華師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第22章一元二次方程

第22章一元二次方程22.1一元二次方程1.理解一元二次方程的概念。(重點(diǎn))2.了解一元二次方程的一般形式。(重點(diǎn))3.經(jīng)歷探究一元二次方程的概念的過(guò)程。（難點(diǎn)）學(xué)習(xí)目標(biāo)1.你還記得什么叫方程？什么叫方程的解嗎？2.什么是一元一次方程？它的一般形式是怎樣的？一般形式：ax+b=0(a≠0)3.我們知道了利用一元一次方程可以解決生活中的一些實(shí)際問(wèn)題，你還記得利用一元一次方程解決實(shí)際問(wèn)題的步驟嗎?

1.審；2.設(shè)；3.列；4.解；5.驗(yàn)；6.答.問(wèn)題引入問(wèn)題1

某地為增加農(nóng)民收入，需要調(diào)整農(nóng)作物種植結(jié)構(gòu)，計(jì)劃2018年無(wú)公害蔬菜的產(chǎn)量比2016年翻一翻，要實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，2017年和2018年無(wú)公害蔬菜產(chǎn)量的年平均增長(zhǎng)率應(yīng)是多少？1.根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，你想用什么知識(shí)來(lái)解決這個(gè)實(shí)際問(wèn)題？方程一元二次方程及其一般形式新課講解1？思考2.如圖，如果假設(shè)無(wú)公害蔬菜產(chǎn)量的年平均增長(zhǎng)率是x，2016年的產(chǎn)量為a，那么2017年無(wú)公害蔬菜產(chǎn)量為

，2018年無(wú)公害蔬菜產(chǎn)量為

.a+ax=a(1+x)a(1+x)+a(1+x)x=a(1+x)23.你能根據(jù)題意，列出方程嗎？a(1+x)2=2a把以上方程整理，得

.x2+2x-1=0（1）新課講解201620172018問(wèn)題2

在一塊寬20m、長(zhǎng)32m的矩形空地上，修筑寬相等的三條小路（兩條縱向，一條橫向，縱向與橫向垂直），把矩形空地分成大小一樣的六塊，建成小花壇.如圖要使花壇的總面積為570m2，小路的寬應(yīng)為多少？3220x新課講解？思考1.若設(shè)小路的寬是xm，那么橫向小路的面積是______m2，縱向小路的面積是

m2，兩者重疊的面積是

m2.32x2×20x2x22.由于花壇的總面積是570m2.你能根據(jù)題意，列出方程嗎？整理以上方程，得32×20－(32x＋2×20x)＋2x2=570x2-36x＋35=0（2）.3220x新課講解？想一想還有其他的列法嗎？試說(shuō)明原因.(20-x)(32-2x)=57032-2x20-x3220請(qǐng)觀察下面兩個(gè)方程并回答問(wèn)題：

x2+2x-1=0x2-36x+35=0（1）它們是一元一次方程嗎？（2）與一元一次方程有何異同？（3）通過(guò)比較你能歸納出這類方程的特點(diǎn)嗎？

★類比發(fā)現(xiàn)，探索新知

1.等號(hào)兩邊都是整式

2.只含有一個(gè)未知數(shù)

3.未知數(shù)的最高次數(shù)是2特點(diǎn)新課講解一般地，任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程都可以化為

的形式，我們把a(bǔ)x

2+bx+c=0(a,b,c為常數(shù)，a≠0）稱為一元二次方程的一般形式.想一想：為什么要限制a≠0?b，c可以為零嗎？

ax

2+bx+c=0(a≠0)二次項(xiàng)系數(shù)一次項(xiàng)系數(shù)常數(shù)項(xiàng)（4）通過(guò)與一元一次方程的對(duì)比，你能給這類方程取個(gè)合理的名字嗎？新課講解ax

2+bx+c=01.完成下表.

方程一般形式二次項(xiàng)系數(shù)一次項(xiàng)系數(shù)常數(shù)項(xiàng)4x2=3x(x-1)2-9=0x(x+2)=3(x+2)4x2-3x=0x2-2x-8=0x2-x-6=04-301-2-81-1-6隨堂即練

2.下列方程中哪些是一元二次方程，并說(shuō)明理由.x+2=5x-3x2=42x2-4=(x+2)23.方程（2a-4)x2-2bx+a=0在什么條件下為一元二次方程？不是是是不是解：當(dāng)2a-4≠0，即a≠2時(shí)，該方程為一元二次方程.隨堂即練

議一議：通過(guò)以上習(xí)題的練習(xí)的情況，你認(rèn)為在確定一元二次方程的各項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)的時(shí)候，需要注意哪些？（1）在確定一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)時(shí)必須把方程化為一般形式才能進(jìn)行.（2）二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)以及常數(shù)項(xiàng)都要連同它前面的符號(hào).（3）二次項(xiàng)系數(shù)a≠0.課堂總結(jié)

能使一元二次方程兩邊相等的未知數(shù)的值叫一元二次方程的解(或根).

