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文檔簡介

初中數(shù)學(xué)解題研究:裂項求和問題(分?jǐn)?shù)類)難道者:四川崇州平生曜曜摘要:本文由淺入深介紹了初中數(shù)學(xué)中一些特殊分?jǐn)?shù)串求和的個例,由最初的非裂項歸納手段逐漸過渡到后期的裂項式高效手段,并在本文所議范圍內(nèi)總結(jié)了裂項求和的右腦記憶詩。文中涉及了數(shù)學(xué)解題的部分規(guī)律,如數(shù)學(xué)思想、思維策略等,還模擬了一場教學(xué)啟發(fā)的理想化進(jìn)程。最后筆者把數(shù)學(xué)母題比作一顆星舍,解題就好比是在房舍里整理物飾,有時我們會觸碰到一些窗戶,于里外窺,會洞見星野,星夜?fàn)N爛,牽引導(dǎo)航。文末的最后一道思考題為筆者偶開了一扇視窗,深為動情,隨飲醉吟唱,為覓知音,拋磚引玉,不知幾何!關(guān)鍵詞:單獨(dú)形式,申述,歸納,轉(zhuǎn)化,舊模式,新環(huán)境,做題不能白做,過程與結(jié)論,窺望備注:文本中沒有明顯標(biāo)記行文脈絡(luò),請留意“問題(一)”至“問題(七)”的字眼即可!正文“裂項求和”這個概念所指代的是一種專門針對“某類題”的解題方法,自從此法被命名為“裂項求和”而被考生廣而所知以后,他們便開始以這種高效而冰冷的手法偶逢時機(jī)地收割分?jǐn)?shù)。中、高考分?jǐn)?shù)是進(jìn)入名校的敲門磚,大氣文憑是進(jìn)入理想行業(yè)的敲門磚,足見提高考分是考生的迫切需要,是家長的迫切期待。提高考分總是主管部門難以釋懷的心理情愫,更是達(dá)官草民觀想教學(xué)有效性的無情準(zhǔn)則。面對數(shù)學(xué)考卷上百分之七十到八十的中、低檔考題,考生若不能快速而準(zhǔn)確地作答,就已經(jīng)在時間的掌控上淪為弱者,要想在更短的時間內(nèi)抓獲難題分?jǐn)?shù),若用癡人說夢形之有過,那用力不從心形之可否?裂項求和當(dāng)屬那百分之二十到三十的難題一類,考生在考場若有幸重逢,且能速速斬之,足足可嘆三生有幸。但命題者豈能如此魯莽讓吾等輕易得成?如果裂項求和是初中教材上的基本技能,那么將之設(shè)成中考題的概率極高,但若不是,那么命題者偶卻將之鋪于考卷之上時,意欲又作何為?是想檢驗考生的運(yùn)氣嗎?你看,這個考生恰好掌握了裂項求和的技能,他一下就把分?jǐn)?shù)抓穩(wěn)當(dāng)了!這能是命題者的意圖嗎?真若如此,把燙手類分?jǐn)?shù)全寄掛在考生的運(yùn)氣上,試問這樣的考試何以有公平性可言?所以目前中考若選用裂項求和作為考題,那它一定不會以如下外貌形式單獨(dú)出現(xiàn)在考生眼前:單獨(dú)形式(1):求的值.單獨(dú)形式(2):求的值.單獨(dú)形式(3):求的值.單獨(dú)形式(4):求的值.單獨(dú)形式(5):求的值.單獨(dú)形式(6):求的值.單獨(dú)形式(7):求的值.以上7個外貌形式,(1)、(2)當(dāng)屬一類,(3)可勉強(qiáng)自成一類,(4)、(5)、(6)實(shí)屬一類,(7)必單成一類。但這四種類型都指向裂項求和某一具體題型,都有相應(yīng)的技能策略能有效破之。