《基本不等式》教案

基本不等式教案

一、教學(xué)目標(biāo)：

1、知識(shí)與技能：

①了解基本不等式的推導(dǎo)過(guò)程，理解幾何意義，并掌握基本不等式取

得等號(hào)的條件；

②能夠初步運(yùn)用基本不等式以及等號(hào)取得的條件，求出一些簡(jiǎn)單函數(shù)

的最值(最大最小值)，并能解決一些較為簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。

2、過(guò)程與方法：

本節(jié)內(nèi)容是學(xué)生對(duì)不等式認(rèn)識(shí)上的一次提升。要引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)、

形兩方面探究基本不等式的證明，從而進(jìn)一步突破難點(diǎn)。定理的證明

要嚴(yán)密，要幫助學(xué)生分析每一步的理論依據(jù)，培養(yǎng)學(xué)生觀察、試驗(yàn)、

歸納、判斷、猜想等嚴(yán)密嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S能力。

3、情感與價(jià)值：

培養(yǎng)學(xué)生舉一反三的邏輯推理能力、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)態(tài)度，領(lǐng)略

數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。同時(shí)通過(guò)基本不等式的幾何

解釋，提高學(xué)生數(shù)形結(jié)合的能力。

二、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)：

重點(diǎn)：用數(shù)形結(jié)合思想理解不等式，并從不同角度探索不等式

ab

ab的多種解釋；

2

難點(diǎn)：理解“當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(hào)”的數(shù)學(xué)內(nèi)涵，并會(huì)應(yīng)用基本不

等式求解函數(shù)的最大最小值問(wèn)題，以及解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.。

三、學(xué)法與教學(xué)用具：

先讓學(xué)生觀察常見(jiàn)的圖形，通過(guò)圖形的直觀比較抽象出基本不等

式。從生活中實(shí)際問(wèn)題突出數(shù)學(xué)本質(zhì)，可調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。定理

的證明要留一部分給學(xué)生，讓他們自主探究。教學(xué)用具：直角板、圓

規(guī)、投影儀，如有條件可以使用多媒體(幾何畫板)進(jìn)行教學(xué)。

四、教學(xué)設(shè)想：

1、幾何操作，引入問(wèn)題：

給出如右的所示的幾何圖形，AB是O的直

徑，點(diǎn)C是AB上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作垂直于AB的

弦交O于DD，連結(jié)AD、BD，同學(xué)們，能通過(guò)這個(gè)圓以及簡(jiǎn)單的

三角形得到一些相等和不等的關(guān)系嗎?

提問(wèn)一：現(xiàn)在我們不妨假設(shè)ACa2，BCb2，那么CD的長(zhǎng)度是多少？、

由AB為直徑可知ABD是直角三角形，再根據(jù)DCAB，容易證得

ACD∽DCB，即得CDab；

提問(wèn)二：根據(jù)初中學(xué)習(xí)的知識(shí)，在一個(gè)圓中，任意一條弦長(zhǎng)與這個(gè)圓

的直徑有什么關(guān)系？

任意一條弦長(zhǎng)不大于直徑的長(zhǎng)度，而且當(dāng)且僅當(dāng)弦為直徑時(shí)，長(zhǎng)

度相等。

提問(wèn)三：結(jié)合上面兩個(gè)問(wèn)題，我們可能得到一個(gè)不等式，寫出這個(gè)不

等式，并說(shuō)出等式兩遍能否相等，若可以，等號(hào)成立的條件是什么？

1

首先由垂徑定理可知，CDDD，因此有DD2ab，即為O的

2

一條弦長(zhǎng)，而a2b2表示的是O直徑的長(zhǎng)度，根據(jù)上一問(wèn)的結(jié)論可以

得知有不等式a2b22ab，兩邊同時(shí)除以2，不等式可以表示為：

a2b2

ab；再據(jù)上一問(wèn)的結(jié)論，易知上述不等式可以成立當(dāng)且僅當(dāng)

2

ab時(shí)(即當(dāng)點(diǎn)C與圓心O重合時(shí))，等號(hào)才成立。

a2b2

提問(wèn)四：深入思考，如果將不等式ab中的a,b用a,b替換，

2

能夠得到什么結(jié)論；這時(shí)，a,b有什么條件限制嗎？

ab

替換之后，不等式即變?yōu)閍b，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立；

2

此時(shí)要求有a0,b0。

2、代數(shù)證明，得到結(jié)論：

根據(jù)上面的幾何分析結(jié)果，我們初步形成不等式結(jié)論：

a2b22ab①

ab

若a,bR，則ab②

2

提問(wèn)五：能否給出上述兩個(gè)不等式嚴(yán)格的證明？(學(xué)生嘗試證明

后口答,老師板書)

證明①(作差法)：a2b22ab(ab)2；

又當(dāng)ab時(shí)，(ab)20；當(dāng)ab時(shí)，(ab)20；

a2b22ab，當(dāng)ab時(shí)取等號(hào)。

（注意強(qiáng)調(diào)：當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí),有等式a2b22ab成立）

證明②(分析法)：由于a,bR，于是

ab

要證ab，

2

③

只要證ab2ab，

④

要證④，只要證ab2ab0，⑤

要證⑤，只要證(ab)20，⑥

ab

顯然，⑥是成立的，所以ab，當(dāng)且僅當(dāng)

2

ab時(shí)取到等號(hào)。

于是我們得到這節(jié)課要學(xué)習(xí)的內(nèi)容：

ab

基本不等式：若a,bR，則ab（當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)