判斷未知數(shù)的值x=-1，x=0，x=2是不是方程x2-2=x的根.一元二次方程的根新課講解21.判斷下列各題括號(hào)內(nèi)未知數(shù)的值是不是方程的根：x2-3x+2=0(x1=1，x2=2，x3=3)2.構(gòu)造一個(gè)一元二次方程，要求：（1）常數(shù)項(xiàng)為零；（2）有一根為2.解：當(dāng)x1=1時(shí)，x2-3x+2=1-3+2=0，所以x1=1是該方程的根；當(dāng)x2=2時(shí)，x2-3x+2=4-6+2=0，所以x2=2是該方程的根；當(dāng)x3=3時(shí)，x2-3x+2=9-6+2=5≠0，所以x3=3不是該方程的根.解：x2-2x=0.隨堂即練3.已知關(guān)于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一個(gè)根是3，求a的值.解：把x=3代入方程x2+ax+a=0，得32+3a+a=0，9+4a=0，4a=-9，隨堂即練

4.已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0

(a≠0)的一個(gè)根為1，

求a+b+c的值.解：由題意，得思考:若a+b+c=0，你能通過(guò)觀察求出方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一個(gè)根嗎?解：∵∴方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一個(gè)根是1.拓展：若4a+2b+c=0，你能通過(guò)觀察求出方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一個(gè)根嗎?x=2隨堂即練一般地，任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程都可以化為

的形式，我們把(a，b，c為常數(shù)，a≠0）稱為一元二次方程的一般形式.其中，a，b，c分別叫做二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng).

能使一元二次方程兩邊相等的未知數(shù)的值叫一元二次方程的解(或根).課堂總結(jié)★一元二次方程及其一般形式★一元二次方程的根第22章一元二次方程22.2一元二次方程的解法第1課時(shí)

直接開(kāi)平方法和因式分解法1.學(xué)會(huì)用直接開(kāi)平方法及因式分解法解簡(jiǎn)單的一元二次方程.（重點(diǎn)）2.了解用直接開(kāi)平方法及因式分解法解一元二次方程的一般步驟.(重點(diǎn))學(xué)習(xí)目標(biāo)一元二次方程的一般式是怎樣的？你知道求一元二次方程的解的方法有哪些嗎？（a≠0）回顧與思考新課引入解:

所以方程x2=9有兩個(gè)根，x1=3，x2=-3.直接開(kāi)平方解方程解方程：x2=9.新課講解1

歸納：

一般地，對(duì)于形如x2=a(a≥0)的方程，根據(jù)平方根的定義，可解得，這種解一元二次方程的方法叫做直接開(kāi)平方法.2.用直接開(kāi)平方法解下列方程:(1)3x2－27=0；(2)(2x－3)2=9.1.方程的根是

.方程的根是

.

方程的根是

.

x1=0.5，

x2=－0.5x1＝3，x2＝－3x1＝2，x2＝－1x1＝3，x2＝－3x1＝0，x2＝3隨堂即練因式分解:

把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式.在學(xué)習(xí)因式分解時(shí)，我們已經(jīng)知道可以利用因式分解求出某些一元二次方程的解.用因式分解法解一元二次方程什么是因式分解？新課講解2知識(shí)回顧

解方程：x2－3x＝0.解：將方程的左邊分解因式，得x（x-3）＝0.所以x=0或x-3=0，分別解這兩個(gè)一元一次方程，得x1=0，x2=3.

像上面這種利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法.新課講解例題若方程的右邊不是零，則先移項(xiàng)，使方程的右邊為零；將方程的左邊分解因式；根據(jù)若A·B=0，則A=0或B=0，將解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解兩個(gè)一元一次方程.★因式分解法的基本步驟方法歸納這樣解是否正確呢？解：方程的兩邊同時(shí)除以x，得x=1.故原方程的解為x=1.不正確，方程兩邊同時(shí)除以的數(shù)不能為零，還有一個(gè)解為x=0.新課講解交流討論x2=x1.填空：（1）方程x2+x=0的根是_________________；（2）x2－25=0的根是________________.x1=0，x2=

-1x1=5，

x2=

-5隨堂即練2.

解方程：（x+2）2-16=0.（用兩種方法解）解:（方法一）原方程可變形為（x+2）2=16.直接開(kāi)平方，得x+2=±4，所以x1=2，x2=-6.（方法二）方程左邊分解因式，得（x+2+4）（x+2-4）=0.

所以x+6=0或x-2=0，得x1=-6，x2=2.3.解下列方程：（1）（x+4）（x-1）=6；解：(1)把原方程化為一般形式，得x2+3x-10=0.把方程左邊分解因式，得（x-2）（x+5）=0

所以x-2=0或x+5=0，得x1=2，x2=-5.隨堂即練(2)(3x-4)2=(4x-3)2.(2)移項(xiàng)，得（3x-4)2-(4x-3)2=0.將方程左邊分解因式，得〔(3x-4)+(4x-3)〕〔(3x-4)-(4x-3)〕=0，

即(7x-7)(-x-1)=0.所以7x-7=0或-x-1=0，得x1=1，x2=-1.

注意：當(dāng)方程的一邊為0，另一邊容易分解成兩個(gè)一次因式的積時(shí)，則用因式分解法解方程比較方便.

