0#000000$7#//80#(#/+67# 新矩形與原矩形不相似 "求/的度數圖#$%# 圖#$%#對于兩人的觀點#下列說法正確的 兩人都 兩人都不甲對#乙不 甲不對#乙0#$0(#得#89#45對開#依次類推若各種開本的矩形都相似則等 (5

成都已知菱形0000的邊長為/005(#對角線00$000 #

0$#$0#直角#以*00為對角

圖#$圖#$%# 圖#$%#

00#000####00###角/2*/-#/#5/&#+與+相似#則8'

#$# ###0###$-##則點)的坐標 $ 相似三角$相似三角形的定

$00(#0##5$+分析!可類比全等三角形對應邊$對應角的關系來尋找相似三角形中的對應元素對于!可由相似三角對應邊 #對應角 形稱為相似三角形相似三角形的對應邊的比叫做相似比全等三角形是相似三角形的特例#此時#相似比于注0相似三角形的定義既是相似三角形的特征也是三角形相似的識別方法通常用2表示

+#+''/!#"http://#//#//#!$"***+

圖#$$!$####$!&邊角的方法%對應角所對的#最#最邊是##長#短邊對短邊等#$#和或

''#即 ''如 +2+#/*#/ / /$/70下列說法正確的 相似的三角形一定全

個角是&的兩個等腰三角形相3'(#(則/的度數 #如 #$%$%##'2+'#///#")*' "!0寫出對應邊的比例式 "

圖#$$#07##07##*5##0#0(#07$

/$8&##'/##/圖#$%$ !0"求證' "8##9$如圖#$%$如圖#$%$%&/#+#則圖中相似三角形共 $ &7 5

圖#$$/)似三角形# .#'2'#'2'%.#'2'#'2'#由推出1#+共有5對相似三角形答案!#不要孤立地看待相似關#2相似的特殊情況#當相似比為0時#相似三角形為全等三角形在解題時#切勿忘記特殊情況

##+0

圖#$%$ 圖#$%$&5+.#)/

''$'$若'$

#0#8 '7&' 圖#$%$ 圖#$%$ 7 5 75或 3407

$!#(06#/#三角形 !( 0 # $'2'####4##5#似比是 #+' $$上#.若/&#*## 的值 圖#$%$ 圖#$%$5#(05在矩形中*'+804+/' '2'#+&$/+

*##+&#/06#(07$$$$#*0/$么89的長 圖#$%$

/ / #9#8#/0 1

圖#$%$ 圖#$%$*##+$#/#...# 槡 槡 #槡 #0$00#$$05#坐標系中#'的頂點7與原點重合頂點軸上/76#-!#/' 圖#$%$!四邊形/圖#$%$ #四邊形/0(#則的值 0##(05廣州如圖#$$%0-#在平面直角坐標系$(點的坐標為(0"

7'

#/求點8的坐標#$$$"

圖#$$$#$相似三角形的判定定如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等#那么這兩個三角形相似#注0可簡單寫成%兩角對應相等#兩三角形相似!##只需要求出兩#理計算$

!# !0 9/###98)9#+#,#(0線#+4#/*/#則線段的長為! &槡 &槡$共得證#所以是常用的判定方法#$常見的相似的基本圖形如圖#$$!平行型!.型和F型""相交 #母子圖#$$#$交8#9為8+#9'/'9/%!#"#', .+#+/

圖#$%$ 圖#$%$+///#*5#/&#/ /###且8'/*#!0求證928+%圖#$$9/+/9/#

圖#$$*4/5$#&

#(07正方形/###+!0 42%0##478圖#$$如圖#$如圖#$$$/是'斜邊的高/6#/5#*##0#分析!根據(直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直22#/+///6(#+//////6(#+//#/*/#+'2'2'#*'2#/ 6'5'#即

