安徽省合肥市七中、合肥十中聯(lián)考2023年高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測試題含解析

2022-2023學(xué)年高一下數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．設(shè)且，則下列不等式成立的是（）A． B． C． D．2．不等式>0的解集是（）A．（－，0）（1，+） B．（－，0）C．（1，+） D．（0，1）3．已知是圓上的三點，（）A． B． C． D．4．已知向量，的夾角為，且，，則與的夾角等于A． B． C． D．5．一支田徑隊有男運(yùn)動員560人，女運(yùn)動員420人，為了解運(yùn)動員的健康情況，從男運(yùn)動員中任意抽取16人，從女生中任意抽取12人進(jìn)行調(diào)查．這種抽樣方法是（）A．簡單隨機(jī)抽樣法 B．抽簽法C．隨機(jī)數(shù)表法 D．分層抽樣法6．已知正四面體ABCD中，E是AB的中點，則異面直線CE與BD所成角的余弦值為()A． B． C． D．7．若、為異面直線，直線，則與的位置關(guān)系是（）A．相交 B．異面 C．平行 D．異面或相交8．一游客在處望見在正北方向有一塔，在北偏西方向的處有一寺廟，此游客騎車向西行后到達(dá)處，這時塔和寺廟分別在北偏東和北偏西，則塔與寺廟的距離為()A． B． C． D．9．某班現(xiàn)有60名學(xué)生，隨機(jī)編號為0，1，2，…，59.依編號順序平均分成10組，組號依次為1，2，3，…，10.現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量為10的樣本，若在第1組中隨機(jī)抽取的號碼為5，則在第7組中隨機(jī)抽取的號碼為（）A．41 B．42 C．43 D．4410．在正方體中，異面直線與所成的角為（）A．30° B．45° C．60° D．90°二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若直線：與直線的交點位于第一象限，則直線的傾斜角的取值范圍是___________.12．若，則=.13．已知數(shù)列的前項和為，，，則__________．14．的值為___________．15．若函數(shù)有兩個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是______.16．抽樣調(diào)查某地區(qū)名教師的年齡和學(xué)歷狀況，情況如下餅圖：則估計該地區(qū)歲以下具有研究生學(xué)歷的教師百分比為_______．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知數(shù)列滿足，，.（1）求證數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項和，求證：18．現(xiàn)需要設(shè)計一個倉庫，它由上下兩部分組成，上部分的形狀是正四棱錐，下部分的形狀是正四棱柱（如圖所示），并要求正四棱柱的高是正四棱錐的高的4倍.（1）若則倉庫的容積是多少？（2）若正四棱錐的側(cè)棱長為，則當(dāng)為多少時，倉庫的容積最大？19．已知向量且，（1）求向量與的夾角；（2）求的值.20．求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.21．在平面直角坐標(biāo)系中，已知射線與射線，過點作直線l分別交兩射線于點A、B（不同于原點O）.（1）當(dāng)取得最小值時，直線l的方程；（2）求的最小值；

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】項，由得到，則，故項正確；項，當(dāng)時，該不等式不成立，故項錯誤；項，當(dāng)，時，，即不等式不成立，故項錯誤；項，當(dāng)，時，，即不等式不成立，故項錯誤．綜上所述，故選．2、A【解析】

由題意可得，，求解即可.【詳解】，解得或，故解集為（－，0）（1，+），故選A.【點睛】本題考查了分式不等式的解法，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】

先由等式，得出，并計算出，以及與的夾角為，然后利用平面向量數(shù)量積的定義可計算出的值．【詳解】由于是圓上的三點，，則，，故選C．【點睛】本題考查平面向量的數(shù)量積的計算，解題的關(guān)鍵就是要確定向量的模和夾角，考查計算能力，屬于中等題．4、C【解析】