★因式分解法解一元二次方程的基本步驟（1）將方程變形，使方程的右邊為零；（2）將方程的左邊因式分解；（3）根據(jù)若A·B=0，則A=0或B=0，將解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解兩個(gè)一元一次方程.課堂總結(jié)

★

直接開(kāi)平方法解一元二次方程若方程經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的變形，可以化為（）2=a（a≥0）的形式，則用直接開(kāi)平方法求解.第22章一元二次方程22.2一元二次方程的解法第2課時(shí)

配方法1.掌握用配方法解一元二次方程.（重點(diǎn)）2.能根據(jù)一元二次方程的特征靈活選擇解法.(難點(diǎn))學(xué)習(xí)目標(biāo)讀詩(shī)詞解題：（通過(guò)列方程，算出周瑜去世時(shí)的年齡）

大江東去浪淘盡，千古風(fēng)流數(shù)人物.而立之年督東吳，早逝英年兩位數(shù).

十位恰小個(gè)位三，個(gè)位平方與壽符.哪位學(xué)子算得快，多少年華屬周瑜？解：設(shè)個(gè)位數(shù)字為x，則十位數(shù)字為x-3.整理，得x2-11x+30=0.根據(jù)題意，得x2=10(x-3)+x.新課引入？思考怎樣求解？這種方程怎樣解？變形為的形式．（a為非負(fù)常數(shù)）變形為x2+2x＝5（x+1）2=6用配方法解一元二次方程新課講解回想兩數(shù)差的平方公式，有a2+2ab+b2=（a+b）2，從中能得到什么啟示？

歸納：

像這樣，通過(guò)方程的簡(jiǎn)單變形，將左邊配成一個(gè)含有未知數(shù)的完全平方式，右邊是一個(gè)非負(fù)常數(shù)，從而可以直接開(kāi)平方求解.這種解一元二次方程的方法叫做配方法.

解方程：x2+2x＝5.解：原方程兩邊都加上1，得x2+2x+1=6，即（x+1）2=6.直接開(kāi)平方，得x+1=所以x=-1±，即x1=-1+，x2=-1-.新課講解例題(1)x2＋8x＋

=(x＋4)2(2)x2－4x＋

=(x－

)2(3)x2－___x＋9=(x－

)2

歸納：配方時(shí)，

等式兩邊同時(shí)加上的是一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方.166342探究新課講解用配方法解下列方程:(1)x2-4x-1=0；(2)2x2-3x-1=0.新課講解用配方法解一元二次方程的一般步驟:化1：

把二次項(xiàng)系數(shù)化為1；移項(xiàng)：把常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊；配方：方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；變形：將方程化成（x+m）2=a(a≥0)的形式；開(kāi)方：根據(jù)平方根意義，方程兩邊開(kāi)平方；求解：解一元一次方程；定解：寫出原方程的解.方法歸納★(2)-x2＋4x-3=0.(1)x2＋12x=-9；1.用配方法解下列方程：解：(1)配方（兩邊同時(shí)加上36），得

x2＋2?x?6+62=-9+62，即（x+6）2=27.

直接開(kāi)平方，得x+6=，所以（2）原方程可化為x2-4x+3=0.

配方，得（x-1）（x-3)=0，

所以

x1=1，x2=3.隨堂即練2.用配方法說(shuō)明：不論k取何實(shí)數(shù)，多項(xiàng)式k2-3k＋5的值必定大于零.證明：

k2-3k＋5=(k-)2+.∵(k-)2≥0，∴k2-3k＋5＞0.即不論k取何實(shí)數(shù)，多項(xiàng)式k2-3k＋5

的值必定大于零.

隨堂即練

3.先用配方法解下列方程：（1）x2-2x-1＝0；（2）x2-2x+4＝0；（3）x2-2x+1＝0；

然后回答下列問(wèn)題：（4）你在求解過(guò)程中遇到什么問(wèn)題？你是怎樣處理所遇到的問(wèn)題的？（5）對(duì)于形如x2+px+q＝0這樣的方程，在什么條件下才有實(shí)數(shù)根？隨堂即練解：(1)左右兩邊同時(shí)加2，得x2-2x+1=2.配方，得（x-1）2=2，解得（2）左右兩邊同時(shí)減去3，得x2-2x+1=-3.

配方，得(x-1)2=-3，顯然此方程無(wú)解.（3）原方程配方，得(x-1)2=0，解得x=1.

（4）略（5）隨堂即練即當(dāng)p2-4q≥0時(shí)，形如x2+px+q＝0這樣的方程，才有實(shí)數(shù)根.

