2023年考研數(shù)一試題及答案

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2023年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)（一）試題及參考答案

一、選擇題：1~8小題，每題4分，共32分。1、lim??x??limex??(x?a)(x?b)??x???2x??x2ln??(x?a)(x?b)????x?limex????x2x??(x?a)(x?b)?1????

?lime?ex??a?b??a?b?x?ab?x?????(x?a)(x?b)??a?b?x2?abx?lime(x?a)(x?b)x??

x方法二

x???x2?(x?a)(x?b)?x2lim???lim?1??x??(x?a)(x?b)x??(x?a)(x?b)?????(a?b)x?ab??(a?b)x?ab??lim?1??lim?x???1??x??(x?a)(x?b)(x?a)(x?b)????x(x?a)(x?b)(a?b)x?ab?x(a?b)x?ab(x?a)(x?b)

?ex??(x?a)(x?b)lim(a?b)x?abx?e(a?b)

?y??z???F?d?2???0，x???x?（2）等式兩邊求全微分得：F1??d?即F1?xdy?ydxxdz?zdx??F?0?F1??(xdy?ydx)?F2??(xdz?zdx)?02x2x2yF1??zF2?F1?dx?dy?dz???xF2F2F?zF??z?zyF??zF2??y?1x?1y?2?z?u?yxF2?F2?F2?（3）、：顯然x?0,x?1是兩個(gè)瑕點(diǎn)，有

所以有，x?1mln2(1?x)n0xndx??1m20ln2(1?x)nxdx??11mln2(1?x)n2xmdx

?ln(1?x)x等價(jià)于(?1)x2m?1n2m21?mn對(duì)于

?1m20ln2(1?x)xdx的瑕點(diǎn)x?0，當(dāng)x?0時(shí)?ln2(1?x)nx，而

?120x21?mndx收斂

21（因m,n是正整數(shù)????1），故

mn?1m20ln2(1?x)nxdx收斂；對(duì)于

?1m12ln2(?1x)dx的瑕點(diǎn)x?1，當(dāng)

nx212122m11mln(1?x)ln2(1?x)1mnmnmx?(1??,1)(?0??時(shí))n1?x)dx顯然收斂，故?1?2ln(1?x)?2(1?x)，而?1(dxn2xx22收斂。所以選擇D.

nn11n11?lim?4、lim????22x??n??ij(n?i)(n?j)nn2i?1j?1i?1(1?)j?1(1?())nn?AB?Enn?10dx?1dy0(1?x)(1?y2)

1?R(AB)?m（5）又R(AB)?m?min(R(A),R(B)),即R(A)?m,R(B)?m

而R(A)?m,R(B)?m?R(A)?m,R(B)?m(6)設(shè)A的特征值為r，由于

A2?A?0為所以?2???0

即?(??1)?0???0或???1

1

又?R(A)?3，A必可相像對(duì)角化，且對(duì)角陣的秩也是3.

????1是三重特征根??1????1??A~???1???所以正確答案為（D）

0??11?1??e.所以選C22評(píng)注：此題實(shí)際上是考察分布函數(shù)的性質(zhì)，即對(duì)任意隨機(jī)變量X，均有P(X?x)?F(x)?F(x?)，這樣的問(wèn)題在輔

(7)P{x?1}?F(1)?F(1?)?1?e?

30?1導(dǎo)教程中出現(xiàn)過(guò)屢屢，屬于基本概念的考察。(8)

?????f(x)dx?a?0??f1(x)dx?b???0f2(x)dx?1?a?(0)?b?1dx?14

?13a?b?1?2a?3b?4所以選A。241，以及均勻分布的計(jì)算問(wèn)題。22評(píng)注：此題實(shí)際上是考察密度函數(shù)的性質(zhì)與正態(tài)分布和均勻分布的基本性質(zhì)，這里還需要知道的是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布取負(fù)值的概率為

二、填空題

?2??ln1?t??1dyy??t?ln?1?t?d2yd?dy?d?dy?dt????t???2??????（9）解??x??t??t?edxx??t??edxdx?dx?dt?dx?dx??2t?te?ln?1?t2?e?t2d2y12t2t21?t?0????t?e(?ln(1?t))22?t2dx?e1?t故t?0?e?（10）、

?2??20xocsdxx???4?