0下列結論不正確的 有一個銳角相等的兩個等腰三角形相0#(//+6(#//+# 圖#$%$ *$#/#/ +/&# 07

.$

2# *)*+ /6#!##已#####可段的長##

圖#$%$ 圖#$%$4##////#/#于點D#則圖中相似三角形有 #-8# 等7

0 # $ &如圖#.####槡 /+' $ $$

圖#$%$ 圖#$%$/

##/圖#$%$ 圖#$%$+邊

/+#*$/' $$$*#/##/$8&$8'#/8/#

圖#$$

#(05在四邊形/.#/+6(#8-/0+##/$#8關系正確的 *#$$//!0 +,,%10(#0##.圖#$$#+/6(#證#'%!# .%

槡$8 槡#88 8#8圖#$%$ 圖#$%$ #$%$*6#!0"-# !如圖/5(#/+6(#0#$0#間的距離是0##與$之間的距離是##且0$#$$分別經過點$$#則邊的長為 +*+7+''#'9'+'98#89與交于點4#!0 2 的/&*5

9&*8請說明理由#圖#$$

圖#$$$相似三角形的判定定

$#/#5##- 的兩個三角形相似如圖#$$$4#四邊形$四邊形$四邊形都是正方形!0"')!#"0/#$邊形$四邊形都的邊長為0則圖中各

圖#$$&(線段的長度都可以表示出來

圖#$$9)公共角為夾角是否對應成比例即可!!0"相似理由如下0#)+#9+ )++槡# 槡#+ '#D+#)+# D+)+9'/#+'2#!# !0 2#+9/0//#*&7#!$&7$""""

$0$/#'&#*+的!0 82"圖#$$099得0'/#所在的格點為

!0證明!*8#9'0/

#& )809 9 圖#$%$ ' '# )*#80)*

#滿足下列條件的各對三角形中#相似的兩個三角形 #0(/5($5"/#*&#+5##8##$%

方形/6#!#" 8298/8*.#+//#//#'+//#+'2'#+'##

#(#

#8$

'

'#&$/#且,,0 # $ &

0(#

!本#正29///6(%"

/ ///# '下列結論正確的)5 '2'*''2')

7 / 3/ 7*圖#$%$ 圖#$%$&-&-$)/$上# #8# 圖#$%$ 圖#$%$/的邊長是8'#5$$上滑動#當4' $為頂點的三角形相似#如圖/#/6(###$#/0# 2圖#$$

/ '2'/82)*/ '2'/&如圖#$$&4#已知'#請?zhí)砑右粋€條件)*2'#寫出一個條件即可 圖#$%$ 圖#$%$ 圖#$%$&6##*當/ 2##4#5##8與原三角形相似#那么的長 8$$#度數#圖#$$# 圖#$%$ #$#',#0 9+//%" # ,D,#圖#$$

0$$$$$$*##+0#交9D于點3#則F' #$$##$#"+圖#$$.#/+6(#*4#/'+&/滿足條件的點1的個數 圖#$%$0 # $ &#/1是邊*+上一點下列條件*'/%"/的平分線垂直于%#1是*+的+#$'2'1的是 !填序號"#圖#$%$ 圖#$%$$相似三角形的判定定三 的兩個三角形相似#$$%7-#0#則

如圖#$%$5(#已知!$#($!(#&$!&- +)#!可以先求出兩個三角形再證三組對應邊的比是否相等#$$圖#$%$ 分析!本題屬于利用網格判斷相似三角形的問題解決這類問題的一般方法都是用勾股定理計算三角的三邊#利用三組對應邊的比是否相等來判斷兩個三角形是否相似%若相等#則兩個三角形相似#否則#兩個

)$*&'##'/0/#'+'則BB##B&

圖#$$角形不相似答案點評!本題也可以借助角度排除明顯不相似的

+'##&#''/*)/ 槡7 /+6(&70$#$$

+' '

' '+#

+//

7)* ''#+'2'#'+'*#+#'7#&7##7#&# 列說法錯誤的 '與'相似與是對應邊兩個三角形的相似比是0與是對應邊!'%"'%#'%$'%%'&'其中G&中與

