2022-2023學年高二數(shù)學 人教A版2019 選擇性必修第二冊 同步試題 4.1數(shù)列（第1課時） Word版含解析

2022-2023學年高二數(shù)學人教A版2019選擇性必修第二冊同步試題4.1數(shù)列（第1課時）Word版含解析.docx一、單選題1．（2022·全國·高二課時練習）若一數(shù)列為1，，，，…，則是這個數(shù)列的（

）．A．不在此數(shù)列中 B．第13項 C．第14項 D．第15項【答案】D【分析】根據(jù)給定的4項，寫出數(shù)列的一個通項公式即可計算作答.【詳解】因，因此符合題意的一個通項公式為，由解得：，所以是這個數(shù)列的第15項.故選：D2．（2022·遼寧葫蘆島·高二階段練習）已知數(shù)列1，，5，，9，…，則該數(shù)列的第10項為（

）A． B． C．19 D．21【答案】B【分析】由數(shù)列的前幾項可得數(shù)列的一個通項公式，再代入計算可得；【詳解】解：依題意可得該數(shù)列的通項公式可以為，所以.故選：B3．（2022·福建·莆田一中高二期末）已知數(shù)列的通項公式為，則這個數(shù)列第5項是（

）A．9 B．17 C．33 D．65【答案】C【分析】代入通項公式計算可得．【詳解】.故選：C.4．（2022·全國·高二課時練習）若數(shù)列{an}滿足an＋1＝(n∈N*)，且a1＝1，則a17＝（

）A．13 B．14C．15 D．16【答案】A【分析】由已知條件可得an＋1－an＝，然后利用累加法可求得答案【詳解】由an＋1＝，得an＋1－an＝，所以a17＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(a17－a16)＝1＋×16＝13，故選：A.5．（2022·全國·高二課時練習）數(shù)列1，3，6，10，15，…的遞推公式是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】設(shè)數(shù)列1，3，6，10，15，…為，根據(jù)數(shù)列中項的關(guān)系，由數(shù)學歸納法可得，由此即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)數(shù)列1，3，6，10，15，…為，所以，，所以.故選：B.6．（2022·全國·高二課時練習）兩千多年前，古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家曾經(jīng)在沙灘上研究數(shù)學問題．他們在沙灘上畫出點或用小石子表示數(shù)，按照點或小石子能排列的形狀對數(shù)進行分類，如下圖中實心點的個數(shù)依次為5，9，14，20，…，這樣的一組數(shù)被稱為梯形數(shù)，記此數(shù)列為，則（

）．A．B．C．D．【答案】D【分析】觀察梯形數(shù)的前幾項，找到從第二項開始，后一項減前一項的規(guī)律，即可得解．【詳解】解：觀察梯形數(shù)的前幾項，得：…由此可得故選：D．二、多選題7．（2022·全國·高二課時練習）（多選）下面四個結(jié)論正確的是（

）A．數(shù)列1，2，3，4和數(shù)列1，3，4，2是相同的數(shù)列B．數(shù)列可以看作是一個定義在正整數(shù)集（或它的有限子集）上的函數(shù)C．數(shù)列的圖像是一系列孤立的點D．數(shù)列的項數(shù)是無限的【答案】BC【分析】根據(jù)數(shù)列的相關(guān)概念逐一判斷即可.【詳解】對于A，數(shù)列1，2，3，4和數(shù)列1，3，4，2是不同的數(shù)列，故錯誤；對于B，由數(shù)列的定義可知正確；對于C，由數(shù)列的，可知正確；對于D，根據(jù)數(shù)列的項可以分為有窮數(shù)列和無窮數(shù)列，故錯誤.故選:BC.8．（2022·全國·高二課時練習）下列是遞增數(shù)列的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)遞增數(shù)列的定義判斷．【詳解】A．令，則，是遞增數(shù)列，正確；B．令，則，，不合題意，錯；C．令，則，符合題意．正確；D．令，則，，不合題意．錯．故選：AC．9．（2022·全國·高二課時練習）數(shù)列1，3，6，10，15，…的遞推公式可以是（

