北師大版三角形的證明全章節(jié)復(fù)習(xí)題

等腰三角形（基礎(chǔ)）知識(shí)講解【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解等腰三角形、等邊三角形的有關(guān)概念,掌握等腰三角形的軸對(duì)稱性；2.掌握等腰三角形、等邊三角形的性質(zhì)，會(huì)利用這些性質(zhì)進(jìn)行簡單的推理、證明、計(jì)算和作圖．3.理解并掌握等腰三角形、等邊三角形的判定方法及其證明過程.通過定理的證明和應(yīng)用，初步了解轉(zhuǎn)化思想，并培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力、分析問題和解決問題的能力.4.理解反證法并能用反證法推理證明簡單幾何題.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、等腰三角形的定義1.等腰三角形有兩條邊相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的兩條邊叫做腰，另一邊叫做底，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫做底角.如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC為腰，BC為底邊,∠A是頂角，∠B、∠C是底角．2.等腰三角形的作法已知線段a,b(如圖).用直尺和圓規(guī)作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a.作法：1.作線段BC=a；2.分別以B,C為圓心，以b為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)A;3.連接AB,AC.△ABC為所求作的等腰三角形3.等腰三角形的對(duì)稱性(1)等腰三角形是軸對(duì)稱圖形；(2)∠B＝∠C；(3)BD＝CD，AD為底邊上的中線.(4)∠ADB＝∠ADC＝90°，AD為底邊上的高線.結(jié)論：等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，頂角平分線(底邊上的高線或中線)所在的直線是它的對(duì)稱軸.4.等邊三角形三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形.也稱為正三角形.等邊三角形是一類特殊的等腰三角形，有三條對(duì)稱軸，每個(gè)角的平分線(底邊上的高線或中線)所在的直線就是它的對(duì)稱軸.要點(diǎn)詮釋：（1）等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝.（2）等邊三角形與等腰三角形的關(guān)系：等邊三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等邊三角形.要點(diǎn)二、等腰三角形的性質(zhì)1.等腰三角形的性質(zhì)性質(zhì)1：等腰三角形的兩個(gè)底角相等，簡稱“在同一個(gè)三角形中，等邊對(duì)等角”．推論：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每個(gè)內(nèi)角都等于60°.性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上中線和高線互相重合.簡稱“等腰三角形三線合一”．2.等腰三角形中重要線段的性質(zhì)等腰三角形的兩底角的平分線（兩腰上的高、兩腰上的中線）相等.要點(diǎn)詮釋：這條性質(zhì)，還可以推廣到一下結(jié)論：（1）等腰三角形底邊上的高上任一點(diǎn)到兩腰的距離相等。（2）等腰三角形兩底邊上的中點(diǎn)到兩腰的距離相等.（3）等腰三角形兩底角平分線，兩腰上的中線，兩腰上的高的交點(diǎn)到兩腰的距離相等，到底邊兩端上的距離相等.（4）等腰三角形頂點(diǎn)到兩腰上的高、中線、角平分線的距離相等.要點(diǎn)三、等腰三角形的判定定理1.等腰三角形的判定定理如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這個(gè)三角形是等腰三角形.可以簡單的說成：在一個(gè)三角形中，等角對(duì)等邊.要點(diǎn)詮釋：(1)要弄清判定定理的條件和結(jié)論，不要與性質(zhì)定理混淆．判定定理得到的結(jié)論是等腰三角形，性質(zhì)定理是已知三角形是等腰三角形，得到邊和角關(guān)系.（2）不能說“一個(gè)三角形兩底角相等，那么兩腰邊相等”，因?yàn)檫€未判定它是一個(gè)等腰三角形．2.等邊三角形的判定定理三個(gè)角相等的三角形是等邊三角形.有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形.3.含有30°角的直角三角形定理：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.要點(diǎn)四、反證法在證明時(shí)，先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，然后從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過逐步推導(dǎo)論證，最后推出與學(xué)過的概念、基本事實(shí)，以證明的定理、性質(zhì)或題設(shè)條件相矛盾的結(jié)果，從而證明命題的結(jié)論一定成立，這種證明命題的方法叫做反證法.要點(diǎn)詮釋：反證法也稱歸謬法，是一種間接證明的方法，一般適用于直接證明有困難的命題．一般證明步驟如下：（1）假定命題的結(jié)論不成立；