令x?t,原式為

?0xcosxdx?2?tcostdt?2tsint|0??2tsintdt??4?tsintdt?4tcost|0??costdt??4?

00002?2????????（11）、已知曲線L的方程為y?1?x,x?[?1,1],起點(diǎn)是(?1,0),終點(diǎn)是(1,0),則曲線積分令

?Lxydx?x2dy?0

?x?t?x?tL1:??1?t?0L2:?0?t?1

?y?1?t?y?1?t?Lxydx?xdy??xydx?xdy??xydx?xdy??t?1?t??tdt??t?1?t??t2dt2222L1L2?1001

?23t2???t??2??30?1?t223?1????t?0?0

?23?23

22（12）、設(shè)??{(x,y,z)x?y?z?1},則?的形心坐標(biāo)z?3?2?21dz?3200r?2（13）設(shè)?1?(1,2,?1,0)T,?2?(1,1,0,2)T,?3?(2,1,1,?)T,若由形成的向量空間維數(shù)是2，則???00r21???zdxdydz??d??rdr?z??????dxdydz?d??rdr?211zdz?6

由題意知向量組?1,?2,?3線性相關(guān)，而其中兩個(gè)向量線性無(wú)關(guān)，所以R(?1,?2,?3）?2，即

2

?112??1???r?2r21?211??0???101?r3?r1?0????02???0??????6?0???62?2??11???r?r32?1?3??0?1?3??13?r4?2r2?000?

??????2???00??6?2

1C,k?0,1,2,?，則EX2?K!??C?1由概率密度的性質(zhì)?P{X?k}?1，有??1?C?e

k?0k!k?0（14）設(shè)隨機(jī)變量X概率分布為p{X?k}?

EX?1,DX?1e?1,k?0,1,2,?為參數(shù)為1的泊松分布，則有即P{X?k}?22k!?EX?DX?(EX)?2評(píng)注：此題實(shí)際上考察Poisson分布的分布列以及它的二階矩的計(jì)算，是基本的題目，實(shí)際上，假使大家對(duì)Poisson分布的分布列熟悉的話，自然就知道這里的X就是聽從參量為1的Poisson分布，從而常數(shù)C的確定是顯然的，而二階矩的計(jì)算直接用期望和方差就可以得到.

三、解答題

（15）（此題總分值10分）

求微分方程y???3y??2y?2xe的通解.

齊次方程y???3y??2y?0的特征方程為r2?3r?2?0由此得r1?2,r2?1.對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為

xY?C1e2x?C2ex

設(shè)非齊次方程的特解為y???ax?b?xex

則y???(ax2?(2a?b)x)ex，y????(ax2?(4a?b)x?2a?2b)ex代入原方程得a??1,b??2從而所求解為

y?C1e2x?C2ex?x(x?2)ex

（16）（此題總分值10分）求函數(shù)f(x)??x21(x2?t)e?tdt的單調(diào)區(qū)間與極值

2由f?(x)?2x列表探討如下x(??,?1)?x21e?tdt?0，可得，x?0，?1

(?1,0)?增f?(x)f(x)?減?10微小值00極大值(0,1)?減10微小值(1,??)?增因此，f(x)的單調(diào)增加區(qū)間為(?1,0)及(1,??)，單調(diào)減少區(qū)間為(??,?1)及(0,1)；微小值：f?1??f??1??0極大值為f(0)?1?10tedt??t21(1?e?1)2n1（17）（此題總分值10分）（Ⅰ）比較

?0lnt[ln(1?t)]dt與?tnlntdt,n?1,2,?的大小，說(shuō)明理由

0（Ⅱ）設(shè)un??10lnt[ln(1?t)]ndt(n?1,2,?)，求極限limunn??

（Ⅰ）令f?t??ln?1?t??t當(dāng)0?t?1時(shí)，f??t??1?1?0，故當(dāng)0?t?1時(shí)f?t??f?0??01?tnn當(dāng)0?t?1時(shí)0?ln?1?t??t?1，從而??ln?1?t????t(n?1,2,?)又由lnt?0得

?10lnt?ln(1?t)?dt??tnlntdt(n?1,2,?)