）A．， B．，，C．， D．，，【答案】B【分析】根據(jù)題意，得到，，，，…，由此得到答案.【詳解】設(shè)數(shù)列1，3，6，10，15，…為，則，，，，…，n=1時，A、D不合題意；而中不包含，由此可得數(shù)列滿足.故選：B．三、填空題10．（2022·廣西·高二學業(yè)考試）聯(lián)合國教科文組織將3月14日確定為“國際數(shù)學日”，是因為3.14是圓周率數(shù)值最接近的數(shù)字.我國數(shù)學家劉徽首創(chuàng)割圓術(shù)，所謂“割圓術(shù)”，是用圓內(nèi)接正多邊形的面積去無限逼近圓面積并以此求取圓周率的方法.步驟是：第1步，計算圓內(nèi)接正六邊形的周長；第2步，計算圓內(nèi)接正12邊形的周長；第3步，計算圓內(nèi)接正24邊形的周長；以此類推，第6步，需要計算的是正______邊形的周長.【答案】【分析】根據(jù)“割圓術(shù)”的規(guī)律求得正確答案.【詳解】依題意，邊長依次為：.故答案為：11．（2022·全國·高二期末）數(shù)列，，，，的第14項是_________．【答案】【分析】根據(jù)數(shù)列的前幾項歸納出數(shù)列的一個通項公式，再代入計算可得；【詳解】解：不妨設(shè)數(shù)列為，則，，，，由此歸納得到的一個通項公式為，所以；故答案為：12．（2022·陜西·西安市閻良區(qū)關(guān)山中學高二階段練習（文））已知一列數(shù)1，－5，9，－13，17，……，根據(jù)其規(guī)律，下一個數(shù)應(yīng)為__．【答案】【分析】通過觀察數(shù)列可知絕對值成等差數(shù)列，且奇數(shù)項為正，偶數(shù)項為負，即可求解.【詳解】由已知條件得數(shù)列的每一項的絕對值成首項為，公差為的等差數(shù)列，且奇數(shù)項為正，偶數(shù)項為負，進而可推斷出通項公式為，則；故答案為：.13．（2022·全國·高二課時練習）已知數(shù)列滿足下列條件：①是無窮數(shù)列；②是遞減數(shù)列；③每一項都是正數(shù)．寫出一個符合條件的數(shù)列的通項公式：=______．【答案】（答案不唯一）【分析】先尋找滿足條件②的常見數(shù)列，再驗證是否滿足條件①③．【詳解】符合條件的數(shù)列有：，，，…．故答案為：(答案不唯一).14．（2022·浙江·杭州四中高二期中）已知數(shù)列滿足，，則________.【答案】【分析】根據(jù)遞推公式計算可得.【詳解】解：因為，，所以，則；故答案為：15．（2022·全國·高二課時練習）如果且，則______．【答案】20【分析】由已知關(guān)系式可求得，由此可整理得到結(jié)果.【詳解】令，，則，，.故答案為：.四、解答題16．（2022·江蘇·高二課時練習）根據(jù)數(shù)列{an}的通項公式，畫出它的圖象，(1)an＝；(2)an＝（－1)n.【分析】根據(jù)列表法做出圖像，數(shù)列的圖像是離散的點.(1)解：，，，，…圖象如圖1所示.(2)，，，，…圖象如圖2所示．17．（2021·全國·高二課時練習）觀察下列數(shù)列的特點，用適當?shù)臄?shù)填空，并寫出數(shù)列的一個通項公式：（1）（