（2）從這個(gè)假設(shè)和其他已知條件出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出與學(xué)過的概念、基本事實(shí)，以證明的定理、性質(zhì)或題設(shè)條件相矛盾的結(jié)果；

（3）由矛盾的結(jié)果，判定假設(shè)不成立，從而說明命題的結(jié)論是正確的.【典型例題】類型一、等腰三角形中有關(guān)角度的計(jì)算題1、如圖，在△ABC中，D在BC上，且AB＝AC＝BD，∠1＝30°，求∠2的度數(shù).

舉一反三：【變式】已知：如圖，D、E分別為AB、AC上的點(diǎn)，AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE，求∠B的度數(shù)．類型二、等腰三角形中的分類討論2、在等腰三角形中，有一個(gè)角為40°，求其余各角．3、已知等腰三角形的周長為13，一邊長為3，求其余各邊．舉一反三：【變式】已知等腰三角形的底邊BC＝8，且|AC－BC|＝2，那么腰AC的長為()．A．10或6B．10C．6D．8或6類型三、等腰三角形的性質(zhì)及其運(yùn)用4、如圖，在△ABC中，邊AB＞AC．求證：∠ACB＞∠ABC舉一反三：【變式】已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，BD是中線，延長BC至點(diǎn)E，使CE=CD．求證：DB=DE．5、已知：如圖，△ABC的兩條高BE、CD相交于點(diǎn)O，且OB=OC，求證：△ABC是等腰三角形．舉一反三【變式1】如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAD=∠CAE，點(diǎn)D、E在BC上，試說明△ADE是等腰三角形．類型三、含有30°角的直角三角形6.如圖所示，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足是D，∠A=60°.求證：BD=3AD.舉一反三：

【變式】如圖，等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)P，AP=3，BP=4，CP=5，求∠APB的度數(shù)．類型四、反證法7.求證：在一個(gè)三角形中，至少有一個(gè)內(nèi)角小于或等于60°。舉一反三：【變式】下列選項(xiàng)中，可以用來證明命題“若a2＞1，則a＞1”是假命題的反例是（）A.a=—2B.a=—1C.a=1D.a=2【鞏固練習(xí)】一.選擇題1.已知一個(gè)等腰三角形兩邊長分別為5，6，則它的周長為()A．16 B．17C．16或17 D．102.用反證法證明命題：如果AB⊥CD，AB⊥EF，那么CD∥EF，證明的第一個(gè)步驟是（）A.假設(shè)CD∥EF;B.假設(shè)AB∥EFC.假設(shè)CD和EF不平行D.假設(shè)AB和EF不平行3.將兩個(gè)全等的且有一個(gè)角為30°的直角三角形拼成如圖所示形狀，兩條長直角邊在同一條直線上，則圖中等腰三角形的個(gè)數(shù)是（）A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)4.已知實(shí)數(shù)x，y滿足|x?4|+(y?8)2＝0，則以x，y的值為兩邊長的等腰三角形的周長是（）A．20或16 B．20C．16 D．以上答案均不對(duì)5.如圖，D是AB邊上的中點(diǎn)，將沿過D的直線折疊，使點(diǎn)A落在BC上F處，若，則度數(shù)是（）A．60°B．70°C．80°D．不確定6.如圖，在△ABC中，AB=AC，BD是∠ABC的平分線，若∠ADB=93°，則∠A=（）A．31° B．46.5° C．56° D．62°二.填空題7．如圖，△ABC中，D為AC邊上一點(diǎn)，AD＝BD＝BC，若∠A＝40°，則∠CBD＝_____°．

