橢圓離心率總結(jié)匯總

關(guān)于橢圓離心率設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，如果橢圓上存在點(diǎn)P，使，求離心率e的取值范圍。解法1：利用曲線范圍設(shè)P（x，y），又知，則將這個(gè)方程與橢圓方程聯(lián)立，消去y，可解得解法2：利用二次方程有實(shí)根由橢圓定義知解法3：利用三角函數(shù)有界性記解法4：利用焦半徑由焦半徑公式得解法5：利用基本不等式由橢圓定義，有平方后得解法6：巧用圖形的幾何特性由，知點(diǎn)P在以為直徑的圓上。又點(diǎn)P在橢圓上，因此該圓與橢圓有公共點(diǎn)P故有水深火熱的演練一、直接求出或求出a與b的比值，以求解。在橢圓中，，1.已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，則橢圓的離心率等于2.已知橢圓兩條準(zhǔn)線間的距離是焦距的2倍，則其離心率為3.若橢圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且焦點(diǎn)為,則橢圓的離心率為4.已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝3，則以A、B為焦點(diǎn)，且過(guò)C、D兩點(diǎn)的橢圓的離心率為。5.若橢圓短軸端點(diǎn)為滿足，則橢圓的離心率為。6..已知?jiǎng)t當(dāng)mn取得最小值時(shí)，橢圓的的離心率為7.橢圓的焦點(diǎn)為，，兩條準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)分別為，若，則該橢圓離心率的取值范圍是8.已知F1為橢圓的左焦點(diǎn)，A、B分別為橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，P為橢圓上的點(diǎn)，當(dāng)PF1⊥F1A，PO∥AB（O為橢圓中心）時(shí)，橢圓的離心率為。9.P是橢圓+=1（a＞b＞0）橢圓的離心率為10.已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，若，則橢圓的離心率為11.在給定橢圓中，過(guò)焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為，焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為1，則該橢圓的離心率為12.設(shè)橢圓=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F1，右準(zhǔn)線為l1，若過(guò)F1且垂直于x軸的弦的長(zhǎng)等于點(diǎn)F1到l1的距離，則橢圓的離心率是。13.橢圓（a>b>0）的兩頂點(diǎn)為A（a,0）B(0,b),若右焦點(diǎn)F到直線AB的距離等于∣AF∣，則橢圓的離心率是。14.橢圓（a>b>0）的四個(gè)頂點(diǎn)為A、B、C、D，若四邊形ABCD的內(nèi)切圓恰好過(guò)焦點(diǎn)，則橢圓的離心率是15.已知直線L過(guò)橢圓（a>b>0）的頂點(diǎn)A（a,0）、B(0,b),如果坐標(biāo)原點(diǎn)到直線L的距離為，則橢圓的離心率是16.在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓1(0)的焦距為2，以O(shè)為圓心，為半徑作圓，過(guò)點(diǎn)作圓的兩切線互相垂直，則離心率=17.設(shè)橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)為，方程的兩個(gè)實(shí)根分別為和，則點(diǎn)（A）Ａ．必在圓內(nèi) Ｂ．必在圓上Ｃ．必在圓外 Ｄ．以上三種情形都有可能二、構(gòu)造的齊次式，解出1．已知橢圓的焦距、短軸長(zhǎng)、長(zhǎng)軸長(zhǎng)成等差數(shù)列，則橢圓的離心率是2．以橢圓的右焦點(diǎn)F2為圓心作圓，使該圓過(guò)橢圓的中心并且與橢圓交于M、N兩點(diǎn)，橢圓的左焦點(diǎn)為F1，直線MF1與圓相切，則橢圓的離心率是3．以橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)F為圓心作一個(gè)圓，使該圓過(guò)橢圓的中心O并且與橢圓交于M、N兩點(diǎn)，如果∣MF∣=∣MO∣，則橢圓的離心率是4．