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文檔簡介
優(yōu)選質(zhì)心運動定理理論力學(xué)課件現(xiàn)在是1頁\一共有38頁\編輯于星期日2.質(zhì)心的力學(xué)意義①
若質(zhì)點系中各質(zhì)點的質(zhì)量相等,則:1/n與i無關(guān),為公因子。
式中:ri系數(shù)1/n
表示第
i個質(zhì)點的質(zhì)量在質(zhì)點系質(zhì)量中所占的比例,質(zhì)心的矢徑rc即為各質(zhì)點的平均矢徑。(12.11)現(xiàn)在是2頁\一共有38頁\編輯于星期日②若質(zhì)點系中各質(zhì)點的質(zhì)量不相等。則有:
ri
的系數(shù)表示第i個質(zhì)點的質(zhì)量在質(zhì)點系的質(zhì)量所占的比例,質(zhì)心的矢徑rc為即為各質(zhì)點按其質(zhì)量在質(zhì)點系質(zhì)量中所占的比例的平均位置。③質(zhì)心的作用
由討論可見,質(zhì)心的位置與質(zhì)點系中的質(zhì)量分布狀況有關(guān),它在一定程度上反映了質(zhì)點系的質(zhì)量分布狀況,所以質(zhì)心的概念是動力學(xué)的重要概念之一。(12.12)現(xiàn)在是3頁\一共有38頁\編輯于星期日④質(zhì)心的坐標(biāo)計算質(zhì)心位置時,常用上式在直角坐標(biāo)系的投影形式,即式中mi點為第i個質(zhì)點的質(zhì)量,xi、yi、zi,第i個質(zhì)點的位置坐標(biāo),m為質(zhì)點系的質(zhì)量。
質(zhì)心是質(zhì)點系中特定的一個點,質(zhì)點系運動,質(zhì)心也在運動??梢?,如果把質(zhì)點系的質(zhì)量都集中于質(zhì)心做為一個質(zhì)點,那么此質(zhì)點的動量就等于質(zhì)點系的動量,可見質(zhì)心運動具有特殊意義?,F(xiàn)在是4頁\一共有38頁\編輯于星期日
可見物體在重力場中運動時,重心與質(zhì)心相重合。但應(yīng)當(dāng)注意,質(zhì)心與重心是兩個不同的概念。⑤質(zhì)心與重心的比較:若將上列各式等號右端的分子與分母同乘以重力加速度g,就得到質(zhì)點系的重心坐標(biāo)公式。重心僅在質(zhì)點系受到重力作用(即在地球表面附近)時才存在,而質(zhì)心則與質(zhì)點系是否受到重力作用無關(guān),它隨質(zhì)點系的存在而存在。因此,質(zhì)心概念的適用范圍遠(yuǎn)較重心廣泛。(12-13)現(xiàn)在是5頁\一共有38頁\編輯于星期日或2、質(zhì)心速度質(zhì)心C的運動速度可根據(jù)式(12.10)導(dǎo)出:式(12.15)為計算質(zhì)點系動量的簡便方法。由上式可知,不論質(zhì)點如何運動,在計算質(zhì)點系的動量時均可不考慮其中每一質(zhì)點的速度,而只需知道質(zhì)點系的質(zhì)量和質(zhì)心的速度就足夠了。(12.14)(12.15)現(xiàn)在是6頁\一共有38頁\編輯于星期日
設(shè)其角速度為w,質(zhì)心C至轉(zhuǎn)軸的距離為e,則由式(12.15)可知,此剛體動量的大小為w例如繞定軸轉(zhuǎn)動的剛體,顯然,當(dāng)剛體質(zhì)心位于轉(zhuǎn)軸上時,則不論轉(zhuǎn)動角速度多大,其動量恒等于零?,F(xiàn)在是7頁\一共有38頁\編輯于星期日3、質(zhì)心加速度將式(12.14)對時間求導(dǎo),得:現(xiàn)在是8頁\一共有38頁\編輯于星期日二、質(zhì)心運動定理