如果這種“非教材基本技能”的試題以“上述外貌之兇相”公諸于考場,那么不免有人運(yùn)氣極佳,當(dāng)然見好就收,隨之感嘆題海游泳真是靠譜;而有人迷霧重重,自然無能為力,卻要吐槽考試就像打打醬油;但有人迷霧漸散,然則力不從心,必然悲嘆考試時短無不痛苦。這公平嗎?個中理由種種:有的老師講過,有的老師還未講過;有的老師粗略講過,有的老師細(xì)致講過;有的考生練過,有的考生還未練過;有的考生練得一頭霧水,主動遺忘;有的考生練得似是而非,難辨真?zhèn)?;有的考生練得洞若觀火,修成條件反射;有的考生練致明心有悟,修成思維之術(shù)。如果考生憑借“條件反射”而抓到分?jǐn)?shù),那么這是數(shù)學(xué)教學(xué)的成效,讓我們?nèi)秤晤}海吧!如果考生憑借“思維之術(shù)”而掙到分?jǐn)?shù),那么這是數(shù)學(xué)教育的功效,讓我們?nèi)パ芯拷忸}吧!教學(xué)卓有成效,這是敲門磚,它能讓人跨進(jìn)長足發(fā)展的平臺,教育欲求功效,這不是閉門羹,這是手拽庭院敲門磚,腰束廳堂金鑰匙。追尋數(shù)學(xué)教學(xué)與數(shù)學(xué)教育的平衡地帶是筆者呈現(xiàn)弊文之初衷,諸親且容我昏眼欲見明晰,拙手胡作細(xì)微,拋磚引玉一盤,只期奇文共賞。命題者豈能如此魯莽讓吾等輕易得成?還是回歸這個問題繼續(xù)行文,如果命題者欲命制裂項求和的中考題,那么他必然還要在題干上雕花樹葉,葉兒易在解題思路上給考生鋪路,花兒能在解題思維上讓考生明悟。說白了就是要將裂項求和問題以“閱讀理解”的外貌呈現(xiàn),然后設(shè)立問題串,讓考生逐一解答,有難易梯度,層層推進(jìn)。這樣考生即使抓不到滿分,也可以盡量多掙分,命題者意在關(guān)鍵處考查考生識別變式的能力,觸摸考生的閱讀領(lǐng)悟的能力,以及能否恰逢時機(jī)地重組與調(diào)配新舊知識的能力,這明明就是在品酒數(shù)學(xué)教育,翁之意不在布局分?jǐn)?shù),在乎思維導(dǎo)航引領(lǐng)之間也,足見命題用心可謂良苦。廢話少說,上題來,先踩踏那些單獨(dú)形式,讓我們?nèi)v經(jīng)一個跌宕起伏的火熱過程探索,去捕捉一些高效簡練的冰冷數(shù)學(xué)結(jié)論。請有空閑之讀者徐徐推進(jìn)問題(一)至問題(七)的探程:問題(一):求的值.〈申述1〉:假設(shè)學(xué)生能識別出這種裂項題型,并熟練掌握了裂項技能,那么他自然能快速作答.解:原式〈申述2〉:假設(shè)學(xué)生對裂項求和的大名,以及對類似于裂項求和的操作手法,聞所未聞,更假設(shè)這是學(xué)生自己臆造的一道題,那么他自然不會肯定此題應(yīng)有簡便方法,甚至他壓根就不會去探索此題有無所謂簡便方法。他充其量大致去觀想一下,哦!原式可化為:,然后利用通分絕對可以做出來,接下來他會自嘲道:“誰會閑著沒事去思考這個毫無價值而又不著邊際的問題,我承認(rèn)這個問題是有結(jié)果,但這與沒有結(jié)果難道會有分別嗎?”〈申述3〉:假設(shè)這是一道考試題,且假設(shè)此考生對裂項求和聞所未聞,又假設(shè)此考生是一個愛動腦筋,且又知道“怎樣去動腦筋”的人,最后還必須針對考試策略問題補(bǔ)充一個假設(shè),即該考生把卷子上的其它題都做好了,他目前正為此題燒腦,有強(qiáng)烈的掙分決心!那么,這個聰明的娃兒會怎樣去想呢?或者說平時遇到這道題,他的老師該怎樣引導(dǎo)他去探索呢?對了!