2023年上海市ＳＯＥＣ高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末復(fù)習(xí)檢測(cè)模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年高一下數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知某地區(qū)中小學(xué)生人數(shù)和近視情況分別如圖1和如圖2所示，為了了解該地區(qū)中小學(xué)生的近視形成原因，用分層抽樣的方法抽取的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則樣本容量和抽取的高中生近視人數(shù)分別為（）A．， B．， C．， D．，2．一個(gè)體積為的正三棱柱（底面為正三角形，且側(cè)棱垂直于底面的棱柱）的三視圖如圖所示，則該三棱柱的側(cè)視圖的面積為（）A． B．3 C． D．123．如圖，在矩形中，，,點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，且，則的最大值是()A． B． C． D．4．已知向量滿足：，，，則（）A． B． C． D．5．下列四個(gè)函數(shù)中，以為最小正周期，且在區(qū)間上為減函數(shù)的是（）A． B． C． D．6．為了了解某同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，對(duì)他的6次數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，作出的莖葉圖如圖所示，則下列關(guān)于該同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)的說法正確的是()A．中位數(shù)為83 B．眾數(shù)為85 C．平均數(shù)為85 D．方差為197．從裝有4個(gè)紅球和3個(gè)白球的袋中任取2個(gè)球，那么下列事件中，是對(duì)立事件的是（）A．至少有1個(gè)白球；都是紅球 B．至少有1個(gè)白球；至少有1個(gè)紅球C．恰好有1個(gè)白球；恰好有2個(gè)白球 D．至少有1個(gè)白球；都是白球8．設(shè)點(diǎn)是函數(shù)圖象士的任意一點(diǎn)，點(diǎn)滿足，則的最小值為（）A． B． C． D．9．在直三棱柱（側(cè)棱垂直于底面）中，若，，，則其外接球的表面積為（）A． B． C． D．10．已知平面向量=（1，－3），=（4，－2），與垂直，則是（）A．2 B．1 C．－2 D．－1二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在中角所對(duì)的邊分別為，若則___________12．在中，，是邊上一點(diǎn)，且滿足，若，則_________.13．已知扇形的半徑為6，圓心角為，則扇形的弧長(zhǎng)為______.14．在正方體中，是的中點(diǎn)，連接、，則異面直線、所成角的正弦值為_______.15．某學(xué)校高一年級(jí)舉行選課培訓(xùn)活動(dòng)，共有1024名學(xué)生、家長(zhǎng)、老師參加，其中家長(zhǎng)256人．學(xué)校按學(xué)生、家長(zhǎng)、老師分層抽樣，從中抽取64人，進(jìn)行某問卷調(diào)查，則抽到的家長(zhǎng)有___人16．在中，若，則____________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知的頂點(diǎn)，邊上的中線所在直線方程為，邊上的高，所在直線方程為.（1）求頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求直線的方程.18．若是各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和，且．（1）求，的值；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．19．在我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中將由四個(gè)直角三角形組成的四面體稱為“鱉臑”.已知三棱維P-ABC中，PA⊥底面ABC.(1)從三棱錐P-ABC中選擇合適的兩條棱填空_________⊥________，則該三棱錐為“鱉臑”;(2)如圖，已知AD⊥PB垂足為D,AE⊥PC，垂足為E,∠ABC=90°.(i)證明:平面ADE⊥平面PAC;(ii)作出平面ADE與平面ABC的交線l,并證明∠EAC是二面角E-l-C的平面角.(在圖中體現(xiàn)作圖過程不必寫出畫法)20．已知向量（1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）在中，，若，求的周長(zhǎng).21．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)的和為，，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】

試題分析：由題意知，樣本容量為，其中高中生人數(shù)為，高中生的近視人數(shù)為，故選B.【考點(diǎn)定位】本題考查分層抽樣與統(tǒng)計(jì)圖，屬于中等題.2、A【解析】

根據(jù)側(cè)視圖的寬為求出正三角形的邊長(zhǎng)為4，再根據(jù)體積求出正三棱柱的高，再求側(cè)視圖的面積?！驹斀狻總?cè)視圖的寬即為俯視圖的高，即三角形的邊長(zhǎng)為4，又側(cè)視圖的面積為：【點(diǎn)睛】理解：側(cè)視圖的寬即為俯視圖的高，即可求解本題。3、A【解析】

