復(fù)變函數(shù)工科第講

復(fù)變函數(shù)工科第講第1頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期四一、復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)定義1.復(fù)變函數(shù)序列是D上的復(fù)變函數(shù)列,記作或。是定義在點(diǎn)集D上的復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，記為稱(chēng)第2頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第3頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期四二、冪級(jí)數(shù)1.定義:第4頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期四Oxy2.收斂判別:定理一（Abel定理）幾何意義：注：在圓上及其外部的斂散性須另行判定(除外)第5頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期四證:因?yàn)?n=0,1,2,…),注意到|z-z0|<|z1-z0|,故級(jí)數(shù)z0在z1收斂,所以收斂.即有正數(shù)M,使第6頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期四Oxy注：在圓上及其內(nèi)部的斂散性須另行判定(除外)幾何意義：第7頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期四3.收斂半徑與收斂圓:①在所有點(diǎn)處都是收斂的.由阿貝爾定理知級(jí)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處處絕對(duì)收斂②在所有點(diǎn)處都是發(fā)散的.

由阿貝爾定理知道冪級(jí)數(shù)的收斂情況只有以下三種情況:第8頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期四③在有的點(diǎn)收斂，在有的點(diǎn)發(fā)散第9頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期四將收斂域染成紅色,發(fā)散域染成藍(lán)色C1C2xy0RCRC1第10頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

當(dāng)|Z1-Z0|由小逐漸變大時(shí),C1必定逐漸接近一個(gè)以Z0為中心,R為半徑的圓周CR

,在CR的內(nèi)部都是紅色,外部都是藍(lán)色.

這個(gè)紅藍(lán)兩色的分界圓周CR稱(chēng)為冪級(jí)數(shù)的收斂圓.在收斂圓外部,級(jí)數(shù)發(fā)散.收斂圓內(nèi)部,級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.收斂圓的半徑R

稱(chēng)為收斂半徑.

所以?xún)缂?jí)數(shù)的收斂范圍是以Z0為中

心的圓域.在收斂圓上是否收斂,則不一定.第11頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期四答案:

冪級(jí)數(shù)的收斂范圍是何區(qū)域?問(wèn)題1:

在收斂圓周上是收斂還是發(fā)散,不能作出一般的結(jié)論,要對(duì)具體級(jí)數(shù)進(jìn)行具體分析.注意問(wèn)題2:冪級(jí)數(shù)在收斂圓周上的斂散性如何?以Z0為中心的圓域.第12頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期四4.收斂半徑的求法：(1)比值法：如果則收斂半徑(2)根值法：如果則收斂半徑第13頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑(并討論在收斂圓周上的情形)(并討論z=0,2時(shí)的情形)第14頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期四在圓周|z|=1上,級(jí)數(shù)是收斂的解因?yàn)?/p>

所以收斂半徑R=1原級(jí)數(shù)在圓|z|=1內(nèi)收斂,在圓周外發(fā)散.

因?yàn)檫@是一個(gè)p級(jí)數(shù),p=3>1,所以原級(jí)數(shù)在收斂圓上處處收斂.(并討論在收斂圓周上的情形)第15頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

在收斂圓|z-1|=1上,當(dāng)z=0時(shí),原級(jí)數(shù)成為,級(jí)數(shù)收斂;當(dāng)z=2時(shí),原級(jí)數(shù)成為,發(fā)散.此例表明,在收斂圓周上既有級(jí)數(shù)的收斂點(diǎn),也有級(jí)數(shù)的發(fā)散點(diǎn).,則收斂半徑R=1,(并討論z=0,2時(shí)的情形)第16頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期四故收斂半徑為：第17頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期四象實(shí)冪級(jí)數(shù)一樣,復(fù)冪級(jí)數(shù)也有下列運(yùn)算與性質(zhì)4.冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)第18頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2、設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為R,那么它的和函數(shù)是收斂圓|z-z0

|<R內(nèi)的解析函數(shù)。

(ii)冪級(jí)數(shù)在其收斂圓內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo)或逐項(xiàng)積分:

且逐項(xiàng)求導(dǎo)或逐項(xiàng)積分后的新級(jí)數(shù)與原級(jí)數(shù)具有相同的收斂半徑.第19頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期四兩邊從0到z(|z|<1)積分得:解易知，此級(jí)數(shù)的收斂圓為|z|=1逐項(xiàng)求導(dǎo)得：.

