遼寧省重點(diǎn)中學(xué)2022-2023學(xué)年度高考適應(yīng)性測(cè)試及參考答案

遼寧省2022-2023學(xué)年度高考適應(yīng)性測(cè)試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．設(shè)i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則（）A． B．1 C． D．22．已知集合，，則（）A． B．C． D．3．函數(shù)在上單調(diào)遞減的充分必要條件是（）A． B． C． D．4．如圖，在三棱錐中，，，過點(diǎn)作截面，則周長(zhǎng)的最小值為（）A． B． C． D．5．蜜蜂的巢房是令人驚嘆的神奇天然建筑物．巢房是嚴(yán)格的六角柱狀體，它的一端是平整的六角形開口，另一端是封閉的六角菱形的底，由三個(gè)相同的菱形組成．巢中被封蓋的是自然成熟的蜂蜜．如圖是一個(gè)蜂巢的正六邊形開口，下列說法正確的是（）A． B．C． D．在上的投影向量為6．某醫(yī)用口罩生產(chǎn)廠家生產(chǎn)醫(yī)用普通口罩、醫(yī)用外科口罩、醫(yī)用防護(hù)口罩三種產(chǎn)品，三種產(chǎn)品的生產(chǎn)比例如圖所示，且三種產(chǎn)品中綁帶式口罩的比例分別為90%，50%，40%．若從該廠生產(chǎn)的口罩中任選一個(gè)，則選到綁帶式口罩的概率為（）A．0.23 B．0.47 C．0.53 D．0.777．在三棱錐中，，，，則三棱錐的外接球的表面積為（）A． B． C． D．8．已知實(shí)數(shù)，，，且，，，則（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（）A．的最小正周期為B．是的最大值C．把函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得到函數(shù)的圖象D．時(shí)，的最小值為，的最大值為110．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，線段上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)、，且，則下列結(jié)論中正確的是（）A． B．平面ABCDC．三棱錐的體積為定值 D．的面積與的面積相等11．瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（LeonhardEuler）1765年在其所著的《三角形的幾何學(xué)》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線．已知的頂點(diǎn)，，其歐拉線方程為，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)可以是（）A． B． C． D．12．定義在上的偶函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，若關(guān)于的不等式的整數(shù)解有且僅有9個(gè)，則實(shí)數(shù)m的取值可以是（）A． B． C． D．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．在的展開式中，含的項(xiàng)的系數(shù)是______．14．已知數(shù)列滿足，，則______．15．若關(guān)于的不等式對(duì)任意恒成立，則正實(shí)數(shù)的取值集合為______．16．已知函數(shù)，的定義域均為R，是奇函數(shù)，且，，則下列結(jié)論正確的是______．（只填序號(hào)）①為偶函數(shù) ②為奇函數(shù) ③ ④四、解答題：本題共小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17．（10分）在銳角中，角，，，的對(duì)邊分別為，，，從條件①：，條件②：這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知條件．（1）求角的大??；（2）若，求周長(zhǎng)的取值范圍．18．（12分）已知為單調(diào)遞增數(shù)列，為其n前項(xiàng)和，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，證明：．19．（12分）芻甍（chúméng）是中國(guó)古代數(shù)學(xué)書中提到的一種幾何體，《九章算術(shù)》中對(duì)其有記載：“下有袤有廣，而上有袤無廣”，可翻譯為：“底面有長(zhǎng)有寬為矩形，頂部只有長(zhǎng)沒有寬為一條棱．”