MATLAB符號計算（MATLAB程序設(shè)計教程電子教案）課件

第9章MATLAB符號計算9.1符號對象9.2符號微積分9.3級數(shù)9.4符號方程求解9.1符號對象9.1.1建立符號對象1．建立符號變量和符號常量MATLAB提供了兩個建立符號對象的函數(shù)：sym和syms，兩個函數(shù)的用法不同。(1)sym函數(shù)sym函數(shù)用來建立單個符號量，一般調(diào)用格式為：符號量名=sym('符號字符串')該函數(shù)可以建立一個符號量，符號字符串可以是常量、變量、函數(shù)或表達式。應用sym函數(shù)還可以定義符號常量，使用符號常量進行代數(shù)運算時和數(shù)值常量進行的運算不同。下面的命令用于比較符號常量與數(shù)值常量在代數(shù)運算時的差別。(2)syms函數(shù)函數(shù)sym一次只能定義一個符號變量，使用不方便。MATLAB提供了另一個函數(shù)syms，一次可以定義多個符號變量。syms函數(shù)的一般調(diào)用格式為：syms符號變量名1符號變量名2…符號變量名n用這種格式定義符號變量時不要在變量名上加字符串分界符(‘)，變量間用空格而不要用逗號分隔。9.1.2符號表達式運算1．符號表達式的四則運算符號表達式的加、減、乘、除運算可分別由函數(shù)symadd、symsub、symmul和symdiv來實現(xiàn)，冪運算可以由sympow來實現(xiàn)。2．符號表達式的提取分子和分母運算如果符號表達式是一個有理分式或可以展開為有理分式，可利用numden函數(shù)來提取符號表達式中的分子或分母。其一般調(diào)用格式為：[n,d]=numden(s)該函數(shù)提取符號表達式s的分子和分母，分別將它們存放在n與d中。3．符號表達式的因式分解與展開MATLAB提供了符號表達式的因式分解與展開的函數(shù)，函數(shù)的調(diào)用格式為：factor(s)：對符號表達式s分解因式。expand(s)：對符號表達式s進行展開。collect(s)：對符號表達式s合并同類項。collect(s,v)：對符號表達式s按變量v合并同類項。4．符號表達式的化簡MATLAB提供的對符號表達式化簡的函數(shù)有：simplify(s)：應用函數(shù)規(guī)則對s進行化簡。simple(s)：調(diào)用MATLAB的其他函數(shù)對表達式進行綜合化簡，并顯示化簡過程。9.1.3符號表達式中變量的確定MATLAB中的符號可以表示符號變量和符號常量。findsym可以幫助用戶查找一個符號表達式中的的符號變量。該函數(shù)的調(diào)用格式為：findsym(s,n)函數(shù)返回符號表達式s中的n個符號變量，若沒有指定n，則返回s中的全部符號變量。9.1.4符號矩陣符號矩陣也是一種符號表達式，所以前面介紹的符號表達式運算都可以在矩陣意義下進行。但應注意這些函數(shù)作用于符號矩陣時，是分別作用于矩陣的每一個元素。由于符號矩陣是一個矩陣，所以符號矩陣還能進行有關(guān)矩陣的運算。MATLAB還有一些專用于符號矩陣的函數(shù)，這些函數(shù)作用于單個的數(shù)據(jù)無意義。例如transpose(s)：返回s矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣。determ(s)：返回s矩陣的行列式值。其實，曾介紹過的許多應用于數(shù)值矩陣的函數(shù)，如diag、triu、tril、inv、det、rank、eig等，也可直接應用于符號矩陣。9.2符號微積分9.2.1符號極限limit函數(shù)的調(diào)用格式為：(1)limit(f,x,a)：求符號函數(shù)f(x)的極限值。即計算當變量x趨近于常數(shù)a時，f(x)函數(shù)的極限值。(2)limit(f,a)：求符號函數(shù)f(x)的極限值。由于沒有指定符號函數(shù)f(x)的自變量，則使用該格式時，符號函數(shù)f(x)的變量為函數(shù)findsym(f)確定的默認自變量，即變量x趨近于a。例9-1求下列極限。