華師大版九年級數(shù)學(xué)上冊第22章一元二次方程

第22章一元二次方程22.1一元二次方程1.理解一元二次方程的概念。(重點)2.了解一元二次方程的一般形式。(重點)3.經(jīng)歷探究一元二次方程的概念的過程。（難點）學(xué)習(xí)目標1.你還記得什么叫方程？什么叫方程的解嗎？2.什么是一元一次方程？它的一般形式是怎樣的？一般形式：ax+b=0(a≠0)3.我們知道了利用一元一次方程可以解決生活中的一些實際問題，你還記得利用一元一次方程解決實際問題的步驟嗎?

1.審；2.設(shè)；3.列；4.解；5.驗；6.答.問題引入問題1

某地為增加農(nóng)民收入，需要調(diào)整農(nóng)作物種植結(jié)構(gòu)，計劃2018年無公害蔬菜的產(chǎn)量比2016年翻一翻，要實現(xiàn)這一目標，2017年和2018年無公害蔬菜產(chǎn)量的年平均增長率應(yīng)是多少？1.根據(jù)以往的經(jīng)驗，你想用什么知識來解決這個實際問題？方程一元二次方程及其一般形式新課講解1？思考2.如圖，如果假設(shè)無公害蔬菜產(chǎn)量的年平均增長率是x，2016年的產(chǎn)量為a，那么2017年無公害蔬菜產(chǎn)量為

，2018年無公害蔬菜產(chǎn)量為

.a+ax=a(1+x)a(1+x)+a(1+x)x=a(1+x)23.你能根據(jù)題意，列出方程嗎？a(1+x)2=2a把以上方程整理，得

.x2+2x-1=0（1）新課講解201620172018問題2

在一塊寬20m、長32m的矩形空地上，修筑寬相等的三條小路（兩條縱向，一條橫向，縱向與橫向垂直），把矩形空地分成大小一樣的六塊，建成小花壇.如圖要使花壇的總面積為570m2，小路的寬應(yīng)為多少？3220x新課講解？思考1.若設(shè)小路的寬是xm，那么橫向小路的面積是______m2，縱向小路的面積是

m2，兩者重疊的面積是

m2.32x2×20x2x22.由于花壇的總面積是570m2.你能根據(jù)題意，列出方程嗎？整理以上方程，得32×20－(32x＋2×20x)＋2x2=570x2-36x＋35=0（2）.3220x新課講解？想一想還有其他的列法嗎？試說明原因.(20-x)(32-2x)=57032-2x20-x3220請觀察下面兩個方程并回答問題：

x2+2x-1=0x2-36x+35=0（1）它們是一元一次方程嗎？（2）與一元一次方程有何異同？（3）通過比較你能歸納出這類方程的特點嗎？

★類比發(fā)現(xiàn)，探索新知

1.等號兩邊都是整式

2.只含有一個未知數(shù)

3.未知數(shù)的最高次數(shù)是2特點新課講解一般地，任何一個關(guān)于x的一元二次方程都可以化為

的形式，我們把ax

2+bx+c=0(a,b,c為常數(shù)，a≠0）稱為一元二次方程的一般形式.想一想：為什么要限制a≠0?b，c可以為零嗎？

ax

2+bx+c=0(a≠0)二次項系數(shù)一次項系數(shù)常數(shù)項（4）通過與一元一次方程的對比，你能給這類方程取個合理的名字嗎？新課講解ax

2+bx+c=01.完成下表.

方程一般形式二次項系數(shù)一次項系數(shù)常數(shù)項4x2=3x(x-1)2-9=0x(x+2)=3(x+2)4x2-3x=0x2-2x-8=0x2-x-6=04-301-2-81-1-6隨堂即練

2.下列方程中哪些是一元二次方程，并說明理由.x+2=5x-3x2=42x2-4=(x+2)23.方程（2a-4)x2-2bx+a=0在什么條件下為一元二次方程？不是是是不是解：當(dāng)2a-4≠0，即a≠2時，該方程為一元二次方程.隨堂即練

議一議：通過以上習(xí)題的練習(xí)的情況，你認為在確定一元二次方程的各項系數(shù)及常數(shù)項的時候，需要注意哪些？（1）在確定一元二次方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項時必須把方程化為一般形式才能進行.（2）二次項系數(shù)、一次項系數(shù)以及常數(shù)項都要連同它前面的符號.（3）二次項系數(shù)a≠0.課堂總結(jié)

能使一元二次方程兩邊相等的未知數(shù)的值叫一元二次方程的解(或根).

