圓的基本概念

圓的基本概念1、定義：在一個(gè)平面內(nèi)，線段 OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn) O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn) A所形成的圖形叫做圓。固定點(diǎn)O叫做圓心；線段OA叫做半徑；圓上各點(diǎn)到定點(diǎn)（圓心O）的距離都等于定長(zhǎng) (半徑r)；反之，到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)都在同一個(gè)圓上 （另一定義）；

OA以O(shè)為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”弦：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦。直徑：經(jīng)過圓心的弦叫直徑。注：圓中有無數(shù)條直徑圓的對(duì)稱性及特性：

DBCOA圓是軸對(duì)稱圖形,圓的對(duì)稱軸是任意一條經(jīng)過圓心的直線,它有無數(shù)條對(duì)稱軸 ;圓也是中心對(duì)稱圖形,它的對(duì)稱中心就是圓心.一個(gè)圓繞著它的圓心旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角度,都能與原來的圖形重合.這是圓特有的一個(gè)性質(zhì) :圓的旋轉(zhuǎn)不變性圓?。簣A上任意兩點(diǎn)間的部分，也可簡(jiǎn)稱為“弧”以A,B兩點(diǎn)為端點(diǎn)的弧.記作AB,讀作“弧AB”.圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，其中每一條弧都叫半圓。如弧AD.小于半圓的弧叫做劣弧,如記作AB(用兩個(gè)字母).大于半圓的弧叫做優(yōu)弧,如記作ACB(用三個(gè)字母).學(xué)習(xí)重點(diǎn):圓及其有關(guān)概念學(xué)習(xí)難點(diǎn):用集合的觀念描述圓【例1】已知：如圖，OA、OB、OC是⊙O的三條半徑，∠AOC=BOC，M、N分別為OA、OB的中點(diǎn)．求證：MC=NC．【例2】由于過渡采伐森林和破壞植被，使我國(guó)某些地區(qū)多次受到沙塵暴的侵襲．近來A市氣象局測(cè)得沙塵暴中心在A市正東方向400km的B處，正在向西北方向移動(dòng)（如圖），距沙塵暴中心300km的范圍內(nèi)將受到影響，問A市是否會(huì)受到這次沙塵暴的影響【隨堂針對(duì)練習(xí)】1．圓上各點(diǎn)到圓心的距離都等于，到圓心的距離等于半徑的點(diǎn)都在．2．P為⊙O內(nèi)與O不重合的一點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A．點(diǎn)P到⊙O上任一點(diǎn)的距離都小于⊙ O的半徑B．⊙O上有兩點(diǎn)到點(diǎn) P的距離等于⊙O的半徑C．⊙O上有兩點(diǎn)到點(diǎn) P的距離最小D．⊙O上有兩點(diǎn)到點(diǎn) P的距離最大3．以已知點(diǎn) O為圓心作圓，可以作（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．無數(shù)個(gè)4．以已知點(diǎn) O為圓心，已知線段 a為半徑作圓，可以作（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè)D．無數(shù)個(gè)5．一點(diǎn)和⊙O上的最近點(diǎn)距離為4cm，最遠(yuǎn)距離為9cm，則這圓的半徑是cm．6．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15cm，BC=10cm，以A為圓心，12cm為半徑作圓，則點(diǎn)C與⊙A的位置關(guān)系是．7．⊙O的半徑是3cm，P是⊙O內(nèi)一點(diǎn)，PO=1cm，則點(diǎn)P到⊙O上各點(diǎn)的最小距離是．8．如圖，公路MN和公路PQ在P處交匯，且∠QPN=30°，點(diǎn)A處有一所中學(xué)，AP=160m．