，如圖，在芻甍中，四邊形ABCD是正方形，平面和平面交于．（1）求證：；（2）若平面平面ABCD，，，，，求平面和平面所成角余弦值的絕對(duì)值．20．（12分）甲、乙兩地教育部門到某師范大學(xué)實(shí)施“優(yōu)才招聘計(jì)劃”，即通過對(duì)畢業(yè)生進(jìn)行筆試，面試，模擬課堂考核這3項(xiàng)程序后直接簽約一批優(yōu)秀畢業(yè)生，已知3項(xiàng)程序分別由3個(gè)考核組獨(dú)立依次考核，當(dāng)3項(xiàng)程序均通過后即可簽約．去年，該校數(shù)學(xué)系130名畢業(yè)生參加甲地教育部門“優(yōu)才招聘計(jì)劃”的具體情況如下表（不存在通過項(xiàng)3程序考核放棄簽約的情況）．人數(shù)

性別參加考核但未能簽約的人數(shù)參加考核并能簽約的人數(shù)男生4515女生6010今年，該校數(shù)學(xué)系畢業(yè)生小明準(zhǔn)備參加兩地的“優(yōu)才招聘計(jì)劃”，假定他參加各程序的結(jié)果相互不影響，且他的輔導(dǎo)員作出較客觀的估計(jì)：小明通過甲地的每項(xiàng)程序的概率均為通過乙地的各項(xiàng)程序的概率依次為，，m，其中．（1）判斷是否有90%的把握認(rèn)為這130名畢業(yè)生去年參加甲地教育部門“優(yōu)才招聘計(jì)劃”能否簽約與性別有關(guān)；（2）若小明能與甲、乙兩地簽約分別記為事件，，他通過甲、乙兩地的程序的項(xiàng)數(shù)分別記為，．當(dāng)時(shí)，證明：．參考公式與臨界值表：，．0.100.050.0250.0102.7063.8415.0246.63521．（12分）已知橢圓的左右頂點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為，離心率為，，點(diǎn)，為橢圓上異于，的兩點(diǎn)，直線，相交于點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）若點(diǎn)在直線上，求證：直線過定點(diǎn)．22．（12分）已知函數(shù)．（其中為非零實(shí)數(shù)）（1）討論的單調(diào)性；（2）若函數(shù)（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）有兩個(gè)零點(diǎn)，，求證：．參考答案及評(píng)分意見1．B【解析】由題意：，滿足題意時(shí)．解得．故選B．2．C【解析】，，∴．故選C．3．B【解析】若在上單調(diào)遞減，則滿足且，則．即在上單調(diào)遞減的一個(gè)充分必要條件是．故選B．4．C【解析】如圖．沿著側(cè)棱把正三棱錐展開在一個(gè)平面內(nèi)，如下圖所示：則即為的周長(zhǎng)的最小值，且，在中，由勾股定理得；．故選C．5．D【解析】對(duì)A，，顯然由圖可得與為相反向量，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，由圖易得，直線平分角，且為正三角形，根據(jù)平行四邊形法則有，與共線且同方向．易知，均為含角的直角三角形，故，則，而，故，故，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，因?yàn)椋蔆錯(cuò)誤；對(duì)D，，則在上的投影向量為，故D正確．故選D．6．D【解析】由圖可知醫(yī)用普通口罩、醫(yī)用外科口罩、醫(yī)用防護(hù)口罩的占比分別為70%，20%，10%，記事件，，分別表示選到醫(yī)用普通口罩、醫(yī)用外科口罩、醫(yī)用防護(hù)口罩，則，且，，兩兩互斥，所以，，，又三種產(chǎn)品中綁帶式口罩的比例分別為90%，50%，40%，記事件B為“選到綁帶式口罩”，則，，，所以由全概率公式可得選到綁帶式口罩的概率為．故選D．7．A【解析】三棱錐中，，，，構(gòu)造長(zhǎng)方體，使得面上的對(duì)角線長(zhǎng)分別為4，5，，則長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于三棱錐外接球的直徑，如圖，設(shè)長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)分別為，，，則，，，則，因此三棱錐外接球的直徑為，所以三棱錐外接球的表面積為，故選A．8．A【解析】由，，得，，，因此，，．設(shè)函數(shù)，則，，，，令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即，又，，，所以．故選A．