北京各區(qū)中考數(shù)學(xué)07-11綜合壓軸題解析匯總經(jīng)典

北京中考數(shù)學(xué)一幾何、二次函數(shù)綜合題壓軸題解析匯總

25、（2007?北京）我們知道：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.類似地，我們定義：

至少有一組對(duì)邊相等的四邊形叫做等對(duì)邊四邊形.

（1）請(qǐng)寫出一個(gè)你學(xué)過(guò)的特殊四邊形中是等對(duì)邊四邊形的圖形的名稱；

（2）如圖，在AABC中，點(diǎn)D,E分別在AB,AC上，設(shè)CD,BE相交于點(diǎn)0,

若NA=60。，NDCB=NEBC=*NA.請(qǐng)你寫出圖中一個(gè)與NA相等的角，并猜想圖中哪個(gè)四邊形

是等對(duì)邊四邊形；

（3）在4ABC中，如果NA是不等于60。的銳角，點(diǎn)D,E分別在AB,AC上，且

NDCB=NEBC=/NA.探究：滿足上述條件的圖形中是否存在等對(duì)邊四邊形，并證明你的結(jié)論.

考點(diǎn)：等腰梯形的性質(zhì)。

專題：壓軸題。

分析：（1）本題理解等對(duì)邊四邊形的圖形的定義，平行四邊形，等腰梯形就是.

（2）與NA相等的角是NB0D（或NC0E）,四邊形DBCE是等對(duì)邊四邊形；

（3）作CG1BE于G點(diǎn)，作BF1CD交CD延長(zhǎng)線于F點(diǎn).易證ABCF絲4CBG,進(jìn)而證明

△BDF^ACEG,所以BD=CE.所以四邊形DBCE是等邊四邊形.

解答：解：（1）回答正確的給（1分）（如：平行四邊形、等腰梯形等）.

（2）答：與NA相等的角是NB0D（或NC0E）,

*/ZB0D=Z0BC+Z0CB=30°+30°=60°,

,ZA=ZB0D,

四邊形DBCE是等對(duì)邊四邊形；

（3）答：此時(shí)存在等對(duì)邊四邊形，是四邊形DBCE.

證法一：如圖，作CGLBE于G點(diǎn)，作BFLCD交CD延長(zhǎng)線于F點(diǎn).

因?yàn)镹DCB=NEBC§NA,BC為公共邊，

所以4BCF會(huì)4CBG,

所以BF=CG,

因?yàn)閆BDF=ZABE+ZEBC+ZDCB,ZBEC=ZABE+ZA,

所以NBDF=NBEC,

可證△BDFg^CEG,

所以BD=CE

所以四邊形DBCE是等對(duì)邊四邊形.

E

D

O

證法二：如圖，以C為頂點(diǎn)作NFCB=NDBC,CF交BE于F點(diǎn).C

因?yàn)镹DCB=NEBC鳥NA,BC為公共邊，

所以ABDC之△CFB,

所以BD=CF,ZBDC=ZCFB,

所以NADC=NCFE,

因?yàn)镹ADC=NDCB+NEBC+NABE,NFEC=NA+NABE,

所以NADC=NFEC,

所以NFEC=NCFE,

所以CF=CE,

所以BD=CE,

所以四邊形DBCE是等對(duì)邊四邊形.

說(shuō)明：當(dāng)AB=AC時(shí)，BD=CE仍成立.只有次證法，只給（1分）.

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵是理解等對(duì)邊四邊形的定義，把證明BD=CE的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明三角形

全等的問(wèn)題

25>（2008?北京）請(qǐng)閱讀下列材料:

問(wèn)題：如圖1,在菱形ABCD和菱形BEFG中，點(diǎn)A,B,E在同一條直線上，P是線段DE的中

點(diǎn)，連接PG,PC.若NABC=NBEF=60°,探究PG與PC的位置關(guān)系及等的值.

