質(zhì)心運動定理理論力學(xué)課件

優(yōu)選質(zhì)心運動定理理論力學(xué)課件現(xiàn)在是1頁\一共有38頁\編輯于星期日2.質(zhì)心的力學(xué)意義①

若質(zhì)點系中各質(zhì)點的質(zhì)量相等，則：1/n與i無關(guān)，為公因子。

式中:ri系數(shù)1/n

表示第

i個質(zhì)點的質(zhì)量在質(zhì)點系質(zhì)量中所占的比例，質(zhì)心的矢徑rc即為各質(zhì)點的平均矢徑。（12.11）現(xiàn)在是2頁\一共有38頁\編輯于星期日②若質(zhì)點系中各質(zhì)點的質(zhì)量不相等。則有：

ri

的系數(shù)表示第i個質(zhì)點的質(zhì)量在質(zhì)點系的質(zhì)量所占的比例，質(zhì)心的矢徑rc為即為各質(zhì)點按其質(zhì)量在質(zhì)點系質(zhì)量中所占的比例的平均位置。③質(zhì)心的作用

由討論可見，質(zhì)心的位置與質(zhì)點系中的質(zhì)量分布狀況有關(guān)，它在一定程度上反映了質(zhì)點系的質(zhì)量分布狀況，所以質(zhì)心的概念是動力學(xué)的重要概念之一。（12.12）現(xiàn)在是3頁\一共有38頁\編輯于星期日④質(zhì)心的坐標(biāo)計算質(zhì)心位置時，常用上式在直角坐標(biāo)系的投影形式，即式中mi點為第i個質(zhì)點的質(zhì)量，xi、yi、zi，第i個質(zhì)點的位置坐標(biāo)，m為質(zhì)點系的質(zhì)量。

質(zhì)心是質(zhì)點系中特定的一個點，質(zhì)點系運動，質(zhì)心也在運動?？梢?，如果把質(zhì)點系的質(zhì)量都集中于質(zhì)心做為一個質(zhì)點，那么此質(zhì)點的動量就等于質(zhì)點系的動量，可見質(zhì)心運動具有特殊意義?，F(xiàn)在是4頁\一共有38頁\編輯于星期日

可見物體在重力場中運動時，重心與質(zhì)心相重合。但應(yīng)當(dāng)注意，質(zhì)心與重心是兩個不同的概念。⑤質(zhì)心與重心的比較：若將上列各式等號右端的分子與分母同乘以重力加速度g，就得到質(zhì)點系的重心坐標(biāo)公式。重心僅在質(zhì)點系受到重力作用（即在地球表面附近）時才存在，而質(zhì)心則與質(zhì)點系是否受到重力作用無關(guān)，它隨質(zhì)點系的存在而存在。因此，質(zhì)心概念的適用范圍遠(yuǎn)較重心廣泛。（12-13）現(xiàn)在是5頁\一共有38頁\編輯于星期日或2、質(zhì)心速度質(zhì)心C的運動速度可根據(jù)式（12.10）導(dǎo)出：式（12.15）為計算質(zhì)點系動量的簡便方法。由上式可知，不論質(zhì)點如何運動，在計算質(zhì)點系的動量時均可不考慮其中每一質(zhì)點的速度，而只需知道質(zhì)點系的質(zhì)量和質(zhì)心的速度就足夠了。（12.14）（12.15）現(xiàn)在是6頁\一共有38頁\編輯于星期日

設(shè)其角速度為w，質(zhì)心C至轉(zhuǎn)軸的距離為e，則由式（12.15）可知，此剛體動量的大小為w例如繞定軸轉(zhuǎn)動的剛體，顯然，當(dāng)剛體質(zhì)心位于轉(zhuǎn)軸上時，則不論轉(zhuǎn)動角速度多大，其動量恒等于零?，F(xiàn)在是7頁\一共有38頁\編輯于星期日3、質(zhì)心加速度將式（12.14）對時間求導(dǎo)，得：現(xiàn)在是8頁\一共有38頁\編輯于星期日二、質(zhì)心運動定理