判斷未知數(shù)的值x=-1，x=0，x=2是不是方程x2-2=x的根.一元二次方程的根新課講解21.判斷下列各題括號內(nèi)未知數(shù)的值是不是方程的根：x2-3x+2=0(x1=1，x2=2，x3=3)2.構(gòu)造一個一元二次方程，要求：（1）常數(shù)項為零；（2）有一根為2.解：當(dāng)x1=1時，x2-3x+2=1-3+2=0，所以x1=1是該方程的根；當(dāng)x2=2時，x2-3x+2=4-6+2=0，所以x2=2是該方程的根；當(dāng)x3=3時，x2-3x+2=9-6+2=5≠0，所以x3=3不是該方程的根.解：x2-2x=0.隨堂即練3.已知關(guān)于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一個根是3，求a的值.解：把x=3代入方程x2+ax+a=0，得32+3a+a=0，9+4a=0，4a=-9，隨堂即練

4.已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0

(a≠0)的一個根為1，

求a+b+c的值.解：由題意，得思考:若a+b+c=0，你能通過觀察求出方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一個根嗎?解：∵∴方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一個根是1.拓展：若4a+2b+c=0，你能通過觀察求出方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一個根嗎?x=2隨堂即練一般地，任何一個關(guān)于x的一元二次方程都可以化為

的形式，我們把(a，b，c為常數(shù)，a≠0）稱為一元二次方程的一般形式.其中，a，b，c分別叫做二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項.

能使一元二次方程兩邊相等的未知數(shù)的值叫一元二次方程的解(或根).課堂總結(jié)★一元二次方程及其一般形式★一元二次方程的根第22章一元二次方程22.2一元二次方程的解法第1課時

直接開平方法和因式分解法1.學(xué)會用直接開平方法及因式分解法解簡單的一元二次方程.（重點）2.了解用直接開平方法及因式分解法解一元二次方程的一般步驟.(重點)學(xué)習(xí)目標一元二次方程的一般式是怎樣的？你知道求一元二次方程的解的方法有哪些嗎？（a≠0）回顧與思考新課引入解:

所以方程x2=9有兩個根，x1=3，x2=-3.直接開平方解方程解方程：x2=9.新課講解1

歸納：

一般地，對于形如x2=a(a≥0)的方程，根據(jù)平方根的定義，可解得，這種解一元二次方程的方法叫做直接開平方法.2.用直接開平方法解下列方程:(1)3x2－27=0；(2)(2x－3)2=9.1.方程的根是

.方程的根是

.

方程的根是

.

x1=0.5，

x2=－0.5x1＝3，x2＝－3x1＝2，x2＝－1x1＝3，x2＝－3x1＝0，x2＝3隨堂即練因式分解:

把一個多項式化成幾個整式的積的形式.在學(xué)習(xí)因式分解時，我們已經(jīng)知道可以利用因式分解求出某些一元二次方程的解.用因式分解法解一元二次方程什么是因式分解？新課講解2知識回顧

解方程：x2－3x＝0.解：將方程的左邊分解因式，得x（x-3）＝0.所以x=0或x-3=0，分別解這兩個一元一次方程，得x1=0，x2=3.

像上面這種利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法.新課講解例題若方程的右邊不是零，則先移項，使方程的右邊為零；將方程的左邊分解因式；根據(jù)若A·B=0，則A=0或B=0，將解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解兩個一元一次方程.★因式分解法的基本步驟方法歸納這樣解是否正確呢？解：方程的兩邊同時除以x，得x=1.故原方程的解為x=1.不正確，方程兩邊同時除以的數(shù)不能為零，還有一個解為x=0.新課講解交流討論x2=x1.填空：（1）方程x2+x=0的根是_________________；（2）x2－25=0的根是________________.x1=0，x2=

-1x1=5，

x2=

-5隨堂即練2.

解方程：（x+2）2-16=0.（用兩種方法解）解:（方法一）原方程可變形為（x+2）2=16.直接開平方，得x+2=±4，所以x1=2，x2=-6.（方法二）方程左邊分解因式，得（x+2+4）（x+2-4）=0.

所以x+6=0或x-2=0，得x1=-6，x2=2.3.解下列方程：（1）（x+4）（x-1）=6；解：(1)把原方程化為一般形式，得x2+3x-10=0.把方程左邊分解因式，得（x-2）（x+5）=0

所以x-2=0或x+5=0，得x1=2，x2=-5.隨堂即練(2)(3x-4)2=(4x-3)2.(2)移項，得（3x-4)2-(4x-3)2=0.將方程左邊分解因式，得〔(3x-4)+(4x-3)〕〔(3x-4)-(4x-3)〕=0，

即(7x-7)(-x-1)=0.所以7x-7=0或-x-1=0，得x1=1，x2=-1.

