2019年浙江省中考真題相似三角形培優(yōu)匯編試題-(含答案)

2019年浙江中考相似三角形培優(yōu)匯編1.（2019杭州）如圖，把某矩形紙片ABCD沿EF、GH折疊（點(diǎn)E、H在AD邊上，點(diǎn)F、G在BC邊上），使得點(diǎn)B、點(diǎn)C落在AD邊上同一點(diǎn)P處，A點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為A'點(diǎn)，D點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為D點(diǎn)，若∠FPG=90°，△A'EP的面積為4，△D'PH的面積為1，則矩形ABCD的面積等于.HH答案：∵A'E∥PF∴∠A'EP=∠D'PH又∵∠A=∠A'=90°，∠D=∠D'=90°∴∠A'=∠D'∴△A'EP～△D'PH又∵AB=CD，AB=A'P，CD=D'P∴A'P=D'P設(shè)A'P=D'P=x∵S△A'EP：S△D'PH=4：1∴A'E=2D'P=2x∴S△A'EP=∵x>0∴x=2∴A'P=D'P=2∴A'E=2D'P=4∴∴PH=EP=∴DH=D'H=A'P=1∴AD=AE+EP+PH+DH=5+3∴AB=A'P=2∴2.（2019紹興）如圖，矩形ABCD中，AB=a，BC=b，點(diǎn)M,N分別在邊AB,CD上，點(diǎn)E,F分別在BC,AD上，MN,EF交于點(diǎn)P，記k=MN∶EF.（1）若a∶b的值是1，當(dāng)MN⊥EF時(shí)，求的值.（2）若a∶b的值是，求k的最大值和最小值.（3）若的值是3，當(dāng)點(diǎn)N是矩形的頂點(diǎn)，∠MPE=60°，MP=EF=3PE時(shí)，求a∶b的值.答案：（1）作FH⊥BC，MQ⊥CD，如圖1，∵四邊形ABCD為正方形，∴FH＝AB，MQ＝BC，∴FH＝MQ．∵M(jìn)N⊥EF，∴∠HFE＝∠NMQ，∠FHE＝∠MQN＝90°，∴△FHE≌△MQN，∴MN＝EF，∴k＝1．（2）∵a:b＝1:2，∴b＝2a．由題意得，2a≤MN≤a，a≤EF≤a，當(dāng)MN取最長時(shí)，EF可取到最短，此時(shí)k的值最大，最大值為．當(dāng)MN取最短時(shí)，EF可取到最長，此時(shí)k的值最小，最小值為．（3）連結(jié)FN，ME．∵＝3，MP＝EF＝3PE，∴＝＝3，∴＝＝2，∴△PNF∽△PME，∴＝＝2，ME∥NF．設(shè)PE＝2m，則PF＝4m，MP＝6m，NP＝12m．①當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)D重合時(shí)，如圖2，點(diǎn)M恰好與點(diǎn)B重合，過點(diǎn)F作FH⊥BD于點(diǎn)H，∵∠MPE＝∠FPH＝60°，∴PH＝2m，F(xiàn)H＝2m，HD＝10m，∴＝＝＝．②當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)C重合，如圖3，過點(diǎn)E作EH⊥MN于點(diǎn)H，則PH＝m，HE＝m，∴HC＝PH＋PC＝13m，∴＝＝．∵M(jìn)E∥FC，∴∠MEB＝∠FCB＝∠CFD．又∵∠B＝∠D，∴△MEB∽△CFD，∴＝＝2，∴＝＝＝．綜上所述，a：b的值為或．3.（2019嘉興）小波在復(fù)習(xí)時(shí)，遇到一個(gè)課本上的問題，溫故后進(jìn)行了操作、推理與拓展(1)溫故：如圖

1，在△ABC中，AD⊥BC

于點(diǎn)D，正方形PQMN

的邊QM在BC上，頂點(diǎn)

PN

分別在AB，AC上，若

BC=6，AD=4，求正方形PQMN

的邊長．

(2)操作：能畫出這類正方形嗎?小波按數(shù)學(xué)家波利亞在《怎樣解題》中的方法進(jìn)行操作：如圖

2，任意畫△ABC，在AB上任取一點(diǎn)P'，畫正方形

P'Q'M'N'，使Q'，M'在BC邊上，N'

在△ABC

內(nèi)，連結(jié)BN'