0n13

11（Ⅱ）方法一，由（Ⅰ）知，0?un??0lnt[ln(1?t)]dt??tnlntdt，由于

0n?10tnlntdt???tn?lnt?dt???lnt?011n?1111n1t0??tdt?20n?1n?1?n?1?所以n??lim?tnlntdt?0

01由夾逼準(zhǔn)則得

lim?lnt?ln(1?t)?dt?0n??011001n

nn方法二0??tlntdt???t?lnt?dt?11n1tdt?

n?1?0n?1n由夾逼準(zhǔn)則的limn??0?t1nlntdt?0

n方法三由（Ⅰ）知，0???ln?1?t????tt?0

又由于limtlnt?0，所以?M,0?tlnt?M,?t?[0,1]所以0?un?1?10lnt[ln(1?t)]ndt?M?tn?1dt?01M,n?2,3?n0?un??lnt[ln(1?t)]ndt?0Mn由于limM?0，所以limun?0n??n??n

評(píng)點(diǎn)：此題主要考點(diǎn)：初等函數(shù)性質(zhì)，積分的保號(hào)性與比較性質(zhì)，分部積分法與極限運(yùn)算。注意此題中積分為其次類

廣義積分

（18）（此題總分值10分）

(?1)n?12n求冪級(jí)數(shù)?x的收斂域及和函數(shù)

n?12n?1?

x2n?2?2n?1?un?1?lim2n?x2，所以當(dāng)x2?1即?1?x?1時(shí)，原冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；當(dāng)x??1時(shí)，級(jí)數(shù)為由于limn??un??x?2n?1?n(?1)n?1，顯然收斂，故原冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)閇?1,1]。?n?12n?1??(?1)n?12n(?1)n?12n?1?(?1)n?12n?1由于?x?x?xx?f(x),x???1,1??n?12n?1n?12n?1n?12n?1?設(shè)則f??x???(?1)n?1xn?1?2?n?1??121?x由于f?0??0，所以f?x???x0f??t?dt?f?0??arctanx

從而s(x)?xarctanx,x???1,1?

收斂域x?[?1,1]，和函數(shù)s(x)?xarctanx

（19）（1）切平面法向量Fx?2x,Fy?2y?z,Fz?2z?y，因與xOy面垂直，所以2x?0?(2y?z)?0?(2z?y)?1?0?z?y2?x2?y2?z2?yz?1所以軌跡為??y?2z4x2?5y2?5z2?8yz（2）dS?1?z?zdxdy?dxdy

2z?y2x2y4

原式=?Dxy2??x?3dxdy,Dxy?{(x,y)x?32y?1}42?2?3Dxy??xdxdy???3dxdy?0?3???1?Dxy（20）（此題總分值11分）

（I）設(shè)?1,?2為Ax?b的2個(gè)不同的解，則?1??2是Ax?0的一個(gè)非零解，故A?(??1)2(??1)?0。于是??1或???1

當(dāng)??1時(shí)，由于r(A)?r(A?b)，所以Ax?b無(wú)解，舍去當(dāng)???1時(shí)，對(duì)Ax?b的增廣矩陣施以初等行變化

3????2?111?a?10?1?????1??(A?b)??0?20?1???010????B

???11?1?1??000?2???a?2??????由于Ax?b有解，所以a??2（II）當(dāng)???1，a??2時(shí)

3????2?3??1???10?1??11????B??010???，所以Ax?b的通解為x???1??k?0?，其中k為任意常數(shù)。

?2?2???1?0??000?????0??????評(píng)點(diǎn)：此題考察的知識(shí)點(diǎn)是線性方程的理論及求解能力。由題設(shè)非齊次線性方程組有兩個(gè)解，就有無(wú)窮多解，其導(dǎo)出

從而求出參數(shù)?的值。利用方程組有解的條件，判斷?組就有非零解，導(dǎo)出組的系數(shù)矩陣列不滿秩，其行列式為零，

的取值。再利用方程組有解的條件，通過(guò)消元法求得a的值。最終通過(guò)對(duì)增廣矩陣作初等行變換，求得方程組的通解。

?（21）T??（Ⅰ）由題意知QAQ??,其中????1??1?，則A?Q?QT設(shè)Q的其他任一列向量為

，

?0??2???2??22?x,x,x0?0?x?x3?0????1231T22?x1,x2,x3??Q為正交矩陣???2????2?即x1?x3?0，其基礎(chǔ)解系含2個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量，即為?2?????1??0???1??2?1????????1??0?，?2??1?把?1單位化?1?0???0??2?????1??0?1???????2????2??22?0????-1?-101?22???2?2?T?Q??Q??010??020?0??2???2??1012??20?1????2??2

5

01??20?