把線段最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，建立函數(shù)表達(dá)式，從而求得最值.【詳解】設(shè)，，，，，，，，，，的最大值是.故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，建立合適的函數(shù)關(guān)系式是解決此題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的分析能力及數(shù)學(xué)建模能力.4、D【解析】

首先根據(jù)題中條件求出與的數(shù)量積，然后求解即可.【詳解】由題有，即，，所以.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的模，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】

分別求出四個(gè)選項(xiàng)中函數(shù)的周期，排除選項(xiàng)后，再通過函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間找出正確選項(xiàng)即可.【詳解】由題意觀察選項(xiàng)，C的周期不是，所以C不正確；對(duì)于A，，函數(shù)的周期為，但在區(qū)間上為增函數(shù)，故A不正確；對(duì)于B，，函數(shù)的周期為，且在區(qū)間上為減函數(shù)，故B正確；對(duì)于D，，函數(shù)的周期為，但在區(qū)間上為增函數(shù)，故D不正確；故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)，需熟記正弦、余弦、正切、余切的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】試題分析：A選項(xiàng)，中位數(shù)是84；B選項(xiàng)，眾數(shù)是出現(xiàn)最多的數(shù)，故是83；C選項(xiàng)，平均數(shù)是85，正確；D選項(xiàng)，方差是，錯(cuò)誤．考點(diǎn)：?莖葉圖的識(shí)別?相關(guān)量的定義7、A【解析】

根據(jù)對(duì)立事件的定義判斷．【詳解】從裝有4個(gè)紅球和3個(gè)白球的袋內(nèi)任取2個(gè)球，在A中，“至少有1個(gè)白球”與“都是紅球”不能同時(shí)發(fā)生且必有一個(gè)事件會(huì)發(fā)生，是對(duì)立事件.在B中，“至少有1個(gè)白球”與“至少有1個(gè)紅球”可以同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件.在C中，“恰好有1個(gè)白球”與“恰好有2個(gè)白球”是互斥事件，但不是對(duì)立事件.在D中，“至少有1個(gè)白球”與“都是白球”不是互斥事件.故選：A.8、B【解析】

函數(shù)表示圓位于x軸下面的部分。利用點(diǎn)到直線的距離公式，求出最小值。【詳解】函數(shù)化簡(jiǎn)得。圓心坐標(biāo),半徑為2.所以【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)到直線的距離公式，屬于基礎(chǔ)題。9、A【解析】

根據(jù)題意，將直三棱柱擴(kuò)充為長(zhǎng)方體，其體對(duì)角線為其外接球的直徑，可得半徑，即可求出外接球的表面積．【詳解】∵，，∠ABC=90°，∴將直三棱柱擴(kuò)充為長(zhǎng)、寬、高為2、2、3的長(zhǎng)方體,其體對(duì)角線為其外接球的直徑,長(zhǎng)度為，∴其外接球的半徑為,表面積為=17π.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查幾何體外接球，通常將幾何體進(jìn)行割補(bǔ)成長(zhǎng)方體，幾何體外接球等同于長(zhǎng)方體外接球，利用長(zhǎng)方體外接球直徑等于體對(duì)角線長(zhǎng)求出半徑，再求出球的體積和表面積即可，屬于簡(jiǎn)單題.10、D【解析】

試題分析：，由與垂直可知考點(diǎn)：向量垂直與坐標(biāo)運(yùn)算二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】,；由正弦定理，得，解得.考點(diǎn)：正弦定理.12、【解析】

記,則,則可求出,設(shè),,得,,故結(jié)合余弦定理可得,解得的值,即可求,進(jìn)而求的值.【詳解】根據(jù)題意,不妨設(shè),,則,因,所以,設(shè),由,得,又,所以,故由余弦定理可得,即,整理得:,即,所以,所以,所以,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了余弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,屬于中檔題.13、【解析】

先將角度化為弧度，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式求解.【詳解】因?yàn)閳A心角，所以弧長(zhǎng).故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了角度和弧度的互化以及弧長(zhǎng)公式的應(yīng)用問題，屬于基礎(chǔ)題．14、【解析】

作出圖形，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，取的中點(diǎn)，連接、，推導(dǎo)出，并證明出，可得出異面直線、所成的角為，并計(jì)算出、，可得出，進(jìn)而得解.【詳解】如下圖所示，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，取的中點(diǎn)，連接、，為的中點(diǎn)，則，，且，為的中點(diǎn)，，，在正方體中，且，則四邊形為平行四邊形，，所以，異面直線、所成的角為，在中，，，.因此，異面直線、所成角的正弦值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成角的正弦值的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于中等題.15、16【解析】