小聰同學(xué)的思路是：延長(zhǎng)GP交DC于點(diǎn)H,構(gòu)造全等三角形，經(jīng)過(guò)推理使問(wèn)題得到解決.請(qǐng)

你參考小聰同學(xué)的思路，探究并解決下列問(wèn)題：

（1）寫出上面問(wèn)題中線段PG與PC的位置關(guān)系及提的值；

（2）將圖1中的菱形BEFG繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使菱形BEFG的對(duì)角線BF恰好與菱形ABCD

的邊AB在同一條直線上，原問(wèn)題中的其他條件不變（如圖2）.僚（1）中得到的兩個(gè)結(jié)論

是否發(fā)生變化？寫出你的猜想并加以證明；

（3）若圖1中NABC=/BEF=2a（0°VaV90°）,櫻形BEFG繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意角度，原

問(wèn)題中的其他條件不變，請(qǐng)你直接寫出院的值（用含a的式子表示）.

考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義。

專題：壓軸題。

分析：（1）根據(jù)題意可知小聰?shù)乃悸窞?，通過(guò)判定三角形DHP和PGF為全等三角形來(lái)得出證

明三角形HCG為等腰三角形且P為底邊中點(diǎn)的條件；

（2）思路同上，延長(zhǎng)GP交AD于點(diǎn)H,連妾CH,CG,本題中除了如（1）中證明△GFP名△HDP

（得到P是HG中點(diǎn)）外還需證明△HDC四4GBC（得出三角形CHG是等腰三角形）.

（3）ZABC=ZBEF=2a（0°<a<90°）,刃口ZPCG=90°-a,由（1）可知：PG：PC=tan（90°

-a）.

解答：解：

(1)VCDGF,NPDH=NPFG,NDHP=NPGF,DP=PF,

.?.△DPH絲△FGP,

，PH=PG,DH=GF,

VCD=BC,GF=GB=DH,

/.CH=CG,

ACPIHG,ZABC=60°,

，NDCG=120°,

，NPCG=60°,

/.PG：PC=tan60°=好,

線段PG與PC的位置關(guān)系是PG±PC,第

（2）猜想：（1）中的結(jié)論沒(méi)有發(fā)生變化.

證明：如圖，延長(zhǎng)GP交AD于點(diǎn)H,連接CH,CG.

VP是線段DF的中點(diǎn)

，F(xiàn)P=DP,

?；AD〃FG,

ZGFP=ZHDP,

,/ZGPF=ZHPD,

△GFPgAHDP,

，GP=HP,GF=HD,

?.?四邊形ABCD是菱形，

，CD=CB,ZHDC=ZABC=60°,

ZABC=ZBEF=60°,菱形BEFG的對(duì)角線BF恰好與菱形ABCD的邊AB在同一條直線上,

，ZGBC=60°,

，ZHDC=ZGBC,

?.?四邊形BEFG是菱形，

，GF=GB,

.\HD=GB,

AHDC^AGBC,

，CH=CG,ZDCH=ZBCG,

，ZDCH+ZHCB=ZBCG+ZIICB=120°,

，ZHCG=120°,

VCH=CG,PH=PG,

APG1PC,NGCP=NHCP=60°,

(3)VZABC=ZBEF=2a(0°<a<90°),

NPCG=90°-a,

由(1)可知：PG：PC=tan(90。-a),

.*.p^=tan(900-a).

點(diǎn)評(píng)：本題是一道探究性的幾何綜合題，主要考查菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定及三角函

數(shù)的綜合運(yùn)用.

24、（2009?北京）在平行四邊形ABCD中，過(guò)點(diǎn)C作CEJ_CD交AD于點(diǎn)E,將線段EC繞點(diǎn)E

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段EF（如圖1）

（1）在圖1中畫圖探究：

①當(dāng)P為射線CD上任意一點(diǎn)（Pi不與C重合）時(shí)，連接EPi；繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線

段EGi.判斷直線FGi與直線CD的位置關(guān)系，并加以證明；

②當(dāng)P2為線段DC的延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)時(shí)，連接EP2,將線段EP2繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到

線段EC2.判斷直線C1C2與直線CD的位置關(guān)系，畫出圖形并直接寫出你的結(jié)論.

（2）若AD=6,tanB=5>AE=1,在①的條件下，設(shè)CP】=x,S%iFci=y,求y與x之間的函數(shù)關(guān)

系式，并寫出自變量x的取值范圍.