極限1：symsamx;f=(x*(exp(sin(x))+1)-2*(exp(tan(x))-1))/(x+a);limit(f,x,a)ans=(1/2*a*exp(sin(a))+1/2*a-exp(tan(a))+1)/a極限2：symsxt;limit((1+2*t/x)^(3*x),x,inf)ans=exp(6*t)極限3：symsx;f=x*(sqrt(x^2+1)-x);limit(f,x,inf,'left')ans=1/2極限4：symsx;f=(sqrt(x)-sqrt(2)-sqrt(x-2))/sqrt(x*x-4);limit(f,x,2,'right')ans=-1/29.2.2符號導數(shù)diff函數(shù)用于對符號表達式求導數(shù)。該函數(shù)的一般調(diào)用格式為：diff(s)：沒有指定變量和導數(shù)階數(shù)，則系統(tǒng)按findsym函數(shù)指示的默認變量對符號表達式s求一階導數(shù)。diff(s,'v')：以v為自變量，對符號表達式s求一階導數(shù)。diff(s,n)：按findsym函數(shù)指示的默認變量對符號表達式s求n階導數(shù)，n為正整數(shù)。diff(s,'v',n)：以v為自變量，對符號表達式s求n階導數(shù)。例9-2求下列函數(shù)的導數(shù)。9.2.4積分變換常見的積分變換有傅立葉變換、拉普拉斯變換和Z變換。1．傅立葉(Fourier)變換在MATLAB中，進行傅立葉變換的函數(shù)是：fourier(f,x,t)：求函數(shù)f(x)的傅立葉像函數(shù)F(t)。ifourier(F,t,x)：求傅立葉像函數(shù)F(t)的原函數(shù)f(x)。例9-4求函數(shù)y=的傅立葉變換及其逆變換。2．拉普拉斯(Laplace)變換在MATLAB中，進行拉普拉斯變換的函數(shù)是：laplace(fx,x,t)：求函數(shù)f(x)的拉普拉斯像函數(shù)F(t)。ilaplace(Fw,t,x)：求拉普拉斯像函數(shù)F(t)的原函數(shù)f(x)。例9-5計算y=x3的拉普拉斯變換及其逆變換。3．Z變換當函數(shù)f(x)呈現(xiàn)為一個離散的數(shù)列f(n)時，對數(shù)列f(n)進行z變換的MATLAB函數(shù)是：ztrans(fn,n,z)：求fn的Z變換像函數(shù)F(z)。iztrans(Fz,z,n)：求Fz的z變換原函數(shù)f(n)。例9-6求數(shù)列fn=e-2n的Z變換及其逆變換。9.3.2函數(shù)的泰勒級數(shù)MATLAB提供了taylor函數(shù)將函數(shù)展開為冪級數(shù)，其調(diào)用格式為：taylor(f,v,n,a)該函數(shù)將函數(shù)f按變量v展開為泰勒級數(shù)，展開到第n項(即變量v的n-1次冪)為止，n的缺省值為6。v的缺省值與diff函數(shù)相同。參數(shù)a指定將函數(shù)f在自變量v=a處展開，a的缺省值是0。例9-8求函數(shù)在指定點的泰勒級數(shù)展開式。9.4符號方程求解9.4.1符號代數(shù)方程求解在MATLAB中，求解用符號表達式表示的代數(shù)方程可由函數(shù)solve實現(xiàn)，其調(diào)用格式為：solve(s)：求解符號表達式s的代數(shù)方程，求解變量為默認變量。solve(s,v)：求解符號表達式s的代數(shù)方程，求解變量為v。solve(s1,s2,…,sn,v1,v2,…,vn)：求解符號表達式s1,s2,…,sn組成的代數(shù)方程組，求解變量分別v1,v2,…,vn。例9-9解下列方程。9.4.2符號常微分方程求解在MATLAB中，用大寫字母D表示導數(shù)。例如，Dy表示y'，D2y表示y''，Dy(0)=5表示y'(0)=5。D3y+D2y+Dy-x+5=0表示微分方程y'''+y''+y'-x+5=0。符號常微分方程求解可以通過函數(shù)dsolve來實現(xiàn)，其調(diào)用格式為：dsolve(e,c,v)該函數(shù)求解常微分方程e在初值條件c下的特解。參數(shù)v描述方程中的自變量，省略時按缺省原則