注意：當(dāng)方程的一邊為0，另一邊容易分解成兩個一次因式的積時，則用因式分解法解方程比較方便.

★因式分解法解一元二次方程的基本步驟（1）將方程變形，使方程的右邊為零；（2）將方程的左邊因式分解；（3）根據(jù)若A·B=0，則A=0或B=0，將解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解兩個一元一次方程.課堂總結(jié)

★

直接開平方法解一元二次方程若方程經(jīng)過簡單的變形，可以化為（）2=a（a≥0）的形式，則用直接開平方法求解.第22章一元二次方程22.2一元二次方程的解法第2課時

配方法1.掌握用配方法解一元二次方程.（重點）2.能根據(jù)一元二次方程的特征靈活選擇解法.(難點)學(xué)習(xí)目標讀詩詞解題：（通過列方程，算出周瑜去世時的年齡）

大江東去浪淘盡，千古風(fēng)流數(shù)人物.而立之年督東吳，早逝英年兩位數(shù).

十位恰小個位三，個位平方與壽符.哪位學(xué)子算得快，多少年華屬周瑜？解：設(shè)個位數(shù)字為x，則十位數(shù)字為x-3.整理，得x2-11x+30=0.根據(jù)題意，得x2=10(x-3)+x.新課引入？思考怎樣求解？這種方程怎樣解？變形為的形式．（a為非負常數(shù)）變形為x2+2x＝5（x+1）2=6用配方法解一元二次方程新課講解回想兩數(shù)差的平方公式，有a2+2ab+b2=（a+b）2，從中能得到什么啟示？

歸納：

像這樣，通過方程的簡單變形，將左邊配成一個含有未知數(shù)的完全平方式，右邊是一個非負常數(shù)，從而可以直接開平方求解.這種解一元二次方程的方法叫做配方法.

解方程：x2+2x＝5.解：原方程兩邊都加上1，得x2+2x+1=6，即（x+1）2=6.直接開平方，得x+1=所以x=-1±，即x1=-1+，x2=-1-.新課講解例題(1)x2＋8x＋

=(x＋4)2(2)x2－4x＋

=(x－

)2(3)x2－___x＋9=(x－

)2

歸納：配方時，

等式兩邊同時加上的是一次項系數(shù)一半的平方.166342探究新課講解用配方法解下列方程:(1)x2-4x-1=0；(2)2x2-3x-1=0.新課講解用配方法解一元二次方程的一般步驟:化1：

把二次項系數(shù)化為1；移項：把常數(shù)項移到方程的右邊；配方：方程兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方；變形：將方程化成（x+m）2=a(a≥0)的形式；開方：根據(jù)平方根意義，方程兩邊開平方；求解：解一元一次方程；定解：寫出原方程的解.方法歸納★(2)-x2＋4x-3=0.(1)x2＋12x=-9；1.用配方法解下列方程：解：(1)配方（兩邊同時加上36），得

x2＋2?x?6+62=-9+62，即（x+6）2=27.

直接開平方，得x+6=，所以（2）原方程可化為x2-4x+3=0.

配方，得（x-1）（x-3)=0，

所以

x1=1，x2=3.隨堂即練2.用配方法說明：不論k取何實數(shù)，多項式k2-3k＋5的值必定大于零.證明：

k2-3k＋5=(k-)2+.∵(k-)2≥0，∴k2-3k＋5＞0.即不論k取何實數(shù)，多項式k2-3k＋5

的值必定大于零.

隨堂即練

3.先用配方法解下列方程：（1）x2-2x-1＝0；（2）x2-2x+4＝0；（3）x2-2x+1＝0；

然后回答下列問題：（4）你在求解過程中遇到什么問題？你是怎樣處理所遇到的問題的？（5）對于形如x2+px+q＝0這樣的方程，在什么條件下才有實數(shù)根？隨堂即練解：(1)左右兩邊同時加2，得x2-2x+1=2.配方，得（x-1）2=2，解得（2）左右兩邊同時減去3，得x2-2x+1=-3.

配方，得(x-1)2=-3，顯然此方程無解.（3）原方程配方，得(x-1)2=0，解得x=1.

（4）略（5）隨堂即練即當(dāng)p2-4q≥0時，形如x2+px+q＝0這樣的方程，才有實數(shù)根.