設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1、、F2，過(guò)F2作橢圓長(zhǎng)軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P，若△F1PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是5．已知F1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)F1且與橢圓長(zhǎng)軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，若△ABF2是正三角形，則這個(gè)橢圓的離心率是6．設(shè)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，P是其右準(zhǔn)線上縱坐標(biāo)為（為半焦距）的點(diǎn)，且，則橢圓的離心率是三、尋找特殊圖形中的不等關(guān)系或解三角形。1．已知、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，滿足的點(diǎn)總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是2．已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，且，橢圓離心率e的取值范圍為3．已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，且，橢圓離心率e的取值范圍為4．設(shè)橢圓（a>b>0）的兩焦點(diǎn)為F1、F2，若橢圓上存在一點(diǎn)Q，使∠F1QF2=120o，橢圓離心率e的取值范圍為5．在中，，．若以為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則該橢圓的離心率．6．設(shè)分別是橢圓（）的左、右焦點(diǎn)，若在其右準(zhǔn)線上存在使線段的中垂線過(guò)點(diǎn)，則橢圓離心率的取值范圍是7．如圖，正六邊形ABCDEF的頂點(diǎn)A、D為一橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，其余四個(gè)頂點(diǎn)B、C、E、F均在橢圓上，則橢圓離心率的取值范圍是橢圓離心率的解法橢圓的幾何性質(zhì)中，對(duì)于離心率和離心率的取值范圍的處理，同學(xué)們很茫然，沒有方向性。題型變化很多，難以駕馭。以下，總結(jié)一些處理問(wèn)題的常規(guī)思路，以幫助同學(xué)們理解和解決問(wèn)題。運(yùn)用幾何圖形中線段的幾何意義?；A(chǔ)題目：如圖，O為橢圓的中心，F(xiàn)為焦點(diǎn)，A為頂點(diǎn)，準(zhǔn)線L交OA于B，P、Q在橢圓上，PD⊥L于D，QF⊥AD于F,設(shè)橢圓的離心率為e，則①e=EQ\f(｜PF｜,｜PD｜)②e=EQ\f(｜QF｜,｜BF｜)③e=EQ\f(｜AO｜,｜BO｜)④e=EQ\f(｜AF｜,｜BA｜)⑤e=EQ\f(｜FO｜,｜AO｜)DDBFOBBBAPQ評(píng)：AQP為橢圓上的點(diǎn)，根據(jù)橢圓的第二定義得，①②④?！撸麬O｜=a,｜OF｜=c,∴有⑤；∵｜AO｜=a,｜BO｜=EQ\f(a2,c)∴有③。題目1：橢圓EQ\f(x2,a2)+EQ\f(y2,b2)=1(a>b>0)的兩焦點(diǎn)為F1、F2，以F1F2為邊作正三角形，若橢圓恰好平分正三角形的兩邊，則橢圓的離心率e？BBAF2F1思路：A點(diǎn)在橢圓外，找a、b、c的關(guān)系應(yīng)借助橢圓，所以取AF2的中點(diǎn)B，連接BF1,把已知條件放在橢圓內(nèi)，構(gòu)造△F1BF2分析三角形的各邊長(zhǎng)及關(guān)系。解：∵｜F1F2｜=2c｜BF1｜=c｜BF2｜=EQ\r(,3)cc+EQ\r(,3)c=2a∴e=EQ\f(c,a)=EQ\r(,3)-1變形1：橢圓EQ\f(x2,a2)+EQ\f(y2,b2)=1(a>b>0)的兩焦點(diǎn)為F1、F2，點(diǎn)P在橢圓上，使△OPF1為正三角形，求橢圓離心率？OOOOOOOOOOOOOOOOOOOPF1F2FOOOOOOOOOOOOOOOOOOOPF1F2F2F22解：連接PF2,則｜OF2｜=｜OF1｜=｜OP｜,∠F1PF2=90°圖形如上圖，e=EQ\r(,3)-1變形2:橢圓EQ\f(x2,a2)+EQ\f(y2,b2)=1(a>b>0)的兩焦點(diǎn)為F1、F2，AB為橢圓的頂點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，且PF1⊥X軸，PF2∥AB,求橢圓離心率？