當(dāng)我們在思考“復(fù)雜的大數(shù)字”問題,亦或是“抽象的字母”問題時,如果我們感到一頭霧水,不明就里,那么我們可以先借助一些“具體而簡單”的數(shù)字來充當(dāng)我們的“助探”,即所謂投石問路。等悟出了個中玄機(jī),我們再回首處置,才顯游刃有余,此恰迎合見機(jī)行事一說,可謂不見玄機(jī),不去莽撞。站在思維方式策略的角度來看,這是暫棄“一般性”,先究“特殊性”?!刺剿鳌担何覀儠簳r拋棄原題,先來探究一些簡單的復(fù)雜“輔助題”:①、求答:;②、求答:;③、求答:;如果還未見個中玄機(jī),我們可以再多投幾個石頭,直到前路明朗!④、求答:;……當(dāng)序列號為“n”時,容易歸納出其中規(guī)律,回歸“一般性”:現(xiàn)在考生可以開始解題作答:求的值.解:原式充其量,像這樣來彌補(bǔ):解:∵∴筆者按:但如果認(rèn)為“問題(一)”到此已宣告解決,那未必然!且繼續(xù)往下看:問題(二):求的值.〈申述1〉:假設(shè)甲考生參與了“問題(一)”的聽講,并且他“自認(rèn)為記住”了下列結(jié)論:再假設(shè)他還沒有跨越“簡單模仿”,不會順利應(yīng)對“變式訓(xùn)練”,那么他可能產(chǎn)生以下思維:(錯解一)解:原式求的值.(錯解二)解:原式〈申述2〉:假設(shè)乙考生同樣經(jīng)歷了“問題(一)”之火熱而豐富的思維過程,并且“安全地記住”了我們歸納出的以下這個冰冷而美麗的數(shù)學(xué)結(jié)論:那么這個乙考生自然就會識別出“問題(一)”與“問題(二)”的“起點(diǎn)”是不同的,他知道記憶中的“舊模式”不能照搬運(yùn)用到當(dāng)下遭遇的“新環(huán)境”中。但乙考生在“問題(一)”之火熱而豐富的思維過程中學(xué)到了一些思維的伎倆,即:暫時放置一般,先去探究特殊,而后再從特殊現(xiàn)象去歸納一般規(guī)律。于是乙考生先開始這樣探索一些輔助題:①、當(dāng)時,②、當(dāng)時,;③、當(dāng)時,④、當(dāng)時,答案與的取值有怎樣的關(guān)系?回答是:雜亂無章!再投一個石頭看看,如果情況不妙,就果斷放棄!⑤、當(dāng)時,果然規(guī)律很不明朗,看來再投更多的石頭也擊不出“心靈的水花”,算了撤飄走人!筆者按:此情此景,乙考生走得機(jī)智!但如此白忙一場,可惜?。∑渲杏泄τ羞^,忙這一場是有功,這是他思維開始趨向成熟的表現(xiàn),相比那些根本不知道“還可以像這樣”來忙一場的解題者來說,乙類考生已經(jīng)勝了一籌,他畢竟道心堅毅且有章法;只不過白忙了一場算是有過,或者說沒有“更進(jìn)一步”去分析數(shù)據(jù)才是他之過失。他其實(shí)已經(jīng)離答案不遠(yuǎn)了,只不過因缺少一些“分析技巧”而顯得無可奈何罷了。從這個層面來講,教師的存在確實(shí)是有必要的!教師需再對“乙類考生”的思維作引導(dǎo)確實(shí)不是一件可有可無的事情?,F(xiàn)在讓我們把數(shù)據(jù)湊攏一堆:我們仔細(xì)審視也難以發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律,但可以適當(dāng)“微調(diào)”上述結(jié)果:把數(shù)據(jù)微調(diào)一下:如此微調(diào)就出現(xiàn)了一個契機(jī),規(guī)律在哪兒?分子都是,但分母與取值的聯(lián)系實(shí)屬難以觀察。