第10章無窮級數(shù)

31三月20231傅立葉1768年3月21日生于歐塞爾，1830年5月16日卒于巴黎。9歲父母雙亡，被當(dāng)?shù)亟烫檬震B(yǎng)。12歲由一主教送入地方軍事學(xué)校讀書。17歲（1785）回鄉(xiāng)教數(shù)學(xué)，1794到巴黎，成為高等師范學(xué)校的首批學(xué)員，次年到巴黎綜合工科學(xué)校執(zhí)教。1798年隨拿破侖遠(yuǎn)征埃及時任軍中文書和埃及研究院秘書，1801年回國后任伊澤爾省地方長官。1817年當(dāng)選為科學(xué)院院士，1822年任該院終身秘書，后又任法蘭西學(xué)院終身秘書和理工科大學(xué)校務(wù)委員會主席。

主要貢獻是在研究熱的傳播時創(chuàng)立了一套數(shù)學(xué)理論。1807年向巴黎科學(xué)院呈交《熱的傳播》論文，推導(dǎo)出著名的熱傳導(dǎo)方程，并在求解該方程時發(fā)現(xiàn)解函數(shù)可以由三角函數(shù)構(gòu)成的級數(shù)形式表示，從而提出任一函數(shù)都可以展成三角函數(shù)的無窮級數(shù)。傅立葉級數(shù)（即三角級數(shù)）、傅立葉分析等理論均由此創(chuàng)始。31三月20232一個函數(shù)能表示成冪級數(shù)給研究函數(shù)帶來便利,但對函數(shù)的要求很高(無限次可導(dǎo)).

如果函數(shù)沒有這么好的性質(zhì),能否也可以用一些簡單而又熟悉的函數(shù)組成的級數(shù)來表示該函數(shù)呢?

這就是將要討論的傅里葉級數(shù).傅里葉級數(shù)在數(shù)學(xué)、物理學(xué)和工程技術(shù)中都有著非常廣泛的應(yīng)用,是又一類重要的級數(shù).

返回31三月20233在科學(xué)實驗與工程技術(shù)的某些現(xiàn)象中,

常會碰到一

種周期運動.

最簡單的周期運動,

可用正弦函數(shù)來描述.

由(1)所表達的周期運動也稱為簡諧振動,其中A為振幅.為初相角,為角頻率,于是簡諧

振動y的周期是

較為復(fù)雜的周期運動,則

常常是幾個簡諧振動的疊加：31三月20234由于簡諧振動的周期為所以函數(shù)(2)周期為T.

對無窮多個簡諧振動進行疊加就得到函數(shù)項級數(shù)若級數(shù)(3)收斂,

則它所描述的是更為一般的周期運動現(xiàn)象.31三月20235例如:非正弦周期函數(shù):矩形波不同頻率正弦波逐個疊加31三月2023631三月2023731三月2023831三月2023931三月20231031三月202311第七節(jié)傅立葉級數(shù)

第十章(FourierSeries)一、三角級數(shù)三角函數(shù)系的正交性二、函數(shù)展開成傅立葉級數(shù)三、正弦級數(shù)和余弦級數(shù)四、小結(jié)與思考練習(xí)31三月202312一、三角級數(shù)三角函數(shù)系的正交性(Trigonometricseries)簡單的周期運動:(諧波函數(shù))(A為振幅,復(fù)雜的周期運動:令得函數(shù)項級數(shù)為角頻率,φ為初相

)(諧波迭加)稱上述形式的級數(shù)為三角級數(shù).31三月202313證:同理可證:正交,上的積分等于0.即其中任意兩個不同的函數(shù)之積在定理1組成三角級數(shù)的函數(shù)系31三月202314上的積分不等于0.且有但是在三角函數(shù)系中兩個相同的函數(shù)的乘積在31三月202315二、函數(shù)展開成傅立葉級數(shù)(ExpandingtoFourierseries)定理2

設(shè)f(x)是周期為2的周期函數(shù),且右端級數(shù)可逐項積分,則有證(略)

由定理條件,①②對①在逐項積分,得31三月202316(利用正交性)類似地,用sinkx

乘①式兩邊,再逐項積分可得31三月202317葉系數(shù)為系數(shù)的三角級數(shù)①稱為的傅里葉系數(shù)

;由公式②確定的①②以的傅里的傅里葉級數(shù)

.稱為函數(shù)

31三月202318定理3(收斂定理,狄利克雷(Dirichlet)條件)設(shè)

f(x)是周期為2的周期函數(shù),在[-,]上分段光滑,則f(x)的傅里葉級數(shù)收斂,且有其中為f(x)

的傅里葉系數(shù)

.