），，，（

），，（

），；（2），，（

），，，（

），；（3），，（

），，，（

），；（4），，（

），，，（

）.【分析】本題可依次觀察每個數(shù)列中的數(shù)之間的關(guān)系，根據(jù)數(shù)之間的關(guān)系即可得出結(jié)果.【詳解】（1）中依次填寫、、，通項公式為；（2）中依次填寫、，通項公式為；（3）中依次填寫、，通項公式為；（4）中依次填寫、，通項公式為.18．（2021·江蘇·鹽城市伍佑中學高二期中）已知函數(shù)，設(shè)數(shù)列的通項公式為，其中.(1)求的值；(2)求證：；(3)判斷是遞增數(shù)列還是遞減數(shù)列，并說明理由.【答案】(1)(2)證明見解析(3)遞增數(shù)列，證明見解析.【分析】（1）求出即得解；（2）結(jié)合反比例函數(shù)的單調(diào)性以及不等式的性質(zhì)即可證得；（3）證得，即可得出結(jié)論.(1)解：由題得，所以.(2)解：由題意得，因為為正整數(shù)，所以，所以.(3)解：由題得是遞增數(shù)列，證明：，所以是遞增數(shù)列.19．（2022·全國·高二課時練習）已知，求數(shù)列的最小值.【答案】4【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得數(shù)列的單調(diào)性，從而可求最小值.【詳解】因為二次函數(shù)的對稱軸為，故在上，為增函數(shù)，而，故當時，為遞增數(shù)列，故當時，的最小值為.20．（2022·江蘇·高二課時練習）寫出數(shù)列的前5項：(1)；(2)；(3)；(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】根據(jù)數(shù)列的通項公式，準確計算，即可求解.(1)解：由，可得.(2)解：由，可得.(3)解：由，可得.(4)解：由，可得.21．（2021·全國·高二課時練習）對于任意數(shù)列，等式：都成立.試根據(jù)這一結(jié)論，完成問題：已知數(shù)列滿足：，，求通項．【答案】【分析】根據(jù)累加法可求得結(jié)果.【詳解】當時，，也符合上式，所以數(shù)列的通項公式是.22．（2022·全國·高二課時練習）根據(jù)下列條件，寫出各數(shù)列的前4項，并歸納猜想數(shù)列的通項公式．(1)，（，）；(2)，（，）；(3)，，（，）．【答案】(1)，，，，猜想;(2)，，，，猜想；(3)，，，，猜想.【分析】分別由已知數(shù)列遞推式求出數(shù)列的前4項，然后歸納猜測可得所求數(shù)列的通項公式．(1)解：歸納猜想.(2)解：歸納猜想.(3)解：，，，歸納猜想.23．（2022·遼寧·建平縣實驗中學高二階段練習）已知數(shù)列的前n項和為（1）當取最小值時，求n的值；（2）求出的通項公式.【答案】（1）或；（2）【解析】（1）直接對進行配方，由可求出其最小值（2）由求解的通項公式【詳解】解：（1），因為，所以當或時，取最小值，（2）當時，，當時，，當時，滿足上式，所以【點睛】此題考查由數(shù)列的遞推公式求通項公式，考查的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題【能力提升】一、單選題1．（2022·全國·高二課時練習）已知數(shù)列的通項公式是，則（

）A．不是單調(diào)數(shù)列 B．是遞減數(shù)列 C．是遞增數(shù)列 D．是常數(shù)列【答案】C【分析】由與0比較即可得出答案.【詳解】因為，所以是遞增數(shù)列.故選：C.2．（2022·全國·高二課時練習）下列有關(guān)數(shù)列的說法正確的是（

）A．同一數(shù)列的任意兩項均不可能相同B．數(shù)列，，與數(shù)列，，是同一個數(shù)列C．數(shù)列1，3，5，7可表示為D．數(shù)列2，5，2，5，…，2，5，…是無窮數(shù)列【答案】D【分析】根據(jù)數(shù)列的概念，逐項判斷即可.【詳解】例如無窮個3構(gòu)成的常數(shù)列3，3，3，…的各項都是3，故A錯誤；數(shù)列，0，1與數(shù)列0，1，中項的順序不同，即表示不同的數(shù)列，故B錯誤；是一個集合，故C錯誤；根據(jù)數(shù)列的分類，數(shù)列2，5，2，5，…，2，5，…中的項有無窮多個，所以是無窮數(shù)列，D正確.故選：D.3．（2022·廣東·順德市李兆基中學高二階段練習）已知數(shù)列滿足，對任意的都有，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用累加法可求得，代入即可求得.【詳解】由得：，，，，…，，各式作和得：，，.故選：C.4．（2022·福建省福安市第一中學高二階段練習）數(shù)列滿足，，則等于（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】根據(jù)遞推關(guān)系得出數(shù)列前幾項，歸納可知數(shù)列具有周期性，利用周期求解即可.【詳解】因為，，所以，，，，，…，所以數(shù)列是周期數(shù)列，周期為3，所以，所以.故選：A.5．（2022·上?！とA師大二附中高二開學考試）已知數(shù)列的首項，且，，是此數(shù)列的前n項和，則以下結(jié)論正確的是（

