變分法及其在最優(yōu)控制中的應(yīng)用

變分法及其在最優(yōu)控制中的應(yīng)用第1頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期三主要內(nèi)容§1.1泛函的變分§1.2歐拉方程§1.3橫截條件§1.4泛函局部極值的充分條件§1.5等式約束條件下的變分問(wèn)題§1.6利用變分法求解最優(yōu)控制問(wèn)題課外習(xí)題返回目錄第2頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期三§1.1泛函的變分一、泛函的定義如果變量J對(duì)于某一函數(shù)類中的每一個(gè)函數(shù)x(t)，都有一個(gè)與之對(duì)應(yīng)，那么就稱變量J為依賴于函數(shù)x(t)的泛函，記為：J=J[x(t)]。確定的值說(shuō)明：由于函數(shù)的值是由自變量的選取而確定的，而泛函的值是由自變量的函數(shù)的選取而確定的，所以將泛函理解為“函數(shù)的函數(shù)”。例1.1.1函數(shù)的定積分是泛函。因?yàn)樽兞縅的值是由函數(shù)的選取而確定的。第3頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例1.1.2在平面上連接給定兩點(diǎn)A(ta，xa)和B(tb，xb)的曲線的弧長(zhǎng)J是一個(gè)泛函，如圖1-1所示。當(dāng)曲線方程x=x(t)（滿足x(ta)=xa，x(tb)=xb）給定后，可算出它在A、B兩點(diǎn)間的弧長(zhǎng)為：例1.1.3函數(shù)的不定積分不是泛函。泛函的上述概念，可以推廣到含有幾個(gè)函數(shù)的泛函的情況，例如：第4頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期三從例1.1.2可以知道，連接A、B兩點(diǎn)的曲線之弧長(zhǎng)的泛函，其被積函數(shù)是未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)。在一般情況下，被積函數(shù)是自變量t，未知函數(shù)x(t)及其導(dǎo)數(shù)的函數(shù)。所以最簡(jiǎn)單的一類泛函可表示為：

求函數(shù)的極值時(shí)，微分或?qū)?shù)起著重要的作用。求泛函的極值時(shí)，變分起著類似的作用。我們將求泛函的極值問(wèn)題稱為變分問(wèn)題，其相應(yīng)的方法稱為變分法。（1.1.1）如圖1-2所示。二、泛函宗量的變分泛函J[x(t)]的宗量是函數(shù)x(t)，其變分是指在同一函數(shù)類中的兩個(gè)函數(shù)間的差：第5頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期三三、泛函的連續(xù)性函數(shù)相近當(dāng)函數(shù)x(t)與x0(t)之差的絕對(duì)值，即∣x(t)-x0(t)∣,t1t

t2(1.1.2)

對(duì)于x(t)的定義域中的一切t（t1

t

t2

）都很小時(shí)，稱函數(shù)x(t)與函數(shù)x0(t)是相近的，也稱為零階相近。如圖1-3所示。第6頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期三一階相近當(dāng)函數(shù)x(t)與x0(t)之差的絕對(duì)值以及它們的一階導(dǎo)數(shù)和之差的絕對(duì)值，即

t1

tt2(1.1.3)

都很小，稱函數(shù)x(t)與函數(shù)x0(t)是一階相近的，如圖1-4所示。注意：一階相近的兩個(gè)函數(shù)，必然是零階相近，反之不成立。第7頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期三k階接近當(dāng)t1

t

t2(1.1.4)都很小時(shí)，稱函數(shù)x(t)與函數(shù)x0(t)是k階相近的。函數(shù)間距離

在不同的函數(shù)空間，函數(shù)間的距離定義也不同。在函數(shù)空間C[a，b]（在區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)的全體構(gòu)成的函數(shù)空間）中，通常采用下式定義距離：

（1.1.5）在函數(shù)空間Ck[a，b]（在區(qū)間[a，b]上連續(xù)且具有連續(xù)的k階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的全體構(gòu)成的函數(shù)空間）中，任意兩個(gè)函數(shù)間的距離定義為：

（1.1.6）顯然，式（1.1.5）定量地表示兩個(gè)函數(shù)之間的零階相近度，而式（1.1.6）定量地表示兩個(gè)函數(shù)之間的k階相近度。第8頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期三泛函的連續(xù)性如果對(duì)于任意給定的正數(shù)，可以找到這樣一個(gè)>0，當(dāng)

d[x(t)，x0(t)]<（1.1.7）時(shí)，存在∣J[x(t)]－J[x0(t)]<(1.1.8)

那么，就說(shuō)泛函J在點(diǎn)x0(t)處是連續(xù)的。根據(jù)所采用的函數(shù)之間距離定義的不同，是按式（1.1.5）還是式（1.1.6），其對(duì)應(yīng)的泛函分別稱為零階連續(xù)泛函或k階連續(xù)泛函。四、線性泛函連續(xù)泛函如果滿足下列條件：（1）J[x1(t)+x2(t)]=J[x1(t)]+J[x2(t)]（2）J[cx(t)]=c

