注冊(cè)巖土基礎(chǔ)微分及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

第三講

微分及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一、內(nèi)容提要：本講主要是講解函數(shù)與極限、連續(xù)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)問(wèn)題。二、重點(diǎn)：本講的重點(diǎn)是微分的應(yīng)用，二個(gè)中值定理，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。難點(diǎn)：本講的難點(diǎn)是偏導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用。三、內(nèi)容講解：1、微分及其應(yīng)用：為了對(duì)微分有比較直觀的了解，我們?cè)賮?lái)說(shuō)明微分的幾何意義。如下圖所示：1.2基本初等函數(shù)的微分公式與微分運(yùn)算法則。2、

微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。2.1羅爾中值定理：如下圖所示，如果函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù)，除去有限個(gè)導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)外導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)，那么只要用方程f’(x)=0的根及f’(x)不存在的點(diǎn)來(lái)劃分函數(shù)f(x)的定義區(qū)間，就能保證f’(x)在各個(gè)部分區(qū)間保持固定符號(hào)，因而函數(shù)f(x)在每個(gè)部分區(qū)間上單調(diào)。函數(shù)的極值判定：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間（a,b）內(nèi)有定義，x0是（a,b）內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)，如果存在著點(diǎn)x0的一個(gè)鄰域，對(duì)于這鄰域內(nèi)的任何點(diǎn)x，除了點(diǎn)x0外，f(x)f(x0)均成立，就稱f(x0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極小值。必要條件：設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處具有導(dǎo)數(shù)，且在x0處取得極值，那么這函數(shù)在x0處的導(dǎo)數(shù)f’(x)=0。使導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)叫做函數(shù)f(x)的駐點(diǎn)。第一種充分條件：設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的一個(gè)鄰域內(nèi)可導(dǎo)且f’(x)=0如果當(dāng)x取x0左側(cè)鄰近的值時(shí)，f’(x)恒為正，當(dāng)x取x0右側(cè)鄰近的值時(shí)，f’(x)恒為負(fù)，那么f(x)在x0處取得極大值；如果當(dāng)x取x0左側(cè)鄰近的值時(shí)，f’(x)恒為負(fù)，當(dāng)x取x0右側(cè)鄰近的值時(shí)，f’(x)恒為正，那么f(x)在x0處取得極小值；如果當(dāng)x取x0左右兩側(cè)鄰近的值時(shí)，f’(x)恒為正或恒為負(fù)，那么函數(shù)f(x)在x0處沒(méi)有極值。第二種充分條件：設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處具有二階導(dǎo)數(shù)且f’(x0)=0，f’(x0)≠0，那么（1）當(dāng)f’’(x0)<0時(shí)，函數(shù)f(x)在x0處取得極大值；（2）f’’(x0)>0時(shí)，函數(shù)f(x)在x0處取得極小值。例14、求函數(shù)f(x)=（x2-1）3+1的極值。解：f’(x)=6x（x2-1）2令f’(x)=0，求得駐點(diǎn)x1=-1,x2=0,x3=1，f’’(x)=6（x2-1）(5x2-1),因f’’(0)=6>0,f(x)在x=0處取得極小值，極小值為0；因f’’(-1)=f’’(+1)=0,用定理無(wú)法判別，只能看導(dǎo)數(shù)f’(x)在駐點(diǎn)x1=-1，x3=1左右鄰近的符號(hào)。當(dāng)x取-1左側(cè)鄰近的值時(shí)，f’(x)<0，當(dāng)x取-1右側(cè)鄰近的值時(shí)，f’(x)<0，所以在x=-1處沒(méi)有極值。函數(shù)的最大值和最小值的判定：設(shè)f(x)在(a,b)內(nèi)的駐點(diǎn)為x1,x2,…xn則比較f(a)、f(x1)、f(x2)…f(xn),f(b)的大小，其中最大的便是f(x)在[a,b]上的最大值，最小的便是f(x)在[a,b]上的最小值。例15、求函數(shù)y=2x3+3x2-12x+14在[-3，4]上的最大值與最小值。解：f(x)=2x3+3x2-12x+14,f’(x)=6x2+6x-12=0，解得x1=-2,x2=1。，求得f(-3)、f(-2)、f(1)、f(4)可得在x=4處取得它在[-3，4]上的最大值，在x=1取得它在該區(qū)間上的最小值。曲線的凹凸性與拐點(diǎn)的判定：設(shè)f(x)在(a,b)內(nèi)2，內(nèi)如果對(duì)(a,b)內(nèi)任意兩點(diǎn)x1,x2，恒有3多元函數(shù)的微分法及其應(yīng)用。3.1偏導(dǎo)數(shù)及全微分：多元函數(shù)的概念：設(shè)D是平面上的一個(gè)點(diǎn)集，如果對(duì)于每個(gè)點(diǎn)P(x,y)∈D變量z按照一定的法則總有確定的值和它對(duì)應(yīng)，則稱z是變量x,y的二元函數(shù)，記為z=f(x,y)點(diǎn)集D稱為該函數(shù)的定義域，x,y稱為自變量，z稱為因變量。3.2偏導(dǎo)數(shù)的定義：設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)（x0,y0）的某一鄰戴內(nèi)有定義，當(dāng)y固定在y0上面的結(jié)果，就得到結(jié)果。3.3高階偏導(dǎo)數(shù)：若函數(shù)z=f(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)fx(x,y)及fy(x,y)存在，則稱它們?yōu)閒(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù)，二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)。3.7.3多元函數(shù)的極值：（必要條件）設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)（x0,y0）具有偏導(dǎo)數(shù)，在點(diǎn)（x0,y0）處有極值，則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)為零，即fx（x0,y0）=0

fy（x0,y0）=0（充分條件）設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)（x0,y0）的某鄰域內(nèi)連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又fx（x0,y0）=0

fy（x0,y0）=0,記A=fxx（x0,y0）B=fxy（x0,y0）C=fyy（x0,y0）則當(dāng)AC-B2>0時(shí)，具有極值f（x0,y0）且當(dāng)A<0時(shí)，f（x0,y0）為極大值，當(dāng)A>0時(shí)，f（x0,y0）為極小值。AC-B2<0時(shí)，沒(méi)有極值。AC-B2=0時(shí)，可能有極值，也可能沒(méi)有極值，還需另作討論。具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)z=f(x,y)極值的求法敘述如下：第一步：解方程組，fx(x,y)=0

f(x,y)=0求得一切實(shí)數(shù)解，即可求得一切駐點(diǎn)。第二步：對(duì)于每一個(gè)駐點(diǎn)（x0