上式表明,質(zhì)點系的質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積等于作用于質(zhì)點系外力的矢量和。同時指出:內(nèi)力不能改變質(zhì)心的運動。
形式上,質(zhì)心運動定理與質(zhì)點的動力學(xué)基本方程完全相似,因此質(zhì)心運動定理也可敘述如下:(12.17)
質(zhì)點系質(zhì)心的運動,猶如一個質(zhì)點的運動,此質(zhì)點的質(zhì)量等于整個質(zhì)點系的質(zhì)量,且作用于此質(zhì)點上的力等于作用于整個質(zhì)點系上的外力的矢量和。現(xiàn)在是9頁\一共有38頁\編輯于星期日質(zhì)心運動定理在坐標(biāo)軸上投影:——質(zhì)點系質(zhì)量與質(zhì)心加速度在某一軸上的投影的乘積等于質(zhì)點系所受外力的主矢量在同一軸上的投影,該式稱為投影形式的質(zhì)心運動定理。實際應(yīng)用時,可采用投影形式。(12.18)(12.17)現(xiàn)在是10頁\一共有38頁\編輯于星期日①如果三、質(zhì)心運動守恒
如果作用于質(zhì)點系的所有外力在某一軸上投影的代數(shù)和恒等于零。則質(zhì)心沿該軸的坐標(biāo)保持不變。以上結(jié)論,稱為質(zhì)心運動守恒定律。則質(zhì)心作勻速直線運動;②若開始靜止,則質(zhì)心位置始終保持不變。現(xiàn)在是11頁\一共有38頁\編輯于星期日③注意:只有外力才影響質(zhì)心的運動,內(nèi)力不影響質(zhì)心運動,且沒有外力時,質(zhì)心運動守恒,原為靜止的質(zhì)點系保持靜止。
如汽車在光滑路面上發(fā)動,如果路面沒有摩擦力,則輪子空轉(zhuǎn)不動,即輪心不向前運動,必須要有外力才能使其運動?,F(xiàn)在是12頁\一共有38頁\編輯于星期日
有很多實例都可用來說明質(zhì)心的運動完全取決于作用在質(zhì)點系上的外力而與內(nèi)力無關(guān)。
例如,人在完全沒有摩擦的光滑路面上行走是不可能的;汽車開動時,發(fā)動機(jī)汽缸內(nèi)的燃?xì)鈮毫ζ囌w來說是內(nèi)力,不能使車子前進(jìn),只是當(dāng)燃?xì)馔苿踊钊ㄟ^傳動機(jī)構(gòu)帶動主動輪轉(zhuǎn)動,地面對主動輪作用了向前的摩擦力,而且這個摩擦力大于總的阻力時,汽車才能前進(jìn)?,F(xiàn)在是13頁\一共有38頁\編輯于星期日
例3設(shè)有一電動機(jī)用螺旋栓固定在水平地面上,如圖,電動機(jī)外殼連同定子的質(zhì)量為m1,它們的質(zhì)心為c1,在轉(zhuǎn)子的軸線上,轉(zhuǎn)子的質(zhì)量為m2。由于制造不夠精確,因而其質(zhì)心與轉(zhuǎn)子軸線相距為e,試求當(dāng)電動機(jī)以勻角速度ω轉(zhuǎn)動時,螺旋栓所受的水平剪力和地面的鉛垂反力?,F(xiàn)在是14頁\一共有38頁\編輯于星期日解:(1)研究整個電動機(jī)看作一個整體,受力分析如圖:作用于質(zhì)心上的外力有:重力m1g、m2g;螺栓的約束反力Rx、Ry?,F(xiàn)在是15頁\一共有38頁\編輯于星期日(2)建立靜坐標(biāo)如圖:電動機(jī)質(zhì)心C的方程為:式中:x1=y1=0,是外殼與定子的質(zhì)心c1的坐標(biāo);