J[x(t)]第9頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期三其中，c是任意常數(shù)，就稱為線性泛函。例如都滿足上述兩個(gè)條件，故均為線性泛函。五、泛函的變分如果連續(xù)泛函J[x(t)]的增量可以表示為：（泰勒級(jí)數(shù)）其中，L[x(t)，x(t)]是關(guān)于x(t)的線性連續(xù)泛函，而r[x(t)，x(t)]是關(guān)于x(t)的高階無(wú)窮小。L[x(t)，x(t)]稱為泛函的變分，記為（1.1.9）第10頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期三（1.1.10）也就是說(shuō)，泛函的變分是泛函增量的線性主部。當(dāng)一個(gè)泛函具有變分時(shí)，即泛函的增量可以用式（1.1.9）來(lái)表示時(shí)，稱該泛函是可微的。例如，泛函的增量為：于是，其變分為：第11頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期三可以證明，泛函的變分是唯一的。因?yàn)?，若泛函的變分不是唯一的，則泛函的增量可以寫(xiě)為：引理1.1.1泛函J[x(t)]的變分為：證明：如上所述，泛函J[x(t)]的增量為：其中，（0≤≤1）是一個(gè)參變量。由于L[x(t)，

x(t)]是關(guān)于

x(t)的線性連續(xù)泛函，根據(jù)線性泛函的性質(zhì)（2），有（1.1.11）第12頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期三又由于r[x(t)，

x(t)]是關(guān)于

x(t)的高階無(wú)窮小，所以利用上述兩點(diǎn)結(jié)論，便得根據(jù)偏微分的定義第13頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期三因?yàn)榉汉疛[x(t)]的變分為：所以Q．E．D第14頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例1.1.4求泛函的變分。根據(jù)式（1.1.11），該泛函的變分為：第15頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例1.1.5求泛函的變分根據(jù)式（1.1.11），所求泛函的變分為：第16頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期三若設(shè)則六、泛函的極值如果泛函J[x(t)]在函數(shù)空間中點(diǎn)x=x0(t)的鄰域內(nèi)，其增量為：就稱泛函J[x(t)]在點(diǎn)x0(t)處達(dá)到極小值；如果泛函J[x(t)]在函數(shù)空間中點(diǎn)x=x0(t)的鄰域內(nèi)，其增量為：就稱泛函J[x(t)]在點(diǎn)x0(t)處達(dá)到極大值；x0(t)的鄰域包含滿足條件：的所有點(diǎn)x(t)的球（即以x0(t)為圓心，以為半徑的球）。第17頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期三注意：所采用的函數(shù)間的距離的定義的不同，點(diǎn)x0(t)的鄰域內(nèi)所包含的函數(shù)也不同。

＊若→強(qiáng)極值＊若→弱極值

顯然，如果泛函J[x(t)]在點(diǎn)x0(t)處達(dá)到強(qiáng)極值，那么它在點(diǎn)x0(t)處也一定達(dá)到弱極值。反之不成立。定理1.1.1（必要條件）若泛函J[x(t)]是連續(xù)可微的，并且在點(diǎn)x0(t)處達(dá)到極值，則泛函在點(diǎn)x0(t)處的變分等于零，即（1.1.12）第18頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期三證明：對(duì)于任意給定的x(t)，J[x0(t)+x(t)]既是函數(shù)x(t)的泛函，又是變量的函數(shù)。泛函J[x0(t)+x(t)]在x0(t)處達(dá)到極值，也可看成是函數(shù)J[x0(t)+x(t)]在=0處達(dá)到極值，所以函數(shù)J[x0(t)+x(t)]對(duì)變量的偏導(dǎo)數(shù)在=0處應(yīng)等于零，即而由式（1.1.11）有比較上面兩式，又考慮x(t)是任意給定的，所以，Q．E．D．第19頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期三從定理1.1.1的推證中可見(jiàn)，泛函達(dá)到強(qiáng)極值與弱極值的必要條件是相同的。應(yīng)當(dāng)指出：本節(jié)所討論的定義、引理和定理，稍加變動(dòng)就可以應(yīng)用于含有多個(gè)未知函數(shù)的泛函：J[x1(t)，x2(t)，…，xn(t)]第20頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期三拉格朗日（Lagrange）問(wèn)題—基本問(wèn)題(1.2.1)麥耶耳(Mayer)問(wèn)題(1.2.2)波爾扎（Bolza）問(wèn)題(1.2.3)§1.2歐拉方程最優(yōu)控制問(wèn)題中，根據(jù)性能指標(biāo)的類型（積分型性能指標(biāo)、終值型性能指標(biāo)、復(fù)合型性能指標(biāo)）的不同，分別對(duì)應(yīng)了古典變分法中的三類基本問(wèn)題。第21頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期三固定端點(diǎn)的Lagrange問(wèn)題問(wèn)題描述：假定點(diǎn)A(t0,x0)和B(tf,xf)是所要尋求的泛函（1.2.1）的極值曲線x(t)的兩個(gè)固定端點(diǎn)，如圖1-5所示，其坐標(biāo)為：（1.2.4）現(xiàn)在的問(wèn)題是：從滿足邊界條件（1.2.4）的二階可微的函數(shù)中，選擇使泛函（1.2.1）達(dá)到極小值的函數(shù)x(t)。

