正多邊形和圓·引入情境

正多邊形和引入情境在工程技術(shù)和現(xiàn)實(shí)生活中，我們常常會(huì)用到正多邊形，如圖示，你能說(shuō)出其中所含的正多邊形嗎？1正多邊形概各邊相等、各角也都相等的多邊形叫正多邊形．說(shuō)明1．邊數(shù)是n正多邊形稱作為正形（≥32當(dāng)＝3時(shí)只需要滿足各邊相等或各角相等這二者之一就可判斷這個(gè)多邊形是正三角形當(dāng)n≥時(shí)各邊相等各角相等這兩個(gè)方面必須同時(shí)具備，缺一不可如矩形各角相等但由于各邊不一定相等所以矩形不一定是正多邊形；又如菱形的各邊相等，但各角不一定相等，所以也不一定是正多邊形．2正多邊形與的關(guān)系把圓分成（n≥）等份，依次連結(jié)各分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正n邊形，這個(gè)圓就是這個(gè)正多邊形的外接圓．說(shuō)明斷圓內(nèi)接多邊形是否為正多邊形，只需判斷多邊形頂點(diǎn)是否等分了圓如各邊相等的多邊形內(nèi)接于圓“等對(duì)等定理可得各邊所對(duì)的劣弧相等，即這個(gè)多邊形頂點(diǎn)等分了其外接圓，所以各邊相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形．而各角相等的圓內(nèi)接多邊形就不一定是正多邊形，如矩形．3與正多邊形關(guān)的概及其計(jì)算正多邊形中心：正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心．正多邊形半徑：正多邊形外接圓的半徑叫正多邊形半徑．正多邊形中心角：正多邊形每一邊所對(duì)的圓心角叫正多邊形中心角．正多邊形邊心距多邊形中心到正多邊形的一邊的距離叫正多邊形的邊心距．正多邊形中心、半徑、中心角、邊心距如圖所示．說(shuō)明1如圖24-3-3作正n形的n條半徑這些半徑把正n邊形分成了n個(gè)等腰三角形．容易證明，這些等腰三角形是全等的．再作n形各邊的邊心距，這些邊心距又把這n等腰三角形分成了2n個(gè)直角三角形，這些直角三角形也是全等的．

222622262．正n邊形的每個(gè)內(nèi)角為

；正n邊形的中心角為n；正邊形的外角為

180

＝n

，即正n邊的外角等于其中心角．3．正多邊形都是軸對(duì)稱圖形，一個(gè)正n形若有條對(duì)稱軸，每條對(duì)稱軸都通過(guò)正n形的中心若n為偶數(shù)則正n邊形又是中心對(duì)稱圖形它的中心就是對(duì)稱中心．【例已知正六邊形的半徑為求這個(gè)正六邊形的邊長(zhǎng)a周長(zhǎng)6p面積S66分析正六邊形的半徑和邊心距將正六邊形分成12個(gè)全等的直角三角形，抓其中的一個(gè)直角三角形便可求解出相關(guān)量．解圖24-3-4作半徑、；作⊥，垂足為G，得Rt△．180∵∠GOB＝＝30°1∴BG＝2·＝2R，∴a＝2＝R，＝6a＝6R666∴

rOGR

2

33∴S＝6·＝6·2··r6·2·＝266提醒正n形的半徑和邊心距將正形分成n全等的直角三角形，正n邊形的有關(guān)計(jì)算只需抓這2全等直角三角形中的一個(gè)進(jìn)行計(jì)算即可．4畫圓內(nèi)接正邊形方法一：用量角器畫圓心角等分圓如圖24-3-5，在半徑為R的圓中，先用量角器畫一個(gè)等于的圓心角，這個(gè)角所對(duì)的弧就是圓的，然后在圓上依次截取這條弧的等弧，就得到圓n等分點(diǎn)，從而作出半徑為R的正n形．方法二：用直尺畫弦長(zhǎng)等分圓先計(jì)算出半徑為R的圓內(nèi)接正n形的邊長(zhǎng)a在⊙O（如圖24-3-6用n直尺畫出弦＝a然后在⊙O上用圓規(guī)依次截取這條弧的等弧，就得到圓的nn等分點(diǎn)，從而作出半徑為R的正n形．

⌒⌒⌒⌒提醒這兩種正邊形的畫法都是近似畫法，會(huì)產(chǎn)生誤差，尤其是當(dāng)和a是整數(shù)時(shí)，誤差會(huì)稍大一些，要注意作好調(diào)整．n聰明屋5把正三角形成正六形【例如圖24-3-7要把邊長(zhǎng)為6的正三角形花布剪去三個(gè)三角形得到一個(gè)正六邊形，求該正六邊形的邊長(zhǎng)．分析由正六邊形DDDDD的條件可得到∠ADD60°＝∠ADD于是△1234566556ADD為等邊三角形，同理另兩個(gè)剪去的三角形也是正三角形．65解六邊形DDDDDD為正六邊形123456∴∠DD＝∠DDD120°，165654∴∠ADD∠ADD＝60°6556∴△ADD為正三角形，∴DAD566565同理：BD＝D＝D∴AD＝DDB1121666111∴D＝3×6＝2．16答正六邊形的邊長(zhǎng)為2．點(diǎn)撥觀察圖形，運(yùn)用正多邊形定義，得出新的正三角形AD解題關(guān)鍵．65類題練1—1要用圓形鐵片截出邊長(zhǎng)為的正方形鐵片，則選的圓形鐵片的直徑最小要______cm．綜合探6．各內(nèi)角都相等的圓內(nèi)接多邊形【例某學(xué)習(xí)小組在探各內(nèi)角都相等的圓內(nèi)接多邊形是否為正多邊形”時(shí)，進(jìn)行如下討論：甲同學(xué)：這種多邊形不一定是正多邊形，如圓內(nèi)接矩形；乙同學(xué)：我發(fā)現(xiàn)邊數(shù)是6時(shí)，它也不一定是正多邊形，如圖①．△是正三角形ADBE未必是正六邊形；

⌒

可以證明六邊形的內(nèi)角相等但它丙同學(xué)：我能證明，邊數(shù)5時(shí)，它是正多邊形，我想，邊數(shù)7時(shí)，它可

⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒能也是正多邊形．（1）請(qǐng)你說(shuō)明乙同學(xué)構(gòu)造的六邊形各內(nèi)角相等；（2）請(qǐng)你證明，各內(nèi)角都相等的圓內(nèi)接七邊形（如圖24-3-8）是正七邊形（不必寫已知、求證（3）根據(jù)以上探索過(guò)程，提出你的猜想（不必證明解1）∠AFC對(duì)

，∵AD

⌒而∠對(duì)DEF＋

DBC＝ABC∴∠AFC＝∠DAF同理可證：其余各角都等于∠AFC∴圖（1）中六邊形各內(nèi)角相等．（2）因?yàn)椤螦對(duì)

，∠B對(duì)

，⌒又∵∠A＝∠B，∴，BC＝同理AB＝

CD

＝EF＝

AG

＝AD＝AD＝AD∴七邊形是正七邊形．（3）猜想：當(dāng)邊數(shù)是奇數(shù)時(shí)（邊數(shù)為3，57，9?相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形．提醒從特殊情形出發(fā)進(jìn)行歸納猜想經(jīng)過(guò)證明得到一般結(jié)論是探索問(wèn)題的一種方式．類題練2—1一張正方形紙片ABCD一次對(duì)折使BCAD合得到