注意：配方時(shí)，等式兩邊同時(shí)加上的是一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方.課堂總結(jié)

通過(guò)方程的簡(jiǎn)單變形，將左邊配成一個(gè)含有未知數(shù)的完全平方式，右邊是一個(gè)非負(fù)常數(shù)，從而可以直接開(kāi)平方求解.這種解一元二次方程的方法叫做配方法.★配方法課堂總結(jié)用配方法解一元二次方程的一般步驟：1.化1：

把二次項(xiàng)系數(shù)化為1；2.移項(xiàng)：把常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊；3.配方：方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；4.變形：將方程化成（x+m）2=a(a≥0)的形式；5.開(kāi)方：根據(jù)平方根意義，方程兩邊開(kāi)平方；6.求解：解一元一次方程；7.定解：寫出原方程的解.★第22章一元二次方程22.2一元二次方程的解法第3課時(shí)

公式法1.學(xué)會(huì)用公式法解一元二次方程.（重點(diǎn)）2.能根據(jù)具體一元二次方程的特征靈活選擇方程的解法.(難點(diǎn))3.體會(huì)解決問(wèn)題方法的多樣性.（難點(diǎn)）學(xué)習(xí)目標(biāo)1.化1：

把二次項(xiàng)系數(shù)化為1；2.移項(xiàng)：把常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊；3.配方：方程兩邊同加一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；4.變形：將方程化成（x+m）2=a(a≥0)的形式；5.開(kāi)平方，求解.“配方法”解方程的基本步驟：回顧與思考回顧引入解：兩邊同除以2，得x2+6x-1=0.

移項(xiàng)，得x2+6x=1.

配方，得x2+2?x?3+32=1+32，即(x+3)2=10.

直接開(kāi)平方，得x+3=±，

所以用配方法解下面這個(gè)一元二次方程：你還會(huì)其他的解法嗎？回顧引入一元二次方程的求根公式新課講解1

模仿用配方法解的過(guò)程，解一般形式的一元二次方程.類比探究?jī)蛇呁詀移項(xiàng)兩邊同時(shí)加上整理開(kāi)方解得步驟新課講解

一般地，對(duì)于一元二次方程

如果，那么方程的兩個(gè)根為

將一元二次方程中系數(shù)a、b、c的值，直接代入這個(gè)公式，就可以求得方程的根.這種解一元二次方程的方法叫做公式法.知識(shí)歸納這個(gè)公式叫做一元二次方程的求根公式.

用公式法解下列一元二次方程：解：（1）用公式法解一元二次方程2新課講解例題解：將原方程化為一般形式，得新課講解★運(yùn)用公式法解一元二次方程的基本步驟：（1）把方程化為一般形式，確定a、b、c的值；（2）求出的值；（3）若b2-4ac≥0，把a(bǔ)、b、c及b2-4ac的值代入一元二次方程的求根公式，求出方程的根；若b2-4ac<0，此時(shí)方程無(wú)實(shí)數(shù)解.方法歸納1.用公式法解方程，得到（）AA.C.D.B.隨堂即練2.用公式法解下列方程：解：隨堂即練（2）將方程化為一般形式為3.選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋航猓寒?dāng)x=0時(shí)，原方程成立；當(dāng)x≠0時(shí)，兩邊同時(shí)除以x，得

2x-7=2，解得x=4.5.

綜上，原方程的解為x1=0，x2=4.5.

隨堂即練4.關(guān)于x的一元二次方程當(dāng)a、b、c

滿足什么條件時(shí)，方程的兩根互為相反數(shù)？解：由題意可設(shè)該一元二次方程的兩根分別為k，-k.

由求根公式，得隨堂即練即當(dāng)b=0，ac≤0時(shí)，該方程的兩根互為相反數(shù).

一般地，對(duì)于一元二次方程

如果，那么方程的兩個(gè)根為

將一元二次方程中系數(shù)a、b、c的值，直接代入這個(gè)公式，就可以求得方程的根.這種解一元二次方程的方法叫做公式法.這個(gè)公式叫做一元二次方程的求根公式.課堂總結(jié)★運(yùn)用公式法解一元二次方程的基本步驟：（1）把方程化為一般形式，確定a、b、c的值；（2）求出的值；（3）若，把a(bǔ)、b、c及的值代入一元二次方程的求根公式，求出方程的根；若，此時(shí)方程無(wú)實(shí)數(shù)解.課堂總結(jié)第22章一元二次方程22.2一元二次方程的解法第4課時(shí)

一元二次方程根的判別式1.了解一元二次方程根的判別式.（重點(diǎn)）2.會(huì)判斷一元二次方程根的情況.(難點(diǎn))3.掌握一元二次方程根的判別式的應(yīng)用.（難點(diǎn)）學(xué)習(xí)目標(biāo)用公式法求下列方程的根：

用公式法解一元二次方程的一般步驟（1）把方程化為一般形式，確定a、b、c的值；（3)代入求根公式計(jì)算方程的根（2)計(jì)算的值新課引入觀察與思考我們?cè)谟门浞椒ㄍ茖?dǎo)一元二次方程的求根公式的過(guò)程中，得到一元二次方程根的判別式新課講解只有當(dāng)b2-4ac≥0時(shí)，才能直接開(kāi)平方，得如果b2-4ac<0，會(huì)怎樣？思考：

由此我們根據(jù)一元二次方程的系數(shù)可以直接判斷根的情況嗎？怎樣判斷呢?3.當(dāng)方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根時(shí)，有.