根據(jù)條件即可求出，從而可求出，，，然后可設(shè)與的夾角為，從而可求出，根據(jù)向量夾角的范圍即可求出夾角．【詳解】，；，，；設(shè)與的夾角為，則；又，，故選．【點睛】本題主要考查向量數(shù)量積的定義運(yùn)用，向量的模的求法，以及利用數(shù)量積求向量夾角．5、D【解析】

若總體由差異明顯的幾部分組成時，經(jīng)常采用分層抽樣的方法進(jìn)行抽樣【詳解】總體由男生和女生組成，比例為560：420＝4：1，所抽取的比例也是16：12＝4：1．故選D．【點睛】本小題主要考查抽樣方法，當(dāng)總體由差異明顯的幾部分組成時，經(jīng)常采用分層抽樣的方法進(jìn)行抽樣，屬基本題．6、B【解析】試題分析：如圖，取中點，連接，因為是中點，則，或其補(bǔ)角就是異面直線所成的角，設(shè)正四面體棱長為1，則，，．故選B．考點：異面直線所成的角．【名師點睛】求異面直線所成的角的關(guān)鍵是通過平移使其變?yōu)橄嘟恢本€所成角，但平移哪一條直線、平移到什么位置，則依賴于特殊的點的選取，選取特殊點時要盡可能地使它與題設(shè)的所有相減條件和解題目標(biāo)緊密地聯(lián)系起來．如已知直線上的某一點，特別是線段的中點，幾何體的特殊線段．7、D【解析】解：因為為異面直線，直線，則與的位置關(guān)系是異面或相交，選D8、C【解析】

先根據(jù)題干描述，畫出ABCD的相對位置，再解三角形．【詳解】如圖先求出，的長，然后在中利用余弦定理可求解．在中，，可得．在中，，，，∴，∴．在中，，∴．故選C.【點睛】本題考查正余弦定理解決實際問題中的距離問題，正確畫出其相對位置是關(guān)鍵，屬于中檔題．9、A【解析】

由系統(tǒng)抽樣．先確定分組間隔，然后編號成等差數(shù)列來求所抽取號碼．【詳解】由題知分組間隔為以，又第1組中抽取的號碼為5，所以第7組中抽取的號碼為.故選：A.【點睛】本題考查系統(tǒng)抽樣，掌握系統(tǒng)抽樣的概念與方法是解題基礎(chǔ)．10、C【解析】

首先由可得是異面直線和所成角，再由為正三角形即可求解.【詳解】連接．因為為正方體，所以，則是異面直線和所成角．又,可得為等邊三角形，則，所以異面直線與所成角為，故選：C【點睛】本題考查異面直線所成的角，利用平行構(gòu)造三角形或平行四邊形是關(guān)鍵，考查了空間想象能力和推理能力，屬于中檔題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】若直線與直線的交點位于第一象限，如圖所示：則兩直線的交點應(yīng)在線段上（不包含點）,當(dāng)交點為時，直線的傾斜角為，當(dāng)交點為時，斜率，直線的傾斜角為∴直線的傾斜角的取值范圍是．故答案為12、【解析】.13、【解析】

先利用時，求出的值，再令，由得出，兩式相減可求出數(shù)列的通項公式，再將的表達(dá)式代入，可得出.【詳解】當(dāng)時，則有，；當(dāng)時，由得出，上述兩式相減得，，得且，所以，數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，則，，那么，因此，，故答案為.【點睛】本題考查等比數(shù)列前項和與通項之間的關(guān)系，同時也考查了等比數(shù)列求和，一般在涉及與的遞推關(guān)系求通項時，常用作差法來求解，考查計算能力，屬于中等題.14、【解析】

=15、【解析】

令，可得，從而將問題轉(zhuǎn)化為和的圖象有兩個不同交點，作出圖形，可求出答案.【詳解】由題意，令，則，則和的圖象有兩個不同交點，作出的圖象，如下圖，是過點的直線，當(dāng)直線斜率時，和的圖象有兩個交點.故答案為：.【點睛】本題考查函數(shù)零點問題，考查函數(shù)圖象的應(yīng)用，考查學(xué)生的計算求解能力，屬于中檔題.16、【解析】