解：設(shè)x*(t)是使泛函（1.2.1）達(dá)到極小值且滿足邊界條件（1.2.4）的極值條件?，F(xiàn)用表示滿足邊界條件（1.2.4）的極值曲線x*(t)的鄰域曲線。其中（1.2.5）第22頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期三x(t)是泛函宗量x(t)的變分，(01)是一參變量。為使x(t)是滿足邊界條件（1.2.4）的極值曲線x*(t)的鄰域曲線，x(t)應(yīng)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)且滿足條件：x(t0)=x(tf)=0(1.2.6)于是，由式（1.2.5）得到（1.2.7）由于x*(t)是極值曲線，所以泛函（1.2.1）在極值曲線x*(t)上的變分等于零（定理1.1.1），即由引理1.1.1知，泛函的變分為（1.2.8）（1.2.9）第23頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期三將式（1.2.1）代入式（1.2.9），得(1.2.10)第24頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期三對(duì)式（1.2.10）右端第二項(xiàng)進(jìn)行分部積分（1.2.12）將式（1.2.11）代入式（1.2.10），并考慮式（1.2.8）得利用條件（1.2.6），則上式變?yōu)椋?.2.13）（1.2.11）考慮到泛函宗量的變分x(t)是任意的函數(shù)，不妨選擇（1.2.14）其中w(t)是任一滿足下列條件的函數(shù)：第25頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期三將式（1.2.14）代入式（1.2.13），可得由上式可見(jiàn)，一個(gè)非負(fù)的函數(shù)的定積分為零，只能是被積函數(shù)恒等于零，因此有（1.2.15）將上式左端第二項(xiàng)展開(kāi)，可得（1.2.16）歐拉(Euler)方程歐拉方程第26頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期三式中若時(shí)，歐拉方程是一個(gè)二階微分方程。定理1.2.1若給定曲線x(t)的始端x(t0)=x0和終端x(tf)=xf，則泛函達(dá)到極值的必要條件是，曲線x(t)滿足歐拉方程其中x(t)應(yīng)有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，則至少應(yīng)是二次連續(xù)可微的。第27頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期三幾種特殊的歐拉方程（可以得到封閉形式的解）被積函數(shù)L不依賴于，即被積函數(shù)L不依賴于x，即

被積函數(shù)L不依賴于t，即

在這種情況下，歐拉方程的首次積分為

（1.2.17）

其中c是待定的積分常數(shù)。實(shí)際上，將上式左邊對(duì)t求全導(dǎo)數(shù)，有被積函數(shù)L

線性地依賴于，即式（1.2.16）第28頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

對(duì)于向量空間的泛函，也存在著歐拉方程，不過(guò)是歐拉方程組（即向量歐拉方程）。定理1.2.2在n維函數(shù)空間中，若極值曲線X(t)=[x1(t),x2(t),…,xn(t)]T的始端X(t0)=[x1(t0),x2(t0),…,xn(t0)]T和終端X(tf)=[x1(tf),x2(tf),…,xn(tf)]T是給定的，則泛函達(dá)到極值的必要條件是曲線X(t)滿足向量歐拉方程其中X(t)應(yīng)有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，而則至少應(yīng)是二次連續(xù)可微的。（1.2.18）第29頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例1.2.1求泛函滿足邊界條件的極值函數(shù)。解：由式（1.2.18）得：其特征方程為：特征根為：從而得第30頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期三由給定的邊界條件得于是得極值函數(shù)：可以利用MATLAB符號(hào)工具箱求解，求解過(guò)程如下：symsx1x2；s=dsolve('D2x1-x2=0,D2x2-x1=0','x1(0)=0,x1(pi/2)=1,x2(0)=0,x2(pi/2)=-1','t')；x1=s.x1x2=s.x2運(yùn)行結(jié)果如下:x1=sin(t)x1=-sin(t)第31頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例1.2.2