x2、y2是轉(zhuǎn)子c2的坐標(biāo)。設(shè)初瞬時,c2位于x軸上,經(jīng)過時間t后,轉(zhuǎn)角φ=ωt,于是有:(1)(2)現(xiàn)在是16頁\一共有38頁\編輯于星期日(3)代入質(zhì)心坐標(biāo)公式得質(zhì)心c的運動方程:(1)(2)(3)現(xiàn)在是17頁\一共有38頁\編輯于星期日將質(zhì)心c的運動方程等式兩端微分得:(3)(4)現(xiàn)在是18頁\一共有38頁\編輯于星期日(4)質(zhì)心運動微分方程:從而可得到:現(xiàn)在是19頁\一共有38頁\編輯于星期日Rx——是螺栓給電動機(jī)的水平動反力,它與電動機(jī)的角速度有關(guān),而電動機(jī)給螺栓的剪力則與Rx等值反向。Ry—電動機(jī)在鉛垂方向上所受的全反力,當(dāng)Ry>0時,其方向向上,它來自地面;當(dāng)Ry<0時,其方向向下,故知它必來自螺栓拉力,這時電動機(jī)有跳離地面的趨勢所以地面未受壓而不會給電動機(jī)反力?,F(xiàn)在是20頁\一共有38頁\編輯于星期日
通過本例可知,由于機(jī)器上轉(zhuǎn)子的質(zhì)心不在轉(zhuǎn)軸上,質(zhì)心的位置要隨時間而改變,因而,基座就受到了周期性壓力的作用。
這種隨時間而作周期性變化的動壓力往往引起基座的振動,以至影響機(jī)器的正常工作或損壞其零件。
為防止這種現(xiàn)象發(fā)生,在機(jī)器的設(shè)計和安裝中必須盡可能地使其轉(zhuǎn)動部分的質(zhì)心位于轉(zhuǎn)軸,以便減小基座所受的動壓力?,F(xiàn)在是21頁\一共有38頁\編輯于星期日
習(xí)題12.19
均質(zhì)桿AB,長2L,鉛直地靜置于光滑水平面上受到微小擾動后,無初速地倒下。求桿AB在倒下過程中,點A的軌跡方程。現(xiàn)在是22頁\一共有38頁\編輯于星期日
解:以均質(zhì)桿AB為研究對象,并以桿AB鉛直時的軸線為
y軸,建立圖示坐標(biāo)系。AB桿倒下過程中所受外力有:重力mg,光滑水平面的法向反力FN,桿在倒下的過程中有:即質(zhì)點系動量在x方向上守恒,又:t=0時桿處于靜止故質(zhì)心運動在x方向上守恒,有:現(xiàn)在是23頁\一共有38頁\編輯于星期日設(shè)任一瞬時,桿AB與x軸的夾角為θ,則有:所以點A的軌跡方程為:即:A點沿橢圓軌跡運動?,F(xiàn)在是24頁\一共有38頁\編輯于星期日
例1:水平光滑直線軌道上有一小車,車上站立一人。設(shè)小車重W,人重Q,開始系統(tǒng)靜止。若人在小車上走動,解:以人和小車為質(zhì)點系,受力如圖運動分析:t=0時系統(tǒng)靜止;WQvrv由受力分析可知可知xyo某瞬時人相對小車的速度為vr,試求此時的車速v?t時刻:車v,人v+vr現(xiàn)在是25頁\一共有38頁\編輯于星期日車重W,人重Q,某瞬時人相對小車的速度為vr,試求此時的車速v?t=0時系統(tǒng)靜止;t:車v,人v+vrWQvrv可知xyo解得:(靜止)現(xiàn)在是26頁\一共有38頁\編輯于星期日
例12.7浮動起重機(jī)的質(zhì)量m1=20000kg,吊起質(zhì)量為m2
=2000kg的重物,求當(dāng)?shù)鯒UAB由鉛垂線成60度角的位置轉(zhuǎn)到與鉛垂線成30度角的位置時,起重機(jī)的水平位移。吊桿長AB=8m,吊桿重量及水的阻力均不計,又系統(tǒng)原為靜止。現(xiàn)在是27頁\一共有38頁\編輯于星期日解:(1)研究對象:
重物和起重機(jī)組成的質(zhì)點系(2)受力分析:鉛垂方向上的重力m1g、m2g;作用線通過質(zhì)點系質(zhì)心的浮力F;(3)運動分析:因只有鉛垂方向上的外力,所以力在水平方向的投影為O,所以質(zhì)點系的質(zhì)心C在水平方向應(yīng)保持靜止不動?,F(xiàn)在是28頁\一共有38頁\編輯于星期日當(dāng)?shù)鯒U轉(zhuǎn)動時,由于重物有往右的水平位移,故起重機(jī)必與之相應(yīng)而有往左的水平位移,設(shè)移動了一個S的水平距離。
以A鉸的初位置相重合的點O為原點建立坐標(biāo)系oxy如圖,則在初末兩瞬時,質(zhì)點系質(zhì)心C的坐標(biāo)分別為:現(xiàn)在是29頁\一共有38頁\編輯于星期日式中,d為起重機(jī)質(zhì)心c1與鉸A的水平距離。因質(zhì)心c無水平位移,從而xc=xco,故有:現(xiàn)在是30頁\一共有38頁\編輯于星期日即:起重機(jī)往左移動了水平距離0.266m。因質(zhì)心c無水平位移,從而xc=xco,故有:現(xiàn)在是31頁\一共有38頁\編輯于星期日
例圖示的曲柄滑塊機(jī)構(gòu)中,設(shè)曲柄AB受力偶作用以勻角速度w轉(zhuǎn)動,滑塊C沿x軸滑動。若AB=BC=l,AB及BC皆為均質(zhì)桿,質(zhì)量皆為m1,滑塊的質(zhì)量為m2。試求此系統(tǒng)的質(zhì)心運動方程、軌跡以及此系統(tǒng)的動量?,F(xiàn)在是32頁\一共有38頁\編輯于星期日解:設(shè)t=0時AB桿水平,則有f=wt。由式(12.13),質(zhì)心C的坐標(biāo)為上式即為此系統(tǒng)質(zhì)心C的運動方程。AB勻角速度w轉(zhuǎn)動,AB=BC=l,AB及BC為均質(zhì)桿,質(zhì)量m1,滑塊的質(zhì)量為m2。試求此系統(tǒng)的質(zhì)心運動方程、軌跡以及此系統(tǒng)的動量。xy現(xiàn)在是33頁\一共有38頁\編輯于星期日質(zhì)心C的坐標(biāo)為上式即為此系統(tǒng)質(zhì)心C的運動方程。由上二式消去時間t,得
即質(zhì)心C的運動軌跡為一橢圓。應(yīng)該指出,質(zhì)心一般不在其中某一物體上,而是在空間的某一特定點?,F(xiàn)在是34頁\一共有38頁\編輯于星期日為了求系統(tǒng)的動量,可將式(12.13)沿x、y軸投影,即
px=mvCxpy=mvCy此例中m=∑mi=2m1+m2
。由上式得現(xiàn)在是35頁\一共有38頁\編輯于星期日則得系統(tǒng)動量沿沿x、y軸投影:
px=mvCx=-2(m1+m2)lwsinwtpy=mvCy=m1lwcoswt系統(tǒng)動量的大小為:動量的方向沿質(zhì)心軌跡的切線方向,可用其方向余弦表示?,F(xiàn)在是36頁\一共有38頁\編輯于星期日
習(xí)題12.12
均質(zhì)曲柄AB長r,質(zhì)量為m1,假設(shè)受力偶作用以不變的角速度w轉(zhuǎn)動,并帶動滑槽連桿以及與它固連的活塞D,如圖所示?;?、連桿、活塞總質(zhì)量為m2,質(zhì)心在點C。在活塞上作用一恒力F。不計摩擦,求作用在曲柄軸處的最大水平分力Fx。
解:選取整個機(jī)構(gòu)為研究的質(zhì)點系。作用在水
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