如果考生已接受過“函數(shù)思想”的教育,那么讓他憑借“待定系數(shù)法”去“觀想、輪換、驗證”分母與之間的函數(shù)關(guān)系,這就不失為尋得了一絲可以滲入內(nèi)里的隙縫,當(dāng)然此路之艱辛也可想而知。在列表(一)中,輔助題答案的分子、分母皆在變化,我們可以通過微調(diào)手段,先讓這二者中只有一者處于變化狀態(tài)。這正如物理學(xué)研究中的那種慣常的手法,為了搞清一種尚不明晰的函數(shù)關(guān)系,假設(shè)我們已經(jīng)弄清這個關(guān)系與某個物理量有關(guān),但因在探究過程中這個物理量的取值都處于變化狀態(tài),便讓人更難以捉摸這個“復(fù)雜”的函數(shù)關(guān)系。這時我們可以先控制住其中的“-1”個物理量,讓它們乖乖地維持不變狀態(tài),再任由“第個”物理量自由變化,那么這個復(fù)雜的函數(shù)關(guān)系便會逐漸明朗起來,以至最后它會成為我們探索其它領(lǐng)域的“星艦”,列表(二)便是在這樣的“念頭”下應(yīng)運(yùn)而生的。從另一方面來說,任何人都可以認(rèn)真去回味,在乙考生“通分”探索的過程中,有一“結(jié)構(gòu)”始終交織在運(yùn)算數(shù)據(jù)中,這種結(jié)構(gòu)就是:,其中的取值當(dāng)然在變,但這種“結(jié)構(gòu)關(guān)系”卻是定格不變的,懂得“通項公式”的考生是極容易嗅出其中氣味的?,F(xiàn)下我們有了一個好念頭,至于它是否能幫助我們成就大事,搞一下不就知道了!我們借助微調(diào)手段讓“乙考生輔助題”中的每一個分母都定格為“”形式,那么列表(三)便出現(xiàn)在我們的視野之中:控制變元之后的數(shù)據(jù):列表(3)中,分母的規(guī)律當(dāng)然是:,分子的規(guī)律明顯了嗎?如果仍覺不太明顯,那么我們改變分子的形式,繼續(xù)給出列表(4):從列表(4)可以歸納出,當(dāng)時,其中的分子輔助題最終結(jié)果經(jīng)歷了如此坎坷的心路歷程,我們終于可以幫助乙考生完成他的解答:問題(二):求的值解:∵∴〈申述3〉:假設(shè)教師在引導(dǎo)丙類考生解決“問題(一)”時,同樣經(jīng)歷了火熱而細(xì)膩的“歸納”過程,并且學(xué)生也“準(zhǔn)確地記住”了這個冰冷而美麗的數(shù)學(xué)結(jié)論:以上假設(shè)決定了,丙考生不會去犯“甲類考生”的錯誤,但他們在毫無辦法的情況下,非常容易去步“乙類考生之高運(yùn)算、高技巧”的后塵。此時我們再假設(shè)丙類考生比較明智地放棄了乙考生的思路,不愿去歸納如下結(jié)論:那么在教師和丙同學(xué)之間可以有一場“理想化”對話:問題(二):求的值師:這道題可以直接用“結(jié)論(一)”來處理,對吧?生:不對!好像不可以!師:咦!怎么會不可以呢?生:在結(jié)論(一)這個“舊模式”中,分母的起點(diǎn)是“”,但在問題(二)這個“新環(huán)境”中,分母的起點(diǎn)卻是“”,所以不能直接用來解決此題!師:那,你說怎樣去處理呢?生:呃……步乙同學(xué)的后塵!從特殊去歸納一般吧!師:呃……別耍無賴!我們不是早說好的不行乙同學(xué)的無奈之舉嗎?生:那我不知道咋辦了!師:你記得結(jié)論(一)嗎?生:記得!師:我再問,你確定你準(zhǔn)確地記得結(jié)論(一)嗎?