2

成立）

3、深化認(rèn)識(shí)：

ab

1.稱ab為a,b的幾何平均數(shù)；稱為a,b的算術(shù)平均數(shù)。因此基本

2

ab

不等式ab的代數(shù)意義是：兩個(gè)正數(shù)的幾何平均數(shù)不大于它們的

2

算術(shù)平均數(shù)。

ab

2.其實(shí)ab成立的條件僅需a0,b0就可以，但a0或b0時(shí)定

2

理顯然成立，因此一般僅考慮a0,b0的情況。

4、例題講解：

ba4

例1、①已知ab0，求證：2②求證：a7（a3）

aba3

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)簡(jiǎn)單例題，學(xué)生掌握證明格式，理解“前提條件”、

“等號(hào)成立條件”；

111

例2、若a,b,c(0,)，且abc1，求證：(1)(1)(1)8

abc

設(shè)計(jì)意圖：熟練運(yùn)用基本不等式；不等式證明題中，等量關(guān)系條

件的運(yùn)用。

例3、（1）用籬笆圍一個(gè)面積為100m2的矩形菜園，問(wèn)這個(gè)矩形的長(zhǎng)、

寬各為多少時(shí)，所用的籬笆最短，最短的籬笆是多少？

（2）一段長(zhǎng)為36m的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園，問(wèn)這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬

各為多少時(shí)，菜園的面積最大。最大面積是多少？

分析：（1）當(dāng)長(zhǎng)和寬的乘積確定時(shí)，問(wèn)周長(zhǎng)最短就是求長(zhǎng)和寬和

的最小值；（2）當(dāng)長(zhǎng)和寬的和確定時(shí)，求長(zhǎng)與寬取何值時(shí)兩者乘積最

大

例4、某工廠要建造一個(gè)長(zhǎng)方形無(wú)蓋貯水池，其容積為4800m3，深為

3m。如果池底每平方米的造價(jià)為150元，池壁每平方米的造價(jià)為120元，

怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價(jià)最低？最低造價(jià)為多少元？

分析：若底面的長(zhǎng)和寬確定了，水池的造價(jià)也就確定了，因此可

轉(zhuǎn)化為考察底面的長(zhǎng)和寬各為多少時(shí)，水池的總造價(jià)最低。

設(shè)計(jì)意圖：利用基本不等式來(lái)解題時(shí)，要學(xué)會(huì)審題及根據(jù)題意列

出函數(shù)表達(dá)式,要懂得利用基本不等式來(lái)求最大（小）值。

例題總結(jié)：

1.兩個(gè)正數(shù)的和為定值時(shí)，它們的積有最大值，即若a,bR，且

M2

abM，M為定值，則ab，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)成立.

4

2.兩個(gè)正數(shù)的積為定值時(shí)，它們的和有最小值，即若a,bR，且

abP，P為定值，則ab2P，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)成立.

課堂練習(xí)

2

1設(shè)a,b均為正數(shù)，證明不等式：ab.

11

ab

2已知a,b,c都是正實(shí)數(shù)，求證：abbcca8abc

5、思考討論：

bccaab

（1）設(shè)a,b,cR，求證：abc

abc

（2）已知x0,y0，且3x4y12。求lgxlgy的最大值及相應(yīng)的x,y

值。

6、歸納總結(jié)：

提問(wèn)六：①通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你學(xué)到了什么知識(shí)？

②在解決問(wèn)題的基礎(chǔ)上，你掌握了哪些探求問(wèn)題的方法和

數(shù)學(xué)思想方法？

綜合學(xué)生的回答，教師再在此基礎(chǔ)上總結(jié)：

ab

（1）基本不等式：若a,bR，則ab（當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)

2

成立）

（2）運(yùn)用基本不等式解決簡(jiǎn)單最大最小值問(wèn)題，掌握解題的基本方

法；在使用“和為常數(shù)，積有最大值”和“積為常數(shù)，和有最小值”

這兩個(gè)結(jié)論時(shí)，把握“一正、二定、三相等”。當(dāng)條件不完全具備時(shí)，

應(yīng)創(chuàng)造條件使之具備條件。一般說(shuō)來(lái)，“見(jiàn)和想積，拆低次，湊積為

定值，則和有最小值;見(jiàn)積想和，拆高次，湊和為定值，則積有最大

值.”。

（3）數(shù)學(xué)思想與方法技巧：

數(shù)學(xué)思想：基本不等式的探究過(guò)程（從特殊到一般）；基本不等式的

幾何解釋（數(shù)形結(jié)合）；數(shù)形結(jié)合思想、“整體與局部”.

方法技巧：（1）換元法、比較法、分析法（2）配、湊等技巧。

教師歸納總結(jié)：

整堂課要圍繞如何引導(dǎo)學(xué)生分析題意、設(shè)未知量、找出數(shù)量關(guān)系

進(jìn)行求解這個(gè)中心。例題的安排應(yīng)該從易到難、從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，適應(yīng)

學(xué)生的認(rèn)知水平。教師要根據(jù)課堂情況及時(shí)提出針對(duì)性問(wèn)題，同時(shí)通

過(guò)學(xué)生的解題過(guò)程進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)學(xué)生的思維漏洞，糾正數(shù)學(xué)表達(dá)中的錯(cuò)

誤。

7、測(cè)評(píng)設(shè)計(jì)：

（1）基本作業(yè)：課本P100習(xí)題A組3、4題，B組1、2題。

（2）提高練習(xí)：

4

①求y23x的最小值（其中x1）.

x1

1

②已知0x，求ysinx的最小值．

sinx

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