BAF2F1POBAF2F1PO解：∵｜PF1｜=EQ\f(,)EQ\f(b2,a)｜F2F1｜=2c｜OB｜=b｜OA｜=aPF2∥AB∴EQ\f(｜PF1｜,｜F2F1｜)=EQ\f(b,a)又∵b=EQ\r(,a2-c2)∴a2=5c2e=EQ\f(EQ\r(,5),5)點(diǎn)評(píng)：以上題目，構(gòu)造焦點(diǎn)三角形，通過(guò)各邊的幾何意義及關(guān)系，推導(dǎo)有關(guān)a與c的方程式，推導(dǎo)離心率。二、運(yùn)用正余弦定理解決圖形中的三角形題目2：橢圓EQ\f(x2,a2)+EQ\f(y2,b2)=1(a>b>0)，A是左頂點(diǎn)，F(xiàn)是右焦點(diǎn)，B是短軸的一個(gè)頂點(diǎn)，∠ABF=90°，求e?FBAFBAO解：｜AO｜=a｜OF｜=c｜BF｜=a｜AB｜=EQ\r(,a2+b2)a2+b2+a2=(a+c)2=a2+2ac+c2a2-c2-ac=0兩邊同除以a2e2+e-1=0e=EQ\f(-1+EQ\r(,5),2)e=EQ\f(-1-EQ\r(,5),2)(舍去)變形：橢圓EQ\f(x2,a2)+EQ\f(y2,b2)=1(a>b>0)，e=EQ\f(-1+EQ\r(,5),2),A是左頂點(diǎn)，F(xiàn)是右焦點(diǎn)，B是短軸的一個(gè)頂點(diǎn)，求∠ABF？點(diǎn)評(píng)：此題是上一題的條件與結(jié)論的互換，解題中分析各邊，由余弦定理解決角的問(wèn)題。答案：90°引申：此類e=EQ\f(EQ\r(,5)-1,2)的橢圓為優(yōu)美橢圓。性質(zhì)：1、∠ABF=90°2、假設(shè)下端點(diǎn)為B1,則ABFB1四點(diǎn)共圓。3、焦點(diǎn)與相應(yīng)準(zhǔn)線之間的距離等于長(zhǎng)半軸長(zhǎng)?？偨Y(jié)：焦點(diǎn)三角形以外的三角形的處理方法根據(jù)幾何意義，找各邊的表示，結(jié)合解斜三角形公式，列出有關(guān)e的方程式。題目3：橢圓EQ\f(x2,a2)+EQ\f(y2,b2)=1(a>b>0)，過(guò)左焦點(diǎn)F1且傾斜角為60°的直線交橢圓與AB兩點(diǎn)，若｜F1A｜=2｜BF1｜,求e?解：設(shè)｜BF1｜=m則｜AF2｜=2a-am｜BF2｜=2a-m在△AF1F2及△BF1F2中，由余弦定理得：ADVANCE\u3EQ\B\lc\{(\a\al(a2–c2=m(2a-c),2(a2-c2)=m(2a+c),))兩式相除EQ\f(：2a-c,2a+c)=EQ\f(1,2)e=EQ\f(2,3)題目4：橢圓EQ\f(x2,a2)+EQ\f(y2,b2)=1(a>b>0)的兩焦點(diǎn)為F1（-c，0）、F2(c,0)，P是以｜F1F2｜為直徑的圓與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)，且∠PF1F2=5∠PF2F1,求e?分析：此題有角的值，可以考慮正弦定理的應(yīng)用。解：由正弦定理：EQ\f(｜F1F2｜,sinF1PF2)=EQ\f(｜F1P｜,sinF1F2P)=EQ\f(｜PF2｜,sinPF1F2)根據(jù)和比性質(zhì)：EQ\f(｜F1F2｜,sinF1PF2)=EQ\f(｜F1P｜+｜PF2｜,sinF1F2P+sinPF1F2)變形得：EQ\f(｜F1F2｜,｜PF2｜+｜F1P｜)=EQ\f(sinF1PF2,sinF1F2P+sinPF1F2)=

=EQ\f(2c,2a)=e∠PF1F2=75°∠PF2F1=15°e=EQ\f(sin90°,sin75°+sin15°)=EQ\f(EQ\r(,6),3)點(diǎn)評(píng)：在焦點(diǎn)三角形中，使用第一定義和正弦定理可知e=EQ\f(sinF1PF2,sinF1F2P+sinPF1F2)變形1：橢圓EQ\f(x2,a2)+EQ\f(y2,b2)=1(a>b>0)的兩焦點(diǎn)為F1（-c，0）、F2(c,0)，P是橢圓上一點(diǎn)，且∠F1PF2=60°，求e的取值范圍？分析：上題公式直接應(yīng)用。