假設(shè)拖拉機(jī)行駛時(shí)，周圍100m以內(nèi)會(huì)受到噪聲的影響，那么拖拉機(jī)在公路MN上沿PN方向行駛時(shí)，學(xué)校是否會(huì)受到噪聲影響請(qǐng)說明理由；如果受影響，已知拖拉機(jī)的速度為18km/時(shí)，那么學(xué)樣受影響的時(shí)間為多少秒垂徑定理及其推論:1）定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分這條弦所對(duì)的兩條??；2）推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于這條弦，并且平分這條弦所對(duì)的兩條弧。推論2：平分弧的直徑垂直平分弧所對(duì)的弦 。垂徑定理歸納為：一條直線，如果具有：①經(jīng)過圓心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所對(duì)的優(yōu)弧；⑤平分A例題1、如圖3－5，CD是⊙O的直徑，弦AB⊥CD于E，若CE＝a，ED=b.CE.OD求：（1）=的長(zhǎng)；（2）AB的長(zhǎng).B例題2、如圖所示，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C，若AB=25cm，OC=1cm，則⊙O的半徑長(zhǎng)為______cm．例題3、（易錯(cuò)題）在直徑為50cm的圓中，弦AB為40cm，弦CD為48cm，且AB∥CD，求AB?與CD之間距離．解：如圖所示，過O作OM⊥AB，AB∥CD，∴ON⊥CD．在Rt△BMO中，BO=25cm．11×40=20cm，由垂徑定理得BM=AB=22∴OM=OB2BM2252202=15cm．同理可求ON=OC2CN2252242=7cm，所以MN=OM-ON=15-7=8cm．以上解答有無漏解，漏了什么解，請(qǐng)補(bǔ)上【鞏固練習(xí)】基礎(chǔ)題：1．下列命題中，正確的是（ ）A．過弦的中點(diǎn)的直線平分弦所對(duì)的弧 B．過弦的中點(diǎn)的直線必過圓心C．弦所對(duì)的兩條弧的中點(diǎn)連線垂直平分弦， 且過圓心 D．弦的垂線平分弦所對(duì)的?。铝忻}中錯(cuò)誤的有（）①弦的垂直平分線經(jīng)過圓心； ②平分弦的直徑垂直于弦； ③梯形的對(duì)角線互相平分；④圓的對(duì)稱軸是直徑 .A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)在半徑為25cm的⊙O中，弦AB＝40cm，則此弦和所對(duì)的弧的中點(diǎn)的距離為 ()10cm15m40cm10cm 或40cm如圖，在以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C、D兩點(diǎn)，AB 10cm,CD 6cm，則AC的長(zhǎng)為（）A．0.5cmB．1cmC．1.5cmD．2cm過⊙O內(nèi)一點(diǎn)P的最長(zhǎng)的弦長(zhǎng)為13cm，最短的弦長(zhǎng)5cm，則OP=.直徑是1000mm的圓柱形水管面積如圖所示，若水面寬AB 800mm，則水的最大深度 CD為_______mm.6題圖7題圖8題圖如圖，是一個(gè)水平放置的圓柱形水管的截面，已知水面高CD 2 2cm，水面寬 AB 2 2cm．那么水管截面圓的半徑是_________cm．如圖，弦AB24cm，直徑CDAB于M，且CM8cm，求⊙O的半徑。◆拓展創(chuàng)新8．（應(yīng)用題）如圖所示，某地有一座圓弧形的拱橋，橋下水面寬為7.2m，拱頂高出水面2.4m，現(xiàn)有一艘寬3m，船艙頂部為正方形并高出水面2m的貨船要經(jīng)過這里，此時(shí)貨船能順利通過這座拱橋嗎請(qǐng)說明理由．提高題：1．如圖，AB為⊙O的一固定直徑，它把⊙ O分成上、下兩個(gè)半圓，自上半圓上一點(diǎn)C作弦CD AB， OCD的平分線交⊙O于點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn) C在上半圓（不包括 A、B兩點(diǎn)）上移動(dòng)時(shí)，點(diǎn) P（）A．到CD的距離保持不變 B．位置不變C．等分 D．隨C點(diǎn)的移動(dòng)而移動(dòng)2.圓的兩條平行弦與圓心的距離分別為 3和4，則此二平行弦之間的距離為.⊙O的直徑為15cm.弦AB和CD互相平行，兩弦之間的距離為10.5cm，AB=9cm，則CD=.如圖，矩形ABCD邊AB經(jīng)過⊙O的圓心，E，F(xiàn)分別為AB，CD與⊙