根據(jù)餅狀圖中的歲以下本科學(xué)歷人數(shù)和占比可求得歲以下教師總?cè)藬?shù)，從而可得其中的具有研究生學(xué)歷的教師人數(shù)，進(jìn)而得到所求的百分比.【詳解】由歲以下本科學(xué)歷人數(shù)和占比可知，歲以下教師總?cè)藬?shù)為：人歲以下有研究生學(xué)歷的教師人數(shù)為：人歲以下有研究生學(xué)歷的教師的百分比為：本題正確結(jié)果：【點睛】本題考查利用餅狀圖計算總體中的數(shù)據(jù)分布和頻率分布的問題，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析，；（2）見解析.【解析】

（1）根據(jù)遞推關(guān)系式可整理出，從而可證得結(jié)論；利用等比數(shù)列通項公式首先求解出，再整理出；（2）根據(jù)可求得，從而得到的通項公式，利用裂項相消法求得，從而使問題得證.【詳解】（1）由得：即，且數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列數(shù)列的通項公式為：（2）由（1）得：又即：【點睛】本題考查利用遞推關(guān)系式證明等比數(shù)列、求解等比數(shù)列通項公式、裂項相消法求解數(shù)列前項和的問題，屬于常規(guī)題型.18、（1）312（2）【解析】試題分析：（1）明確柱體與錐體積公式的區(qū)別，分別代入對應(yīng)公式求解；（2）先根據(jù)體積關(guān)系建立函數(shù)解析式，，然后利用導(dǎo)數(shù)求其最值.試題解析：解：（1）由PO1=2知OO1=4PO1=8.因為A1B1=AB=6，所以正四棱錐P-A1B1C1D1的體積正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的體積所以倉庫的容積V=V錐+V柱=24+288=312（m3）.（2）設(shè)A1B1=a（m），PO1=h（m），則0<h<6，OO1=4h.連結(jié)O1B1.因為在中，所以，即于是倉庫的容積，從而.令，得或（舍）.當(dāng)時，，V是單調(diào)增函數(shù)；當(dāng)時，，V是單調(diào)減函數(shù).故時，V取得極大值，也是最大值.因此，當(dāng)m時，倉庫的容積最大.【考點】函數(shù)的概念、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、棱柱和棱錐的體積【名師點睛】對應(yīng)用題的訓(xùn)練，一般從讀題、審題、剖析題目、尋找切入點等方面進(jìn)行強(qiáng)化，注重培養(yǎng)將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言的能力，強(qiáng)化構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的幾種方法.而江蘇高考的應(yīng)用題往往需結(jié)合導(dǎo)數(shù)知識解決相應(yīng)的最值問題，因此掌握利用導(dǎo)數(shù)求最值方法是一項基本要求，需熟練掌握.19、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）利用平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則化簡，進(jìn)而求出向量與的夾角；（Ⅱ）利用，對其化簡，代入數(shù)值，即可求出結(jié)果．【詳解】解：（Ⅰ）由得因向量與的夾角為（Ⅱ）【點睛】本題考查平面向量的數(shù)量積的應(yīng)用，以及平面向量的夾角以及平面向量的模的求法，考查計算能力．20、（）【解析】

先化簡函數(shù)得到,再利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性原則結(jié)合整體法求單調(diào)區(qū)間即可.【詳解】,令,則,因為是的一次函數(shù),且在定義域上單調(diào)遞增,所以要求的單調(diào)遞增區(qū)間,即求的單調(diào)遞減區(qū)間,即(),∴(),即(),∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為().【點睛】本題考查求復(fù)合型三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,答題時注意,復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性遵循“同增異減”法則.21、（1）；（2）6.【解析】

（1）設(shè)，，利用三點共線可得的關(guān)系，計算出后由基本不等式求得最小值．從而得直線方程；（2）由（1）中所設(shè)坐標(biāo)計算出，利用基