9．AC【解析】因?yàn)?，所以周期，故A正確；．故B不正確；將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象，故C正確，因?yàn)?，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為2．當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為．故D不正確．故選AC．10．ABC【解析】由，，可證平面，從而，故A正確；由平面，可知平面，故B正確；設(shè)與交于點(diǎn)，則為三棱錐的高，，三棱錐的體積為為定值，故C正確；由圖形可以看出，到線段的距離與到線段的距離不相等，所以的面積與的面積不相等，故D錯(cuò)誤．故選ABC．11．AD【解析】設(shè)，的垂直平分線為，的外心為歐拉線方程與直線的交點(diǎn)，∴，∴①，由，，重心為，代入歐拉線方程，得②，由①②可得，或，．故選AD．12．BC【解析】因?yàn)槎x在R上的偶函數(shù)滿足，所以，所以，從而4為函數(shù)的周期，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)畫出函數(shù)的示意圖，關(guān)于x的不等式的整數(shù)解有且僅有9個(gè)，從而滿足解得，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為，，，．故選BC．13．【解析】因?yàn)?，所以含的?xiàng)為：，所以含的項(xiàng)的系數(shù)是．故答案為．14．2022【解析】因?yàn)?，即，所以，等式兩端同時(shí)除以，整理得：，即為常數(shù)列．因?yàn)椋?，所以，所以．故答案?022．15．【解析】由題意可得對(duì)任意恒成立，由，，可得，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取得等號(hào)，則，解得．故答案為．16．①④【解析】因?yàn)?，所以，又，則有，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，可得，即有與，即，所以是周期為4的周期函數(shù)，故也是周期為4的周期函數(shù)．因?yàn)?，所以，所以為偶函?shù)．故①正確；由是奇函數(shù)，則，所以，又，所以，所以③錯(cuò)誤；由得，所以②錯(cuò)誤；因?yàn)椋?，所以，所以，所以④正確．故答案為①④．17．解：（1）選條件①：因?yàn)?，所以，所以．又因?yàn)?，所以，所以，所以．選條件②：由正弦定理可得．即，又因?yàn)椋裕驗(yàn)?，所以．?）∵，，∴，，則即，即周長(zhǎng)的取值范圍為．18．解：當(dāng)時(shí)，，所以，即，又為單調(diào)遞增數(shù)列，所以，由得，所以，整理得，所以，所以，即，所以是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以．（2）證明：，所以．19．（1）證明：在正方形中，，平面，平面，所以平面．又平面，平面與平面交于，∴．（2）解：過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，連接．由平面平面，平面平面，∴平面．又平面，∴．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由（1）知，∴．在四邊形中，，，，所以，．在正方形中，，所以．因?yàn)?，且，所以．所以，，，，，所以，，，．設(shè)平面的一個(gè)法向量，由令，則．設(shè)平面的一個(gè)法向量，由令，則．設(shè)平面和平面所成角為，則，所以平面和平面所成角余弦值的絕對(duì)值為．20．解：（1）因?yàn)?，所以沒有90%的把握認(rèn)為去年該校130名數(shù)學(xué)系畢業(yè)生參加甲地教育部門“優(yōu)才招聘計(jì)劃”能否簽約與性別有關(guān)．（2）因?yàn)樾∶鲄⒓痈鞒绦虻慕Y(jié)果相互不影響，所以，則．的可能取值為0，1，2，3．，，，．隨機(jī)變量的分布列：0123．因?yàn)?，所以，即，所以，所?1．（1）解：依題意，，，，，，解得所以橢圓的方程為．（2）證明：設(shè)，，則，，，①當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，由對(duì)稱性，直線，交于軸，不合題意，舍去．②當(dāng)直線不垂直于軸時(shí)，設(shè)其方程為，聯(lián)立得．依題意，，，，．所以．因?yàn)?，，所以直線方程為，直線方程為．依題意，設(shè)，因?yàn)闉?/p>