【課件】離散型隨機變量的方差課件高二下學期數(shù)學人教A版（2019）選擇性必修第三冊

7.3.2離散型隨機變量的方差1．理解取有限個值的離散型隨機變量的方差和標準差的概念和意義．2．能計算簡單的離散型隨機變量的方差和標準差，并能解決實際問題．

隨機變量的均值是一個重要的數(shù)字特征，它反映了隨機變量取值的平均水平或分布的“集中趨勢”.因為隨機變量的取值圍繞其均值波動，而隨機變量的均值無法反映波動幅度的大小.所以我們還需要尋找反映隨機變量取值波動大小的數(shù)字特征.思考：從兩名同學中挑出一名代表班級參加射擊比賽.根據(jù)以往的成績記錄，甲、乙兩名同學擊中目標靶的環(huán)數(shù)

X，Y分布列如下：如何評價這兩名同學的射擊水平？X678910P0.090.240.320.280.07Y678910P0.070.220.380.300.03離散型隨機變量的方差

通過計算可得，

，.因為兩個均值相等，所以根據(jù)均值不能區(qū)分這兩名同學的射擊水平.

評價射擊水平，除了要了解擊中環(huán)數(shù)的均值外，還要考慮穩(wěn)定性，即擊中環(huán)數(shù)的離散程度.下圖分別是X和Y的概率分布圖，比較兩個圖形，可以發(fā)現(xiàn)乙同學的射擊成績更集中于8環(huán)，即乙同學的射擊成績更穩(wěn)定.思考：怎樣定量刻畫離散型隨機變量取值的離散程度？設離散型隨機變量

X的概率分布為：Xx1x2···xi···xnPp1p2···pi···pn我們稱為隨機變量

X的方差，有時也記為

，并稱

為隨機變量X的標準差，記為.

隨機變量的方差和標準差都可以度量隨機變量取值與其均值的偏離程度，反映了隨機變量的離散程度.它們的值越小，則隨機變量的取值越集中；它們的值越大，隨機變量的取值越分散.

現(xiàn)在，我們可以用兩名同學射擊成績的方差和標準差來刻畫他們射擊成績的穩(wěn)定性.

，

，因為

，所以隨機變Y的取值更集中，即乙同學成績相對穩(wěn)定.

在方差的計算中，利用下面的結論經(jīng)?？梢允褂嬎愫喕?例1拋擲一枚質地均勻的骰子，求擲出的點數(shù)X的方差.解：隨機變量X的分布列為因為

，所以求離散型隨機變量方差的步驟(1)理解隨機變量

X的意義，寫出

X的所有取值；(2)求出

X取每個值的概率；(3)寫出

X的分布列；(4)計算E(

X)；(5)計算D(

X)．1.袋中有20個大小相同的球，其中記上0號的有10個，記上

n號的有

n個(n＝1，2，3，4)．現(xiàn)從袋中任取一球．X表示所取球的標號．求

X的分布列、均值和方差.解：由題意知X的的所有可能取值為0，1，2，3，4.且

，

，

，

，故

X的分布列為X01234P則離散型隨機變量方差的性質

離散型隨機變量X加上一個常數(shù)，方差會有怎樣的變化？離散型隨機變量X乘以一個常數(shù)，方差又有怎樣的變化？它們和期望的性質有什么不同？

離散型隨機變量X加上一個常數(shù)b，其均值也相應加上常數(shù)b，故不改變X與其均值的離散程度，方差保持不變，即.而離散型隨機變量X乘以一個常數(shù)a，其方差變?yōu)樵瓉淼?/p>

倍，即.注：對公式D(aX＋b)＝a2D(X)的理解：(1)當a＝0時，D(b)＝0；(2)當a＝1時，D(X＋b)＝D(X)；(3)當b＝0時，D(aX)＝a2D(X)．一般地，可以證明下面的結論成立：(1)求

，

；(2)設

，求

，.X-101P例2已知隨機變量

X的分布列如下表：解：(1)，.(2)，.2.已知

X的分布列如表所示，若

，且

，

，求a，

b.X123Pm解：由X的分布列可得，

，所以

，

，又

，解得.1．下列說法中正確的是(

)A．離散型隨機變量

X的均值

E(

X)反映了

X取值的概率的平均值B．離散型隨機變量

X的方差

D(

X)反映了

X取值的平均水平C．離散型隨機變量

X的均值

E(

X)反映了

X取值的平均水平D．離散型隨機變量

X的方差

D(

X)反映了

X取值的概率的平均值C2．已知隨機變量

X的分布列如表所示：X135P0.40.1a則a＝________，D(X)＝________．0.53.563．已知隨機變量

X

的分布列為

.則

E(

X

)和

D(

X

)分別等于()A．6，6

B．6，9

C．3，6

D．4，9A4.甲、乙兩人進行定點投籃游戲，投籃者若投中，則繼續(xù)投籃，否則由對方投籃；第一次由甲投籃，已知每次投籃甲、乙命中的概率分別為，.(1)求第三次由乙投籃的概率；(2)在前3次投籃中，乙投籃的次數(shù)為

X，求

X的分布列、均值及方差．解：(1)若第三次是乙，則有兩種可能：甲甲乙或甲乙乙則.解：(2)由題意，得

X的所有可能取值為0，1，2，

，

，故

X的分布列為

X012P5.甲、乙兩個野生動物保護區(qū)有相同的自然環(huán)境，且候鳥的種類和數(shù)量也大致相同，兩個保護區(qū)每個季度發(fā)現(xiàn)違反保護條例的事件次數(shù)的分布列分別為X0123P0.30.30.20.2Y012P0.10.50.4其中

X，Y分別表示甲、乙兩個保護區(qū)內(nèi)違反保護條例的次數(shù)，試評定這兩個保護區(qū)的管理水平．解：甲保護區(qū)內(nèi)違反保護條例的次數(shù)

X的均值和方差分別為

，

.乙保護區(qū)內(nèi)違反保護條例的次數(shù)

Y的均值和方差分別為

，

.因為

，

，所以兩個保護區(qū)內(nèi)每個季度發(fā)現(xiàn)違反保護條例的事件的平均次數(shù)相同，但甲保護區(qū)內(nèi)違反保護條例的事件次數(shù)相對分散且波動較大，乙保護區(qū)內(nèi)違反保護條例的事件次數(shù)更加集中和穩(wěn)定，相對而言，乙保護區(qū)的管理更好一些．6．編號