最速降線(又稱捷線)問(wèn)題所謂最速降線問(wèn)題是:設(shè)在豎直平面內(nèi)有兩點(diǎn)A和B，它們不在同一條鉛垂線上，現(xiàn)有一質(zhì)點(diǎn)受重力的作用自較高的A點(diǎn)向較低的B點(diǎn)滑動(dòng)，如果不考慮各種阻力的影響，問(wèn)應(yīng)取怎樣的路徑，才能使所經(jīng)歷的時(shí)間最短？解：在A、B兩點(diǎn)所在的豎直平面內(nèi)選擇一坐標(biāo)系，如圖1－6所示。A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平線為x軸，鉛垂線為y軸。設(shè)質(zhì)點(diǎn)的初速度為零，則由力學(xué)的知識(shí)可知，質(zhì)點(diǎn)在重力的作用下，不考慮各種阻力的影響，從A點(diǎn)向B點(diǎn)下滑的速度的大小為（1.2.19）第32頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期三由圖1－6得（1.2.20）將式（1.2.20)代入式（1.2.19）中，并變換，得對(duì)上式兩邊進(jìn)行積分，可得質(zhì)點(diǎn)自點(diǎn)A(0，0)滑動(dòng)到點(diǎn)B(xf，yf)所需的時(shí)間為（1.2.21）

設(shè)y=y(x)是連接點(diǎn)A(0，0)和點(diǎn)B(xf，yf)的任一光滑曲線,則最速降線問(wèn)題的數(shù)學(xué)提法是:在XOY平面上確定一條滿足邊界條件（1.2.22）第33頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期三的極值曲線y=y(x)，使泛函（1.2.23）達(dá)到極小值。這時(shí)被積函數(shù)為：不顯含自變量x，由(1.2.17)知，它的首次積分為化簡(jiǎn)上式得第34頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期三這種方程宜于利用參數(shù)法求解，為此，令于是，又由對(duì)上式積分，得由邊界條件y(0)知，c2=0，于是第35頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期三令最后得這是圓滾線的參數(shù)方程。式中r是滾動(dòng)圓半徑，其值由另一邊界條件y(xf)=yf確定。所以，最速降線是一條圓滾線。第36頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期三§1.3橫截條件當(dāng)極值曲線x*(t)的端點(diǎn)變化時(shí)，要使泛函達(dá)到極小值，x*(t)首先應(yīng)當(dāng)滿足歐拉方程：若端點(diǎn)固定,可以利用端點(diǎn)條件:確定歐拉方程中的兩個(gè)待定的積分常數(shù)。問(wèn)題：若端點(diǎn)可變，如何確定這兩個(gè)積分常數(shù)？第37頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期三橫截條件推導(dǎo)過(guò)程問(wèn)題描述：假定極值曲線的始端A(t0，x0)是固定的，而終端B(tf，xf)是可變的，并沿著給定的曲線（1.3.1）變動(dòng)，如圖1－7所示?，F(xiàn)在的問(wèn)題是需要確定一條從給定的點(diǎn)A(t0，x0)到給定的曲線(1.3.1)上的某一點(diǎn)B(tf，xf)的連續(xù)可微的曲線x(t)，使得泛函達(dá)到極小值。（1.3.2）第38頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期三解：設(shè)x*(t)是泛函（1.3.2）的極值曲線。x*(t)的鄰域曲線可表示為：（1.3.3）（1.3.4）由圖1-7可見(jiàn)，每一條鄰域曲線x(t)都對(duì)應(yīng)一個(gè)終端時(shí)刻tf，設(shè)極值曲線x*(t)所對(duì)應(yīng)的終端時(shí)刻為tf*，則鄰域曲線x(t)所對(duì)應(yīng)的終端時(shí)刻tf可以表示為：（1.3.5）將式（1.3.3）～（1.3.5）代入式（1.3.2），得（1.3.6）第39頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期三根據(jù)泛函達(dá)到極值的必要條件則有：（1.3.7）式（1.3.7）左邊第一項(xiàng)相當(dāng)于tf固定時(shí)的泛函的變分，按照上一節(jié)推導(dǎo)的結(jié)果可得（1.3.8）第40頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期三式（1.3.7）左邊第二項(xiàng)先利用中值定理，然后求導(dǎo)，則得（1.3.9）將式（1.3.8）和式（1.3.9）代入式（1.3.7），得考慮到歐拉方程和始端固定所以（1.3.10）若x(t*f)與dtf互不相關(guān)，則由上式得第41頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期三（1.3.11）但是，終端點(diǎn)沿曲線（1.3.1）變動(dòng)，所以x(t*f)與dtf相關(guān)。為了進(jìn)一步簡(jiǎn)化式（1.3.10），應(yīng)當(dāng)求出x(t*f)與dtf之間的關(guān)系。根據(jù)終端約束條件（1.3.1），應(yīng)有將上式對(duì)取偏導(dǎo)數(shù)，并令=0，利用式（1.3.4），整理得將上式代入式（1.3.10），可得第42頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期三由于dtf是任意的，所以（1.3.12）橫截條件定理1.3.1

