2022-2023學(xué)年內(nèi)蒙古呼和浩特市高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期中數(shù)學(xué)（理）試題【含答案】

2022-2023學(xué)年內(nèi)蒙古呼和浩特市高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)（理））試題（一、單選題1．拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行求解即可.【詳解】由，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是，故選：D.2．已知球的半徑為2，球心到平面的距離為，則球被平面截得的截面面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)球的性質(zhì)可求出截面圓的半徑即可求解.【詳解】設(shè)截面圓半徑為，由球的性質(zhì)可知：則截面圓的半徑，所以球被平面截得的截面面積為，故選：.3．若雙曲線的離心率為，則（

）A． B． C．或 D．【答案】D【分析】首先將雙曲線化為標(biāo)準(zhǔn)式，即可表示出，，再根據(jù)及離心率為得到方程，解得即可；【詳解】解：因?yàn)椋?，即，，所以，因?yàn)殡x心率為，即，解得故選：D4．過(guò)點(diǎn)與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線有（）條.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】先驗(yàn)證點(diǎn)在拋物線外，進(jìn)而根據(jù)拋物線的圖象和性質(zhì)可得到答案．【詳解】解：由題意可知點(diǎn)在拋物線外故過(guò)點(diǎn)且與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)只能是：①過(guò)點(diǎn)且與拋物線相切，此時(shí)有兩條直線；②過(guò)點(diǎn)且平行對(duì)稱軸軸，此時(shí)有一條直線；則過(guò)點(diǎn)與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線有3條.故選：C．5．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐四個(gè)面的面積中最大的是（

）A． B． C． D．3【答案】B【分析】根據(jù)三視圖作出三棱錐的直觀圖，計(jì)算四個(gè)側(cè)面的面積進(jìn)行比較即可得結(jié)果.【詳解】解：作出三棱錐的直觀圖如圖所示，過(guò)作，垂足為，連接，由三視圖可知平面，，，，，，，，，，，，三棱錐的四個(gè)面中，側(cè)面的面積最大為；故選：B.6．已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線與左支相交于、兩點(diǎn)．如果，那么（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)雙曲線的定義建立方程關(guān)系進(jìn)行求解即可．【詳解】解：如圖，由雙曲線的定義得：①，②，①②可得：，即，，，即.故選：C．7．如圖，在下列四個(gè)正方體中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，Q為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用線面平行判定定理可知B，C，D均不滿足題意，A選項(xiàng)可證明出直線AB與平面MNQ不平行，從而可得答案.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)B，如圖1，連接CD，因?yàn)镸，N，Q為所在棱的中點(diǎn)，所以CDMQ，由于ABCD，所以ABMQ，因?yàn)槠矫?，平面，所以AB平面MNQ，B選項(xiàng)不滿足題意；對(duì)于選項(xiàng)C，如圖2，連接CD，因?yàn)镸，N，Q為所在棱的中點(diǎn)，所以CDMQ，由于ABCD，所以ABMQ，因?yàn)槠矫?，平面，所以AB平面MNQ，C選項(xiàng)不滿足題意；對(duì)于選項(xiàng)D，如圖3，連接CD，因?yàn)镸，N，Q為所在棱的中點(diǎn)，所以CDNQ，由于ABCD，所以ABNQ，因?yàn)槠矫?，平面，所以AB平面MNQ，可知D不滿足題意；如圖4，取BC的中點(diǎn)D，連接QD，因?yàn)镼是AC的中點(diǎn)，所以QDAB，由于QD與平面MNQ相交，故AB與平面MNQ不平行，A正確.故選：A8．?dāng)€尖是我國(guó)古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)樣式，多見(jiàn)于亭閣式建筑、園林建筑.下面以圓形攢尖為例.如圖所示的建筑屋頂可近似看作一個(gè)圓錐，其軸截面（過(guò)圓錐旋轉(zhuǎn)軸的截面）是底邊邊長(zhǎng)為，頂角為的等腰三角形，則該屋頂?shù)捏w積約為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件求出圓錐的高，再利用圓錐體積公式計(jì)算即可得解.【詳解】因?yàn)檩S截面的頂角為，所以底角，在中，依題意，該圓形攢尖的底面圓半徑，高，則()，所以該屋頂?shù)捏w積約為.故選：B.9．已知A，B為雙曲線E的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，為等腰三角形，且頂角為135°，則E的離心率為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，代入雙曲線方程得關(guān)系，即可求出離心率.【詳解】設(shè)雙曲線方程為()，如圖所示：因?yàn)闉榈妊切危翼斀菫?35°，所以，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥x軸，垂足為N，在BMN中，則，故點(diǎn)M的坐標(biāo)為，代入雙曲線方程得，解得，即，即，解得，故選：D10．已知，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，，，且軸．若點(diǎn)是圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意及比例求得和點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程，求得和與的值，求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)圓的參數(shù)方程，利用兩點(diǎn)之間的距離公式及三角函數(shù)的最值即可求得的取值范圍．【詳解】解：因?yàn)?，，且軸．則，，將，代入橢圓方程，解得，，所以橢圓方程，所以橢圓的焦點(diǎn)，，由在圓上，設(shè)，所以，又，所以的取值范圍.故選：A．二、多選題11．（多選）下列選項(xiàng)中，正確是（）A．如果兩個(gè)平面平行，那么分別在這兩個(gè)平面內(nèi)任取兩條直線，兩直線平行B．如果兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一平面平行C．如果一個(gè)平面內(nèi)的一個(gè)銳角的兩邊分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的一個(gè)角的兩邊，那么這兩個(gè)平面平行D．如果一個(gè)平面內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行【答案】BC【分析】根據(jù)空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】解：對(duì)于A，如果兩個(gè)平面平行，那么分別在這兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行或異面，故A不正確；對(duì)于B，如果兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一平面平行，故B正確；對(duì)于C，如果一個(gè)平面內(nèi)的一個(gè)銳角的兩邊分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的一個(gè)角的兩邊，那么這兩個(gè)平面平行，故C正確；對(duì)于D，如果一個(gè)平面內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行或者相交，故D不正確.故選：BC.12．一個(gè)棱柱是正四棱柱的條件是（）A．底面是正方形，有兩個(gè)側(cè)面是矩形B．底面是正方形，有兩個(gè)側(cè)面垂直于底面C．底面是菱形的直四棱柱，且對(duì)角線長(zhǎng)度相等D．底面是正方形，每個(gè)側(cè)面是全等矩形的四棱柱【答案】CD【分析】根據(jù)正四棱柱的概念以及結(jié)構(gòu)特征一一判斷各選項(xiàng)，即可判斷出答案.【詳解】對(duì)于A，底面是正方形，有兩個(gè)側(cè)面是矩形的棱柱，當(dāng)這兩個(gè)側(cè)面是相對(duì)的側(cè)面，并且和底面不垂直時(shí)，棱柱是斜棱柱，不能保證是正四棱柱；對(duì)于B，底面是正方形，有兩個(gè)側(cè)面垂直于底面的棱柱，當(dāng)這兩個(gè)側(cè)面是相對(duì)的側(cè)面，另外兩個(gè)相對(duì)的側(cè)面可能和底面不垂直，此時(shí)棱柱是斜棱柱，不能保證是正四棱柱；對(duì)于C,底面是菱形，且對(duì)角線長(zhǎng)度相等,則底面是正方形，又因?yàn)槭侵崩庵?，故能保證棱柱是正四棱柱；對(duì)于D,每個(gè)側(cè)面是全等矩形的四棱柱，則相鄰兩個(gè)側(cè)面的交線即側(cè)棱垂直于底面，即棱柱為直棱柱，又底面為正方形，故能保證是正四棱柱，故選：CD13．雙曲線的焦點(diǎn)在圓上，圓與雙曲線的漸近線在第一、二象限分別交于點(diǎn)、，點(diǎn)滿足（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），則（