解：設(shè)∠F1F2P=α，則∠F2F1P=120°-αe=EQ\f(sinF1PF2,sinF1F2P+sinPF1F2)=EQ\f(sin60°,sinα+sin(120°-α))=EQ\f(1,2sin(α+30°))≥EQ\f(1,2)∴EQ\f(1,2)≤e<1變形2：已知橢圓EQ\f(x2,4)+EQ\f(y2,4t2)=1(t>0)F1F2為橢圓兩焦點(diǎn)，M為橢圓上任意一點(diǎn)（M不與長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)重合）設(shè)∠PF1F2=α,∠PF2F1=β若EQ\f(1,3)<tanEQ\f(α,2)<tanEQ\f(β,2)<EQ\f(1,2),求e的取值范圍？分析：運(yùn)用三角函數(shù)的公式，把正弦化正切。解;根據(jù)上題結(jié)論e=EQ\f(sinF1PF2,sinF1F2P+sinPF1F2)=EQ\f(sin(α+β),sinα+sinβ)=EQ\f(2sinEQ\f(α+β,2)cosEQ\f(α+β,2),2sinEQ\f(α+β,2)cosEQ\f(α-β,2))=EQ\f(cosEQ\f(α,2)cosEQ\f(β,2)-sinEQ\f(α,2)sinEQ\f(β,2),cosEQ\f(α,2)cosEQ\f(β,2)+sinEQ\f(α,2)sinEQ\f(β,2))=EQ\f(1-tanEQ\f(α,2)tanEQ\f(β,2),1-tanEQ\f(α,2)tanEQ\f(β,2))=e∵EQ\f(1,3)<EQ\f(1-e,1+e)<EQ\f(1,2)∴EQ\f(1,3)<e<EQ\f(1,2)以直線與橢圓的位置關(guān)系為背景，用設(shè)而不求的方法找e所符合的關(guān)系式.題目5：橢圓EQ\f(x2,a2)+EQ\f(y2,b2)=1(a>b>0)，斜率為1，且過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，EQ\o(\s\up7(→),\s\do3\up1(OA))+EQ\o(\s\up7(→),\s\do3\up1(OB))與EQ\o(\s\up7(→),\s\do3\up1(a))=(3,-1)共線，求e?B(X2,Y2)A(X1,Y1)OB(X2,Y2)A(X1,Y1)O法一：設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)EQ\B\lc\{(\a\al(b2x2+a2y2=a2b2,y=x-c,))(a2+b2)x2-2a2cx+a2c2-a2b2=0x1+x2=EQ\f(2a2c,a2+b2)y1+y2=EQ\f(2a2c,a2+b2)-2c=EQ\f(-2b2c,a2+b2)EQ\o(\s\up7(→),\s\do3\up1(OA))+EQ\o(\s\up7(→),\s\do3\up1(OB))=(x1+x2,y1+y2)與（3，-1）共線，則-（x1+x2）=3(y1+y2)既a2=3b2e=EQ\f(EQ\r(,6),3)法二：設(shè)AB的中點(diǎn)N，則2EQ\o(\s\up7(→),\s\do3\up1(ON))=EQ\o(\s\up7(→),\s\do3\up1(OA))+EQ\o(\s\up7(→),\s\do3\up1(OB))EQ\B\lc\{(\a\al(EQ\f(x12,a2)+EQ\f(y12,b2)=1①,,EQ\f(x22,a2)+EQ\f(y22,b2)=1②,))①-②得：EQ\f(y1-y2,x1-x2)=-EQ\f(b2,a2)EQ\f(x1+x2,y1+y2)∴1=-EQ\f(b2,a2)(-3)既a2=3b2e=EQ\f(EQ\r(,6),3)由圖形中暗含的不等關(guān)系，求離心率的取值范圍。題目6：橢圓EQ\f(x2,a2)+EQ\f(y2,b2)=1(a>b>0)的兩焦點(diǎn)為F1（-c，0）、F2(c,0)，滿足EQ\o(\s\up7(→),\s\do3\up1(MF))1·EQ\o(\s\up7(→),\s\do3\up1(MF))2=0的點(diǎn)M總在橢圓內(nèi)部，則e的取值范圍？FF2MF1O分析：∵EQ\o(\s\up7(→),\s\do3\up1(MF))1·EQ\o(\s\up7(→),\s\do3\up1(MF))2=0∴以F1F2為直徑作圓，M在圓O上，與橢圓沒有交點(diǎn)。解：∴c<ba2=b2+c2>2c2∴0<e<EQ\f(EQ\r(,2),2)題目7：橢圓EQ\f(x2,a2)+EQ\f(y2,b2)=1(a>b>0)的兩焦點(diǎn)為F1（-c，0）、F2(c,0)，P為右準(zhǔn)線L上一點(diǎn)，F(xiàn)1P的垂直平分線恰過(guò)F2點(diǎn)，求e的取值范圍？MPF2F1OMPF2F1O分析：思路1,如圖F1P與F2M垂直，根據(jù)向量垂直，找a、b、c的不等關(guān)系。思路2：根據(jù)圖形中的邊長(zhǎng)之間的不等關(guān)系，求e解法一：F1（-c，0）F2(c,0)P(EQ\f(a