注意：配方時，等式兩邊同時加上的是一次項系數(shù)一半的平方.課堂總結(jié)

通過方程的簡單變形，將左邊配成一個含有未知數(shù)的完全平方式，右邊是一個非負常數(shù)，從而可以直接開平方求解.這種解一元二次方程的方法叫做配方法.★配方法課堂總結(jié)用配方法解一元二次方程的一般步驟：1.化1：

把二次項系數(shù)化為1；2.移項：把常數(shù)項移到方程的右邊；3.配方：方程兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方；4.變形：將方程化成（x+m）2=a(a≥0)的形式；5.開方：根據(jù)平方根意義，方程兩邊開平方；6.求解：解一元一次方程；7.定解：寫出原方程的解.★第22章一元二次方程22.2一元二次方程的解法第3課時

公式法1.學(xué)會用公式法解一元二次方程.（重點）2.能根據(jù)具體一元二次方程的特征靈活選擇方程的解法.(難點)3.體會解決問題方法的多樣性.（難點）學(xué)習(xí)目標1.化1：

把二次項系數(shù)化為1；2.移項：把常數(shù)項移到方程的右邊；3.配方：方程兩邊同加一次項系數(shù)一半的平方；4.變形：將方程化成（x+m）2=a(a≥0)的形式；5.開平方，求解.“配方法”解方程的基本步驟：回顧與思考回顧引入解：兩邊同除以2，得x2+6x-1=0.

移項，得x2+6x=1.

配方，得x2+2?x?3+32=1+32，即(x+3)2=10.

直接開平方，得x+3=±，

所以用配方法解下面這個一元二次方程：你還會其他的解法嗎？回顧引入一元二次方程的求根公式新課講解1

模仿用配方法解的過程，解一般形式的一元二次方程.類比探究兩邊同除以a移項兩邊同時加上整理開方解得步驟新課講解

一般地，對于一元二次方程

如果，那么方程的兩個根為

將一元二次方程中系數(shù)a、b、c的值，直接代入這個公式，就可以求得方程的根.這種解一元二次方程的方法叫做公式法.知識歸納這個公式叫做一元二次方程的求根公式.

用公式法解下列一元二次方程：解：（1）用公式法解一元二次方程2新課講解例題解：將原方程化為一般形式，得新課講解★運用公式法解一元二次方程的基本步驟：（1）把方程化為一般形式，確定a、b、c的值；（2）求出的值；（3）若b2-4ac≥0，把a、b、c及b2-4ac的值代入一元二次方程的求根公式，求出方程的根；若b2-4ac<0，此時方程無實數(shù)解.方法歸納1.用公式法解方程，得到（）AA.C.D.B.隨堂即練2.用公式法解下列方程：解：隨堂即練（2）將方程化為一般形式為3.選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋航猓寒?dāng)x=0時，原方程成立；當(dāng)x≠0時，兩邊同時除以x，得

2x-7=2，解得x=4.5.

綜上，原方程的解為x1=0，x2=4.5.

隨堂即練4.關(guān)于x的一元二次方程當(dāng)a、b、c

滿足什么條件時，方程的兩根互為相反數(shù)？解：由題意可設(shè)該一元二次方程的兩根分別為k，-k.

由求根公式，得隨堂即練即當(dāng)b=0，ac≤0時，該方程的兩根互為相反數(shù).

一般地，對于一元二次方程

如果，那么方程的兩個根為

將一元二次方程中系數(shù)a、b、c的值，直接代入這個公式，就可以求得方程的根.這種解一元二次方程的方法叫做公式法.這個公式叫做一元二次方程的求根公式.課堂總結(jié)★運用公式法解一元二次方程的基本步驟：（1）把方程化為一般形式，確定a、b、c的值；（2）求出的值；（3）若，把a、b、c及的值代入一元二次方程的求根公式，求出方程的根；若，此時方程無實數(shù)解.課堂總結(jié)第22章一元二次方程22.2一元二次方程的解法第4課時

一元二次方程根的判別式1.了解一元二次方程根的判別式.（重點）2.會判斷一元二次方程根的情況.(難點)3.掌握一元二次方程根的判別式的應(yīng)用.（難點）學(xué)習(xí)目標用公式法求下列方程的根：

用公式法解一元二次方程的一般步驟（1）把方程化為一般形式，確定a、b、c的值；（3)代入求根公式計算方程的根（2)計算的值新課引入觀察與思考我們在用配方法推導(dǎo)一元二次方程的求根公式的過程中，得到一元二次方程根的判別式新課講解只有當(dāng)b2-4ac≥0時，才能直接開平方，得如果b2-4ac<0，會怎樣？思考：

由此我們根據(jù)一元二次方程的系數(shù)可以直接判斷根的情況嗎？怎樣判斷呢?3.當(dāng)方程沒有實數(shù)根時，有.