上式表明，質(zhì)點系的質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積等于作用于質(zhì)點系外力的矢量和。同時指出：內(nèi)力不能改變質(zhì)心的運動。

形式上，質(zhì)心運動定理與質(zhì)點的動力學(xué)基本方程完全相似，因此質(zhì)心運動定理也可敘述如下：（12.17）

質(zhì)點系質(zhì)心的運動，猶如一個質(zhì)點的運動，此質(zhì)點的質(zhì)量等于整個質(zhì)點系的質(zhì)量，且作用于此質(zhì)點上的力等于作用于整個質(zhì)點系上的外力的矢量和。現(xiàn)在是9頁\一共有38頁\編輯于星期日質(zhì)心運動定理在坐標(biāo)軸上投影：——質(zhì)點系質(zhì)量與質(zhì)心加速度在某一軸上的投影的乘積等于質(zhì)點系所受外力的主矢量在同一軸上的投影，該式稱為投影形式的質(zhì)心運動定理。實際應(yīng)用時，可采用投影形式。（12.18）（12.17）現(xiàn)在是10頁\一共有38頁\編輯于星期日①如果三、質(zhì)心運動守恒

如果作用于質(zhì)點系的所有外力在某一軸上投影的代數(shù)和恒等于零。則質(zhì)心沿該軸的坐標(biāo)保持不變。以上結(jié)論，稱為質(zhì)心運動守恒定律。則質(zhì)心作勻速直線運動；②若開始靜止，則質(zhì)心位置始終保持不變。現(xiàn)在是11頁\一共有38頁\編輯于星期日③注意：只有外力才影響質(zhì)心的運動，內(nèi)力不影響質(zhì)心運動，且沒有外力時，質(zhì)心運動守恒，原為靜止的質(zhì)點系保持靜止。

如汽車在光滑路面上發(fā)動，如果路面沒有摩擦力，則輪子空轉(zhuǎn)不動，即輪心不向前運動，必須要有外力才能使其運動?，F(xiàn)在是12頁\一共有38頁\編輯于星期日

有很多實例都可用來說明質(zhì)心的運動完全取決于作用在質(zhì)點系上的外力而與內(nèi)力無關(guān)。

例如，人在完全沒有摩擦的光滑路面上行走是不可能的；汽車開動時，發(fā)動機(jī)汽缸內(nèi)的燃?xì)鈮毫ζ囌w來說是內(nèi)力，不能使車子前進(jìn)，只是當(dāng)燃?xì)馔苿踊钊ㄟ^傳動機(jī)構(gòu)帶動主動輪轉(zhuǎn)動，地面對主動輪作用了向前的摩擦力，而且這個摩擦力大于總的阻力時，汽車才能前進(jìn)?，F(xiàn)在是13頁\一共有38頁\編輯于星期日

例3設(shè)有一電動機(jī)用螺旋栓固定在水平地面上，如圖，電動機(jī)外殼連同定子的質(zhì)量為m1，它們的質(zhì)心為c1，在轉(zhuǎn)子的軸線上，轉(zhuǎn)子的質(zhì)量為m2。由于制造不夠精確，因而其質(zhì)心與轉(zhuǎn)子軸線相距為e，試求當(dāng)電動機(jī)以勻角速度ω轉(zhuǎn)動時，螺旋栓所受的水平剪力和地面的鉛垂反力?，F(xiàn)在是14頁\一共有38頁\編輯于星期日解：（1）研究整個電動機(jī)看作一個整體，受力分析如圖：作用于質(zhì)心上的外力有：重力m1g、m2g；螺栓的約束反力Rx、Ry?，F(xiàn)在是15頁\一共有38頁\編輯于星期日（2）建立靜坐標(biāo)如圖：電動機(jī)質(zhì)心C的方程為：式中：x1=y1=0，是外殼與定子的質(zhì)心c1的坐標(biāo)；