生:(笑了),我再答,我確定我準(zhǔn)確地記得!師:看看這道題,你會做嗎?助探題(Ⅰ):求的值.生:(一晃眼,便回答),我當(dāng)然會做,閉上眼睛也會!這個題與記憶中的結(jié)論(一)相比,沒有本質(zhì)上的區(qū)別!師:也就是說,此妖難逃尊駕法眼?生:嘿嘿!尊駕,過獎了!師:看看這道題,你會做嗎?助探題(Ⅱ):求的值.生:(細(xì)細(xì)審查一番),我自然同樣不會!如果此題我會做,我們還哪用得著如此廢話連篇?師:勞煩閣下再看看這道題,會做嗎?助探題(Ⅲ):求的值.生:……(苦笑,但略有思索)師:那么尊駕再欣賞下此題呢?助探題(Ⅳ):求的值.生:……(眉宇緊鎖,拳頭緊了又松,松了又緊)師:呵呵!讓在下充當(dāng)你的書童,幫你把草稿收攏一堆,請君過目:①、求的值.②、求的值③、求的值.④、求的值.⑤、……???生:……對啊!它們越來越近了!老師!我好像會做了!……對了!對話可以就此結(jié)束。教師此時有話,也盡量憋著不說。等那類丙同學(xué)先去做做問題(二),回頭再說不遲!問題(二):求的值丙類同學(xué)的書寫:解:∵∴師:你的解法非常干練,真精彩!我忍不住須要采訪你一下!在解法的探索過程中,你曾自言自語,“對啊!它們越來越近了!”,請問“越來越近”指的是什么意思?生:是指“書童”整理的草稿中,第②、③、④題離第⑤題越來越近了!而第⑤題當(dāng)然就是第①題!師:那為什么對于“問題(二)”,你開頭不會做,剎割又會做了呢?生:因為我看到了那種“越來越近”的變化,而這種變化似乎“在冥冥之中”牽引著我把“問題(二)”按著“問題(一)”的模樣轉(zhuǎn)化!師:好一個“冥冥之中”!老師采訪你的原因就是要把你腦海中那種“偶發(fā)的念頭”轉(zhuǎn)變成你思維中某一“自覺的意識”,這樣才有助于修煉思維,高效解題。師:你把“問題(二)”按著“問題(一)”的模樣轉(zhuǎn)化!實(shí)際上就是把一道“做不起的題”變成了一道與之相關(guān)的“拿手好戲”對吧?生:對!……對!果然如此!師:實(shí)際上,連你自己都沒有意識到,你在不知不覺中使用了一種非常重要的數(shù)學(xué)思想方法,即化歸思想,這當(dāng)然也是一種非常精彩而有效的思維方式策略?;瘹w,就是轉(zhuǎn)化歸結(jié)的意思,它是我們解決問題的“好助探”。師:我們在解題時,一般總是將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題;將難解問題轉(zhuǎn)化為易解問題;將未解決的問題轉(zhuǎn)化為已解決的問題??傊?,化歸在數(shù)學(xué)解題中幾乎無處不在,化歸的基本功能是:遇生疏就往熟悉轉(zhuǎn)化,遇復(fù)雜就往簡單轉(zhuǎn)化,遇抽象就往直觀轉(zhuǎn)化,遇含糊就往明朗轉(zhuǎn)化。師:這不是一朝一夕就可領(lǐng)悟的,必須做“適量”的題,才能觸碰“自發(fā)領(lǐng)悟”的心弦,最后養(yǎng)成“自覺分析”的習(xí)慣!……言歸正傳,這段“理想”對話中的乙類學(xué)生,必須是學(xué)習(xí)主動性高的優(yōu)生!他們在歷經(jīng)“高效”解題的過程中會不斷提升“高效”探索的思維素養(yǎng)?!绻?,〈申述3〉:假設(shè)在“書童”所堆積的第“①——⑤”道輔助題中,學(xué)生仍然沒有參透玄機(jī),未能覺察出將問題(二)“化歸”為問題(一)的趨勢,那么教師可以怎樣去調(diào)整自己對學(xué)生的思維引導(dǎo)呢?