）A．雙曲線的一條漸近線方程為 B．雙曲線的離心率為C． D．的面積為6【答案】ABD【分析】由已知可得，再由得點(diǎn)為三角形的重心，從而有，得，再結(jié)合可求出的值，進(jìn)而可求得漸近線方程、離心率、的面積【詳解】如圖：設(shè)雙曲線的焦距為，與軸交于點(diǎn)，由題可知，則，由得點(diǎn)為三角形的重心，可得，即，，，，，解得.雙曲線的漸近線方程為，，的坐標(biāo)為，，故選：ABD.【點(diǎn)睛】此題考查雙曲線的簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，考查圓的方程，考查數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題三、填空題14．若雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且其漸近線方程為，則此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程______．【答案】【分析】根據(jù)題意設(shè)雙曲線的方程為()，將點(diǎn)代入曲線方程求出即可.【詳解】由題意得，雙曲線的漸近線方程為，設(shè)所求的雙曲線的方程為().點(diǎn)為該雙曲線上的點(diǎn)，.該雙曲線的方程為：，即.故答案為：.15．已知橢圓，則以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在直線方程為_(kāi)_____.【答案】【解析】設(shè)，，求出，，再利用點(diǎn)差法求出直線斜率，進(jìn)而可求直線方程.【詳解】設(shè)，，則，，由，在橢圓上，可得，，兩式相減可得，，直線方程為，即，故答案為：.【點(diǎn)睛】處理中點(diǎn)弦問(wèn)題常用的兩種方法：（1）點(diǎn)差法：設(shè)出弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)后，代入圓錐曲線方程，并將兩式相減，式中含有，，三個(gè)未知量，這樣就直接聯(lián)系了中點(diǎn)和直線的斜率，借用中點(diǎn)公式即可求得斜率；（2）根與系數(shù)的關(guān)系：聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程得到方程組，化為一元二次方程后由根與系數(shù)的關(guān)系求解.16．已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，以F為圓心作圓與C交于A，B兩點(diǎn)，與l交于D、E兩點(diǎn)，若，則F到l的距離為_(kāi)_______．【答案】2【分析】根據(jù)題意分析求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，代入拋物線的方程求，即可得出F到l的距離.【詳解】設(shè)與x軸的交點(diǎn)分別為，則，即點(diǎn)，∴，解得或（舍去），故F到l的距離為2.故答案為：2.四、雙空題17．如圖，一個(gè)正三棱錐的頂點(diǎn)是圓柱上底面的圓心，正三棱錐的底面是圓柱下底面的內(nèi)接正三角形（這樣的正三棱錐叫做圓柱的內(nèi)接正三棱錐）.如果在這個(gè)圓柱體中挖去這個(gè)正三棱錐得到的幾何體如圖所示，按圖中所給尺寸所得幾何體的表面積為_(kāi)_____，體積為_(kāi)_____.【答案】