8.等腰三角形的頂角比其中一個(gè)底角大30°，則頂角的度數(shù)為．9.用反證法證明“如果同位角不相等，那么這兩條直線不平行“的第一步應(yīng)假設(shè)_________.10.等腰三角形的一個(gè)角是70°，則它的頂角的度數(shù)是.11.如圖，AD是△ABC的邊BC上的高，由下列條件中的某一個(gè)就能推出△ABC是等腰三角形的是_________．（把所有正確答案的序號(hào)都填寫在橫線上）①∠BAD=∠ACD；②∠BAD=∠CAD；③AB+BD=AC+CD；④AB﹣BD=AC﹣CD．12.如圖，△ABC的周長為32，且AB=AC，AD⊥BC于D，△ACD的周長為24，那么AD的長為.三.解答題13．已知：如圖，ΔABC中，AB＝AC，D是AB上一點(diǎn)，延長CA至E，使AE＝AD．試確定ED與BC的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．14.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于點(diǎn)E．AD⊥CE于點(diǎn)D．求證：△BEC≌△CDA．15.用反證法證明：等腰三角形的底角是銳角．角的平分線的性質(zhì)（基礎(chǔ)）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．掌握角平分線的性質(zhì)，理解三角形的三條角平分線的性質(zhì)．2．掌握角平分線的判定及角平分線的畫法．3.熟練運(yùn)用角的平分線的性質(zhì)解決問題．【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、角的平分線的性質(zhì)角的平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.

要點(diǎn)詮釋：

用符號(hào)語言表示角的平分線的性質(zhì)定理：

若CD平分∠ADB，點(diǎn)P是CD上一點(diǎn)，且PE⊥AD于點(diǎn)E，PF⊥BD于點(diǎn)F，則PE＝PF.

要點(diǎn)二、角的平分線的判定角平分線的判定：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.要點(diǎn)詮釋：

用符號(hào)語言表示角的平分線的判定：

若PE⊥AD于點(diǎn)E，PF⊥BD于點(diǎn)F，PE＝PF，則PD平分∠ADB

要點(diǎn)三、角的平分線的尺規(guī)作圖角平分線的尺規(guī)作圖

（1）以O(shè)為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交OA于D，交OB于E.

（2）分別以D、E為圓心，大于DE的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB內(nèi)部交于點(diǎn)C.

（3）畫射線OC.射線OC即為所求.要點(diǎn)四、三角形角平分線的性質(zhì)三角形三條角平分線交于三角形內(nèi)部一點(diǎn)，此點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心且這一點(diǎn)到三角形三邊的距離相等.三角形的一內(nèi)角平分線和另外兩頂點(diǎn)處的外角平分線交于一點(diǎn).這點(diǎn)叫做三角形的旁心.三角形有三個(gè)旁心.所以到三角形三邊所在直線距離相等的點(diǎn)共有4個(gè).如圖所示：△ABC的內(nèi)心為，旁心為，這四個(gè)點(diǎn)到△ABC三邊所在直線距離相等.【典型例題】類型一、角的平分線的性質(zhì)1．如圖，∠ACB＝90°,BD平分∠ABC交AC于D，DE⊥AB于E，ED的延長線交BC的延長線于F.求證：AE＝CF.2、如圖,△ABC中,∠C＝90,AC＝BC,AD平分∠CAB,交BC于D,DE⊥AB于E,且AB＝6,則△DEB的周長為()A.4 B.6 C.10 D.以上都不對(duì)舉一反三：【變式】已知：如圖，AD是△ABC的角平分線，且，則△ABD與△ACD的面積之比為（）A．3：2B．C．2：3D.3、如圖，OC是∠AOB的角平分線，P是OC上一點(diǎn)，PD⊥OA交于點(diǎn)D，PE⊥OB交于點(diǎn)E，F(xiàn)是OC上除點(diǎn)P、O外一點(diǎn)，連接DF、EF，則DF與EF的關(guān)系如何？證明你的結(jié)論．類型二、角的平分線的判定4、已知，如圖，CE⊥AB,BD⊥AC,∠B＝∠C，BF＝CF.求證：AF為∠BAC的平分線.