并延長交AC

于點(diǎn)N，畫NM⊥BC于點(diǎn)M，NP⊥MN

交AB于點(diǎn)P，PQ⊥BC

于點(diǎn)Q，得到四邊形

PQMN．小波把線段BN

稱為“波利亞線”．推理：證明圖2

中的四邊形

PQMN是正方形．答案：（1）解：如圖1中，圖1∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC，∴，即，解得PN＝．（2）能畫出這樣的正方形，如圖2中，正方形PNMQ即為所求．證明：如圖2中，圖2由畫圖可知：∠QMN＝∠PQM＝∠NPQ＝∠BM′N′＝90°，∴四邊形PNMQ是矩形，MN∥M′N′，∴△BN′M′∽△BNM，∴，同理可得：，∴，∵M(jìn)′N′＝P′N′，∴MN＝PN，∴四邊形PQMN是正方形．4.（2019金華）如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=14。點(diǎn)D，E分別在邊AB，BC上，將線段ED繞點(diǎn)E按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到EF。（1）如圖1，若AD=BD，點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，AF與DC相交于點(diǎn)O，求證：BD=2DO．（2）已知點(diǎn)G為AF的中點(diǎn)。①如圖2，若AD=BD，CE=2，求DG的長。②若AD=6BD，是否存在點(diǎn)E，使得△DEG是直角三角形?若存在，求CE的長；若不存在，試說明理由。答案：（1）解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：CD=CF，∠DCF=90°，∵△ABC是等腰直角三角形，AD=BD，∴∠ADO=90°，CD=BD=AD，∴∠DCF=∠ADC，在△ADO和△FCO中，∵，∴△ADO≌△FCO（AAS），∴DO=CO，∴BD=CD=2DO.