1.當(dāng)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，有；2.當(dāng)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，有；反過(guò)來(lái)，對(duì)于一元二次方程有：新課講解

我們把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判別式，常用符號(hào)“?”來(lái)表示，用它可以直接判斷一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的實(shí)數(shù)根的情況：反之，同樣成立！當(dāng)?＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)?=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)?＜0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.要點(diǎn)歸納

3.判斷根的情況，得出結(jié)論.

2.計(jì)算?的值，確定?的符號(hào)；★不解方程，判別一元二次方程的根的情況的一般步驟

1.將原方程化為一般式，確定的值；方法歸納1.不解方程，判別下列方程的根的情況：解：（1）因?yàn)?=（-3）2-4×5×（-2）=9+40=49>0，所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.（2）原方程可變形為25y2-20y+4=0.因?yàn)?=（-20）2-4×25×4=9=400-400=0，所以方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.（3）因?yàn)?=（）2-4×2×1=3-8=-5＜0，所以方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.隨堂即練2.不解方程，判別關(guān)于x的方程的根的情況.解：隨堂即練一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情況

反之，同樣成立！當(dāng)?＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)?=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)?＜0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.課堂總結(jié)第22章一元二次方程22.2一元二次方程的解法第5課時(shí)

一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系1.了解一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系.（重點(diǎn)）2.會(huì)應(yīng)用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系解決相關(guān)問(wèn)題.(難點(diǎn))學(xué)習(xí)目標(biāo)2.求根公式是什么？根的個(gè)數(shù)怎么確定的？1.一元二次方程的解法有哪些，步驟呢？問(wèn)題引入

方程

x1

x2

x1+x2

x1?x2

x2-3x+2=0x2-2x-3=0x2-5x+4=0問(wèn)題：這些一元二次方程的兩根x1+x2，x1?x2與對(duì)應(yīng)的一元二次方程的系數(shù)有什么關(guān)系？2

132-1

3

2-31

4

54一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系新課講解1完成下表：由上可知，猜想正確！

猜想：當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為1時(shí)，方程x2+px+q=0的兩根為x1，x2，那么新課講解猜想：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常數(shù)，a≠0）的兩根為x1，x2，且

則x1+x2和x1?x2與系數(shù)a、b、c的關(guān)系為新課講解驗(yàn)證：新課講解新課講解猜想正確！任何一個(gè)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系：如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個(gè)根是x1，x2，那么x1+x2=，x1

·x2=

注意：能用根與系數(shù)的關(guān)系的前提條件為b2-4ac≥0.新課講解韋達(dá)定理一、直接運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系不解方程，求下列方程兩根之和兩根之積.利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系解決問(wèn)題新課講解2在使用根與系數(shù)的關(guān)系時(shí)，應(yīng)注意：⑴不是一般式的要先化成一般式；⑵在使用x1+x2=時(shí)，注意“-”不要漏寫.例1二、求關(guān)于兩根的代數(shù)式的值設(shè)是方程的兩個(gè)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求下列各式的值.

新課講解例2解:由題意知新課講解三、構(gòu)造新方程求一個(gè)一元二次方程，使它的兩個(gè)根是2和3，且二次項(xiàng)系數(shù)為1.解:（x-2)（x-3）=0，

即x2-5x+6=0.(答案不唯一）新課講解例3方程的兩根之和為6，一根為2，求p、q的值.四、求方程中的待定系數(shù)解：設(shè)方程的另一個(gè)根為x1.

由題意，得2+x1=-p=6，2x1=q，所以x1=4，p=-6，q=8.新課講解例4

1.方程有一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根，求m的取值范圍.解：根據(jù)題意，得∴0<m<1.解得m>0，0<m<1，隨堂即練2.求一個(gè)一元二次方程，使它的兩個(gè)根是2和3，且二次項(xiàng)系數(shù)為5.解

：根據(jù)題意，得5（x-2)（x-3）=0，

即5x2-25x+30=0.隨堂即練一正根，一負(fù)根?＞0x1x2＜0兩個(gè)正根?≥0x1x2＞0x1+x2＞0兩個(gè)負(fù)根?≥0x1x2＞0x1+x2＜0課堂總結(jié)

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根分別為x1，x2，則有注意：能用根與系數(shù)的關(guān)系的前提條件為b2-4ac≥0.第22章一元二次方程22.3實(shí)踐與探索第1課時(shí)

利用一元二次方程解決圖形、數(shù)字問(wèn)題

直接開(kāi)平方法、因式分解法、配方法、公式法．

2.解方程：(80-2x)(60-2x)＝1500.1.

