相似三角形與圓的綜合應(yīng)用

----個(gè)性化輔導(dǎo)講義:相似三角形與圓的綜合應(yīng)用課題似三角形的教學(xué)目標(biāo)重點(diǎn)、難點(diǎn)考點(diǎn)及考試求質(zhì)3.掌握點(diǎn)與圓、直線與圓、圓與圓的相關(guān)位置關(guān)系,了解相似三角形在圓中的應(yīng)用1.相似三角形的定義及相似三角形的判定定理和性質(zhì)2.與圓相關(guān)的性質(zhì)3.與圓相關(guān)的位置關(guān)系4.相似三角形在圓中的應(yīng)用考點(diǎn)一：相似三角形，了解相似圖形和相似三角形的定義,掌握相似三角形的判定定似三角形的性質(zhì)。圓周角及圓心角；理解與圓相關(guān)的位置關(guān)系,特殊是直線與圓位置關(guān)系中的相切關(guān)系和相似三角形的概念與判定(一)定義：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫相似三角形。相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比(也叫相似系數(shù))。(二)判定：①平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)相交,所構(gòu)成的三角形與原三角形相②兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似。③有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似。④三條邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似。⑤一條直角邊和斜邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)直角三角形相似。⑥直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原直角三角形相似。----相似三角形的性質(zhì)3．相似三角形各組對(duì)應(yīng)邊的比值相等4.相似三角形對(duì)應(yīng)高線的比,對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比5.相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比6.相似三角形面積的比等于相似比的平方7.直角三角形中,斜邊上的高線是兩條直角邊在斜邊上的射影的比例中項(xiàng)2、圓是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是圓心．⑴圓心角⑵圓周角點(diǎn)和圓、圓與圓的位置關(guān)系圓的位置關(guān)系的方法有兩種3、常用的輔助線是:圓心到直線的垂線段圓與圓的位置關(guān)系:2．根據(jù)兩圓交點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷兩圓的位置關(guān)系3.根據(jù)圓心距與兩圓半徑的和的數(shù)量關(guān)系圓中常見(jiàn)的輔助線;2．作弦心距，利用垂徑定理進(jìn)行證明或計(jì)算；3.作半徑和弦心距,構(gòu)造由“半徑、半弦和弦心距”組成的直角三角形進(jìn)行計(jì)算;4．作弦構(gòu)造同弧或等弧所對(duì)的圓周角；5.作弦、直徑等構(gòu)造直徑所對(duì)的圓周角——直角；6.遇到三角形的外心常連結(jié)外心和三角形的各頂點(diǎn)。：相似三角形典型例題----1在△ABC中,AB=AC，∠A＝36°,∠ABC的平分線BD與AC交于D,求證：(1)BC＝BD (2)△ABC∽△BDCBADC2.兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)中線之比是3:7，周長(zhǎng)之和為30cm,則它們的周長(zhǎng)分別是3.如圖，已知錯(cuò)誤!=錯(cuò)誤!=錯(cuò)誤!，求證:△ABD∽△ACEAEDBC4．在RtΔABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D，則BD∶AD等于()(A)a∶b(B)a2∶b2(C)錯(cuò)誤!∶錯(cuò)誤!(D)不能確定CE5.如圖，在ΔABC中,∠ACB＝90°,CD⊥AB于D，DE⊥AC于E,CEBCAC求的值A(chǔ)CBCDEA知識(shí)概括、方法總結(jié)與易錯(cuò)點(diǎn)分析相似三角形的概念與判定(一)定義:對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫相似三角形。相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比(也叫相似系數(shù))。②兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似。③有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似。④三條邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似。⑤一條直角邊和斜邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)直角三角形相似。----⑥直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原直角三角形相似。相似三角形的性質(zhì)1.相似比:相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比值2.相似三角形各組對(duì)應(yīng)角相等3.相似三角形各組對(duì)應(yīng)邊的比值相等4.相似三角形對(duì)應(yīng)高線的比,對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比5.相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比6．相似三角形面積的比等于相似比的平方7．直角三角形中,斜邊上的高線是兩條直角邊在斜邊上的射影的比例中項(xiàng)針對(duì)性練習(xí)1.兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)角平分線的長(zhǎng)分別為10cm和20cm,若它們的周長(zhǎng)的差是60cm,則較大的三角形的周長(zhǎng)是,若它們的面積之和為260cm2，則較小的三角形的面積為cm2-------－-－-----－－-－-2.如圖，PLMN為矩形,AD⊥BC于D,PL∶LM=5∶9,且BC=36cm,AD＝12cm,求矩形PLMN的周長(zhǎng)APENBLDMC3．如圖，在RtΔABD中，∠ADB=90°,CD⊥AB于C,AC=20cm,BC=9cm,求AB及BD的長(zhǎng)DACB----5.