1.當(dāng)方程有兩個不相等的實數(shù)根時，有；2.當(dāng)方程有兩個相等的實數(shù)根時，有；反過來，對于一元二次方程有：新課講解

我們把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判別式，常用符號“?”來表示，用它可以直接判斷一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的實數(shù)根的情況：反之，同樣成立！當(dāng)?＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)?=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)?＜0時，方程沒有實數(shù)根.要點歸納

3.判斷根的情況，得出結(jié)論.

2.計算?的值，確定?的符號；★不解方程，判別一元二次方程的根的情況的一般步驟

1.將原方程化為一般式，確定的值；方法歸納1.不解方程，判別下列方程的根的情況：解：（1）因為?=（-3）2-4×5×（-2）=9+40=49>0，所以方程有兩個不相等的實數(shù)根.（2）原方程可變形為25y2-20y+4=0.因為?=（-20）2-4×25×4=9=400-400=0，所以方程有兩個相等的實數(shù)根.（3）因為?=（）2-4×2×1=3-8=-5＜0，所以方程沒有實數(shù)根.隨堂即練2.不解方程，判別關(guān)于x的方程的根的情況.解：隨堂即練一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情況

反之，同樣成立！當(dāng)?＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)?=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)?＜0時，方程沒有實數(shù)根.課堂總結(jié)第22章一元二次方程22.2一元二次方程的解法第5課時

一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系1.了解一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系.（重點）2.會應(yīng)用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系解決相關(guān)問題.(難點)學(xué)習(xí)目標2.求根公式是什么？根的個數(shù)怎么確定的？1.一元二次方程的解法有哪些，步驟呢？問題引入

方程

x1

x2

x1+x2

x1?x2

x2-3x+2=0x2-2x-3=0x2-5x+4=0問題：這些一元二次方程的兩根x1+x2，x1?x2與對應(yīng)的一元二次方程的系數(shù)有什么關(guān)系？2

132-1

3

2-31

4

54一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系新課講解1完成下表：由上可知，猜想正確！

猜想：當(dāng)二次項系數(shù)為1時，方程x2+px+q=0的兩根為x1，x2，那么新課講解猜想：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常數(shù)，a≠0）的兩根為x1，x2，且

則x1+x2和x1?x2與系數(shù)a、b、c的關(guān)系為新課講解驗證：新課講解新課講解猜想正確！任何一個一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系：如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個根是x1，x2，那么x1+x2=，x1

·x2=

注意：能用根與系數(shù)的關(guān)系的前提條件為b2-4ac≥0.新課講解韋達定理一、直接運用根與系數(shù)的關(guān)系不解方程，求下列方程兩根之和兩根之積.利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系解決問題新課講解2在使用根與系數(shù)的關(guān)系時，應(yīng)注意：⑴不是一般式的要先化成一般式；⑵在使用x1+x2=時，注意“-”不要漏寫.例1二、求關(guān)于兩根的代數(shù)式的值設(shè)是方程的兩個根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求下列各式的值.

新課講解例2解:由題意知新課講解三、構(gòu)造新方程求一個一元二次方程，使它的兩個根是2和3，且二次項系數(shù)為1.解:（x-2)（x-3）=0，

即x2-5x+6=0.(答案不唯一）新課講解例3方程的兩根之和為6，一根為2，求p、q的值.四、求方程中的待定系數(shù)解：設(shè)方程的另一個根為x1.

由題意，得2+x1=-p=6，2x1=q，所以x1=4，p=-6，q=8.新課講解例4

1.方程有一個正根，一個負根，求m的取值范圍.解：根據(jù)題意，得∴0<m<1.解得m>0，0<m<1，隨堂即練2.求一個一元二次方程，使它的兩個根是2和3，且二次項系數(shù)為5.解

：根據(jù)題意，得5（x-2)（x-3）=0，

即5x2-25x+30=0.隨堂即練一正根，一負根?＞0x1x2＜0兩個正根?≥0x1x2＞0x1+x2＞0兩個負根?≥0x1x2＞0x1+x2＜0課堂總結(jié)

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根分別為x1，x2，則有注意：能用根與系數(shù)的關(guān)系的前提條件為b2-4ac≥0.第22章一元二次方程22.3實踐與探索第1課時

利用一元二次方程解決圖形、數(shù)字問題

直接開平方法、因式分解法、配方法、公式法．

2.解方程：(80-2x)(60-2x)＝1500.1.