第20頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期四三、小結(jié)與思考

這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了冪級(jí)數(shù)的概念和阿貝爾定理等內(nèi)容，應(yīng)掌握冪級(jí)數(shù)收斂半徑的求法和冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).第21頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期四思考題冪級(jí)數(shù)在收斂圓周上的斂散性如何斷定?第22頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第三節(jié)泰勒級(jí)數(shù)二、泰勒定理三、將函數(shù)展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)一、問(wèn)題的引入四、典型例題五、小結(jié)第23頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期四的和函數(shù)f(z)在其收斂圓K:|z-z0|<R內(nèi)解析.復(fù)習(xí).由冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的解析性知：現(xiàn)在研究與此相反的問(wèn)題：一個(gè)解析函數(shù)能否用冪級(jí)數(shù)表達(dá)?(一個(gè)解析函數(shù)能否展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)?解析函數(shù)在解析點(diǎn)能否用冪級(jí)數(shù)表示？）以下定理給出了肯定回答：任何解析函數(shù)都一定能用冪級(jí)數(shù)表示。一、問(wèn)題的引入冪級(jí)數(shù)第24頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

設(shè)函數(shù)f(z)在園盤(pán)U：內(nèi)解析，那么在此圓內(nèi)f(z)可以展開(kāi)成冪級(jí)數(shù):

定理3.1(泰勒展開(kāi)定理:)二、泰勒(Taylor)展開(kāi)定理的泰勒展開(kāi)式.在在定理中，冪級(jí)數(shù)稱(chēng)為且展式唯一，第25頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期四證明：在U內(nèi)任取一點(diǎn)z，以z0為心，在U內(nèi)作一個(gè)圓C，使z屬于其內(nèi)區(qū)域。我們有由于當(dāng)時(shí)，所以代入：得：第26頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期四那么即因此,任何解析函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)的結(jié)果就是泰勒級(jí)數(shù),因而是唯一的.注解：利用泰勒展式的唯一性定理，我們可以用多種方法求一個(gè)函數(shù)的泰勒展式，所得結(jié)果一定相同。第27頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期四三、將函數(shù)展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)常用方法:

直接法和間接法.1.直接法:由泰勒展開(kāi)定理計(jì)算系數(shù)第28頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例如，故有第29頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期四仿照上例,第30頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2.間接展開(kāi)法:

借助于一些已知函數(shù)的展開(kāi)式,結(jié)合解析函數(shù)的性質(zhì),冪級(jí)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)(逐項(xiàng)求導(dǎo),積分等)和其它數(shù)學(xué)技巧(代換等),求函數(shù)的泰勒展開(kāi)式.間接法的優(yōu)點(diǎn):

不需要求各階導(dǎo)數(shù)與收斂半徑,因而比直接展開(kāi)更為簡(jiǎn)潔,使用范圍也更為廣泛.第31頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期四附:常見(jiàn)函數(shù)的泰勒展開(kāi)式第32頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例1解四、典型例題上式兩邊逐項(xiàng)求導(dǎo),第33頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例2

解第34頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例3解第35頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期四小結(jié)展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)的步驟1、找到

z0

,知道函數(shù)應(yīng)展成的形式。2、求出收斂半徑R，找到收斂域:|z-z0|<R3、利用已知函數(shù)展開(kāi)式對(duì)函數(shù)變形，使之含有(z-z0),再求出所給函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式第36頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例4解第37頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期四五、小結(jié)

通過(guò)本課的學(xué)習(xí),應(yīng)理解泰勒展開(kāi)定理,熟記五個(gè)基本函數(shù)的泰勒展開(kāi)式,掌握將函數(shù)展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)的方法,能比較熟練的把一些解析函數(shù)展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù).第38頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第四節(jié)洛朗級(jí)數(shù)二、洛朗級(jí)數(shù)的概念三、函數(shù)的洛朗展開(kāi)式一、問(wèn)題的引入五、小結(jié)與思考四、典型例題第39頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