（2）解：①如圖1，分別過點(diǎn)D、F作DN⊥BC于點(diǎn)N，F(xiàn)M⊥BC于點(diǎn)M，連結(jié)BF，∴∠DNE=∠EMF=90°，又∵∠NDE=∠MEF，DE=EF，∴△DNE≌△EMF，∴DN=EM，又∵BD=7，∠ABC=45°，∴DN=EM=7，∴BM=BC-ME-EC=5，∴MF=NE=NC-EC=5，∴BF=5，∵點(diǎn)D、G分別是AB、AF的中點(diǎn)，∴DG=BF=；②過點(diǎn)D作DH⊥BC于點(diǎn)H，∵AD=6BD，AB=14，∴BD=2，（?。┊?dāng)∠DEG=90°時(shí)，有如圖2、3兩種情況，設(shè)CE=t，∵∠DEF=90°，∠DEG=90°，∴點(diǎn)E在線段AF上，∴BH=DH=2，BE=14-t，HE=BE-BH=12-t，∵△DHE∽△ECA，∴，即，解得：t=6±2，∴CE=6+2，或CE=6-2，（ⅱ）當(dāng)DG∥BC時(shí)，如圖4,過點(diǎn)F作FK⊥BC于點(diǎn)K，延長DG交AC于點(diǎn)N，延長AC并截取MN=NA，連結(jié)FM，則NC=DH=2，MC=10，設(shè)GN=t，則FM=2t，BK=14-2t，∵△DHE∽△EKF，∴DH=EK=2，HE=KF=14-2t，∵M(jìn)C=FK，∴14-2t=10，解得：t=2，∵GN=EC=2，GN∥EC，∴四邊形GECN為平行四邊形，∠ACB=90°，∴四邊形GECN為矩形，∴∠EGN=90°，∴當(dāng)EC=2時(shí)，有∠DGE=90°，（ⅲ）當(dāng)∠EDG=90°時(shí)，如圖5：過點(diǎn)G、F分別作AC的垂線交射線于點(diǎn)N、M，過點(diǎn)E作EK⊥FM于點(diǎn)K，過點(diǎn)D作GN的垂線交NG的延長線于點(diǎn)P，則PN=HC=BC-HB=12，設(shè)GN=t，則FM=2t，∴PG=PN-GN=12-t，∵△DHE∽△EKF，∴FK=2，∴CE=KM=2t-2，∴HE=HC-CE=12-（2t-2）=14-2t，∴EK=HE=14-2t，AM=AC+CM=AC+EK=14+14-2t=28-2t，∴MN=AM=14-t，NC=MN-CM=t，∴PD=t-2，∵△GPD∽△DHE，∴，即，解得：t1=10-，t2=10+（舍去），∴CE=2t-2=18-2；綜上所述：CE的長為=6+2，6-2，2或18-2.5.（2019溫州）如圖，在矩形ABCD中，E為AB中點(diǎn)，以BE為邊作正方形BEFG，邊EF交CD于點(diǎn)H，在邊BE上取點(diǎn)M使BM＝BC，作MN∥BG交CD于點(diǎn)L，交FG于點(diǎn)N．歐兒里得在《幾何原本》中利用該圖解釋了．現(xiàn)以點(diǎn)F為圓心，F(xiàn)E為半徑作圓弧交線段DH于點(diǎn)P，連結(jié)EP，記△EPH的面積為S1，圖中陰影部分的面積為S2．若點(diǎn)A，L，G在同一直線上，則的值為（）A. B. C. D.解：連接AG，點(diǎn)A，L，G在同一直線上，∴PF=a，AD=a-b，DL=a+b，CL=a-b，CG=b，∵AD∥CG，∴△ADL∽△GCL，∴，即，整理可得：a=3b，PH=，∴，，∴，故選：C.6.（2019溫州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別交x軸、y軸于點(diǎn)B，C，正方形AOCD的頂點(diǎn)D在第二象限內(nèi)，E是BC中點(diǎn)，OF⊥DE于點(diǎn)F，連結(jié)OE．動(dòng)點(diǎn)P在AO上從點(diǎn)A向終點(diǎn)O勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q在直線BC上從某點(diǎn)Q1向終點(diǎn)Q2勻速運(yùn)動(dòng)，它們同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)．（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)和OE的長；（2）設(shè)點(diǎn)Q2為(m，n)，當(dāng)tan∠EOF時(shí)，求點(diǎn)Q2的坐標(biāo)；（3）根據(jù)（2）的條件，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AO中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q恰好與點(diǎn)C重合．①延長AD交直線BC于點(diǎn)Q3，當(dāng)點(diǎn)Q在線段Q2Q3上時(shí)，設(shè)Q3Q＝s，AP＝t，求s關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式．②當(dāng)PQ與△OEF的一邊平行時(shí)，求所有滿足條件的AP的長．解：（1）令，則，∴，∴為.∵為，在中，.又∵為中點(diǎn)，∴.（2）如圖，作于點(diǎn)，則，∴，∴，∴，∴.∵，∴，由勾股定理得，∴.∵，∴，∴為.（3）①∵動(dòng)點(diǎn)同時(shí)作勻速直線運(yùn)動(dòng)，∴關(guān)于成一次函數(shù)關(guān)系，設(shè)，將和代入得，解得，∴.②（?。┊?dāng)時(shí)，（如圖），，作軸于點(diǎn)，則.∵，∴，∴，∴，∴.