解一元二次方程有哪些方法？問(wèn)題引入解：(1)把方程化為一般式：x2-70x+825＝0．(2)確定a、b、c的值：a＝1，b＝-70，c＝825.(3)判斷b2-4ac的符號(hào)：b2-4ac＝（-70）2-4×1×825＝

1600＞0.(4)代入求根公式，得x1＝55，x2＝15.3.列一元一次方程解應(yīng)用題的一般步驟是什么？

解：（1）審題；（2）找等量關(guān)系；（3）列方程；（4）解方程；（5）檢驗(yàn)，作答.思考：列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟呢？問(wèn)題引入

如圖所示，有一塊長(zhǎng)80cm，寬60cm的薄鋼片，在四個(gè)角上截去四個(gè)相同的小正方形，然后做成底面積為1500cm2的沒(méi)有蓋的長(zhǎng)方體盒子．求截去的小正方形的邊長(zhǎng).利用一元二次方程解決圖形問(wèn)題806060-2x80-2xxx新課講解1根據(jù)題意，得(80-2x)(60-2x)＝1500.解這個(gè)方程，得x1＝55，x2＝15.解：設(shè)截去的小正方形的邊長(zhǎng)為xcm，則薄鋼片的長(zhǎng)和寬分別為（80-2x）cm、（60-2x）cm.例1檢驗(yàn)：當(dāng)x1＝55時(shí)，長(zhǎng)為80-2×55＝-30（cm），

寬為60-2×55＝-50（cm）．想一想：這符合題意嗎？不符合．舍去．

當(dāng)x2＝15時(shí)，長(zhǎng)為80-2×15＝50（cm），

寬為60-2×15＝30（cm）．符合題意.

所以只能取x＝15．答：截取的小正方形的邊長(zhǎng)是15cm.新課講解列一元二次方程解應(yīng)用題的步驟與列一元一次方程解應(yīng)用題的步驟類似，即審、找、列、解、答．這里要特別注意：在列一元二次方程解應(yīng)用題時(shí)，由于所得的根一般有兩個(gè)，所以要檢驗(yàn)這兩個(gè)根是否符合實(shí)際問(wèn)題的要求．方法歸納問(wèn)題1：連續(xù)三個(gè)奇數(shù)，若第一個(gè)為x，則后2個(gè)為_(kāi)__________.x+2，x+4問(wèn)題2：連續(xù)的五個(gè)整數(shù)，若中間一個(gè)數(shù)位n，其余的為_(kāi)___________________.

n+2，n+1，n-1，n-2問(wèn)題3：一個(gè)兩位數(shù)，十位數(shù)字為a，個(gè)位數(shù)字為b，則這個(gè)兩位數(shù)是

.10a+b問(wèn)題4：一個(gè)三位數(shù)，百位數(shù)字為x，十位數(shù)字為y，個(gè)位數(shù)字為

z，這個(gè)三位數(shù)為

.100x+10y+z利用一元二次方程解決數(shù)字問(wèn)題2新課講解探究引導(dǎo)

兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的積為63，求這兩個(gè)數(shù).解：設(shè)這兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)為x和x+2.根據(jù)題意，得x(x+2)=63.解這個(gè)方程，得x1=-9，x2=7.當(dāng)x=-9時(shí)，x+2=-7；當(dāng)x1=7時(shí)，x+2=9.故這個(gè)兩個(gè)數(shù)為7，9或-7，-9.新課講解例21.三個(gè)連續(xù)整數(shù)，兩兩之積的和為587，求這三個(gè)數(shù).解：設(shè)這三個(gè)連續(xù)整數(shù)為x-1，x，x+1.根據(jù)題意，得(x-1)x+(x-1)(x+1)+x(x+1)=587.當(dāng)x=14時(shí)，x-1=13，x+1=15；當(dāng)x=-14時(shí)，x-1=-15，x+1=-13.

故這三個(gè)數(shù)為13，14，15或-13，-14，-15.整理，得3x2-588=0，解得x1=14，x2=-14.隨堂即練2.一個(gè)兩位數(shù)，十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字之和為5，把這個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字對(duì)調(diào)后，所得的新數(shù)與原來(lái)的兩位數(shù)之積為736，求這個(gè)兩位數(shù).解：設(shè)原來(lái)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字為x，則十位數(shù)字為（5-x）.

列表如下：隨堂即練十位個(gè)位

兩位數(shù)原兩位數(shù)5-xx10（5-x）+x新兩位數(shù)x5-x10x+5-x由題意，得[10(5-x)+x](10x+5-x)=736.整理，得x2-5x+6=0，解得x1=2，x2=3.故這個(gè)兩位數(shù)是23或32.3.在某次聚會(huì)上，每?jī)扇硕嘉樟艘淮问?，所有人共握?1次，求參加聚會(huì)的人數(shù).解：設(shè)參加聚會(huì)的人數(shù)為x.

根據(jù)題意，得

解這個(gè)方程，得x1=7，x2=-6(舍去).故參加聚會(huì)的人數(shù)為7.隨堂即練4.一塊長(zhǎng)方形鐵板，長(zhǎng)是寬的2倍，如果在4個(gè)角上均截去邊長(zhǎng)為5cm的小正方形，然后把四邊折起來(lái)做成一個(gè)沒(méi)有蓋的盒子，盒子的容積是3000cm3，求鐵板的長(zhǎng)和寬．解：設(shè)鐵板的寬為xcm，則長(zhǎng)為2xcm.根據(jù)題意，得5(2x-10)(x-10)=3000.解這個(gè)方程，得x1=25,x2=-10（舍去）.故鐵板的長(zhǎng)為2×25=50（cm).所以鐵板的長(zhǎng)為50cm，寬為25cm.隨堂即練應(yīng)用一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，與應(yīng)用一元一次方程一樣，要注意分析題意，抓住等量關(guān)系，列出方程，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)解決.求得方程的根之后，要注意檢驗(yàn)是否符合題意，最后得到實(shí)際問(wèn)題的解答.課堂總結(jié)第22章一元二次方程22.3實(shí)踐與探索第2課時(shí)