若曲線x(t)由一給定的點(diǎn)(t0，x0)到給定的曲線x(tf)=(tf)上的某一點(diǎn)(tf，xf)，則泛函達(dá)到極值的必要條件是，x(t)滿足歐拉方程和橫截條件其中x(t)應(yīng)有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，則至少應(yīng)是二次連續(xù)可微的，而(t)則應(yīng)有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)。第43頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期三若極值曲線的始端不是固定的，并沿著曲線(1.3.13)變動(dòng)，則同樣可以推導(dǎo)出始端的橫截條件(1.3.14)根據(jù)定理1.3.1和式（1.3.14），可得到端點(diǎn)可變時(shí)，Lagrange問(wèn)題的解，除有歐拉方程外，還有橫截條件：(1)始端、終端可變，即x(t0)=(t0)，x(tf)=(tf)，則橫截條件為：(2)當(dāng)t0、

tf

可變，而x(t0)與x(tf)固定時(shí)，則橫截條件為：第44頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期三(3)當(dāng)t0、

tf

固定，而x(t0)與x(tf)可變時(shí)，即始端與終端分別在t=t0、t=tf上滑動(dòng)，則橫截條件為：定理1.3.1和以上幾種情況的橫截條件，都可以將其推廣到n維函數(shù)向量X(t)=[x1(t),x2(t),…,xn(t)]T的泛函的情形。定理1.3.2在n維函數(shù)空間中，若曲線X(t)=[x1(t),x2(t),…,xn(t)]T的始端X(t0)=[x1(t0),x2(t0),…,xn(t0)]T是固定的，而終端X(tf)=[x1(tf),x2(tf),…,xn(tf)]T是可變的，且在曲面X(tf)=(tf)上變動(dòng)，則泛函達(dá)到極值的必要條件是，曲線X(t)滿足向量歐拉方程第45頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期三其中X(t)應(yīng)有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，而則至少應(yīng)是二次連續(xù)可微的，而(t)=[1(t)，2(t)，，n(t)]T則應(yīng)有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)。和橫截條件若曲線X(t)=[x1(t),x2(t),…,xn(t)]T的始端不是固定的，而是可變的，并在給定的曲面上變動(dòng)，其中，則同樣可以推導(dǎo)出始端的橫截條件為：第46頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例1.3.1求t-x平面上由給定A(0,1)至給定直線x=2－t的弧長(zhǎng)最短的曲線方程。解：由圖1－8，弧長(zhǎng)根據(jù)題意，目標(biāo)泛函應(yīng)選為：這是一個(gè)始端固定，終端可變的泛函的變分問(wèn)題。由于泛函的被積函數(shù)中不顯含x(t)，所以Euler方程為：第47頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期三由初始條件x(0)=1，得c2=1，從而有由橫截條件（1.3.12），得經(jīng)整理得，所以c1=1。最優(yōu)軌線方程為：最優(yōu)軌線與給定直線垂直。第48頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期三§1.4泛函局部極值的充分條件泛函二階變分推導(dǎo)過(guò)程：給定泛函為其一階變分為（1.4.1）（1.4.2）第49頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期三而二階變分為第50頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期三（1.4.3）于是，為使泛函（1.4.1）在曲線x(t)上達(dá)到極小（或極大）值，其一階變分（1.4.2）應(yīng)為零，而其二階變分（1.4.3）必須為正（或負(fù)）。由此，得到下面的定理。第51頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期三定理1.4.1若泛函的一階變分則J[x(t)]達(dá)到極小值的充分條件是二階型矩陣（1.4.4）是正定的或半正定的；而J[x(t)]達(dá)到極大值的充分條件是式（1.4.4）是負(fù)定的或半負(fù)定的。

定理1.4.1可以推廣到含有n個(gè)未知函數(shù)的泛函的情形。第52頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期三§1.5等式約束條件下的變分問(wèn)題一、回顧等式約束條件下函數(shù)極值問(wèn)題的解法設(shè)有函數(shù)（1.5.2）現(xiàn)在需要求函數(shù)Z在約束條件為（1.5.1）情況下的極值。（1）消元法：從約束條件（1.5.2）中將y解出來(lái)。用x表示y，即y=y(x)然后將y(x)代入f(x,y)中，得到

Z=f[x,y(x)]（1.5.3）這樣，函數(shù)Z就只含有一個(gè)自變量x了，在等式（1.5.2）約束條第53頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期三件下的函數(shù)(1.5.1)的極值問(wèn)題，就變成無(wú)約束條件的函數(shù)（1.5.3）的極值問(wèn)題了。但是，消元法存在兩個(gè)問(wèn)題：①?gòu)姆匠蹋?.5.2）中將y解出來(lái)往往是很困難的；②對(duì)x和y這兩個(gè)自變量未能平等看待。（2）拉格朗日乘子法（Lagrangefactor）

步驟如下：①作一個(gè)輔助函數(shù)F=f(x,y)+g(x,y)式中，是待定的常數(shù)，稱為拉格朗日乘子；②求輔助函數(shù)F的無(wú)條件極值，即令(1.5.4)