01??

1??10??-101??1??-101??22??????1????A?Q?QT??020??1020?010?????2???101??1???10101????????0?2??2（II）證明：?(A?E)T?AT?E?A?E?A?E為實(shí)對(duì)稱矩陣

又由于A的特征值為1,1,0?A?E特征值為2,2,1，都大于0?A?E為正定矩陣

評(píng)點(diǎn)：此題考察的知識(shí)點(diǎn)有二次型用正交變換化標(biāo)準(zhǔn)形的理論，實(shí)對(duì)稱矩陣通過(guò)正交矩陣和對(duì)角矩陣相像的理論，以及二次型正定性的判定等。首先根據(jù)正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形，確定二次型矩陣的特征值及特征向量，再根據(jù)實(shí)對(duì)稱矩陣不同特征值的特征向量正交求得特征值1的特征向量，特征向量單位化，構(gòu)造正交矩陣，進(jìn)一步求出矩陣A，由A的特征值求出A+E的特征值，利用特征值判定A+E是正定矩陣。（22）（此題總分值11分）設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為f(x,y)?Ae由概率密度的性質(zhì)

?????2x?2xy?y,???x???，求常數(shù)A及條件概率密度f(wàn)YX(yx)

又知

?????e?xdx?12????Ae?，有?edx?e????????????f(x,y)dxdy?1，可知

dxdy?A?e?xdx?e?(x?y)dy?1

??????2?2x2?2xy?y2??2???x2???(x?y)2????dy??????

所以A??，即f(x,y)?1?e?2x2?2xy?y2

X的邊緣概率密度為

1?x2???(x?y)2121?x2fX(x)?e?edy?e?x???e,???x???

?????1f(x,y)?fYX(yx)??1?x2fX(x)ee?2x2?2xy?y2?1?e?(x?y)2,???x???,???y???

22?（23）由題知N1,N2,N3分別聽從二項(xiàng)分布B(n,1??),B(n,???),B(n,?)，則有

EN1?n(1??),EN2?n(???2),EN3?n?2

ET?E(?aiNi)??aiENi?a1n(1??)?a2n(???2)?a3n?2??i?1i?133??a1?0?a1n?0?1????a2n?a1n?1??a2?n?an?an?0?32?1?a3??n?T??aiNi?i?13N2?N3n?N1N??1?1nnnDT?D(1?N111(1??)?)?2DN1?2?n(1??)??nnnn評(píng)點(diǎn)：此題實(shí)際上是考察無(wú)偏估計(jì)的概念與二項(xiàng)分布的概念與性質(zhì)的題目。這里的Ni均聽從二項(xiàng)分布，而二項(xiàng)分布的期望和方差是基本的內(nèi)容，因此，只要知道無(wú)偏估計(jì)的定義，就簡(jiǎn)單求得題中的常數(shù)ai，但在求T的方差時(shí)，由于Ni之間不獨(dú)立，直接用方差的性質(zhì)來(lái)求DT是十分麻煩的，但一旦注意到N1?N2?N3?n，就可以講求DT的計(jì)

6

1??10??-101??1??-101??22??????1????A?Q?QT??020??1020?010?????2???101??1???10101????????0?2??2（II）證明：?(A?E)T?AT?E?A?E?A?E為實(shí)對(duì)稱矩陣

又由于A的特征值為1,1,0?A?E特征值為2,2,1，都大于0?A?E為正定矩陣

評(píng)點(diǎn)：此題考察的知識(shí)點(diǎn)有二次型用正交變換化標(biāo)準(zhǔn)形的理論，實(shí)對(duì)稱矩陣通過(guò)正交矩陣和對(duì)角矩陣相像的理論，以及二次型正定性的判定等。首先根據(jù)正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形，確定二次型矩陣的特征值及特征向量，再根據(jù)實(shí)對(duì)稱矩陣不同特征值的特征向量正交求得特征值1的特征向量，特征向量單位化，構(gòu)造正交矩陣，進(jìn)一步求出矩陣A，由A的特征值求出A+E的特征值，利用特征值判定A+E是正定矩陣。（22）（此題總分值11分）設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為f(x,y)?A