舉一反三：【變式】如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E，F(xiàn)，BE＝CF．

求證：AD是△ABC的角平分線.【鞏固練習(xí)】一.選擇題1.AD是△ABC的角平分線,自D點(diǎn)向AB、AC兩邊作垂線,垂足為E、F,那么下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()A.DE＝DF B.AE＝AFC.BD＝CDD.∠ADE＝∠ADF2．如圖，在RtΔABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的平分線，交AC于D，若CD＝，AB＝，則ΔABD的面積是（）A．B．C． D．23.如圖，平分于點(diǎn)，點(diǎn)是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若，則的最小值為（）A.1B.2C.3D.44.到三角形三邊距離相等的點(diǎn)是（）

A.三角形三條高線的交點(diǎn)B.三角形三條中線的交點(diǎn)

C．三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)D.三角形三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)

5.如圖，下列條件中不能確定點(diǎn)O在∠APB的平分線上的是（）A．△PBA≌△PDCB.△AOD≌△COBC.AB⊥PD，DC⊥PBD.點(diǎn)O到∠APB兩邊的距離相等.6.已知，如圖，AB∥CD，∠BAC、∠ACD的平分線交于點(diǎn)O，OE⊥AC于E，且OE＝5，則直線AB與CD的距離為（）A.5B.10C.15D.20二.填空題7．如圖，已知∠C＝90°，AD平分∠BAC，BD＝2CD，若點(diǎn)D到AB的距離等于5，則BC的長為_____．8.如圖，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB，∠1＝∠2，且AC＝6，那么線段BE是△ABC的，AE＋DE＝。9.已知：如圖，在ΔABC中，BD、CE分別平分∠ABC、∠ACB，且BD、CE交于點(diǎn)O，過O作OP⊥BC于P，OM⊥AB于M，ON⊥AC于N，則OP、OM、ON的大小關(guān)系為_____．10.如圖,直線、、表示三條相互交叉的公路,現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站,要求它到三條公路的距離相等,可供選擇的地址有處.11．已知：如圖，在RtΔABC中，∠C＝90°，沿著過點(diǎn)B的一條直線BE折疊ΔABC，使C點(diǎn)恰好落在AB邊的中點(diǎn)D處，則∠A的度數(shù)等于_____．12.已知如圖點(diǎn)D是△ABC的兩外角平分線的交點(diǎn)，下列說法

（1）AD＝CD(2)D到AB、BC的距離相等

（3）D到△ABC的三邊的距離相等（4）點(diǎn)D在∠B的平分線上

其中正確的說法的序號(hào)是_____________________.

三.解答題13．已知，如圖，∠C＝∠D＝90°,E是CD上一點(diǎn)，AE、BE分別平分∠DAB、∠ABC.

求證：E是CD的中點(diǎn).

14．如圖，在ΔABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，若△BCD與△BCA的面積比為3∶8，求△ADE與△BCA的面積之比．15.已知：如圖，ΔABC的外角∠CBD和∠BCE的平分線BF、CF交于點(diǎn)F.求證：一點(diǎn)F必在∠DAE的平分線上．線段的垂直平分線----知識(shí)講解(基礎(chǔ))【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.掌握線段的垂直平分線的性質(zhì)定理及其逆定理，能夠利用尺規(guī)作已知線段的垂直平分線．2.會(huì)證明三角形的三條中垂線必交于一點(diǎn).掌握三角形的外心性質(zhì)定理.3.已知底邊和底邊上的高，求作等腰三角形.4.能運(yùn)用線段的垂直平分線的性質(zhì)定理及其逆定理解決簡單的幾何問題及實(shí)際問題．【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、線段的垂直平分線1.定義經(jīng)過線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，也叫線段的中垂線．2.線段垂直平分線的做法求作線段AB的垂直平分線.作法：（1）分別以點(diǎn)A，B為圓心，以大于AB的長為半徑作弧，兩弧相交于C，D兩點(diǎn)；（2）作直線CD，CD即為所求直線．要點(diǎn)詮釋：(1)作弧時(shí)的半徑必須大于AB的長，否則就不能得到兩弧的交點(diǎn)了．(2)線段的垂直平分線的實(shí)質(zhì)是一條直線.要點(diǎn)二、線段的垂直平分線定理