（ⅱ）當(dāng)時(shí)（如圖），過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，由得.∵,∴,∴，∴.∵，∴，∴.（ⅲ）由圖形可知不可能與平行.綜上所述，當(dāng)與的一邊平行時(shí)，的長為或.7.（2019臺(tái)州）如圖，直線l1∥l2∥l3，A，B，C分別為直線l1，l2，l3上的動(dòng)點(diǎn)，連接AB，BC，AC，線段AC交直線l2于點(diǎn)D．設(shè)直線l1，l2之間的距離為m，直線l2，l3之間的距離為n，若∠ABC＝90°，BD＝4，且，則m+n的最大值為．答案：過B作BE⊥l1于E，延長EB交l3于F，過A作AN⊥l2于N，過C作CM⊥l2于M，設(shè)AE＝x，CF＝y(tǒng)，BN＝x，BM＝y(tǒng)，∵BD＝4，∴DM＝y(tǒng)﹣4，DN＝4﹣x，∵∠ABC＝∠AEB＝∠BFC＝∠CMD＝∠AND＝90°，∴∠EAB+∠ABE＝∠ABE+∠CBF＝90°，∴∠EAB＝∠CBF，∴△ABE∽△BFC，∴，即＝，∴xy＝mn，∵∠ADN＝∠CDM，∴△CMD∽△AND，∴＝，即＝，∴y＝﹣x+10，∵＝，∴n＝m，∴（m+n）最大＝m，∴當(dāng)m最大時(shí)，（m+n）最大＝m，∵mn＝xy＝x（﹣x+10）＝﹣x2+10x＝m2，∴當(dāng)x＝﹣＝時(shí)，mn最大＝＝m2，∴m最大＝，∴m+n的最大值為×＝．故答案為：．8.（2019臺(tái)州）如圖，正方形ABCD的邊長為2，E為AB的中點(diǎn)，P是BA延長線上的一點(diǎn)，連接PC交AD于點(diǎn)F，AP＝FD．（1）求的值；（2）如圖1，連接EC，在線段EC上取一點(diǎn)M，使EM＝EB，連接MF，求證：MF＝PF；（3）如圖2，過點(diǎn)E作EN⊥CD于點(diǎn)N，在線段EN上取一點(diǎn)Q，使AQ＝AP，連接BQ，BN．將△AQB繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)Q旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)Q'落在邊AD上．請(qǐng)判斷點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'是否落在線段BN上，并說明理由．答案：（1）設(shè)AP＝FD＝a，∴AF＝2﹣a，∵四邊形ABCD是正方形∴AB∥CD∴△AFP∽△DFC∴即∴a＝﹣1∴AP＝FD＝﹣1，∴AF＝AD﹣DF＝3﹣∴＝（2）在CD上截取DH＝AF∵AF＝DH，∠PAF＝∠D＝90°，AP＝FD，∴△PAF≌△HDF（SAS）∴PF＝FH，∵AD＝CD，AF＝DH∴FD＝CH＝AP＝﹣1∵點(diǎn)E是AB中點(diǎn)，∴BE＝AE＝1＝EM∴PE＝PA+AE＝∵EC2＝BE2+BC2＝1+4＝5，∴EC＝∴EC＝PE，CM＝﹣1∴∠P＝∠ECP∵AP∥CD∴∠P＝∠PCD∴∠ECP＝∠PCD，且CM＝CH＝﹣1，CF＝CF∴△FCM≌△FCH（SAS）∴FM＝FH∴FM＝PF（3）若點(diǎn)B'在BN上，如圖，以A原點(diǎn)，AB為y軸，AD為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，∵EN⊥AB，AE＝BE∴AQ＝BQ＝AP＝﹣1由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AQ＝AQ'＝﹣1，AB＝AB'＝2，Q'B'＝QB＝﹣1，∵點(diǎn)B（0，﹣2），點(diǎn)N（2，﹣1）∴直線BN解析式為：y＝x﹣2設(shè)點(diǎn)B'（x，x﹣2）∴AB'＝＝2∴x＝∴點(diǎn)B'（，﹣）∵點(diǎn)Q'（﹣1，0）∴B'Q'＝≠﹣1∴點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'不落在線段BN上．9.（2019寧波）.定義：有兩個(gè)相鄰內(nèi)角互余的四邊形稱為鄰余四邊形，這兩個(gè)角的夾邊稱為鄰余線.（1）如圖1，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分線，E，F(xiàn)分別是BD，AD上的點(diǎn).求證：四邊形ABEF是鄰余四邊形。（2）如圖2，在5×4的方格紙中，A，B在格點(diǎn)上，請(qǐng)畫出一個(gè)符合條件的鄰余四邊形ABEF，使AB是鄰余線，E，F(xiàn)在格點(diǎn)上，（3）如圖3，在（1）的條件下，取EF中點(diǎn)M，連結(jié)DM并延長交AB于點(diǎn)Q，延長EF交AC于點(diǎn)N.若N為AC的中點(diǎn)，DE=2BE，QB=3，求鄰余線AB的長。答案：（1）解：∵AB=AC，AD是△ABC的角平分線，∴AD⊥BC.∴∠ADB=900.∴∠DAB+∠DBA=90°.∴∠FAB與∠EBA互余.∴四邊形ABEF是鄰余四邊形

（2）解：如圖所示（答案不唯一）

（3）解：∵AB=AC，AD是△ABC的角平分線，∴BD=CD.∵DE=2BE，∴BD=CD=3BE.∴CE=CD+DE=5BE.∵∠EDF=90°，M為EF中點(diǎn)，∴DM=ME.∴∠MDE=∠MED.∵AB=AC，∴∠B=∠C.∴△DBQ∽△AECN.∵∵QB=3，∴NC=5.∵AN=CN，∴AC=2CN=10.∴AB=AC=10.10.（2019寧波）如圖1，O經(jīng)過等邊△ABC的頂點(diǎn)A，C（圓心O在△ABC內(nèi)），分別與AB，CB的延長線交于