利用一元二次方程解決平均變化率、利潤(rùn)問(wèn)題1.能列出關(guān)于平均變化率、利潤(rùn)問(wèn)題的一元二次方程.（重點(diǎn)）

2.體會(huì)一元二次方程在實(shí)際生活中的應(yīng)用.（重點(diǎn)、難點(diǎn)）3.經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程，提高數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)．學(xué)習(xí)目標(biāo)1.列一元二次方程解應(yīng)用題的步驟是什么？應(yīng)該注意哪些？2.生活中還有哪類問(wèn)題可以用一元二次方程解決？回顧與思考問(wèn)題引入

問(wèn)題1：（1）某農(nóng)戶的糧食產(chǎn)量年平均增長(zhǎng)率為

x，第一年

的產(chǎn)量為

60000kg，則第二年的產(chǎn)量為_(kāi)___________kg，

第三年的產(chǎn)量為_(kāi)_____________kg．60000

1+x（）利用一元二次方程解決平均變化率問(wèn)題新課講解1探究：（2）某糖廠

2017年食糖產(chǎn)量為

a

噸，如果在以后兩

年平均減產(chǎn)的百分率為

x，那么預(yù)計(jì)

2018年的產(chǎn)量將是_________噸，2019年的產(chǎn)量將是__________噸.a(1-x)

思考：你能歸納上述兩個(gè)問(wèn)題中蘊(yùn)含的共同等量關(guān)系嗎？

兩年后：變化后的量=變化前的量×新課講解

問(wèn)題2：兩年前生產(chǎn)

1t甲種藥品的成本是

5000元，生產(chǎn)

1t乙種藥品的成本是

6000元，隨著生產(chǎn)技術(shù)的進(jìn)步，現(xiàn)在生產(chǎn)

1t甲種藥品的成本是

3000元，生產(chǎn)

1t乙種藥品的成本是

3600元，哪種藥品成本的年平均下降率較大？新課講解

解：設(shè)甲種藥品成本的年平均下降率為

x，乙種藥品成本的年平均下降率為

y.列表如下：（單位：元）

根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義，成本的年平均下降率應(yīng)是小于

1的正數(shù)，應(yīng)選

0.225．故甲、乙兩種藥品成本的年平均下降率均約為

22.5%．

根據(jù)題意，得5000（1-x）2=3000，6000（1-y）2=3600.解這兩個(gè)方程，得x1≈0.225，x2≈1.775；

y1≈0.225，y2≈1.775．新課講解兩年前成本一年后成本

兩年后成本甲種藥品x5000（1-x）5000（1-x）2乙種藥品y6000（1-y）6000（1-y）2

結(jié)論：

兩種藥品成本的年平均下降率相等，成本下降額較大的產(chǎn)品，其成本下降率不一定較大．成本下降額表示絕對(duì)變化量，成本下降率表示相對(duì)變化量，兩者兼顧才能全面比較對(duì)象的變化狀況．新課講解

對(duì)比：

由題知，甲種藥品成本的年平均下降額為

(5000-3000)÷2=1000（元）；乙種藥品成本的年平均下降額為

(6000-3600

)÷2=1200（元）．你能概括一下“變化率問(wèn)題”的基本特征嗎？解決“變化率問(wèn)題”的關(guān)鍵步驟是什么嗎？“變化率問(wèn)題”的基本特征：平均變化率保持不變.

解決“變化率問(wèn)題”的關(guān)鍵步驟：找出變化前的數(shù)量、變化后的數(shù)量，及相應(yīng)的等量關(guān)系．新課講解？思考

山西特產(chǎn)專賣店銷售核桃，其進(jìn)價(jià)為每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100kg.后來(lái)經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，單價(jià)每降低2元，則平均每天的銷售量可增加20kg.若該專賣店銷售這種核桃想要平均每天獲利2240元，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：(1)每千克核桃應(yīng)降價(jià)多少元？(2)在平均每天獲利不變的情況下，為盡可能讓利于顧客，贏得市場(chǎng)，該店應(yīng)按原售價(jià)的幾折出售？利用一元二次方程解決利潤(rùn)問(wèn)題2新課講解例題解：（1）設(shè)每千克核桃應(yīng)降價(jià)x元.根據(jù)題意，得化簡(jiǎn)，得x2-10x+24=0，解得x1=4，x2=6.