線段的垂直平分線定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．

要點(diǎn)詮釋：線段的垂直平分線定理也就是線段垂直平分線的性質(zhì)，是證明兩條線段相等的常用方法之一．同時(shí)也給出了引輔助線的方法，“線段垂直平分線，常向兩端把線連”.就是遇見線段的垂直平分線，畫出到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離，這樣就出現(xiàn)相等線段，直接或間接地為構(gòu)造全等三角形創(chuàng)造條件．要點(diǎn)三、線段的垂直平分線逆定理線段的垂直平分線逆定理：到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上．要點(diǎn)詮釋：到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)組成了線段的垂直平分線.線段的垂直平分線可以看作是與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的所有點(diǎn)的集合．要點(diǎn)四、三角形的外心三角形三邊垂直平分線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)到三角形三頂點(diǎn)的距離相等，這點(diǎn)是三角形外接圓的圓心——外心.要點(diǎn)詮釋:1.三角形三條邊的垂直平分線必交于一點(diǎn)（三線共點(diǎn)），該點(diǎn)即為三角形外接圓的圓心.2.銳角三角形的外心在三角形內(nèi)部；鈍角三角形的外心在三角形外部；直角三角形的外心在斜邊上，與斜邊中點(diǎn)重合.3.外心到三頂點(diǎn)的距離相等.要點(diǎn)五、尺規(guī)作圖作圖題是初中數(shù)學(xué)中不可缺少的一類試題，它要求寫出“已知，求作，作法和畫圖”，畫圖必須保留痕跡，在現(xiàn)行的教材里，一般不要求寫出作法，但是必須保留痕跡.證明過程一般不用寫出來.最后要點(diǎn)題即“xxx即為所求”.【典型例題】類型一、線段的垂直平分線定理 1、如圖，△ABC中AC＞BC，邊AB的垂直平分線與AC交于點(diǎn)D，已知AC=5，BC=4，則△BCD的周長是（）A．9B．8C．7D．6舉一反三：【變式1】如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分線DE交AC于D，交AB于E，下述結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．BD平分∠ABCB．△BCD的周長等于AB+BCC．AD=BD=BCD．點(diǎn)D是線段AC的中點(diǎn)【變式2】如圖所示，在△ABC中，DE是AC的中垂線，AE＝3cm，△ABD的周長為13cm，則△ABC的周長是cm．類型二、線段的垂直平分線的逆定理2、如圖，已知AB=AC,∠ABD=∠ACD，求證：AD是線段BC的垂直平分線．舉一反三：【變式】如圖，P是∠MON的平分線上的一點(diǎn)，PA⊥OM,PB⊥ON,垂足分別為A、B．求證：PO垂直平分AB．類型三、線段的垂直平分線定理與逆定理的綜合應(yīng)用3、已知：如圖，AB=AC，DB=DC，E是AD上一點(diǎn)．求證：BE=CE．4、如圖所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D為BC邊上的中點(diǎn)，CE⊥AD于點(diǎn)E，BF∥AC交CE的延長線于點(diǎn)F，求證：AB垂直平分DF．舉一反三：【變式】如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分線MN分別交BC、AB于點(diǎn)M、N.求證：CM=2BM.類型四、尺規(guī)作圖5、如圖，A，B，C是新建的三個(gè)居民小區(qū)，我們已經(jīng)在到三個(gè)小區(qū)距離相等的地方修建了一所學(xué)校，你能確定學(xué)校的位置嗎？線段的垂直平分線——鞏固練習(xí)（基礎(chǔ)）【鞏固練習(xí)】一．選擇題1．如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分線，交AC于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E．已知∠BAE=10°，則∠C的度數(shù)為（）A．30°B．40°C．50°D．60°2．如圖，△ABC中，DE是AB的垂直平分線，交BC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，已知AE=1cm，△ACD的周長為12cm，則△ABC的周長是（）A．