O的交點(diǎn)，若

AE

3cm，

AD

4cm，

DF

5cm，則⊙

O的徑等于

__________．如圖，已知：在⊙O中，AB是直徑，CD是弦，CECD交AB于E，DF CD交AB于F．求證：AE BF．如圖，在兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB，交小圓于C、D兩點(diǎn)，設(shè)大圓和小圓的半徑分別為a,b.求證：ADBDa2b2（相交弦DBAC定理）O.8.已知：如圖，以O(shè)為圓心，AOB120，OD⊥AB,ND4cm，矩形EFGH的兩頂點(diǎn)E、F在弦上，H、G在上，且EF4HE，DG求HE的長(zhǎng).HMAEFBN10.如圖，

AB是⊙

O的直徑，

CD是弦，AE

CD于

E，BF

CD于

F.O求證：

EC

FD

.◆課后自測(cè)1．下列說法正確的有 _______．（填序號(hào)）①直徑是弦;②弦是直徑;③半圓是弧，但弧不一定是半圓 ;④長(zhǎng)度相等的兩條弧是半圓2．工程上常用鋼珠來測(cè)量零件上小孔的直徑，假設(shè)鋼珠的直徑是12mm，測(cè)得鋼珠頂端離零件表面的距離為 9mm，如圖所示，則小孔的直徑 AB為______．3．一個(gè)已知 O點(diǎn)到圓周上的點(diǎn)的最大距離為 5cm，最小距離為1cm，?則此圓的半徑為________．4．如圖所示⊙O的半徑為5，弦AB長(zhǎng)為8，點(diǎn)M在線段AB（包括端點(diǎn)A、B）上移動(dòng)，則 OM的取值范圍是（）A．3≤OM≤5B．3≤OM<5C．4≤OM≤5D．4≤OM<55．如圖所示，矩形 ABCD與⊙O相交于M、N、F、E，若AM=2，DE=1，EF=?8，?則MN的長(zhǎng)為（）A．2B．4 C ．6D．86．如圖所示，D、E分別是弧? 、?AB AC

的中點(diǎn)，DE交AB于M、交AC于N.求證AM=AN．7．（教材變式題）如圖所示，⊙ O的直徑AB垂直于弦CD，AB、CD相交于點(diǎn)E，∠COD=100°，求∠COE，∠D的度數(shù)．圓心角同步練習(xí)例5.如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)A、B、C把⊙O三等分.(1)求證：△ABC是等邊三角形；求∠AOB的度數(shù)例6.如圖，在△ABC中，以BC為直徑的⊙O交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E,BD=CE．求證：AB=AC.0例7.如圖，在⊙O中，弦AD30C圖，P為⊙O的直徑EF延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，PA交⊙O于點(diǎn)B,A，PC交⊙O于點(diǎn)D,C兩點(diǎn)，∠1=∠2，求證：PB=PD.提高訓(xùn)練如圖，AB為⊙O的一固定直徑，它把⊙O分成上、下兩個(gè)半圓，自上半圓上一點(diǎn) C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分線交⊙O于點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)C在上半圓（不包括 A,B兩點(diǎn)）上移動(dòng)時(shí)，點(diǎn) P（）A．到CD的距離保持不變 B．位置不變?C．等分DBD．隨C點(diǎn)的移動(dòng)而移動(dòng)??2.如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，OD是半徑，且ODCDBD圖，MN為半圓O的直徑，半徑OA⊥MN,D為OA的中點(diǎn)，過點(diǎn)D1?的中作BC4.如圖，AB,CD是⊙O的兩條弦，且AB=CD,點(diǎn)M是AC8點(diǎn)，求證：MB=MD.5.如圖,AB,CD是⊙O的兩條直徑，過點(diǎn)A作AE證：BD=DE.圓周角【知識(shí)要點(diǎn)】1．在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，相等的圓周角所對(duì)的弧也相等 .例1.如圖，在⊙O中，弦AB例2.如圖，A,B,C,D四點(diǎn)都在⊙O上，AD是⊙O的直徑，且AD=6cm，若∠ABC=∠CAD．求弦AC的長(zhǎng)．提高訓(xùn)練如圖，已知AB是⊙O的直徑，CD與AB相交于點(diǎn)E，0∠ACD=60，0∠ADC=50，則∠AEC=．2.已知3cm長(zhǎng)的一條弦所對(duì)的圓周角是1350,那么圓的直徑是.3.00如圖，A,B,C為⊙O上三點(diǎn)，∠BAC=120，∠ABC=45,M,N分別為BC,AC的中點(diǎn)，則OM:ON的值為4