解一元二次方程有哪些方法？問題引入解：(1)把方程化為一般式：x2-70x+825＝0．(2)確定a、b、c的值：a＝1，b＝-70，c＝825.(3)判斷b2-4ac的符號：b2-4ac＝（-70）2-4×1×825＝

1600＞0.(4)代入求根公式，得x1＝55，x2＝15.3.列一元一次方程解應(yīng)用題的一般步驟是什么？

解：（1）審題；（2）找等量關(guān)系；（3）列方程；（4）解方程；（5）檢驗，作答.思考：列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟呢？問題引入

如圖所示，有一塊長80cm，寬60cm的薄鋼片，在四個角上截去四個相同的小正方形，然后做成底面積為1500cm2的沒有蓋的長方體盒子．求截去的小正方形的邊長.利用一元二次方程解決圖形問題806060-2x80-2xxx新課講解1根據(jù)題意，得(80-2x)(60-2x)＝1500.解這個方程，得x1＝55，x2＝15.解：設(shè)截去的小正方形的邊長為xcm，則薄鋼片的長和寬分別為（80-2x）cm、（60-2x）cm.例1檢驗：當(dāng)x1＝55時，長為80-2×55＝-30（cm），

寬為60-2×55＝-50（cm）．想一想：這符合題意嗎？不符合．舍去．

當(dāng)x2＝15時，長為80-2×15＝50（cm），

寬為60-2×15＝30（cm）．符合題意.

所以只能取x＝15．答：截取的小正方形的邊長是15cm.新課講解列一元二次方程解應(yīng)用題的步驟與列一元一次方程解應(yīng)用題的步驟類似，即審、找、列、解、答．這里要特別注意：在列一元二次方程解應(yīng)用題時，由于所得的根一般有兩個，所以要檢驗這兩個根是否符合實際問題的要求．方法歸納問題1：連續(xù)三個奇數(shù)，若第一個為x，則后2個為___________.x+2，x+4問題2：連續(xù)的五個整數(shù)，若中間一個數(shù)位n，其余的為____________________.

n+2，n+1，n-1，n-2問題3：一個兩位數(shù)，十位數(shù)字為a，個位數(shù)字為b，則這個兩位數(shù)是

.10a+b問題4：一個三位數(shù)，百位數(shù)字為x，十位數(shù)字為y，個位數(shù)字為

z，這個三位數(shù)為

.100x+10y+z利用一元二次方程解決數(shù)字問題2新課講解探究引導(dǎo)

兩個連續(xù)奇數(shù)的積為63，求這兩個數(shù).解：設(shè)這兩個連續(xù)奇數(shù)為x和x+2.根據(jù)題意，得x(x+2)=63.解這個方程，得x1=-9，x2=7.當(dāng)x=-9時，x+2=-7；當(dāng)x1=7時，x+2=9.故這個兩個數(shù)為7，9或-7，-9.新課講解例21.三個連續(xù)整數(shù)，兩兩之積的和為587，求這三個數(shù).解：設(shè)這三個連續(xù)整數(shù)為x-1，x，x+1.根據(jù)題意，得(x-1)x+(x-1)(x+1)+x(x+1)=587.當(dāng)x=14時，x-1=13，x+1=15；當(dāng)x=-14時，x-1=-15，x+1=-13.

故這三個數(shù)為13，14，15或-13，-14，-15.整理，得3x2-588=0，解得x1=14，x2=-14.隨堂即練2.一個兩位數(shù)，十位數(shù)字與個位數(shù)字之和為5，把這個數(shù)的個位數(shù)字與十位數(shù)字對調(diào)后，所得的新數(shù)與原來的兩位數(shù)之積為736，求這個兩位數(shù).解：設(shè)原來兩位數(shù)的個位數(shù)字為x，則十位數(shù)字為（5-x）.

列表如下：隨堂即練十位個位

兩位數(shù)原兩位數(shù)5-xx10（5-x）+x新兩位數(shù)x5-x10x+5-x由題意，得[10(5-x)+x](10x+5-x)=736.整理，得x2-5x+6=0，解得x1=2，x2=3.故這個兩位數(shù)是23或32.3.在某次聚會上，每兩人都握了一次手，所有人共握手21次，求參加聚會的人數(shù).解：設(shè)參加聚會的人數(shù)為x.