師:問題(二)要得到解決確實(shí)有些困難!現(xiàn)在讓我們暫時放下個中糾結(jié),先來做一做老師為大家準(zhǔn)備的另一道“可能與問題(二)”相關(guān)的題,看誰能解決它,請看:助探題(Ⅴ):已知:,,求:的值.生:(略作思考)……答案是:.生:哦!好主意,我想到怎樣解決問題(二)!生:咦!我也有辦法了!(學(xué)生有了一定程度的“自發(fā)領(lǐng)悟”)……接下來學(xué)生就能比較干練地寫出問題(二)的解題過程了!……再接下來教師可以火上澆油,趁熱打鐵.師:大家不妨再來看一題:助攻題(Ⅵ):已知:求:線段的長.生:(通過簡單的畫圖分析)……答案是:.師:此情此景,為什么要出示這樣一道題給大家做?生:因為它們有相似之處!師:其中韻味之妙,異曲同工,看來數(shù)學(xué)中確有東西是可以進(jìn)行類比的,看來有些問題確實(shí)可以通過類比思維來探索解法。筆者按:但如果認(rèn)為“問題(一)、(二)”到此可宣告解決,那未必然!且繼續(xù)往下看:問題(三):求的值.〈申述1〉:假設(shè)考生一眼就識別出本題與“記憶中的舊模式”不一樣,即不能直接用下列公式:,因為本題的“起始項”是,而不是;“終止項”是,而不是,這些特征不是那類未能跨越“簡單模仿”的“急性子”所能識破的!固然,待求式但當(dāng)取正偶數(shù)時,嗎?稍作檢驗就會發(fā)現(xiàn)異端!那么上式該等于什么?難道“又要”利用輔助題,先來研究特殊,再去歸納一般嗎?這樣做讓我們覺得困倦不說,關(guān)鍵是作對了,也是白做!因為我們花了大量的時間,只是在實(shí)踐“從特殊歸納一般”這種正確的“過程方法”,卻沒有在這一“耗時、傷神”的過程之后研發(fā)出一種“高效、易記”的“通用結(jié)論”。不妨這樣來形容一下,你用對了“從特殊歸納一般”的思維方法,結(jié)果,你確實(shí)厲害,你今天弄懂了:但我明天再考你:〈申述2〉:假設(shè)有考生在研究他基于“化歸思想”,產(chǎn)生了一個念頭,他抱著試一試的心態(tài)去搞了一下:又∵∴這一試,果然一下子就試出了結(jié)果!你說這個考生以后對“化歸思想”的運(yùn)用能不感興趣嗎?接下來,我們鼓勵這個考生去嘗試一下,看是否能將“”成功化歸為他本人的“拿手好戲”。當(dāng)他感到困難重重時,我們再友善地提醒,“〈申述1〉”中所提到的探索“通用結(jié)論”的話題是一個不容回避的“明智之舉”!〈申述3〉:假如我們愿意故地重游,假如我們愿意溫故知新,假如我們愿意去領(lǐng)略另一番不同的風(fēng)景,那么讓我們脈動回去:問題(一):求的值.其實(shí)我們早已知道:當(dāng)然就該知道:尤其還知道:①、②、③、④、對數(shù)據(jù)加以微調(diào),我們?nèi)菀字溃孩?、②、③、④、而以上特殊事例讓我們“猜測”:結(jié)論似乎只與“一頭一尾”有關(guān)???再看:那么,中間的項到底跑到哪兒去了???它們不會無緣無故地消失,只能在運(yùn)算中相互抵消了?。?!那么,“中間項”是怎樣相互抵消的?可以觀想一下嗎?①、②、③、④、最后,以上問話都容易得到證實(shí),所以,于是可以理解:問題(一):求的值.解:那么,請看:問題(二):求的值.由于受到“線段和差”手段的影響,學(xué)生可能“稀有”如下解答:解:如果“真正理解”了:,那么完全可以直接裂項求解:解:現(xiàn)在公式(三)的誕生,好似給大家打了一針“雞血”。