第四講邏輯函數(shù)化簡代數(shù)化簡法

第四講邏輯函數(shù)化簡代數(shù)化簡法第一頁，共二十九頁，2022年，8月28日上講內(nèi)容回顧邏輯函數(shù)表達(dá)式的標(biāo)準(zhǔn)形式最小項(xiàng)最大項(xiàng)邏輯函數(shù)表達(dá)式的轉(zhuǎn)換第二頁，共二十九頁，2022年，8月28日本講內(nèi)容內(nèi)容：邏輯函數(shù)的公式化簡法目的與要求： 理解化簡的意義和標(biāo)準(zhǔn)； 掌握代數(shù)化簡的幾種基本方法并能熟練運(yùn)用；掌握用擴(kuò)充公式化簡邏輯函數(shù)的方法。重點(diǎn)與難點(diǎn)：重點(diǎn)：5種常見的邏輯式；用并項(xiàng)法、吸收法、消去法、配項(xiàng)法對邏輯 函數(shù)進(jìn)行化簡。難點(diǎn)：運(yùn)用代數(shù)化簡法對邏輯函數(shù)進(jìn)行化簡。第三頁，共二十九頁，2022年，8月28日相關(guān)知識回顧邏輯代數(shù)的基本公式、基本定律和三個重要規(guī)則第四頁，共二十九頁，2022年，8月28日基本定律和規(guī)則總結(jié)（1）與普通代數(shù)相似的定律交換律A+B＝B+AA·B＝B·A結(jié)合律A+B+C＝(A+B)+C=A+(B+C)A·B·C=(A·B)·C=A·(B·C)分配律A(B+C)=AB+ACA+BC=(A+B)·(A+C)第五頁，共二十九頁，2022年，8月28日（2）吸收律是邏輯函數(shù)化簡中常用的基本定律。吸收律證明①AB+AB＝A②A+AB＝A③A+AB＝A+B④AB+AC+BC＝AB+ACAB+AB＝A(B+B)=A·1=AA+AB=A(1+B)=A·1=AA+AB=(A+A)(A+B)=1·(A+B)=A+B原式=AB+AC+BC(A+A)=AB+AC+ABC+ABC=AB(1+C)+AC(1+B)AB+AC第④式的推廣：AB+AC+BCDE=AB+AC第六頁，共二十九頁，2022年，8月28日（3）摩根定律又稱為反演律，有下列2種形式（可用真值表證明）。第七頁，共二十九頁，2022年，8月28日邏輯函數(shù)化簡的意義 根據(jù)邏輯問題歸納出來的邏輯函數(shù)式往往不是最簡邏輯函數(shù)式。對邏輯函數(shù)進(jìn)行化簡和變換，可以得到最簡的邏輯函數(shù)式和所需要的形式，設(shè)計(jì)出最簡潔的邏輯電路。這對于節(jié)省元器件、降低成本和提高系統(tǒng)的可靠性、提高產(chǎn)品的市場競爭力都是非常重要的。二.邏輯函數(shù)式的幾種常見形式和變換常見的邏輯函數(shù)式主要有下列5種形式。以為例：Y1=AB+BC與-或表達(dá)式Y(jié)2=(A+B)(B+C)或-與表達(dá)式Y(jié)3=AB·BC與非-與非表達(dá)式Y(jié)4=A+B+C+D或非-或非表達(dá)式Y(jié)5=A·B+BC與或非表達(dá)式2.4邏輯函數(shù)化簡

利用邏輯代數(shù)的基本定律，可以實(shí)現(xiàn)上述五種邏輯函數(shù)式之間的變換。第八頁，共二十九頁，2022年，8月28日三.邏輯函數(shù)的最簡式、

1）最簡與-或式 乘積項(xiàng)個數(shù)最少。 每個乘積項(xiàng)變量最少。最簡與或表達(dá)式Y(jié)=ABE+AB+AC+ACE+BC+BCD=AB+AC+BC=AB+AC第九頁，共二十九頁，2022年，8月28日2）最簡與非-與非表達(dá)式非號最少、并且每個非號下面乘積項(xiàng)中的變量也最少的與非-與非表達(dá)式。①在最簡與或表達(dá)式的基礎(chǔ)上兩次取反②用摩根定律去掉下面的大非號3）最簡或與表達(dá)式括號最少、并且每個括號內(nèi)相加的變量也最少的或與表達(dá)式。①求出反函數(shù)的最簡與或表達(dá)式②利用反演規(guī)則寫出函數(shù)的最簡或與表達(dá)式Y(jié)=AB+AC=AB+AC=AB·

