大學(xué)文科數(shù)學(xué)-不定積分、定積分及其應(yīng)用-不定積分的計(jì)算方法1

第2講大學(xué)文科數(shù)學(xué)（）主講教師|第3章不定積分,定積分及其應(yīng)用不定積分地計(jì)算方法---換元法2引言利用基本積分公式與不定積分地性質(zhì),所能計(jì)算地不定積分是非常有限地.因此,有必要進(jìn)一步研究不定積分地求法.本節(jié)把復(fù)合函數(shù)地微分法反過(guò)來(lái)用于求不定積分,利用間變量地代換,得到復(fù)合函數(shù)地積分法,稱為換元積分法,簡(jiǎn)稱換元法.換元法分為兩種類型,即第一換元積分法（湊微分法）與第二換元積分法.3本節(jié)內(nèi)容02第二換元積分法01第一換元積分法4設(shè)有原函數(shù),且是可導(dǎo)函數(shù),則因?yàn)???定理3.2所以是地一個(gè)原函數(shù),故結(jié)論成立.證明該公式稱為第一換元公式．01第一換元積分法5??例1解求令,,則將代入,得01第一換元積分法6??例2解求.令,,則將代入,則.01第一換元積分法7??例3解求.令,,則將代入,得01第一換元積分法8??例4解求01第一換元積分法9??例5解求.01第一換元積分法10??例6解??注求.第一換元積分法,關(guān)鍵在于將湊成微分,所以又稱為湊微分法.01第一換元積分法11本節(jié)內(nèi)容02第二換元積分法01第一換元積分法12第一換元積分法是通過(guò)變換,將化為地方法,這就要求能準(zhǔn)確地將被積函數(shù)分離為與兩部分,當(dāng)函數(shù)形式比較復(fù)雜時(shí),有很大地難度。而第二換元積分法則是通過(guò)反變換,將化為地方法,此時(shí)函數(shù)地積分更易求解。02第二換元積分法13常用地第二換元積分法有以下3種情形.（1）三角代換:涉及到三角函數(shù)地有關(guān)公式形式時(shí)經(jīng)常使用通常含有根號(hào)形式.三角代換包括弦代換,切代換,割代換3種.（2）無(wú)理代換:被積函數(shù)含有無(wú)理式時(shí)使用.（3）倒數(shù)代換:被積函數(shù)是分式形式時(shí)經(jīng)常使用.02第二換元積分法14三角代換之弦代換變量還原時(shí),常借助輔助直角三角形．弦代換是針對(duì)形如地根式進(jìn)行,目地是去掉根號(hào)。令,,則,,,02第二換元積分法15三角代換之切代換變量還原時(shí),常借助輔助直角三角形．切代換是針對(duì)形如地根式進(jìn)行,目地是去掉根號(hào)。令,,則,,,02第二換元積分法16三角代換之割代換變量還原時(shí),常借助輔助直角三角形．割代換是針對(duì)形如地根式進(jìn)行,目地是去掉根號(hào)。令,,則,,02第二換元積分法17無(wú)理代換無(wú)理代換是針對(duì)形如,,…,地根式進(jìn)行,目地是去掉根號(hào)。設(shè)為正整數(shù)地最小公倍數(shù),作代換,則,,可化被積函數(shù)為地有理函數(shù);若被積函數(shù)只含或,可類似地作代換或02第二換元積分法18倒數(shù)代換倒數(shù)代換是針對(duì)被積函數(shù)含分式地情形進(jìn)行,目地是簡(jiǎn)化被積函數(shù)。設(shè)被積函數(shù)地分子,分母關(guān)于地最高次數(shù)分別為與,若>1,可嘗試使用倒代換,即令則02第二換元積分法19??例7解求被積函數(shù)含有,因此令,即,這時(shí),所以.02第二換元積分法20??例8解求．令,則,從而有02第二換元積分法21??例9解求.作代換,這時(shí)02第二換元積分法22因此根據(jù)構(gòu)造輔助直角三角形,即得02第二換元積分法23??例10解求.令,,于是有.02第二換元積分法24由于,故有,于是02第二換元積分法atxx