根據(jù)題意，得

解這個方程，得x1=7，x2=-6(舍去).故參加聚會的人數(shù)為7.隨堂即練4.一塊長方形鐵板，長是寬的2倍，如果在4個角上均截去邊長為5cm的小正方形，然后把四邊折起來做成一個沒有蓋的盒子，盒子的容積是3000cm3，求鐵板的長和寬．解：設(shè)鐵板的寬為xcm，則長為2xcm.根據(jù)題意，得5(2x-10)(x-10)=3000.解這個方程，得x1=25,x2=-10（舍去）.故鐵板的長為2×25=50（cm).所以鐵板的長為50cm，寬為25cm.隨堂即練應(yīng)用一元二次方程解決實際問題時，與應(yīng)用一元一次方程一樣，要注意分析題意，抓住等量關(guān)系，列出方程，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題來解決.求得方程的根之后，要注意檢驗是否符合題意，最后得到實際問題的解答.課堂總結(jié)第22章一元二次方程22.3實踐與探索第2課時

利用一元二次方程解決平均變化率、利潤問題1.能列出關(guān)于平均變化率、利潤問題的一元二次方程.（重點）

2.體會一元二次方程在實際生活中的應(yīng)用.（重點、難點）3.經(jīng)歷將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的過程，提高數(shù)學(xué)應(yīng)用意識．學(xué)習(xí)目標1.列一元二次方程解應(yīng)用題的步驟是什么？應(yīng)該注意哪些？2.生活中還有哪類問題可以用一元二次方程解決？回顧與思考問題引入

問題1：（1）某農(nóng)戶的糧食產(chǎn)量年平均增長率為

x，第一年

的產(chǎn)量為

60000kg，則第二年的產(chǎn)量為____________kg，

第三年的產(chǎn)量為______________kg．60000

1+x（）利用一元二次方程解決平均變化率問題新課講解1探究：（2）某糖廠

2017年食糖產(chǎn)量為

a

噸，如果在以后兩

年平均減產(chǎn)的百分率為

x，那么預(yù)計

2018年的產(chǎn)量將是_________噸，2019年的產(chǎn)量將是__________噸.a(1-x)

思考：你能歸納上述兩個問題中蘊含的共同等量關(guān)系嗎？

兩年后：變化后的量=變化前的量×新課講解

問題2：兩年前生產(chǎn)

1t甲種藥品的成本是

5000元，生產(chǎn)

1t乙種藥品的成本是

6000元，隨著生產(chǎn)技術(shù)的進步，現(xiàn)在生產(chǎn)

1t甲種藥品的成本是

3000元，生產(chǎn)

1t乙種藥品的成本是

3600元，哪種藥品成本的年平均下降率較大？新課講解

解：設(shè)甲種藥品成本的年平均下降率為

x，乙種藥品成本的年平均下降率為

y.列表如下：（單位：元）

根據(jù)問題的實際意義，成本的年平均下降率應(yīng)是小于

1的正數(shù)，應(yīng)選

0.225．故甲、乙兩種藥品成本的年平均下降率均約為

22.5%．

根據(jù)題意，得5000（1-x）2=3000，6000（1-y）2=3600.解這兩個方程，得x1≈0.225，x2≈1.775；

y1≈0.225，y2≈1.775．新課講解兩年前成本一年后成本

兩年后成本甲種藥品x5000（1-x）5000（1-x）2乙種藥品y6000（1-y）6000（1-y）2

結(jié)論：

兩種藥品成本的年平均下降率相等，成本下降額較大的產(chǎn)品，其成本下降率不一定較大．成本下降額表示絕對變化量，成本下降率表示相對變化量，兩者兼顧才能全面比較對象的變化狀況．新課講解

對比：

由題知，甲種藥品成本的年平均下降額為

(5000-3000)÷2=1000（元）；乙種藥品成本的年平均下降額為

(6000-3600

)÷2=1200（元）．你能概括一下“變化率問題”的基本特征嗎？解決“變化率問題”的關(guān)鍵步驟是什么嗎？“變化率問題”的基本特征：平均變化率保持不變.

解決“變化率問題”的關(guān)鍵步驟：找出變化前的數(shù)量、變化后的數(shù)量，及相應(yīng)的等量關(guān)系．新課講解？思考

山西特產(chǎn)專賣店銷售核桃，其進價為每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100kg.后來經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，單價每降低2元，則平均每天的銷售量可增加20kg.若該專賣店銷售這種核桃想要平均每天獲利2240元，請解答下列問題：(1)每千克核桃應(yīng)降價多少元？(2)在平均每天獲利不變的情況下，為盡可能讓利于顧客，贏得市場，該店應(yīng)按原售價的幾折出售？利用一元二次方程解決利潤問題2新課講解例題解：（1）設(shè)每千克核桃應(yīng)降價x元.根據(jù)題意，得化簡，得x2-10x+24=0，解得x1=4，x2=6.