/##分離出來#&一個三角形三邊之比為&75三邊中點連結所成三角形的周長為5:#則原三角形各邊的長為0##:$##&(#&44##:0##07#04:三角形!相似的是!./"#$#$$" 圖#$$$#$$760的正$$$$)*+2#圖#$$

'

''#求證'圖#$$

'#那$$$$#

@

'的第三條邊長應該

5#$$%5&#在正方形網$連結#所得是否相似&證明你的結論圖#$$

上畫有四邊形#則+的度數 圖#$%$##7#&(#'8#0##/07##& *2圖#$$*$#7#$7'+$### '與'一定相似'與'一定不相似'與'可能相似'#-#6#9#9另兩邊長是 ##: M# 5-$&�##$$5$中圖#$%$ + //&7#/#5#/0(60#7###&###$//####&#$5#4如圖#$%$55#在邊長為0的小正方形組成的網)*+和9的頂點都在格點上#10$1#&$79成各題'++9"形#使它的三個頂點為10$#$$$&規(guī)作圖#保留痕跡#不寫作法與證明"圖#$$6一個鋁質三角形框架的三條邊的長分別為&:$$$:#:$:

!#滿足斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等類似地#你可以得到滿足的兩個直角三角形相似請結合下列所給圖形#寫出已知#并完成說理過程#已知'如圖#$%$56!# #段!允許有余料作為另外

'C'@@@)邊截法 !( 0 # $!/*'/% "/%# $%'2/ 7 & $ #圖#$%$ 圖#$%$&0)*+若++ 個0/#我們可以借助探索兩個直角#三角形相似的條件#!0"對于兩個直角三角形#滿足一條邊和一個銳角對應相等#或兩直角邊對應相等#兩個直角三角形全等)類似地#你可以得到'(滿足 #或#兩個直角三角形相似)圖#$$

$" */+6#+'槡5/#為多少#這兩個直角三角形相似#$三角形相似的判定方

+#0##+4#/50定義法'對應角相等#對應邊成比例的兩個三角形相似%#平行法'平行于三角形一邊的直線和其他兩或兩邊的延長線相交所構成的三角形與原三角形相似%!$判定方法0兩角對應相等的兩個三角形相似!&判定方法#'兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似%!7判定方法$三邊對應成比例的兩個三角形相似#注!相似三角形的判定方法的選擇方法#$#已知有兩邊對應成比例時可選擇判定方法或判定方法'+'#---*-#-#+/*//6(//## +'#即,同理可證#,'+,*,#'8/#點!先相等的兩個三角形相似得出相#然角相等的兩個三角形相似即可得證#

長 #'4#2圖&##$-#D*D交B#!0求證82B角形#并證明%"+' #*##/可得86(##8/#

/$$/$/延長線于點B#則圖中的相似三角形共有!"# $ & 782)'-#B/#/B/#'2'%"首先作46-垂足為#由'##/*&7#"!*四邊形是矩形+//6(##+//6(#*//6(#+//#+'22*-#+//6#D6#B/# 0 BB2#*8+#+0##/&7#&## #槡

//#8./*/ 1/+//$+'$'$#$

#+4'$

$*050##$$/"求/的坐標8"

#$$%--#8+*延$9$D#0共有!"$ & 7 5$7$5兩點若)4#則線段75的長為!"槡 槡

槡圖

# #%

條)* +1/%/+1/+%'其中能判 !填序號'/+6(#+5+46('#交于點若'#則'8的面積 圖#$%$ 圖#$%$+*0(###1))*#*動#3**+&+點$$#'3'/$### 92*'8%)+'8圖#$$

"##求4,/-#/$#+&78'#/96(#則9的長是

#++#9延長線上一點且8'#%

圖#$%$ 圖#$%$#+-#$## 圖#$$

00#(05如圖將正方形紙片/#$%$%45"#展開后再折疊一次#使點+與點8重合#折痕為DB#點*的對應點為點4#84交)*于點若/##則5' 圖#$$'+#5##以$:點)運#同時動點5從:

$##的值$(#$圖#$$$相似三