ACY=AB+ACY=AB+AC=(A+B)(A+C)=AB+AC+BC=AB+ACY=(A+B)(A+C)第十頁，共二十九頁，2022年，8月28日4）最簡或非-或非表達(dá)式非號最少、并且每個非號下面相加的變量也最少的或非-或非表達(dá)式。①求最簡或與-或與表達(dá)式②兩次取反５）最簡與或非表達(dá)式非號下面相加的乘積項(xiàng)最少、并且每個乘積項(xiàng)中相乘的變量也最少的與或非表達(dá)式。①求最簡或非-或非表達(dá)式③用摩根定律去掉下面的大非號②用摩根定律去掉大非號下面的非號Y=AB+AC=(A+B)(A+C)=(A+B)(A+C)=A+B+A+CY=AB+AC=A+B+A+C=AB+AC第十一頁，共二十九頁，2022年，8月28日邏輯函數(shù)化簡有3種常用方法。即：代數(shù)化簡法、卡諾圖化簡法和列表化簡法。第十二頁，共二十九頁，2022年，8月28日2.4.1代數(shù)化簡法

代數(shù)化簡法就是運(yùn)用邏輯代數(shù)的公理、定理和規(guī)則對邏輯函數(shù)進(jìn)行化簡的方法。

一、“與-或”表達(dá)式的化簡

最簡“與-或”表達(dá)式應(yīng)滿足兩個條件：

1．表達(dá)式中的“與”項(xiàng)個數(shù)最少；

2．在滿足上述條件的前提下，每個“與”項(xiàng)中的變量個數(shù)最少。

滿足上述兩個條件可以使相應(yīng)邏輯電路中所需門的數(shù)量以及門的輸入端個數(shù)均為最少，從而使電路最經(jīng)濟(jì)。第十三頁，共二十九頁，2022年，8月28日1、并項(xiàng)法利用公式Ａ＋Ａ＝1，將兩項(xiàng)合并為一項(xiàng)，并消去一個變量。

若兩個乘積項(xiàng)中分別包含同一個因子的原變量和反變量，而其他因子都相同時，則這兩項(xiàng)可以合并成一項(xiàng)，并消去互為反變量的因子。運(yùn)用摩根定律運(yùn)用分配律運(yùn)用分配律Y1=ABC+ABC+BC=(A+A)BC+BC=BC+BC=B(C+C)=BY2=ABC+AB+AC=ABC+A(B+C)=ABC+ABC=A(BC+BC)=A第十四頁，共二十九頁，2022年，8月28日2、吸收法

如果乘積項(xiàng)是另外一個乘積項(xiàng)的因子，則這另外一個乘積項(xiàng)是多余的。運(yùn)用摩根定律（１）利用公式Ａ＋ＡＢ＝Ａ，消去多余的項(xiàng)。（２）利用公式Ａ＋ＡＢ＝Ａ+Ｂ，消去多余的變量。

如果一個乘積項(xiàng)的反是另一個乘積項(xiàng)的因子，則這個因子是多余的。Y1=AB+ABCD(E+F)=ABY2＝A+BCD+ADB＝A+BCD+AD+B