【分析】確定底面圓的半徑，求出棱錐的底面三角形邊長(zhǎng)，根據(jù)組合體形狀特征，結(jié)合圓柱和棱錐的體積以及表面積公式，即可求得答案.【詳解】由題意得圓柱體的底面圓半徑，高為6，正三棱錐的高為6，底面正三角形邊長(zhǎng)為，高為，故所得幾何體的表面積即為圓柱的表面積加上棱錐的側(cè)面積減去棱錐的底面積，即；所得幾何體的體積為︰，故答案為：；五、解答題18．在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸的正半軸為極軸，曲線的極坐標(biāo)方程為，直線的參數(shù)方程為，(為參數(shù)).（1）求曲線和直線的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點(diǎn)，直線與曲線有不同的兩個(gè)交點(diǎn)分別為，，求的值.【答案】（1）：，：；（2）.【分析】（1）由，可得曲線C的直角坐標(biāo)方程；消去參數(shù)t可得直線l的直角坐標(biāo)方程；（2）寫出過(guò)點(diǎn)的直線l的參數(shù)方程，代入曲線C的直角坐標(biāo)方程，利用韋達(dá)定理結(jié)合，的幾何意義可求得答案．【詳解】（1）由，所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為，由（t為參數(shù)），消去t得直線l的直角坐標(biāo)方程為.（2）由題意知，過(guò)點(diǎn)的直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），代入曲線C的直角坐標(biāo)方程得，又，所以方程有兩個(gè)不同的解，，又，，所以，，由，的幾何意義可知，.【點(diǎn)睛】本題考查極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程與普通方程的互化，考查直線的參數(shù)方程的應(yīng)用，屬于中檔題．.19．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在拋物線E上，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1，且是拋物線E上異于O的兩點(diǎn).(1)求拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線的斜率之積為，求證：直線恒過(guò)定點(diǎn).【答案】(1).(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)題意利用拋物線焦半徑公式求得p，可得答案；（2）討論直線的斜率不存在和存在兩種情況，斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，可得根與系數(shù)關(guān)系式，結(jié)合直線的斜率之積為進(jìn)行化簡(jiǎn)可得的關(guān)系式，即可證明結(jié)論.【詳解】（1）由題意得，，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1，且，則，∴拋物線E的方程為；（2）證明：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)，，因?yàn)橹本€的斜率之積為則，化簡(jiǎn)得．所以，此時(shí)直線的方程為．當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，，聯(lián)立，化簡(jiǎn)得，需滿足，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，因?yàn)橹本€的斜率之積為，所以，即，即，解得（舍去）或，所以，即，滿足，所以，即，綜上所述，直線過(guò)定點(diǎn)．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，一般方法是設(shè)出直線方程，聯(lián)立圓錐曲線方程，可得根與系數(shù)關(guān)系式，要結(jié)合題設(shè)進(jìn)行化簡(jiǎn)得到參數(shù)之間的關(guān)系式，再結(jié)合直線方程即可證明直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題.20．已知點(diǎn)A(0，－2)，橢圓E：(a>b>0)的離心率為，F(xiàn)是橢圓E的右焦點(diǎn)，直線AF的斜率為，O為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求E的方程；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)A的動(dòng)直線l與E相交于P，Q兩點(diǎn).當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí)，求l的方程.【答案】（1）（2）【詳解】試題分析：設(shè)出，由直線的斜率為求得，結(jié)合離心率求得，再由隱含條件求得，即可求橢圓方程；（2）點(diǎn)軸時(shí)，不合題意；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，由判別式大于零求得的范圍，再由弦長(zhǎng)公式求得，由點(diǎn)到直線的距離公式求得到的距離，代入三角形面積公式，化簡(jiǎn)后換元，利用基本不等式求得最值，進(jìn)一步求出值，則直線方程可求.試題解析：（1）設(shè)，因?yàn)橹本€的斜率為，所以，.又解得，所以橢圓的方程為.（2）解：設(shè)由題意可