在興奮之余,讓我們回歸“問題(三)”,看看我們能否“變式應(yīng)對”:問題(三):求的值.〈申述4〉:假設(shè)考生自認(rèn)為“準(zhǔn)確地記住”了“公式(三)”,那么他的興奮會驅(qū)使他這樣解題:解:〈申述5〉:假設(shè)考生真正“安全地記住”了:,那么他一眼就能識別出“新環(huán)境”中的:、……這些可惡家伙,不是存在于記憶“舊模式”中的“”,而是新出現(xiàn)的“”.也就是說,如果成立,那么“〈申述4〉”中的解法就正確,反之非也!這考生定會思忖,嗎???搞一下不就曉得了?。。∮纱耍孩?、,;②、,;③、,;可猜:∴筆者按:這里需呼應(yīng)一下,插入前面一個問題,容易由“”得:〈申述6〉:假設(shè)該考生對“后續(xù)思維”作了研究,那么他離“真理”將越來越近:①、已經(jīng)知道:②、已經(jīng)知道:③、還想知道:④、還想知道:……實(shí)際上,③、④都容易得到證明!于是我們可以從以上“特殊性事例”中歸納出“一般性結(jié)論”:筆者按:自此問題(一)、(二)、(三)可以宣告解決!剩下的“變式訓(xùn)練”都貌似“小兒科”???請往下看:問題(四):求的值.〈申述1〉:有一種“魯莽者”經(jīng)常連“蘋果與石頭”都不去分清楚,他們視覺明明掃視到的是“3”,結(jié)果在思維里卻偏要當(dāng)作是“1”。究其原由雖可歸結(jié)為沒有經(jīng)歷適量的“變式訓(xùn)練”,但主觀原因不容忽視,且不能簡單歸因于“我好晃”,其實(shí)質(zhì)往往是主體沒有養(yǎng)成“科學(xué)審題”的習(xí)慣,連最起碼的諸如“本題的已知條件是什么?已知條件有什么?本題與以往的類似題真的完全一樣嗎?”像這樣的過場都不去走走!如此魯莽的錯解,我也不作展示罷了?!瓷晔?〉:假設(shè)某考生訓(xùn)練有素,早就深諳“科學(xué)審題”的妙訣。他讀完題后自然就看出“新環(huán)境”與“舊模式”間有所不同,這種不同雖然不是“蘋果與石頭”之間的大差別,但至少有“蘋果甲、乙”之間的小差異。接下來這個考生開始思索如何才能把眼前這道“非常眼熟”的新題“轉(zhuǎn)化”為心中那道“十拿九穩(wěn)”的舊題?一旦他開始邁出如此思考的第一步,破題念頭便會轉(zhuǎn)瞬即拾:求的值.解:問題(五):求的值.〈申述1〉:既然大家能忍耐讀至弊文此處,那若非早已輕車熟路,一定早已鬧心傷神!那咱也啥都不用說了!依據(jù)和“化生為熟”的伎倆,可以開解:解:〈申述2〉:假如我們時常愛引導(dǎo)學(xué)生作“解題反思”,那么隨著解題量的增加,一些朦朧的“新東西”會不斷地滲入我們的腦海,而我們必須要有意識地將之清晰化,這是一個不斷完善和重組自我認(rèn)知結(jié)構(gòu)的螺旋上升過程,基于此過程,我們的智慧得以豐富,而在如此豐富智慧的過程中,我們的思維之刃也在此類“潤濕磨礪”上來回游舞著,讓人洞察心扉,探觸腦海。所以水既到,渠可成,這個可以有:筆者按:永遠(yuǎn)不要以為我們已經(jīng)腳踏實(shí)地,手觸天花了,請繼續(xù)往下走幾步:問題(六):求的值.〈申述1〉:前番言及有一種“魯莽者”經(jīng)常不主動去分清楚“蘋果與石頭”,他們遇到外觀似蘋果,內(nèi)里是石頭的“假蘋果”,總是放心、果斷地一口“吞下去”,結(jié)果就給考試丟分了!解:貌似一目了然,放心捕食,實(shí)則霧里看花,管中窺豹!