）A．不存在a和n使得 B．不存在a和n使得C．不存在a和n使得 D．不存在a和n使得【答案】A【分析】利用特殊值的思路，分別令、來去判斷即可.【詳解】令，則所有的奇數(shù)項都為1，偶數(shù)項都為5，此時，故C選項錯誤；令，則所有的奇數(shù)項都為2，偶數(shù)項都為4，此時，，故BD選項錯誤，綜上所述，A選項正確.故選：A.6．（2021·甘肅·甘南藏族自治州合作第一中學高二期中（理））已知數(shù)列1，，，，，，，，，，…，則是數(shù)列中的（）A．第58項 B．第59項 C．第60項 D．第61項【答案】C【分析】觀察該數(shù)列特征，進行重新分組即可得解.【詳解】對該數(shù)列進行重新分組：，，，，，則出現(xiàn)在，其項數(shù)是故選：C7．（2022·全國·高二課時練習）下列數(shù)列中，既是遞增數(shù)列又是無窮數(shù)列的是()A．－1，－2，－3，－4，… B．－1，－，－，－，…C．－1，－2，－4，－8，… D．1，，，，…，【答案】B【詳解】A，B，C中的數(shù)列都是無窮數(shù)列，但是A，C中的數(shù)列是遞減數(shù)列，故選B.8．（2022·全國·高二課時練習）在數(shù)列中，，，則等于（

）．A． B． C． D．2【答案】C【分析】由數(shù)列的首項和遞推式求得數(shù)列的前面幾項，可推得數(shù)列的周期性，即可求得答案.【詳解】由，可得：，故數(shù)列為周期性數(shù)列，每3項為一循環(huán)，而，故，故選：C9．（2022·重慶九龍坡·高二期末）“中國剩余定理”又稱“孫子定理”.1852年英國來華傳教士偉烈亞利將《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”問題的解法傳至歐洲.1874年，英國數(shù)學家馬西森指出此法符合1801年由高斯得出的關(guān)于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國剩余定理”.“中國剩余定理”講的是一個關(guān)于整除的問題，現(xiàn)有這樣一個整除問題：將2至2021這2020個數(shù)中能被3除余1且被5除余1的數(shù)按由小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則此數(shù)列的項數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題設(shè)且，應(yīng)用不等式求的范圍，即可確定項數(shù).【詳解】由題設(shè)，且，所以，可得且.所以此數(shù)列的項數(shù)為.故選：C二、多選題10．（2021·河北·邯鄲市永年區(qū)第二中學高二階段練習）下列說法正確的是（

）A．任何數(shù)列都有通項公式B．數(shù)列的通項公式形式可能不唯一C．數(shù)列1，3，7，15，31，…的一個通項公式為D．在數(shù)列中，，，則【答案】BCD【分析】通過舉例說明可判斷選項A，B；根據(jù)數(shù)列的通項公式可得出數(shù)列1，3，7，15，31，…的通項公式，從而判斷選項C；根據(jù)條件可分別求出，的值，從而判斷選項D.【詳解】不是每個數(shù)列都有通項公式的，例如，精確到的近似值所構(gòu)成的數(shù)列，就沒有通項公式，故選項A錯誤；數(shù)列通項公式的形式可能不唯一，例如數(shù)列的通項公式可以寫成，也可以寫出，故選項B正確；觀察發(fā)現(xiàn)數(shù)列1，3，7，15，31，…的每一項都加得到，其通項公式為，所以原數(shù)列的通項公式為，故選項C正確；因為，，所以，，故選項D正確.故選：BCD.11．（2022·重慶南開中學高二期末）已知數(shù)列滿足：，，若為的前項和，則（