13cmB．14cmC．15cmD．16cm3．如圖，在△ABC中，∠A=105°，AE的垂直平分線MN交BE于點(diǎn)C，且AB+BC=BE，則∠B的度數(shù)是（）A．45°B．60°C．50°D．55°4．如圖，已知直角三角形ABC中，∠ACB=90°，E為AB上一點(diǎn)，且CE=EB，ED⊥CB于D，則下列結(jié)論中不一定成立的是（）A．AE=BEB．CE=ABC．∠CEB=2∠AD．AC=AB5．如圖，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=20°．線段AB的垂直平分線交AB于D，交AC于E，連接BE，則∠CBE等于（） A、80° B、70° C、60° D、50°6．如圖所示，BE⊥AC于點(diǎn)D，且AD＝CD，BD＝ED，若∠ABC＝54°，則∠E＝（）．A．25°B．27°C．30°D．45°二．填空題7．ΔABC中，若AB－AC＝2cm，BC的垂直平分線交AB于D點(diǎn)，且ΔACD的周長為14cm，則AB＝_____，AC_____．8．如圖，ΔABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線交AC于P點(diǎn)．（1）若∠A＝35°，則∠BPC＝_____；（2）若AB＝5cm，BC＝3cm，則ΔPBC的周長＝_____．9．如圖，在△ABC中，BC邊上的垂直平分線DE交邊BC于點(diǎn)D，交邊AB于點(diǎn)E．若△EDC的周長為24，△ABC與四邊形AEDC的周長之差為12，則線段DE的長為．10．如圖，在中，∠C＝90°，∠A＝30°，CD＝2cm，AB的垂直平分線MN交AC于D，連結(jié)BD，則AC的長是___________cm．11．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分線MN分別交AC，AB于點(diǎn)D，E．若∠CBD:∠DBA＝3:1，則∠A的度數(shù)為________．12．如圖，在△ABC中，AC＝16cm，AB的垂直平分線交AC于D，如果BC＝10cm，那么△BCD的周長是cm．三．解答題：13．已知△ABC中，AD是∠BAC的平分線，AD的垂直平分線交BC的延長線于F．求證：∠BAF=∠ACF．14．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E為CD的中點(diǎn)，連接AE、BE，BE⊥AE，延長AE交BC的延長線于點(diǎn)F．求證：（1）FC=AD；（2）AB=BC+AD．15．為了推進(jìn)農(nóng)村新型合作醫(yī)療制度改革，準(zhǔn)備在某鎮(zhèn)新建一個(gè)醫(yī)療點(diǎn)P，使P到該鎮(zhèn)所屬A村、B村、C村的村委會(huì)所在地的距離都相等（A、B、C不在同一直線上，地理位置如下圖），請(qǐng)你用尺規(guī)作圖的方法確定點(diǎn)P的位置．要求：寫出已知、求作；不寫作法，保留作圖痕跡． 《三角形的證明》全章復(fù)習(xí)與鞏固(提高)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.經(jīng)歷回顧與思考的過程，深刻理解和掌握定理的探索和證明.2.結(jié)合具體實(shí)例感悟證明的思路和方法，能運(yùn)用綜合、分析的方法解決有關(guān)問題.3.能正確運(yùn)用尺規(guī)作圖的基本方法作已知線段的垂直平分線和角的平分線，以及繪制特殊三角形.【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、等腰三角形1.三角形全等的性質(zhì)及判定全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角也相等.判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.2.等腰三角形的判定、性質(zhì)及推論性質(zhì)：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（等邊對(duì)等角）判定：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形（等角對(duì)等邊）推論：等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（即“三線合一”）3.