故每千克核桃應(yīng)降價(jià)4元或6元.（2）由（1）可知，每千克核桃可降價(jià)4元或6元，而要盡可能讓利于顧客，所以每千克核桃應(yīng)降價(jià)6元.此時(shí)，每千克核桃的售價(jià)為60-6=54（元），則54÷60×100%=90％.故該店應(yīng)按原售價(jià)的九折出售.新課講解1.商場(chǎng)某種商品的進(jìn)價(jià)為每件100元，當(dāng)售價(jià)定為每件150元時(shí)平均每天可銷售30件．為了盡快減少庫(kù)存，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件商品每降價(jià)1元，商場(chǎng)平均每天可多售出2件．設(shè)每件商品降價(jià)x元(x為整數(shù))．據(jù)此規(guī)律，請(qǐng)回答： (1)商場(chǎng)日銷售量增加____件，每件商品盈利________

元(用含x的代數(shù)式表示)； (2)在上述條件不變、銷售正常的情況下，每件商品降價(jià)多少元時(shí)，商場(chǎng)日盈利可達(dá)到2100元？2x（50－x）隨堂即練解：(2)設(shè)每件商品降價(jià)x元時(shí)，商場(chǎng)日盈利可達(dá)到2100元．根據(jù)題意，得(50-x)(30＋2x)＝2100.化簡(jiǎn)，得x2-35x＋300＝0，解得x1＝15，x2＝20.當(dāng)x＝15時(shí)，商場(chǎng)日銷售量增加2×15=30（件）；當(dāng)x＝20時(shí)，商場(chǎng)日銷售量增加2×20=40（件）.而30＜40，且商場(chǎng)為了盡快減少庫(kù)存，所以取x＝20.故在上述條件不變、銷售正常的情況下，每件商品降價(jià)20元時(shí)，商場(chǎng)日盈利可達(dá)到2100元．隨堂即練2.西藏地震牽動(dòng)著全國(guó)人民的心，某單位開(kāi)展了“一方有難，八方支援”賑災(zāi)捐款活動(dòng)．第一天收到捐款10000

元，第三天收到捐款12100元．(1)如果第二、三天收到捐款的增長(zhǎng)率相同，求捐款的增長(zhǎng)率；(2)按照(1)中收到捐款的增長(zhǎng)速度，第四天該單位能收到多少捐款？隨堂即練解：(1)設(shè)捐款的增長(zhǎng)率為x，則10000(1＋x)2＝12100，解得x1＝0.1＝10%，x2＝-2.1(舍去)．故捐款的增長(zhǎng)率為10%.(2)12100×(1＋10%)＝13310(元)，故按照(1)中收到捐款的增長(zhǎng)速度，第四天該單位能收到捐款13310元．★

用一元二次方程解平均變化率問(wèn)題規(guī)律：變化前的量×(1±平均變化率)變化次數(shù)＝變化后的量．注意：有關(guān)變化率的問(wèn)題，都可以根據(jù)以上規(guī)律列方程求解．在實(shí)際問(wèn)題的求解過(guò)程中，要注意方程的根與實(shí)際問(wèn)題的合理性檢驗(yàn)．

★

利潤(rùn)問(wèn)題基本關(guān)系：(1)利潤(rùn)＝售價(jià)－________； (3)總利潤(rùn)＝____________×銷量.進(jìn)價(jià)單個(gè)利潤(rùn)課堂總結(jié)第22章一元二次方程復(fù)習(xí)課本章知識(shí)結(jié)構(gòu)圖實(shí)際問(wèn)題

實(shí)際問(wèn)題的答案數(shù)學(xué)問(wèn)題數(shù)學(xué)問(wèn)題的解降次設(shè)未知數(shù)，列方程檢驗(yàn)解方程配方法公式法直接開(kāi)平方法、分解因式法知識(shí)梳理

解一元二次方程的基本思路：將二次方程化為一次方程，即降次.思想化為一次方程得到一元二次方程的解降次解一元一次方程(1)直接開(kāi)平方法x2=b(b0)(2)因式分解法1.提取公因式法2.平方差公式3.完全平方公式(3)配方法(4)公式法當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為1的時(shí)候，方程兩邊同加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方當(dāng)b2-4ac＜0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根一元二次方程的解法適用于任何一個(gè)一元二次方程適用于任何一個(gè)一元二次方程適用于左邊能分解為兩個(gè)一次式的積，右邊是0的方程當(dāng)時(shí)，適用于沒(méi)有一次項(xiàng)的一元二次方程知識(shí)梳理1.若(a-3)+4x+5=0是關(guān)于x的一元二次方程，則a值為()A.3B.-3C.±3D.無(wú)法確定【解析】選B.因?yàn)榉匠淌顷P(guān)于x的一元二次方程，所以

a2-7=2且a-3≠0，解得a=-3.一元二次方程及其根的有關(guān)概念題型突破題型12.下列方程中，一定是一元二次方程的是()A.ax2+bx+c=0

B.

x2=0C.3x2+2y-

=0

D.

x2+

-5=0【解析】選B.A中的二次項(xiàng)系數(shù)缺少不等于0的條件，C中含有兩個(gè)未知數(shù)，D中的方程不是整式方程.題型突破1.解方程：x2-2x-1=0.解：移項(xiàng)，得x2-2x=1.

配方，得x2-2x+1=2，即(x-1)2=2.開(kāi)方，得x-1=±，則x=1±.所以x1=1+,x2=1-.一元二次方程的解法題型2題型突破2.用適當(dāng)方法解下列方程：（5）（1）（2）（4）(3)（直接開(kāi)方法）（配方法）（因式分解法）（公式法）（因式分解法）x1