高中數(shù)學(xué)函數(shù)的奇偶性與周期性

高中數(shù)學(xué)函數(shù)的奇偶性與周期性第一頁，共四十三頁，2022年，8月28日1．奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x.(1)f(x)為偶函數(shù)?_________________；(2)f(x)為奇函數(shù)?________________．2．奇、偶函數(shù)的性質(zhì)(1)圖象特征：奇函數(shù)的圖象關(guān)于_______對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于________對稱．f(－x)＝f(x)f(－x)＝－f(x)原點y軸第二頁，共四十三頁，2022年，8月28日(2)對稱區(qū)間上的單調(diào)性：奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上有_______的單調(diào)性；偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上有____的單調(diào)性．(3)奇函數(shù)圖象與原點的關(guān)系：如果奇函數(shù)f(x)在原點有意義，則f(0)＝____.相同相反0第三頁，共四十三頁，2022年，8月28日3．周期性(1)周期函數(shù)：T為函數(shù)f(x)的一個周期，則需滿足的條件：①T≠0；②_______________對定義域內(nèi)的任意x都成立．(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個___________，那么這個____________就叫做它的最小正周期．(3)周期不唯一：若T是函數(shù)y＝f(x)的一個周期，則nT(n∈Z，且n≠0)也是f(x)的周期．f(x＋T)＝f(x)最小的正數(shù)最小的正數(shù)第四頁，共四十三頁，2022年，8月28日1．奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義域具有什么特點？它是函數(shù)具有奇偶性的什么條件？【提示】

定義域關(guān)于原點對稱，必要不充分條件．2．(1)若y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，函數(shù)y＝f(x)的圖象有什么對稱性？(2)如果y＝f(x＋b)是奇函數(shù)，函數(shù)f(x)的圖象有什么對稱性？【提示】

(1)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱；(2)f(x)的圖象關(guān)于點(b，0)中心對稱．第五頁，共四十三頁，2022年，8月28日【答案】

B第六頁，共四十三頁，2022年，8月28日2．已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)，滿足f(x＋4)＝f(x)，則f(8)的值為(

)A．－1 B．0 C．1 D．2【解析】

∵f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是以4為周期的周期函數(shù)．∴f(8)＝f(0)．又函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，∴f(8)＝f(0)＝0，故選B.【答案】

B第七頁，共四十三頁，2022年，8月28日【解析】

y＝f(x＋1)的圖象是由y＝f(x)的圖象向左平移一個單位得到的，而y＝f(x)的圖象的對稱軸為x＝0，故選B.【答案】

B第八頁，共四十三頁，2022年，8月28日4．(2012·陜西高考)下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為(

)A．y＝x＋1 B．y＝－x3C．y＝ D．y＝x|x|【解析】

A選項中的函數(shù)為非奇非偶函數(shù)．B、C、D選項中的函數(shù)均為奇函數(shù)，但B、C選項中的函數(shù)不為增函數(shù)，故選D.【答案】

D第九頁，共四十三頁，2022年，8月28日【解析】

由函數(shù)奇偶性的定義知A、B項為奇函數(shù)，C項為非奇非偶函數(shù)，D項為偶函數(shù)．【答案】

D第十頁，共四十三頁，2022年，8月28日第十一頁，共四十三頁，2022年，8月28日【思路點撥】

先求定義域，看定義域是否關(guān)于原點對稱，在定義域下，帶絕對值符號的要盡量去掉，分段函數(shù)要分情況判斷．第十二頁，共四十三頁，2022年，8月28日第十三頁，共四十三頁，2022年，8月28日(3)顯然函數(shù)f(x)的定義域為：(－∞，0)∪(0，＋∞)，關(guān)于原點對稱．∵當(dāng)x＜0時，－x＞0，則f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；當(dāng)x＞0時，－x＜0，則f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；綜上可知：對于定義域內(nèi)的任意x，總有f(－x)＝－f(x)成立，∴函數(shù)f(x)為奇函數(shù)．

第十四頁，共四十三頁，2022年，8月28日第十五頁，共四十三頁，2022年，8月28日第十六頁，共四十三頁，2022年，8月28日【解析】

(1)∵f(－x)＝3－x＋3x＝f(x)，g(－x)＝3－x－3x＝－g(x)．∴f(x)為偶函數(shù)，g(x)為奇函數(shù)，故選B.【答案】

B第十七頁，共四十三頁，2022年，8月28日第十八頁，共四十三頁，2022年，8月28日②f(x)的定義域為R，關(guān)于原點對稱，當(dāng)x＞0時，f(－x)＝－(－x)2－2＝－(x2＋2)＝－f(x)；當(dāng)x＜0時，f(－x)＝(－x)2＋2＝－(－x2－2)＝－f(x)；當(dāng)x＝0時，f(0)＝0，也滿足f(－x)＝－f(x)．故該函數(shù)為奇函數(shù).第十九頁，共四十三頁，2022年，8月28日【審題視點】