x2、y2是轉(zhuǎn)子c2的坐標(biāo)。設(shè)初瞬時，c2位于x軸上，經(jīng)過時間t后，轉(zhuǎn)角φ＝ωt，于是有：（1）（2）現(xiàn)在是16頁\一共有38頁\編輯于星期日(3)代入質(zhì)心坐標(biāo)公式得質(zhì)心c的運動方程：（1）（2）（3）現(xiàn)在是17頁\一共有38頁\編輯于星期日將質(zhì)心c的運動方程等式兩端微分得：（3）（4）現(xiàn)在是18頁\一共有38頁\編輯于星期日(4)質(zhì)心運動微分方程：從而可得到：現(xiàn)在是19頁\一共有38頁\編輯于星期日Rx——是螺栓給電動機(jī)的水平動反力，它與電動機(jī)的角速度有關(guān)，而電動機(jī)給螺栓的剪力則與Rx等值反向。Ry—電動機(jī)在鉛垂方向上所受的全反力，當(dāng)Ry>0時，其方向向上，它來自地面；當(dāng)Ry<0時，其方向向下，故知它必來自螺栓拉力，這時電動機(jī)有跳離地面的趨勢所以地面未受壓而不會給電動機(jī)反力?，F(xiàn)在是20頁\一共有38頁\編輯于星期日

通過本例可知，由于機(jī)器上轉(zhuǎn)子的質(zhì)心不在轉(zhuǎn)軸上，質(zhì)心的位置要隨時間而改變，因而，基座就受到了周期性壓力的作用。

這種隨時間而作周期性變化的動壓力往往引起基座的振動，以至影響機(jī)器的正常工作或損壞其零件。

為防止這種現(xiàn)象發(fā)生，在機(jī)器的設(shè)計和安裝中必須盡可能地使其轉(zhuǎn)動部分的質(zhì)心位于轉(zhuǎn)軸，以便減小基座所受的動壓力?，F(xiàn)在是21頁\一共有38頁\編輯于星期日

習(xí)題12.19

均質(zhì)桿AB，長2L，鉛直地靜置于光滑水平面上受到微小擾動后，無初速地倒下。求桿AB在倒下過程中，點A的軌跡方程。現(xiàn)在是22頁\一共有38頁\編輯于星期日

解：以均質(zhì)桿AB為研究對象，并以桿AB鉛直時的軸線為

y軸，建立圖示坐標(biāo)系。AB桿倒下過程中所受外力有：重力mg，光滑水平面的法向反力FN，桿在倒下的過程中有：即質(zhì)點系動量在x方向上守恒，又：t=0時桿處于靜止故質(zhì)心運動在x方向上守恒，有：現(xiàn)在是23頁\一共有38頁\編輯于星期日設(shè)任一瞬時，桿AB與x軸的夾角為θ，則有：所以點A的軌跡方程為：即：A點沿橢圓軌跡運動?，F(xiàn)在是24頁\一共有38頁\編輯于星期日

例1：水平光滑直線軌道上有一小車，車上站立一人。設(shè)小車重W，人重Q，開始系統(tǒng)靜止。若人在小車上走動，解：以人和小車為質(zhì)點系，受力如圖運動分析：t=0時系統(tǒng)靜止；WQvrv由受力分析可知可知xyo某瞬時人相對小車的速度為vr，試求此時的車速v？t時刻：車v，人v+vr現(xiàn)在是25頁\一共有38頁\編輯于星期日車重W，人重Q，某瞬時人相對小車的速度為vr，試求此時的車速v？t=0時系統(tǒng)靜止；t：車v，人v+vrWQvrv可知xyo解得：（靜止）現(xiàn)在是26頁\一共有38頁\編輯于星期日

例12.7浮動起重機(jī)的質(zhì)量m1＝20000kg，吊起質(zhì)量為m2

＝2000kg的重物，求當(dāng)?shù)鯒UAB由鉛垂線成60度角的位置轉(zhuǎn)到與鉛垂線成30度角的位置時，起重機(jī)的水平位移。吊桿長AB＝8m，吊桿重量及水的阻力均不計，又系統(tǒng)原為靜止。現(xiàn)在是27頁\一共有38頁\編輯于星期日解：（1）研究對象:

重物和起重機(jī)組成的質(zhì)點系（2）受力分析：鉛垂方向上的重力m1g、m2g；作用線通過質(zhì)點系質(zhì)心的浮力F；（3）運動分析：因只有鉛垂方向上的外力，所以力在水平方向的投影為O，所以質(zhì)點系的質(zhì)心C在水平方向應(yīng)保持靜止不動?，F(xiàn)在是28頁\一共有38頁\編輯于星期日當(dāng)?shù)鯒U轉(zhuǎn)動時，由于重物有往右的水平位移，故起重機(jī)必與之相應(yīng)而有往左的水平位移，設(shè)移動了一個S的水平距離。

以A鉸的初位置相重合的點O為原點建立坐標(biāo)系oxy如圖，則在初末兩瞬時，質(zhì)點系質(zhì)心C的坐標(biāo)分別為：現(xiàn)在是29頁\一共有38頁\編輯于星期日式中，d為起重機(jī)質(zhì)心c1與鉸A的水平距離。因質(zhì)心c無水平位移，從而xc=xco，故有：現(xiàn)在是30頁\一共有38頁\編輯于星期日即：起重機(jī)往左移動了水平距離0.266m。因質(zhì)心c無水平位移，從而xc=xco，故有：現(xiàn)在是31頁\一共有38頁\編輯于星期日

例圖示的曲柄滑塊機(jī)構(gòu)中，設(shè)曲柄AB受力偶作用以勻角速度w轉(zhuǎn)動，滑塊C沿x軸滑動。若AB＝BC＝l，AB及BC皆為均質(zhì)桿，質(zhì)量皆為m1，滑塊的質(zhì)量為m2。試求此系統(tǒng)的質(zhì)心運動方程、軌跡以及此系統(tǒng)的動量?，F(xiàn)在是32頁\一共有38頁\編輯于星期日解：設(shè)t＝0時AB桿水平，則有f＝wt。由式（12.13），質(zhì)心C的坐標(biāo)為上式即為此系統(tǒng)質(zhì)心C的運動方程。AB勻角速度w轉(zhuǎn)動，AB＝BC＝l，AB及BC為均質(zhì)桿，質(zhì)量m1，滑塊的質(zhì)量為m2。試求此系統(tǒng)的質(zhì)心運動方程、軌跡以及此系統(tǒng)的動量。xy現(xiàn)在是33頁\一共有38頁\編輯于星期日質(zhì)心C的坐標(biāo)為上式即為此系統(tǒng)質(zhì)心C的運動方程。由上二式消去時間t，得

即質(zhì)心C的運動軌跡為一橢圓。應(yīng)該指出，質(zhì)心一般不在其中某一物體上，而是在空間的某一特定點?，F(xiàn)在是34頁\一共有38頁\編輯于星期日為了求系統(tǒng)的動量，可將式（12.13）沿x、y軸投影，即

px＝mvCxpy＝mvCy此例中m=∑mi=2m1+m2

。由上式得現(xiàn)在是35頁\一共有38頁\編輯于星期日則得系統(tǒng)動量沿沿x、y軸投影：

px＝mvCx＝-2（m1+m2）lwsinwtpy＝mvCy＝m1lwcoswt系統(tǒng)動量的大小為：動量的方向沿質(zhì)心軌跡的切線方向，可用其方向余弦表示?，F(xiàn)在是36頁\一共有38頁\編輯于星期日

習(xí)題12.12

均質(zhì)曲柄AB長r，質(zhì)量為m1，假設(shè)受力偶作用以不變的角速度w轉(zhuǎn)動，并帶動滑槽連桿以及與它固連的活塞D，如圖所示?；?、連桿、活塞總質(zhì)量為m2，質(zhì)心在點C。在活塞上作用一恒力F。不計摩擦，求作用在曲柄軸處的最大水平分力Fx。

解：選取整個機(jī)構(gòu)為研究的質(zhì)點系。作用在水