③聯(lián)立求解方程（1.5.2）和（1.5.4），求出駐點(diǎn)（x0，y

0）和待定常數(shù)值;④判斷（x0，y

0）是否是函數(shù)f(x,y)的極值點(diǎn)。第54頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期三拉格朗日乘子法對(duì)于求n元函數(shù)

y=f（x1，x2，…，xn）在多個(gè)約束方程gi（x1，x2，…，xn）=0，i=1，2，…，m；m<n條件下的極值問(wèn)題，同樣適用。二、等式約束條件下泛函極值問(wèn)題的解法求泛函（1.5.5）在約束方程為（1.5.6）和端點(diǎn)條件為（1.5.7）第55頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期三利用拉格朗日乘子法求解上述等式約束條件下的泛函極值問(wèn)題，其具體步驟為構(gòu)造輔助泛函

其中(t)=[

1(t),

2(t),…,

m(t)]T是m維待定向量乘子。于是，就將有約束條件（1.5.6）的泛函（1.5.5）的極值問(wèn)題轉(zhuǎn)化成無(wú)約束條件的泛函（1.5.8）的極值問(wèn)題。令(1.5.9)寫(xiě)出向量形式的歐拉方程（1.5.10）情況下的極值曲線。這里X(t)=[x1(t),x2(t),…,xn(t)]T，f=[f1,f2,…,fm]T，m<n。而是x1(t),x2(t),…,xn(t)和t的標(biāo)量函數(shù)。（1.5.8）第56頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期三聯(lián)立求解歐拉方程（1.5.10）和約束方程（1.5.6），可以得到n維向量函數(shù)X(t)和m維向量乘子

(t)。利用端點(diǎn)條件（1.5.7）確定歐拉方程解中的2n個(gè)積分常數(shù)，得到候選函數(shù)X(t)。檢驗(yàn)候選函數(shù)X(t)是否使泛函（1.5.8）達(dá)到極值以及是極大值還是極小值。說(shuō)明：

①利用拉格朗日乘子法求得的函數(shù)X(t)，如果（1.5.8）達(dá)到極值，就一定是原泛函（1.5.5）的極值函數(shù)。因?yàn)橛杉s束方程（1.5.6）和歐拉方程（1.5.10）聯(lián)立解出的向量函數(shù)X(t)和(t)一定滿足約束方程（1.5.6），所以必有J0=J，另外，當(dāng)將所解出的(t)代入輔助泛函（1.5.8）時(shí)，函數(shù)X(t)將使輔助泛函（1.5.8）達(dá)到無(wú)條件極值，因?yàn)楹瘮?shù)X(t)是輔助泛函（1.5.8）的歐拉方程（1.5.10）的解。第57頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期三②上面的論述僅僅指出了利用拉格朗日乘子法求出的輔助泛函（1.5.8）的無(wú)條件的極值函數(shù)，一定是原泛函（1.5.5）在等式（1.5.6）約束條件下的極值函數(shù)。但是，卻沒(méi)有說(shuō)明原泛函（1.5.5）在等式（1.5.6）約束條件下的所有極值函數(shù)是否都能利用拉格朗日乘子法求出來(lái)？下面的定理將回答這個(gè)問(wèn)題。定理1.5.1如果n維向量函數(shù)X(t)=[x1(t),x2(t),…,xn(t)]T（1.5.11）能使泛函（1.5.15）在等式約束（1.5.12）條件下達(dá)到極值，這里f是m維向量函數(shù)，m<n，必存在適當(dāng)?shù)膍維向量函數(shù)(t)=[

1(t),

2(t),…,

m(t)]T（1.5.14）使泛函（1.5.13）第58頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期三達(dá)到無(wú)條件極值。即函數(shù)X(t)是泛函（1.5.15）的歐拉方程的解，其中（1.5.16）而X(t)和(t)由歐拉方程（1.5.16）和約束方程（1.5.13）共同確定。說(shuō)明：①定理1.5.1表明，泛函（1.5.12）在等式（1.5.13）約束條件下的極值函數(shù)X(t)，同時(shí)也使泛函（1.5.15）達(dá)到無(wú)條件極值。這就進(jìn)一步說(shuō)明泛函（1.5.12）在等式（1.5.13）約束條件下的極值函數(shù)X(t)都可通過(guò)拉格朗日乘子法求得。②如果不僅將X(t)，而且連函數(shù)(t)在內(nèi)，都看成是泛函（1.5.15）的宗量，那么，約束方程（1.5.13）也可以看成是泛函（1.5.15）的歐拉方程。方程（1.5.13）和（1.5.16）共有n+m個(gè)方程，恰好可以解出n維和m維未知函數(shù)X(t)和(t)。③當(dāng)約束方程中（1.5.13）中的函數(shù)f不包括有X(t)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，則式（1.5.13）便成為一種代數(shù)方程約束。定理1.5.1仍然成立。第59頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例1.5.1已知受控系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)如圖1－9所示。求最優(yōu)控制u*(t)，使目標(biāo)泛函取極小值。給定的邊界條件為解：令則得系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：現(xiàn)在的目標(biāo)泛函為應(yīng)用拉格朗日乘子法，構(gòu)造輔助泛函（1.5.17）第60頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期三令則向量形式的歐拉方程為根據(jù)狀態(tài)方程（1.5.17），得第61頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期三利用邊界條件，可得所以，最優(yōu)控制第62頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期三§1.6利用變分法求解最優(yōu)控制問(wèn)題