(1)先根據(jù)周期性縮小自變量，再根據(jù)奇偶性把自變量轉(zhuǎn)化到區(qū)間[0，1]上．(2)根據(jù)f(－x)＝－f(x)求解．第二十頁，共四十三頁，2022年，8月28日第二十一頁，共四十三頁，2022年，8月28日1．解答本題(2)時因誤用f(0)＝0而求得a＝1，當(dāng)定義域包含0時，可用f(0)＝0，但應(yīng)注意檢驗．2．(1)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，反之也真．(2)偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上單調(diào)性相反，奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上單調(diào)性相同．(3)①f(x)為偶函數(shù)?f(x)＝f(|x|)；②若奇函數(shù)f(x)在x＝0時有定義，則f(0)＝0.第二十二頁，共四十三頁，2022年，8月28日【解析】

(1)設(shè)x＞0，則－x＜0，∴f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x，又f(－x)＝－f(x)，∴x＞0時，f(x)＝－x2＋x＝ax2＋bx，∴a＝－1，b＝1，∴a＋b＝0.第二十三頁，共四十三頁，2022年，8月28日(2)當(dāng)x≥0時，f(x)＝x2＋2x＝(x＋1)2－1∴函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上為增函數(shù)．又函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，∴函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)．由f(3－a2)＞f(2a)得3－a2＞2a.解得－3＜a＜1.【答案】

(1)0

(2)(－3，1)第二十四頁，共四十三頁，2022年，8月28日 (2013·福州模擬)設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意實數(shù)x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．當(dāng)x∈[0，2]時，f(x)＝2x－x2.(1)求證：f(x)是周期函數(shù)；(2)當(dāng)x∈[2，4]時，求f(x)的解析式；(3)計算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)．【思路點撥】

(1)證明f(x＋4)＝f(x)(2)先求[－2，0]上的解析式，再求[2，4]上的解析式；(3)根據(jù)周期性求解．第二十五頁，共四十三頁，2022年，8月28日【嘗試解答】

(1)∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期為4的周期函數(shù)．(2)當(dāng)x∈[－2，0]時，－x∈[0，2]，由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2.又f(x)是奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2，∴f(x)＝x2＋2x.又當(dāng)x∈[2，4]時，x－4∈[－2，0]，∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)．第二十六頁，共四十三頁，2022年，8月28日又f(x)是周期為4的周期函數(shù)，∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8.從而求得x∈[2，4]時，f(x)＝x2－6x＋8.(3)f(0)＝0，f(2)＝0，f(1)＝1，f(3)＝－1.又f(x)是周期為4的周期函數(shù)，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2008)＋f(2009)＋f(2010)＋f(2011)＝0.∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)＝f(0)＋f(1)＝0＋1＝1.

第二十七頁，共四十三頁，2022年，8月28日第二十八頁，共四十三頁，2022年，8月28日第二十九頁，共四十三頁，2022年，8月28日函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件．1.若奇函數(shù)f(x)在x＝0處有定義，則f(0)＝0.2．設(shè)f(x)，g(x)的定義域分別是D1，D2，那么在它們的公共定義域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．第三十頁，共四十三頁，2022年，8月28日判斷函數(shù)的奇偶性，一般有三種方法：(1)定義法；(2)圖象法；(3)性質(zhì)法．1.若對于R上的任意的x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱．2．若對于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)，且f(2b－x)＝f(x)(其中a＜b)，則：y＝f(x)是以2(b－a)為周期的周期函數(shù)．3．若f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，那么函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，其中一個周期為T＝2|a－b|.第三十一頁，共四十三頁，2022年，8月28日從2012年的高考試題看，有7個省份考查函數(shù)的奇偶性、周期性，主要考查奇偶性的判定，利用奇偶性與周期性求函數(shù)值，與單調(diào)性交匯求解簡單的方程與不等式，多以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，屬中、低檔題目，其中利用函數(shù)的周期性時，應(yīng)注意隱含條件的挖掘．第三十二頁，共四十三頁，2022年，8月28日易錯辨析之三忽視隱含條件的挖掘致誤第三十三頁，共四十三頁，2022年，8月28日【答案】

－2第三十四頁，共四十三頁，2022年，8月28日錯因分析：(1)轉(zhuǎn)化能力差，不能把所給區(qū)間和周期聯(lián)系起來．(2)挖掘不出f(－1)＝f(1)，從而無法求出a、b的值．防范措施：(1)對于周期函數(shù)，應(yīng)注意所給區(qū)間包含幾個周期，有助于我們挖掘隱含條件．(2)對于兩個字母的求值，應(yīng)列兩個方程求解，這也是促使我們挖掘隱含條件的動力．第三十五頁，共四十三頁，2022年，8月28日第三十六頁，共四十三頁，2022年，8月28日【答案】

－10第三十七頁，共四十三頁，2022年，8月28日1．(2012·山東高考)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋6)＝f(x)，當(dāng)－3≤x<－1時，f(x)＝－(x＋2)2；當(dāng)－1≤x<3時，f(x)＝x.則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2012)＝(

)A．335

B．338

C．1678

D．2012【解析】

∵f(x＋6)＝f(x)，∴T＝6.∵當(dāng)－3≤x<－1時，f(x)＝－(x＋2)2；當(dāng)－1≤x<3時，f(x)＝x，∴f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1，f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，第三十八頁，共四十三頁，2022年，8月28日∴f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝f(7)＋f(8)＋…＋f(12)＝…＝f(2005)＋f(2006)＋…＋f(2010)＝1，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2010)＝