＝（A+AD）+（B+BCD）＝A+BY＝AB+AC+BC

＝AB+(A+B)C=AB+ABC=AB+CY=AB+C+ACD+BCD=AB+C+C(A+B)D=AB+C+(A+B)D=AB+C+ABD=AB+C+D第十五頁，共二十九頁，2022年，8月28日Y=AB+BC+BC+AB=AB+BC+(A+A)BC+AB(C+C)=AB+BC+ABC+ABC+ABC+ABC=AB(1+C)+BC(1+A)+AC(B+B)=AB+BC+ACY=ABC+ABC+ABC+ABC=(ABC+ABC)+(ABC+ABC)+(ABC+ABC)=AB+AC+BC３、配項(xiàng)法（１）利用公式Ａ＝Ａ（Ｂ＋Ｂ），為某一項(xiàng)配上其所缺的變量，以便用其它方法進(jìn)行化簡。（２）利用公式Ａ＋Ａ＝Ａ，為某項(xiàng)配上其所能合并的項(xiàng)。第十六頁，共二十九頁，2022年，8月28日Y2=AB+BC+AC(DE+FG)=AB+BCY1=AB+AC+ADE+CD=AB+(AC+CD+ADE)=AB+AC+CD利用冗余律ＡＢ＋ＡＣ＋ＢＣ＝ＡＢ＋ＡＣ，將冗余項(xiàng)ＢＣ消去。４、消去冗余項(xiàng)法第十七頁，共二十九頁，2022年，8月28日例：化簡函數(shù)解：①先求出Y的對偶函數(shù)Y＇，并對其進(jìn)行化簡。②求Y＇的對偶函數(shù)，便得Ｙ的最簡或與表達(dá)式。Y=(B+D)(B+D+A+G)(C+E)(C+G)(A+E+G)Y’=BD+BDAG+CE+CG+AEG=BD+CE+CGY=(B+D)(C+E)(C+G)第十八頁，共二十九頁，2022年，8月28日例

化簡

解

實(shí)際應(yīng)用中遇到的邏輯函數(shù)往往比較復(fù)雜，化簡時應(yīng)靈活使用所學(xué)的公理、定理及規(guī)則，綜合運(yùn)用各種方法。第十九頁，共二十九頁，2022年，8月28日例

化簡

解

第二十頁，共二十九頁，2022年，8月28日5.邏輯函數(shù)擴(kuò)充公式

擴(kuò)充公式一1）

A·A=0，A·A=A的擴(kuò)充當(dāng)包含變量X、的函數(shù)f和變量X相“與”時，函數(shù)f中的X均可用“1”代替，均可用“0”代替；當(dāng)f和變量相“與”時，函數(shù)f中的X均可用“0”代替，均可用“1”代替。即

X·f（X，，Y，……，Z）=X·f（1，0，Y，……，Z）

·f（X，，Y，……，Z）=·f（0，1，Y，……，Z）2）

A+=1，A+B=A+B，A+AB=A的擴(kuò)充當(dāng)包含變量X、的函數(shù)f和變量X相“或”時，函數(shù)f中的X均可用“0”代替，均可用“1”代替。當(dāng)f和變量相“或”時，函數(shù)f中的X均可用“1”代替，均可用“0”代替。即

X+f（X，，Y，……，Z）=X+f（0，1，Y，……，Z）

+f（X，，Y，……，Z）=+f（1，0，Y，……，Z）第二十一頁，共二十九頁，2022年，8月28日

擴(kuò)充公式二第二十二頁，共二十九頁，2022年，8月28日利用擴(kuò)充公式化簡邏輯函數(shù)例1化簡邏輯函數(shù)

解：由擴(kuò)充公式一得

第二十三頁，共二十九頁，2022年，8月28日例2化簡邏輯函數(shù)

解：應(yīng)用擴(kuò)充公式二，將函數(shù)L展開為的邏輯或的形式，再用擴(kuò)充公式一進(jìn)行化簡。

第二十四頁，共二十九頁，2022年，8月28日例3化簡邏輯函數(shù)

解：應(yīng)用擴(kuò)充公式二，將函數(shù)L展開為的邏輯與的形式，再用擴(kuò)充公式一進(jìn)行化簡。

第二十五頁，共二十九頁，2022年，8月28日二、“或-與”表達(dá)式的化簡

最簡“或-與”表達(dá)式應(yīng)滿足兩個條件：

1．表達(dá)式中的“或”項(xiàng)個數(shù)最少；

2．在滿足上述條件的前提下，每個“或”項(xiàng)中的變量個數(shù)最少。

用代數(shù)化簡法化簡“或-與”表達(dá)式可直接運(yùn)用公理、定理中的“或-與”形式，并綜合運(yùn)用前面介紹“與-或”表達(dá)式化簡時提出的各種方法進(jìn)行化簡。第二十六頁，共二十九頁，2022年，8月28日例化簡

解

此外，可以采用兩次對偶法。具體如下：

第一步：對“或-與”表達(dá)式表示的函數(shù)F求對偶，得到“與-或”表達(dá)式F’；

第二步：求出F’的最簡“與-或”表達(dá)式；

第三步：對F’再次求對偶,即可得到F的最簡“或-與”表達(dá)式。