我們常常如此這般一不小心,就掉進(jìn)別人設(shè)置的陷阱中!〈申述2〉:假設(shè)你運(yùn)氣不佳,縱然沒能識破這個“假蘋果”,但你可以先咬它一咬,些許就能發(fā)覺端疑,隨后再剖查觸碰一番,自然能明了就里,屆時你就會在有驚無險的感嘆之余,慶幸自己沒有“魯莽生吞”,結(jié)果就給考試添彩了!解:在這里,我們引入了許多“小括號”來充當(dāng)解題者的“助探”,或者充當(dāng)講述者的“助教”。通過認(rèn)真審查,我們發(fā)現(xiàn)每一個括號中有兩個數(shù),且每一個括號里的第一個數(shù)總被此括號前面“跳一個”括號里的第二個數(shù)抵消,每一個括號里的第二個數(shù)總被此括號后面“跳一個”括號里的第一個數(shù)抵消。如果用數(shù)學(xué)符號語言來闡述,我們?nèi)羧我庖?guī)定其中一個括號為“數(shù)軸上的原點(diǎn)”,那么這個括號里的兩個數(shù),可分別用“”來表示,于是這個括號的前面第一個括號里的兩個數(shù),可分別用“”來表示,再往前的括號里有“”,作為“原點(diǎn)”的那個括號,它后面第一個括號里的兩個數(shù)可記為“”,再往后又是“”……對于“問題(六)”,最后我們探索出的結(jié)論是:,,這個結(jié)論的意思當(dāng)然就是“前一段”的文字語言表述。筆者按:當(dāng)我們品味了“問題(六)”之后,本文關(guān)于“分?jǐn)?shù)裂項求和”的主旨也就得到了一定程度的詮釋,問題(六)除了讓我們學(xué)會解題不要掉以輕心,當(dāng)然也在我們的裂項視野中打開了一扇窗口,借著這扇窗口我們可以往外窺視一番:問題(七):求的值.要求:本題同學(xué)自行解答。提示:此題只做到“倒數(shù)第二步”就可以了!提問:裂項后,哪些項抵消了?哪些項留下了?項的去留規(guī)律,是否可以用“,”來表述?請回歸我們的“約定”去加以理解!你有比上述約定“更簡潔明了、更容易操作”的技巧嗎?筆者按:做題不能白做,做典型“母題”更不可白做!最后收網(wǎng)捕魚,要注重魚漁兼收,魚是以后能高效解答“主觀題”的“常用結(jié)論,”亦或是能高效解答“客觀題”的“有趣結(jié)論”,而漁是以后能“高效”或“有效”解決問題的“數(shù)學(xué)思想方法”和“思維方式策略”。魚之結(jié)論有:漁之手段有:歸納,類比,分類討論,回歸定義、約定學(xué)習(xí)方法:注重結(jié)果,更重過程!解題習(xí)慣:記準(zhǔn)舊模式,辨清新環(huán)境!以后怎樣做此類“裂項求和”類的題型?答:溫情提示:利用公式(五)裂項,利用結(jié)論(六)留項!右腦記憶:分?jǐn)?shù)串相加,通分若神傷;放心去裂項,內(nèi)差擔(dān)當(dāng);小心慎留項,外隔看跳消;隔距隱玄機(jī),首尾皆有章!筆者按:永遠(yuǎn)不要以為我們已經(jīng)腳踏實(shí)地,能夠手觸天花了!腳踏實(shí)地是前提,手觸天花只是我們追逐的夢想。任何一道裂項求和的問題都能自成一顆星宿,而這一顆星宿恰似一間宿舍,解題者身處此間,透過四周的窗壁,我們得以洞見窗外星空,那里繁星飛花,引領(lǐng)人之神往,那里無限深邃,吟唱人之渺??!感嘆腳踏實(shí)地只是處事態(tài)度,仰望星空才是處事章法

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