如圖，矩形ABCD中,AE⊥BD于E,若BE=4，DE=9,求矩形的面積考點(diǎn)二：圓、相似與圓的綜合應(yīng)用典型例題1.如圖,AB是△ABC的外接圓⊙O的直徑,D是⊙O上的一點(diǎn),DE⊥AB于點(diǎn)E，且DE的延長(zhǎng)線分別2．如圖,AB是⊙O的直徑,BC是⊙O的切線,D是⊙O上的一點(diǎn)，且AD∥CO。(1)求證:ΔADB∽ΔOBC;C(2)若AB=2,BC＝2，求AD的長(zhǎng)。(結(jié)果保留根號(hào))DABO----3．已知：如圖,AB是⊙O的直徑,點(diǎn)P在BA的延長(zhǎng)線上,PD切⊙O于點(diǎn)C,BD⊥PD，垂足為D，連接BC。求證：(1)BC平分∠PBD;(2)BC2=AB.BDCPAOB4.如圖，AB是⊙O的直徑，BC⊥AB，弦AD∥OC．求證：CD是⊙O的切線。DOA.BO知識(shí)概括、方法總結(jié)與易錯(cuò)點(diǎn)分析1、旋轉(zhuǎn)不變性:圓是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，繞圓心旋轉(zhuǎn)任一角度都和原來(lái)圖形重合;2、圓是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是圓心.性質(zhì)：在同圓或等圓中,如果兩個(gè)圓心角，兩條弧，兩條弦,兩個(gè)弦心距中有一對(duì)量相等,那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各對(duì)量也分別相等。----3、軸對(duì)稱：圓是軸對(duì)稱圖形,經(jīng)過(guò)圓心的任一直線都是它的對(duì)稱軸.4、與圓有關(guān)的角⑴圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫圓心角。圓心角的性質(zhì)：圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)。⑵圓周角:頂點(diǎn)在圓上,兩邊都和圓相交的角叫做圓周角。①圓周角等于它所對(duì)的弧所對(duì)的圓心角的一半.②同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等;在同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧相等．③90°的圓周角所對(duì)的弦為直徑;半圓或直徑所對(duì)的圓周角為直角．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系1.點(diǎn)在圓外d>r直線與圓的位置關(guān)系判定方法有兩種(1)根據(jù)定義，由直線與圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來(lái)判斷;(2)根據(jù)性質(zhì),由圓心到直線的距離d與半徑r的關(guān)系來(lái)判斷常用的輔助線是：圓心到直線的垂線段圓與圓的位置關(guān)系圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部時(shí),我們就說(shuō)這兩個(gè)圓外切(如圖1)；，相切的兩個(gè)圓,除了切點(diǎn)外，一個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部時(shí),我們就說(shuō)這兩個(gè)圓內(nèi)切(如圖2)。T01T----dRrd＝R-r。(3)相切兩圓也組成軸對(duì)稱圖形，通過(guò)兩圓的圓心的直線叫做連心線，是他們的對(duì)稱軸，由此我們得到相切兩圓的連心線的性質(zhì):相切兩圓的連心線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)。T01T圖1圖2的位置關(guān)系還有以下三種情況：Rro1Ro2rO1O2(1)(2)(3)當(dāng)兩個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí),叫做兩圓相交(如圖1);當(dāng)兩個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí)，叫做兩圓相離，相離的兩個(gè)圓,如果一個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部，我們就說(shuō)這兩個(gè)圓外離(如圖2),如果一個(gè)圓上點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部。我們就說(shuō)這兩個(gè)圓內(nèi)含(如圖3)----(1)兩圓相交一R-r<d＜R+r;(2)兩圓外離一d>R＋r;(3)兩圓內(nèi)含一d＜R-r(R>r);圓中常見(jiàn)的輔助線1．作半徑,利用同圓或等圓的半徑相等;利用垂徑定理進(jìn)行證明或計(jì)算;3．作半徑和弦心距,構(gòu)造由“半徑、半弦和弦心距”組成的直角三角形進(jìn)行計(jì)算;6．遇到三角形的外心常連結(jié)外心和三角形的各頂點(diǎn)。針對(duì)性練習(xí):P,PO＝16。DFDCBOAPBFE2．已知：如圖，直線PA交⊙O于A、E兩點(diǎn),PA的垂線DC切⊙O于點(diǎn)C，過(guò)A點(diǎn)作⊙O的直徑AB。(1)求證：AC平分DAB；DCDAO。--F是PC上一點(diǎn)，且PF＝AF,FA的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)G。PCPO(2)=.AGAB(2)若ΔPAO與ΔBAD相似,求∠APO的度數(shù)和四邊形OADC的面積(答案要求保留根號(hào))鞏固作業(yè)1、如圖，PA、PB是⊙O的切線，A、B為切點(diǎn),若∠APB=60°，則∠ABO＝(第1題)2.如圖,在△ABC中，∠A＝90°，AB=AC=2cm，⊙A與BC相切于點(diǎn)D,則⊙A的半徑為--作⊙M.若點(diǎn)M在OB邊上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)OM=cm時(shí)，⊙M與OA相切.則cos∠APO的值為((A)\f(3,4))(B)5(C)錯(cuò)誤!(D)錯(cuò)誤!5．已知正三角形的內(nèi)切圓半徑為錯(cuò)誤!cm，則它的邊長(zhǎng)是()(A)2cm(B)錯(cuò)誤!cm(C)2錯(cuò)誤!cm(D)錯(cuò)誤!cm6．已知半徑均為1厘米的兩圓外切，半徑為2厘米,且和這兩圓都相切的圓共有()(A)2個(gè)(B)3個(gè)(C)4個(gè)(D)5個(gè)7.如圖,AD、AE分別是⊙O的切線，D、E為切點(diǎn)，BC切⊙O于F,交AD、AE于點(diǎn)B、C，若AD=8.則三角形ABC的周長(zhǎng)是()確定18.如圖，BC是⊙O的直徑，弦AE⊥BC，垂足D，AB=BF,AE與BF相交于點(diǎn)G．2求證