注意:

函數(shù)展成傅里葉級數(shù)的條件比展成冪級數(shù)的條件低得多.31三月202319設(shè)

f(x)是周期為2的周期函數(shù),它在上的表達式為解:

先求傅里葉系數(shù)將f(x)展成傅里葉級數(shù).例131三月202320機動目錄上頁下頁返回結(jié)束31三月2023211)

根據(jù)收斂定理可知,時,級數(shù)收斂于2)傅氏級數(shù)的部分和逼近f(x)的情況見右圖.說明:31三月202322總結(jié)：周期函數(shù)展開為傅立葉級數(shù)的步驟：1.求傅立葉系數(shù)2.代入公式，并求收斂情況

x

為間斷點

x

為連續(xù)點31三月202323上的表達式為將f(x)展成傅里葉級數(shù).解:設(shè)

f(x)是周期為2的周期函數(shù),它在例231三月202324說明:

當(dāng)時,級數(shù)收斂于31三月202325周期延拓傅里葉展開上的傅里葉級數(shù)其它總結(jié):定義在[–,]上的函數(shù)f(x)的傅氏級數(shù)展開法31三月202326級數(shù).則解:

將f(x)延拓成以展成傅里葉2為周期的函數(shù)F(x),例3將函數(shù)31三月202327利用此展式可求出幾個特殊的級數(shù)的和.當(dāng)x=0時,f(0)=0,得說明:31三月202328設(shè)已知又31三月202329三、正弦級數(shù)和余弦級數(shù)1.正弦級數(shù)和余弦級數(shù)的概念定理4

對周期為2的奇函數(shù)f(x),其傅里葉級數(shù)為周期為2的偶函數(shù)f(x),其傅里葉級數(shù)為余弦級數(shù)

,它的傅里葉系數(shù)為正弦級數(shù),它的傅里葉系數(shù)為(Sineseriesandcosineseries)31三月202330的表達式為f(x)＝x,將f(x)展成傅里葉級數(shù).是周期為2的周期函數(shù),它在解:

若不計周期為2的奇函數(shù),因此例4設(shè)31三月202331根據(jù)收斂定理可得f(x)的正弦級數(shù):31三月202332展成傅里葉級數(shù).解:是周期為2的周期偶函數(shù),因此例5將周期函數(shù)31三月20233331三月2023341.周期為2的函數(shù)展開為傅立葉級數(shù)的步驟：(1)求傅立葉系數(shù)(2)代入公式，并求收斂情況內(nèi)容小結(jié)：31三月202335周期延拓傅里葉展開上的傅里葉級數(shù)其它2.定義在[–,]上的函數(shù)f(x)的傅氏級數(shù)展開法31三月202336周期延拓F(x)f(x)在[0,]上展成周期延拓F(x)余弦級數(shù)奇延拓偶延拓正弦級數(shù)f(x)在[0,]上展成3.函數(shù)展開為正弦級數(shù)或余弦級數(shù)31三月202337作業(yè)習(xí)題

10-72(1)31三月202338思考練習(xí)1.

在[0,]上的函數(shù)的傅里葉展開法唯一嗎?答:

不唯一,延拓方式不同級數(shù)就不同.傅氏級數(shù)的和函數(shù).2.寫出函數(shù)答案:31三月202339處收斂于則它的傅里葉級數(shù)在在處收斂于

.提示:設(shè)周期函數(shù)在一個周期內(nèi)的表達式為

,3.31三月202340又設(shè)求當(dāng)?shù)谋磉_式.解:

由題設(shè)可知應(yīng)對作奇延拓:由周期性:為周期的正弦級數(shù)展開式的和函數(shù),定義域4.設(shè)31三月202341數(shù)展式為則其中系數(shù)提示:利用“偶倍奇零”(93考研)的傅里葉級5.31三月202342傅里葉(1768–1830)法國數(shù)學(xué)家.他的著作《熱的解析理論》(1822)是數(shù)學(xué)史上一部經(jīng)典性書中系統(tǒng)的運用了三角級數(shù)和三角積分,他的學(xué)生將它們命名為傅里葉級數(shù)和傅里葉積分.

最卓越的工具.以后以傅里葉著作為基礎(chǔ)發(fā)展起來的文獻,他深信數(shù)學(xué)是解決實際問題傅里葉分析對近代數(shù)學(xué)以及物理和工程技術(shù)的發(fā)展都產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響.31三月202343狄利克雷(1805–1859)