等邊三角形的性質(zhì)及判定定理性質(zhì)定理：等邊三角形的三個(gè)角都相等，并且每個(gè)角都等于60°；等邊三角形的三條邊都滿足“三線合一”的性質(zhì)；等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，有3條對(duì)稱軸.判定定理：有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形；三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.4.含30°的直角三角形的邊的性質(zhì)定理：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.要點(diǎn)詮釋：等邊三角形是中考中?？嫉闹R(shí)點(diǎn)，并且有關(guān)它的計(jì)算也很常見，因此對(duì)于等邊三角形的特殊數(shù)據(jù)要熟記于心，不如邊長為a的等邊三角形他的高是，面積是；含有30°的直角三角形揭示了三角形中邊與角的關(guān)系，打破了以往那種只有角或邊的關(guān)系，同時(shí)也為我們學(xué)習(xí)三角函數(shù)奠定了基礎(chǔ).要點(diǎn)二、直角三角形1.勾股定理及其逆定理定理：直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.逆定理：如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形.2.命題與逆命題命題包括題設(shè)和結(jié)論兩部分；逆命題是將原命題的題設(shè)和結(jié)論交換位置得到的；正確的逆命題就是逆定理.3.直角三角形全等的判定定理定理：斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（HL）要點(diǎn)詮釋：①勾股定理的逆定理在語言敘述的時(shí)候一定要注意，不能說成“兩條邊的平方和等于斜邊的平方”，應(yīng)該說成“三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方”.②直角三角形的全等判定方法，還有SSS,SAS,ASA,AAS,一共有5種判定方法.要點(diǎn)三、線段的垂直平分線1.線段垂直平分線的性質(zhì)及判定性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.判定：到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上.2.三角形三邊的垂直平分線的性質(zhì)三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.3.如何用尺規(guī)作圖法作線段的垂直平分線分別以線段的兩個(gè)端點(diǎn)A、B為圓心，以大于AB的長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)M、N；作直線MN，則直線MN就是線段AB的垂直平分線.要點(diǎn)詮釋：①注意區(qū)分線段的垂直平分線性質(zhì)定理和判定定理,注意二者的應(yīng)用范圍；②利用線段的垂直平分線定理可解決兩條線段的和距離最短問題.要點(diǎn)四、角平分線1.角平分線的性質(zhì)及判定定理性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等；判定：在一個(gè)角的內(nèi)部，且到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上.2.三角形三條角平分線的性質(zhì)定理性質(zhì)：三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三條邊的距離相等.3.如何用尺規(guī)作圖法作出角平分線要點(diǎn)詮釋：①注意區(qū)分角平分線性質(zhì)定理和判定定理,注意二者的應(yīng)用范圍；②幾何語言的表述，這也是證明線段相等的一種重要的方法.遇到角平分線時(shí)，要構(gòu)造全等三角形.【典型例題】類型一、能證明它們么1.如圖，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD=∠BCE=90°，AE交CD于點(diǎn)F，BD分別交CE、AE于點(diǎn)G、H．試猜測線段AE和BD的數(shù)量和位置關(guān)系，并說明理由．舉一反三：【變式】將兩個(gè)全等的直角三角形ABC和DBE按圖1方式擺放，其中∠ACB=∠DEB=90°，∠A=∠D=30°，點(diǎn)E落在AB上，DE所在直線交AC所在直線于點(diǎn)F．