對(duì)于最優(yōu)控制問(wèn)題來(lái)說(shuō)，當(dāng)狀態(tài)變量和控制變量均不受約束，即X(t)Rn，U(t)

Rm時(shí)，是個(gè)在等式約束條件下求泛函極值的變分問(wèn)題，因此，可以利用在上一節(jié)中介紹的拉格朗日乘子法來(lái)求解。在這一節(jié)中，利用拉格朗日乘子法求解最優(yōu)控制問(wèn)題時(shí)，將引入哈密頓（Hamilton）函數(shù)，推導(dǎo)出幾種典型的最優(yōu)控制問(wèn)題應(yīng)滿足的必要條件。1.6.1

拉格朗日問(wèn)題的解問(wèn)題1.6.1給定系統(tǒng)狀態(tài)方程(1.6.2)初始條件(1.6.1)終端條件：tf固定，X(tf)自由和性能泛函(1.6.3)第63頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期三要求從容許控制U(t)

Rm中確定最優(yōu)控制U*(t)，使系統(tǒng)（1.6.1）從給定的初態(tài)X(t0)轉(zhuǎn)移到某個(gè)終態(tài)X(tf)，并使性能泛函（1.6.3）達(dá)到極小值。這是拉格朗日問(wèn)題，又稱為積分型最優(yōu)控制問(wèn)題。

解：將狀態(tài)方程（1.6.1）改寫(xiě)為(1.6.4)于是，上述最優(yōu)控制問(wèn)題就變成為在微分方程（1.6.4）約束條件下求泛函（1.6.3）極值的變分問(wèn)題。利用拉格朗日乘子法，引入n維拉格朗日乘子向量

(t)=[

1(t),

2(t),…,

n(t)]T

(t)稱為協(xié)態(tài)變量，以便與狀態(tài)變量相對(duì)應(yīng)。構(gòu)造輔助泛函(1.6.5)第64頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期三其中，(1.6.6)于是，求泛函（1.6.3）在等式（1.6.1）約束條件下的極值問(wèn)題，就轉(zhuǎn)變成為求泛函（1.6.5）的無(wú)約束條件的極值問(wèn)題。定義哈密頓（Hamilton）函數(shù)為(1.6.7)它是一標(biāo)量函數(shù)，則式（1.6.6）變?yōu)槔米兎址梢詫?xiě)出輔助泛函（1.6.5）的歐拉方程(1.6.8)第65頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期三將式（1.6.8）代入上式，得（1.6.11）（1.6.10）（1.6.9）協(xié)態(tài)方程（或共軛方程）狀態(tài)方程規(guī)范方程（或正則方程）控制方程第66頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期三（1.6.12）初始狀態(tài)為由于終端時(shí)刻tf固定，終端狀態(tài)X(tf)自由，所以橫截條件為考慮式（1.6.8），得（1.6.13）式（1.6.9）～（1.6.13）就是式（1.6.1）～（1.6.3）所給定的最優(yōu)控制問(wèn)題的解應(yīng)滿足的必要條件。這些條件也可以由求輔助泛函J0對(duì)狀態(tài)變量X(t)和控制變量U(t)的變分中推導(dǎo)出來(lái)。聯(lián)立求解規(guī)范方程（1.6.9）和（1.6.10）可以得到兩個(gè)未知函數(shù)X(t)和

(t)，其一個(gè)邊界在始端（1.6.12），另一個(gè)邊界在終端（1.6.13），故稱為混合邊界問(wèn)題或兩點(diǎn)邊界值問(wèn)題。第67頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期三求解兩點(diǎn)邊界值問(wèn)題步驟由控制方程（1.6.11）求得

U=U[X(t)，(t)，t]（1.6.14）將式（1.6.14）代入規(guī)范方程（1.6.9）和（1.6.10）消去其中的U(t)，得到（1.6.15）（1.6.16）