利用分層抽樣的性質(zhì)，直接計(jì)算，即可求得，得到答案．【詳解】由題意，可知共有1024名學(xué)生、家長(zhǎng)、老師參加，其中家長(zhǎng)256人，通過分層抽樣從中抽取64人，進(jìn)行某問卷調(diào)查，則抽到的家長(zhǎng)人數(shù)為人．故答案為16【點(diǎn)睛】本題主要考查了分層抽樣的應(yīng)用，其中解答中熟記分層抽樣的概念和性質(zhì)，準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．16、2【解析】

根據(jù)正弦定理角化邊可得答案.【詳解】由正弦定理可得.故答案為：2【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理角化邊，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】

（1）根據(jù)邊上的高所在直線方程求出的斜率，由點(diǎn)斜式可得的方程，與所在直線方程聯(lián)立即可得結(jié)果；（2）設(shè)則，代入中，可求得點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)式可得結(jié)果.【詳解】（1）由邊上的高所在直線方程為得，所以直線AB所在的直線方程為，即聯(lián)立解得所以頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（4,3）（2）因?yàn)樵谥本€上，所以設(shè)則，代入中，得所以則直線的方程為，即【點(diǎn)睛】本題主要考查直線的方程，直線方程主要有五種形式，每種形式的直線方程都有其局限性，斜截式與點(diǎn)斜式要求直線斜率存在，所以用這兩種形式設(shè)直線方程時(shí)要注意討論斜是否存在；截距式要注意討論截距是否為零；兩點(diǎn)式要注意討論直線是否與坐標(biāo)軸平行；求直線方程的最終結(jié)果往往需要化為一般式.18、（1）1，3；（2）.【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，，解得．由數(shù)列為正項(xiàng)數(shù)列，可得．當(dāng)時(shí)，，又，解得．由，解得；（2）由．可得．當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，可得．由．利用裂項(xiàng)求和方法即可得出．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，解得．?dāng)?shù)列為正項(xiàng)數(shù)列，∴．當(dāng)時(shí)，，又，解得．由，解得．（2），∴．∴．當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，．時(shí)也符合上式．∴．．故．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、通項(xiàng)公式、裂項(xiàng)求和方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．19、（1）BC⊥AB或BC⊥AC或BC⊥PB或BC⊥PC.（2）(i)見證明；(ii)見解析【解析】

（1）根據(jù)已知填BC⊥AB或BC⊥AC或BC⊥PB或BC⊥PC均可；（2）(i)先證明PC⊥平面ADE，再證明平面ADE⊥平面PAC;(ii)在平面PBC中，記DE∩BC，=F，連結(jié)AF，則AF為所求的l.再證明∠EAC是二面角E-l-C的平面角.【詳解】（1）BC⊥AB或BC⊥AC或BC⊥PB或BC⊥PC.（2）（i）在三棱錐P-ABC中，BC⊥AB，BC⊥PA，BC∩PA=A，所以BC⊥平面PAB，又AD?平面PAB，所以BC⊥AD，又AD⊥PB,PB∩BC=B，所以AD⊥平面PBC.又PC?平面PBC，所以PC⊥AD，因?yàn)锳E⊥PC且AE∩AD=A，所以PC⊥平面ADE，因?yàn)镻C?平面PAC，所以平面ADE⊥平面PAC.（ii）在平面PBC中，記DE∩BC=F，連結(jié)AF，則AF為所求的l.因?yàn)镻C⊥平面AED，l?平面AED，所以PC⊥l，因?yàn)镻A⊥平面ABC，l?平面ABC，所以PA⊥l，又PA∩PC=P，所以l⊥平面PAC.又AE?平面PAC且AC?平面PAC，所以AE⊥l，AC⊥l.所以∠EAC就是二面角E-l-C的一個(gè)平面角.【點(diǎn)睛】本題主要考查空間線面位置關(guān)系，面面角的作圖及證明，屬于中檔題．20、(1);(2)【解析】

(1)根據(jù)向量的數(shù)量積公式、二倍角公式及輔助角公式將化簡(jiǎn)為，然后利用三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求得的單調(diào)減區(qū)間；(2)由(1)及可求得，由可得，再結(jié)合余弦定理即可