）A． B．C．是遞增數(shù)列 D．【答案】ACD【分析】利用遞推式求出可判斷A；利用遞推式求出可判斷B；利用得與同號，且可判斷C；由得，然后利用累項求和可判斷D.【詳解】，，時，，時，故A正確；時，所以，故B錯誤；由得與同號，又，所以，所以，所以是遞增數(shù)列，故C正確；由得，所以，，，，以上各式累加得，即，所以，當時，，所以，故D正確.故選：ACD.三、填空題12．（2022·全國·高二課時練習）寫出一個同時具有性質(zhì)①②③的數(shù)列，①無窮數(shù)列；②；③每一項都是正數(shù)，則______．【答案】（答案不唯一）【分析】由條件寫出符合題意的數(shù)列即可.【詳解】根據(jù)題意，要求的數(shù)列可以為，為無窮數(shù)列，每一項都是正數(shù)，且.故答案為：（答案不唯一）.13．（2018·河南信陽·高二期中（文））數(shù)列，，，，，，，，，，，…，則該數(shù)列的第28項為__________．【答案】【分析】由題可得數(shù)列的各項分母為的有個，結(jié)合條件即得.【詳解】由題可知，數(shù)列的各項分母為的有個，因為，所以數(shù)列的第28項為.故答案為：.14．（2022·全國·高二課時練習）給出下列命題：①已知數(shù)列，，則是這個數(shù)列的第10項，且最大項為第1項；②數(shù)列，…的一個通項公式是；③已知數(shù)列，，且，則；④已知，則數(shù)列為遞增數(shù)列．其中正確命題的個數(shù)為______．【答案】4【分析】令，以及數(shù)列的單調(diào)性，可判定①正確；結(jié)合歸納法，可判定②正確；由，求得，求得，可判定③正確；由，可判定④正確．【詳解】對于①中，令，解得，且數(shù)列為遞減數(shù)列，所以最大項為第1項，所以①正確；對于②中，數(shù)列，，，，…的一個通項公式為，所以原數(shù)列的一個通項公式為，所以②正確；對于③中，由且，即，解得，所以，所以，所以③正確；對于④中，由，可得，即，所以數(shù)列為遞增數(shù)列，所以④正確．故答案為：.15．（2022·全國·高二課時練習）若，則數(shù)列的最大項是第______項．【答案】7【分析】，對應(yīng)的二次函數(shù)為，對稱軸為，找到離對稱軸最近的整數(shù)即可．【詳解】，其對應(yīng)的二次函數(shù)為，對稱軸為，但為正整數(shù)，所以離最近的整數(shù)為7，所以在第7項取最大值．故答案為：7.16．（2022·全國·高二單元測試）在數(shù)列中，，，則______．【答案】【分析】由遞推關(guān)系依次求，即可求出【詳解】由題，，，，即周期為4，所以，故答案為：17．（2022·福建省連城縣第一中學高二階段練習）已知數(shù)列滿足，，則_______.【答案】50【分析】令，則是常數(shù)列，進而求出，故可求得，代入即可求得.【詳解】根據(jù)題意，令，得因為，所以，又，所以是首項為的常數(shù)列，故，即，故，所以.故答案為：50.18．（2022·廣東佛山·高二期末）已知數(shù)列滿足，，則______．【答案】63【分析】由題設(shè)可得，應(yīng)用累加法，結(jié)合已知即可求.【詳解】由題設(shè)，，所以，又，所以.故答案為：.四、解答題19．（2022·全國·高二課時練習）已知數(shù)列滿足．(1)寫出數(shù)列的前3項；(2)求數(shù)列的通項公式．【答案】(1)，，(2)【分析】（1）根據(jù)數(shù)列遞推式可求得其前3項；（2）由由可得,兩式相減即可求得答案.（1）由數(shù)列滿足，可得：時，；當時，；當時，；（2）由可得，兩式相減可得，也適合該式，故數(shù)列的通項公式.20．（2022·北京市第十二中學高二階段練習）對于無窮數(shù)列、，，若，則稱數(shù)列是數(shù)列的“收縮數(shù)列”，其中、分別表示中的最大項和最小項．(1)寫出數(shù)列的“收縮數(shù)列”；(2)證明：數(shù)列的“收縮數(shù)列”仍是．【答案】(1)；(2)證明見解析【分析】（1）先判斷出為遞增數(shù)列，再由“收縮數(shù)列”的定義求解即可；（2）先判斷出，，再由“收縮數(shù)列”的定義求解即可.(1)由可得為遞增數(shù)列，所以；(2)因為，，，所以，所以，又，所以，所以數(shù)列的“收縮數(shù)列”仍是．21．（2022·全國·高二課時練習）已知數(shù)列的通項公式為，求數(shù)列中的最大項．【答案】【分析】解法一或解法二：分析數(shù)列的單調(diào)性，即可求得數(shù)列中的最大項.【詳解】解法一：（作差比較法）：，當時，，即；當時，，即；當時，，即．所以，，所以數(shù)列中的最大項為或，且；解法二（作商比較法）：，令，解得；令，解得；令，解得．又，故，，所以數(shù)列中的最大項為或，且．22．（2022·全國·高二課時練習）某學生在體育訓練時弄傷了膝關(guān)節(jié)，醫(yī)生給他開了一些消炎藥，并叮囑他每天早上8點和晚上8點各服用一片藥片．現(xiàn)知該藥片每片220mg，該學生的腎臟每12小時從體內(nèi)代謝出