故每千克核桃應(yīng)降價4元或6元.（2）由（1）可知，每千克核桃可降價4元或6元，而要盡可能讓利于顧客，所以每千克核桃應(yīng)降價6元.此時，每千克核桃的售價為60-6=54（元），則54÷60×100%=90％.故該店應(yīng)按原售價的九折出售.新課講解1.商場某種商品的進價為每件100元，當(dāng)售價定為每件150元時平均每天可銷售30件．為了盡快減少庫存，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件商品每降價1元，商場平均每天可多售出2件．設(shè)每件商品降價x元(x為整數(shù))．據(jù)此規(guī)律，請回答： (1)商場日銷售量增加____件，每件商品盈利________

元(用含x的代數(shù)式表示)； (2)在上述條件不變、銷售正常的情況下，每件商品降價多少元時，商場日盈利可達到2100元？2x（50－x）隨堂即練解：(2)設(shè)每件商品降價x元時，商場日盈利可達到2100元．根據(jù)題意，得(50-x)(30＋2x)＝2100.化簡，得x2-35x＋300＝0，解得x1＝15，x2＝20.當(dāng)x＝15時，商場日銷售量增加2×15=30（件）；當(dāng)x＝20時，商場日銷售量增加2×20=40（件）.而30＜40，且商場為了盡快減少庫存，所以取x＝20.故在上述條件不變、銷售正常的情況下，每件商品降價20元時，商場日盈利可達到2100元．隨堂即練2.西藏地震牽動著全國人民的心，某單位開展了“一方有難，八方支援”賑災(zāi)捐款活動．第一天收到捐款10000

元，第三天收到捐款12100元．(1)如果第二、三天收到捐款的增長率相同，求捐款的增長率；(2)按照(1)中收到捐款的增長速度，第四天該單位能收到多少捐款？隨堂即練解：(1)設(shè)捐款的增長率為x，則10000(1＋x)2＝12100，解得x1＝0.1＝10%，x2＝-2.1(舍去)．故捐款的增長率為10%.(2)12100×(1＋10%)＝13310(元)，故按照(1)中收到捐款的增長速度，第四天該單位能收到捐款13310元．★

用一元二次方程解平均變化率問題規(guī)律：變化前的量×(1±平均變化率)變化次數(shù)＝變化后的量．注意：有關(guān)變化率的問題，都可以根據(jù)以上規(guī)律列方程求解．在實際問題的求解過程中，要注意方程的根與實際問題的合理性檢驗．

★

利潤問題基本關(guān)系：(1)利潤＝售價－________； (3)總利潤＝____________×銷量.進價單個利潤課堂總結(jié)第22章一元二次方程復(fù)習(xí)課本章知識結(jié)構(gòu)圖實際問題

實際問題的答案數(shù)學(xué)問題數(shù)學(xué)問題的解降次設(shè)未知數(shù)，列方程檢驗解方程配方法公式法直接開平方法、分解因式法知識梳理

解一元二次方程的基本思路：將二次方程化為一次方程，即降次.思想化為一次方程得到一元二次方程的解降次解一元一次方程(1)直接開平方法x2=b(b0)(2)因式分解法1.提取公因式法2.平方差公式3.完全平方公式(3)配方法(4)公式法當(dāng)二次項系數(shù)為1的時候，方程兩邊同加上一次項系數(shù)一半的平方當(dāng)b2-4ac＜0時，方程沒有實數(shù)根一元二次方程的解法適用于任何一個一元二次方程適用于任何一個一元二次方程適用于左邊能分解為兩個一次式的積，右邊是0的方程當(dāng)時，適用于沒有一次項的一元二次方程知識梳理1.若(a-3)+4x+5=0是關(guān)于x的一元二次方程，則a值為()A.3B.-3C.±3D.無法確定【解析】選B.因為方程是關(guān)于x的一元二次方程，所以

a2-7=2且a-3≠0，解得a=-3.一元二次方程及其根的有關(guān)概念題型突破題型12.下列方程中，一定是一元二次方程的是()A.ax2+bx+c=0

B.

x2=0C.3x2+2y-

=0

D.

x2+

-5=0【解析】選B.A中的二次項系數(shù)缺少不等于0的條件，C中含有兩個未知數(shù)，D中的方程不是整式方程.題型突破1.解方程：x2-2x-1=0.解：移項，得x2-2x=1.

配方，得x2-2x+1=2，即(x-1)2=2.開方，得x-1=±，則x=1±.所以x1=1+,x2=1-.一元二次方程的解法題型2題型突破2.用適當(dāng)方法解下列方程：（5）（1）（2）（4）(3)（直接開方法）（配方法）（因式分解法）（公式法）（因式分解法）x1