解析函數(shù)在解析點(diǎn)的鄰域內(nèi)可以展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)。因而冪級(jí)數(shù)在研究解析函數(shù)在其解析點(diǎn)的鄰域內(nèi)的性質(zhì)時(shí)是一種十分有效的工具，然而討論函數(shù)在它的奇點(diǎn)的鄰域內(nèi)的狀況時(shí)，它就無(wú)能為力了。

但是在實(shí)際問(wèn)題中卻經(jīng)常遇到這類(lèi)函數(shù)：f(z)在z0處不解析,但在z0的某個(gè)去心鄰域0<|z-z0|<R內(nèi)卻是解析的。一、問(wèn)題的引入第40頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

既然f(z)在z=0與z=1不能表示成冪級(jí)數(shù)，那么它是否可以用其它形式的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)來(lái)表示呢？不難推出：第41頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

因此雖然在z=0與z=1的鄰域內(nèi)不能表示成冪級(jí)數(shù)，但它在z=0或z=1的某個(gè)去心鄰域內(nèi)卻可以用一種既含正冪項(xiàng)又含負(fù)冪項(xiàng)的級(jí)數(shù)來(lái)表示。由此，引起我們興趣的問(wèn)題至少有以下兩個(gè)：（1）既含正冪項(xiàng)又含負(fù)冪項(xiàng)的級(jí)數(shù)有什么性質(zhì)？（2）在去心鄰域0<|z-z0|<R內(nèi)的解析函數(shù)與這種既含正冪項(xiàng)又含負(fù)冪項(xiàng)的級(jí)數(shù)有無(wú)必然聯(lián)系？下面我們來(lái)討論一下雙邊冪級(jí)數(shù)。第42頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期四負(fù)冪項(xiàng)部分正冪項(xiàng)部分主要部分解析部分

同時(shí)收斂收斂第43頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期四收斂半徑收斂域收斂半徑收斂域兩收斂域無(wú)公共部分,兩收斂域有公共部分R.第44頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期四結(jié)論:.常見(jiàn)的特殊圓環(huán)域:...第45頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例如，都不解析,但在圓環(huán)域及內(nèi)都是解析的.問(wèn)題:在圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)是否一定能展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)?答案是肯定的！即內(nèi)可以展開(kāi)成級(jí)數(shù).第46頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期四也可以展開(kāi)成級(jí)數(shù)：第47頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期四二.解析函數(shù)的洛朗展式定理4.1為洛朗系數(shù).第48頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期四證明：設(shè)z是圓環(huán)D內(nèi)任一點(diǎn)，在D內(nèi)作圓環(huán)，使得，這里用分別表示圓由于在閉圓環(huán)上解析，根據(jù)柯西公式，有其中積分分別是沿關(guān)于它們所圍成圓盤(pán)的逆時(shí)針?lè)较蛉〉摹．?dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)第49頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期四而當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)把這兩個(gè)式子代入前面的式子，然后逐項(xiàng)積分，我們就看到f(z)有展式其中，由柯西定理，上面兩式中的積分可以換成沿圓的積分，于是定理的結(jié)論成立。第50頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期四注解：注解1.由于函數(shù)f(z)的解析區(qū)域不是單連通區(qū)域，所以公式不能寫(xiě)成：注解2.我們稱(chēng)為f(z)的解析部分，而稱(chēng)為其主要部分。注解3.我們稱(chēng)為f(z)的洛朗展式。第51頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期四三、函數(shù)的洛朗展開(kāi)式常用方法:1.直接法2.間接法

1.直接展開(kāi)法利用定理公式計(jì)算系數(shù)然后寫(xiě)出缺點(diǎn):計(jì)算往往很麻煩.第52頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期四根據(jù)正、負(fù)冪項(xiàng)組成的的級(jí)數(shù)的唯一性,可用代數(shù)運(yùn)算、代換、求導(dǎo)和積分等方法去展開(kāi).優(yōu)點(diǎn):簡(jiǎn)捷,快速.2.間接展開(kāi)法第53頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例1內(nèi)是處處解析的,試把f(z)在這些區(qū)域內(nèi)展開(kāi)成洛朗級(jí)數(shù).解四、典型例題第54頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期四oxy1第55頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期四12oxy由且仍有第56頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2oxy由此