函數(shù)的單調(diào)性新課課件

課題：函數(shù)的單調(diào)性問題提出德國有一位著名的心理學家艾賓浩斯，對人類的記憶牢固程度進行了有關(guān)研究.他經(jīng)過測試，得到了以下一些數(shù)據(jù)：時間間隔

剛記

20分

60分

8-9

1天

2天

6天

一個t

憶完

鐘后

鐘后

小時

后

后

后

月后畢后記憶量y

100

58.2

44.2

35.8

33.7

27.8

25.4

21.1(百分比)以上數(shù)據(jù)表明，記憶量y是時間間隔t的函數(shù).

艾賓浩斯根據(jù)這y1008060些數(shù)據(jù)描繪出了著名的“艾賓浩

4

020o斯遺忘曲線”,如圖.123ty思考1:當時間間隔t逐漸增大你能看出對應的函數(shù)值y有什么變化趨勢？通過這個試驗，你打算以后如何對待剛學過的知識?10080604020ot123思考2:“艾賓浩斯遺忘曲線”從左至右是逐漸下降的，對此，我們?nèi)绾斡脭?shù)學觀點進行解釋？知識探究（一）考察下列兩個函數(shù):yyoxox思考1:這兩個函數(shù)的圖象分別是什么？二者有何共同特征？思考2:如果一個函數(shù)的圖象從左至右逐漸上升，那么當自變量x從小到大依次取值時，函數(shù)值y的變化情況如何？一般地，設函數(shù)的定義域為D:如果對于屬于定義域為D內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值x

、x

,當x

<x

時121

2,都有f(x

)<f(x

),那么12就說f(x)在這個區(qū)間上是增函數(shù).o一般地，設函數(shù)

的定義域為D：如果對于屬于定義域D內(nèi)的任意兩個自變量的值

，

。當時，都有那么就說

是增函數(shù)。一般地，設函數(shù)的定義域為D:如果對于屬于定義域為D內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值x

、x

,當x

<x

時,121

2都有f(x

)>f(x

),那么12就說f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù).o一般地，設函數(shù)

的定義域為D：如果對于屬于定義域D內(nèi)的任意兩個自變量的值

，

。當時，都有那么就說

是減函數(shù)。如果函數(shù)

在某個區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)在這一區(qū)間具有（嚴格的）單調(diào)性，這一區(qū)間叫做

的單調(diào)區(qū)間。注：1.函數(shù)的單調(diào)性也叫函數(shù)的增減性2.函數(shù)的單調(diào)性是對某個區(qū)間而言的,它是一個局部概念.例1

下圖是定義在閉區(qū)間[-5,5]上的函數(shù)

的圖象,根據(jù)圖象說出的單調(diào)區(qū)間,以及在每一區(qū)間上,是增函數(shù)還是減函數(shù)

.321-2O-1-5

-4

-3

-11

2

3

4

5-2解:函數(shù)

的單調(diào)區(qū)間有[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5],在區(qū)間[-5,-2),[1,3)上是減函數(shù)在區(qū)間[-2,1),[3,5)上是增函數(shù).321-2O-1-5

-4

-3

-11

2

3

4

5-2練習:給出下列函數(shù)的圖象,指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,并指明其單調(diào)性.圖（1）圖（2）常見函數(shù)的單調(diào)性：1.一次函數(shù):2.反比例函數(shù):3.二次函數(shù):對稱軸:例2

證明函數(shù)在R上是增函數(shù).證明：設x

，x

是R上的任意兩個實數(shù)，12任意取值作差變形且x

<x

,則1

2f(x

)－f(x

)=(3x

+2)－(3x

+2)1212=3(x

－x

).12由x

<x

,得x

－x

<0,1212判斷符號于是f(x

)－f(x

)<0,即f(x

)<f(x

).1212得出結(jié)論所以,f(x)=3x+2在R上是增函數(shù).判定函數(shù)在某個區(qū)間上的單調(diào)性的方法步驟:1.設

給定的區(qū)間,且

;2.計算至最簡

;3.判斷上述差的符號

;4.下結(jié)論(若差<0,則為增函數(shù);若差>0,則為減函數(shù)).同增異減例3

證明函數(shù)是減函數(shù).在(0,+∞)上證明：設是（0，+∞）上的任意兩個，則實數(shù)，且由，得，

得又由于是，即在（0，+∞)上是減函數(shù).所以，練習：證明函數(shù)是減函數(shù).在(-∞,0)上證明：設是上的任意兩個（-

∞

，0），則實數(shù)，且由，得又由于是，

得，即所以，在上是減函數(shù).（-

∞

，0

）例４、求證函數(shù)f(x)=-x

+1是R上的減函數(shù)3證明：任取x

，x

∈R，且x

<x

，則1212且等號不能同時成立由x

、x

的任意性可知，此函數(shù)是R上的減函數(shù)121.判斷函數(shù)在(0,+∞)上是增函數(shù)還是減函數(shù)?2、已知函數(shù)f(x)=x(-∞,4)上是減函數(shù)，a=______+2(a-1)x+2在區(qū)間2的單調(diào)區(qū)間,以及在各個區(qū)間上是增函數(shù)還是減函數(shù);你能給出相應的證明嗎?課堂小結(jié)，知識再現(xiàn)1、函數(shù)單調(diào)性是對定義域的某個區(qū)間而言的，反映的是在這一區(qū)間上函數(shù)值隨自變量變化的性質(zhì).小2、判斷函數(shù)