（1）求證：AF+EF=DE；

（2）若將圖1中的△DBE繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角α，且0°＜α＜60°，其它條件不變，請(qǐng)?jiān)趫D2中畫出變換后的圖形，并直接寫出你在（1）中猜想的結(jié)論是否仍然成立；

（3）若將圖1中的△DBE繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角β，且60°＜β＜180°，其它條件不變，如圖3．你認(rèn)為（1）中猜想的結(jié)論還成立嗎？若成立，寫出證明過程；若不成立，請(qǐng)寫出AF、EF與DE之間的關(guān)系，并說明理由．類型二、直角三角形2.下列說法正確的說法個(gè)數(shù)是（）

①兩個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等，

②斜邊及一銳角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等，

③兩條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等，

④一條直角邊和另一條直角邊上的中線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等．A1B2C3D43.如圖：AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，EF過點(diǎn)C，BE⊥EF于E，DF⊥EF于F，BE=DF．

求證：Rt△BCE≌Rt△DCF．類型三、線段垂直平分線4.如圖，在銳角△ABC中，AD、CE分別是BC、AB邊上的高，AD、CE相交于F，BF的中點(diǎn)為P，AC的中點(diǎn)為Q，連接PQ、DE．

（1）求證：直線PQ是線段DE的垂直平分線；

（2）如果△ABC是鈍角三角形，∠BAC＞90°，那么上述結(jié)論是否成立？請(qǐng)按鈍角三角形改寫原題，畫出相應(yīng)的圖形，并給予必要的說明． 舉一反三：【變式】在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線交AB于N，交BC的延長線于M，∠A=40度．

（1）求∠M的度數(shù)；

（2）若將∠A的度數(shù)改為80°，其余條件不變，再求∠M的大??；

（3）你發(fā)現(xiàn)了怎樣的規(guī)律？試證明；

（4）將（1）中的∠A改為鈍角，（3）中的規(guī)律仍成立嗎？若不成立，應(yīng)怎樣修改．類型四、角平分線5.如圖，△ABC中，∠A=60°，∠ACB的平分線CD和∠ABC的平分線BE交于點(diǎn)G．求證：GE=GD．舉一反三：【變式】如圖：在△ABC中，∠C=90°

AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，F(xiàn)在AC上，BD=DF；

證明：（1）CF=EB．

（2）AB=AF+2EB．《三角形的證明》全章復(fù)習(xí)與鞏固（提高）【鞏固練習(xí)】一.選擇題1．有一塊邊長為24米的正方形綠地，如圖所示，在綠地旁邊B處有健身器材，由于居住在A處的居民踐踏了綠地，小明想在A處樹立一個(gè)標(biāo)牌“少走▇米，踏之何忍”請(qǐng)你計(jì)算后幫小明在標(biāo)牌的“▇”填上適當(dāng)?shù)臄?shù)字是（） A． 3米 B． 4米 C． 5米 D． 6米 2.設(shè)M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等邊三角形，Q表示等腰直角三角形，則下列四個(gè)圖中，能表示它們之間關(guān)系的是（）ABCD3.如圖，EA⊥AB，BC⊥AB，EA=AB=2BC，D為AB中點(diǎn)，有以下結(jié)論：(1)DE=AC；(2)DE⊥AC；(3)∠CAB=30°；(4)∠EAF=∠ADE。其中結(jié)論正確的是（）A、(1)，(3)B、(2)，(3)C、(3)，(4)D、(1)，(2)，(4)4.如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于點(diǎn)D，DE⊥AB，垂足為E，且AB=6cm，則△A、4cmB、6cmC、85.如圖，△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在AC邊上，且BD=BC=AD，則∠A的度數(shù)為（）A、30°B、36°C、45°D、70°6.如圖，已知AC平分∠PAQ，點(diǎn)B，B′分別在邊AP，AQ上，如果添加一個(gè)條件，即可推出AB=AB′，那么該條件不可以是（）A、BB′⊥ACB、BC=B′CC、∠ACB=∠ACB′