利用邊界條件（1.6.12）和（1.6.13）聯(lián)立求解方程（1.6.15）和（1.6.16），可得唯一確定的解X(t)和(t)。將所求得的X(t)和(t)代入式（1.6.14）中，可求得相應(yīng)的U(t)。第68頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期三說(shuō)明：（1）對(duì)于兩點(diǎn)邊界值問(wèn)題，一般難以求得其解析解，通常需要采用數(shù)值計(jì)算方法求其數(shù)值解。（2）利用引入哈密頓函數(shù)的方法求解拉格朗日型最優(yōu)控制問(wèn)題，是將求泛函（1.6.3）在等式（1.6.1）約束條件下對(duì)控制函數(shù)U(t)的條件極值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求哈密頓函數(shù)H對(duì)控制變量U(t)的無(wú)條件極值問(wèn)題。這種方法稱為哈密頓方法。定理1.6.1設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程則為將系統(tǒng)從給定的初態(tài)轉(zhuǎn)移到終端時(shí)刻tf固定，終端狀態(tài)X(tf)自由的某個(gè)終態(tài)，并使性能泛函第69頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期三達(dá)到極小值的最優(yōu)控制應(yīng)滿足的必要條件是（1）設(shè)U*(t)是最優(yōu)控制，X*(t)是對(duì)應(yīng)于U*(t)的最優(yōu)軌線，則必存在一與U*(t)和X*(t)相對(duì)應(yīng)的n維協(xié)態(tài)變量(t)，使得X(t)與(t)滿足規(guī)范方程其中（2）邊界條件為第70頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期三（3）哈密頓函數(shù)H對(duì)控制變量U(t)（t0ttf）取極值，即*沿著最優(yōu)控制和最優(yōu)軌線，哈密頓函數(shù)H對(duì)時(shí)間t求全導(dǎo)數(shù)，得若H不顯含t時(shí)，則有

H(t)=常數(shù)t[t0，tf];

也就是說(shuō)，當(dāng)H不顯含t時(shí)，哈密頓函數(shù)H是不依賴于t的常數(shù)。第71頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例1.6.1已知系統(tǒng)方程和邊界條件為求使性能泛函為極小值的最優(yōu)控制函數(shù)與最優(yōu)軌線。解：這是一個(gè)最小能量控制問(wèn)題。其哈密頓函數(shù)為由控制方程得第72頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期三協(xié)態(tài)方程為解協(xié)態(tài)方程，得于是由狀態(tài)方程解得第73頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期三利用邊界條件求得積分常數(shù)為于是，最優(yōu)控制與最優(yōu)軌線分別為第74頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期三可以利用MATLAB符號(hào)工具箱求解上述微分方程，程序如下：symsl1l2x1x2;s=dsolve('D1l1=0,D1l2=-l1-l2,D1x1=x2,D1x2=x2-l2','x1(0)=1,x2(0)=1,x1(1)=0,x2(1)=0','t')l1=s.l1,l2=s.l2,x1=s.x1,x2=s.x2運(yùn)行結(jié)果為：s=l1:[1x1sym]l2:[1x1sym]x1:[1x1sym]x2:[1x1sym]第75頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期三l1=-2*exp(1)/(exp(1)-3)l2=2*exp(1)/(exp(1)-3)-2*exp(1)/(exp(1)-3)*exp(-t)-2*exp(-t)*exp(1)/(exp(1)-1)/(exp(1)-3)x1=-exp(1)/(exp(1)-3)*exp(t)+2*exp(1)/(exp(1)-3)*t+exp(1)/(exp(1)-3)*exp(-t)+exp(1)/(exp(1)-1)/(exp(1)-3)*exp(t)+exp(-t)*exp(1)/(exp(1)-1)/(exp(1)-3)-2*exp(1)/(exp(1)-1)/(exp(1)-3)+exp(t)x2=2*exp(1)/(exp(1)-3)-exp(1)/(exp(1)-3)*exp(-t)-exp(1)/(exp(1)-3)*exp(t)-exp(-t)*exp(1)/(exp(1)-1)/(exp(1)-3)+exp(1)/(exp(1)-1)/(exp(1)-3)*exp(t)+exp(t)例1.6.2問(wèn)題同例1.6.1，只是終端條件為x1(1)=0，x2(1)自由，求該最優(yōu)控制問(wèn)題。解：?jiǎn)栴}的規(guī)范方程和控制方程均與例1.6.1相同，但邊界條件變?yōu)榈?6頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期三由這些邊界條件求得的積分常數(shù)為于是，所求得的最優(yōu)解為

由例1.6.1和例1.6.2可見(jiàn)，對(duì)于兩個(gè)相同的最優(yōu)控制問(wèn)題，只是部分終端狀態(tài)不相同，所得到的最優(yōu)解則完全不同。第77頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期三1.6.2

波爾扎問(wèn)題的解問(wèn)題1.6.2給定系統(tǒng)狀態(tài)方程(1.6.18)初始條件(1.6.17)和性能泛函(1.6.19)要求從容許控制U(t)

Rm中確定最優(yōu)控制U*(t)，使系統(tǒng)（1.6.17）從給定的初態(tài)X(t0)轉(zhuǎn)移到某個(gè)終態(tài)X(tf)，并使性能泛函（1.6.19）達(dá)到極小值。這是波爾扎問(wèn)題，