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題。

專題：探究型。

分析：（1）①說(shuō)明△PiEC按要求旋轉(zhuǎn)后得到的aGiEF全等，再結(jié)合NPiCE=NGiFE=90。去說(shuō)明；

②按照要求畫出圖形，由圖形即可得出答案；

（2）①當(dāng)點(diǎn)％在線段CH的延長(zhǎng)線上時(shí)，結(jié)合已知說(shuō)明CE=4,且由四邊形FEGH是正方形，

得CH=CE=4,再根據(jù)題設(shè)可得G1F=x.P1H=x-4,進(jìn)而可得y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；②當(dāng)點(diǎn)

Pi在線段CH上時(shí)，同理可得FG1=x,P[H=4-x,進(jìn)而可得y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；③當(dāng)點(diǎn)

P1與點(diǎn)H重合時(shí)，說(shuō)明△PiFGi不存在，再作綜合說(shuō)明即可.本題第二問(wèn)較難.學(xué)生不明確點(diǎn)

Pi的幾種位置情況，因而不能討論.

本題考查圖形變換和動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，而且代數(shù)和幾何結(jié)合，有一定難度.

注意的問(wèn)題：一是函數(shù)關(guān)系式不止一種，二是自變量的取值范圍要正確畫出.

（1）觀察圖形可知重疊三角形A'B'C'是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，則這個(gè)三角形底邊上的

高為J3,

所以重疊三角形A，B，L的面積SX2XJ3=J3；

（2）由折疊的性質(zhì)和已知可知：A'D=AD=m,B'D=BD=8-m,所以A'B'=B'C=8-2m,

A'B'邊上的高（4-m）,

所以重疊三角形A'B'C的面積（8-2m）xVl（4-m）（4-m）2；當(dāng)D為AB

邊中點(diǎn)時(shí)"重疊三角形"不存在，

故m<4.而當(dāng)D在AB的暴處，即AD=f時(shí)，點(diǎn)B，和點(diǎn)U恰在矩形DEFG邊上，符合題意;

當(dāng)ADV等時(shí)，點(diǎn)B'和點(diǎn)C'就在矩形DEFG外了，這與已知不符，故m甯，因此m的取值范

圍為尖mV4.

解答:解:

（1）①直線FGi與直線CD的位置關(guān)系為互相垂直.

證明：如圖1,設(shè)直線FGi與直線CD的交點(diǎn)為H.

???線段EC、EPi分別繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。依次得到線段EF、EGi，

AZPiEGi=ZCEF=90°,EGi=EPi，EF=EC.

ZGiEF=90°-ZPiEF,NPiEC=90°-ZPiEF,

Z.ZGiEF=ZPiEC.

AGIEF^APIEC.

/.ZG1FE=ZP1CE.

：ECLCD,

:.ZPiCE=90",

:.ZG】FE=90度.

ZEFH=90度.

NFHC=90度.

；.FGi_LCD.

②按題目要求所畫圖形見(jiàn)圖1,直線G1G2與直線CD的位置關(guān)系為互相垂直.

（2）?四邊形ABCD是平行四邊形，

NB=NADC.

4

VAD=6,AE=1,tanB=3，

?*.DE=5,tanZEBC=tanB=^.

可得CE=4.

由（1）可得四邊形EFCH為正方形.

.\CH=CE=4.

①如圖2,當(dāng)Pi點(diǎn)在線段CH的延長(zhǎng)線上時(shí)，

：FGi=CPi=x,PiH=x-4,

.1x（x-4?

X

??SAPIFGI=2FGIXP1H=---2-----

y=^x2-2x（x>4）.

②如圖3,當(dāng)％點(diǎn)在線段CH上（不與C、H兩點(diǎn)重合）時(shí)，

VFGi=CPi=x,PiH=4-x,

.1xT4-x?

??^APIFG1=2^XFGIXPIH=7?

/.y=-JX2+2X(0<X<4).

③當(dāng)Pi點(diǎn)與H點(diǎn)重合時(shí)，即x=4時(shí)，△PiFGi不存在.

綜上所述，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍是y當(dāng)2-2x(x>4)或y=-?+2x

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了二次函數(shù)解、圖形旋轉(zhuǎn)變換、三角形全等、探究垂直的構(gòu)成情況等重

要知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，能力要求較高.考查學(xué)生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.

25、(2010?北京)問(wèn)題：已知AABC中，NBAC=2NACB,點(diǎn)D是4ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且AD=CD,

BD=BA.探究NDBC與NABC度數(shù)的比值.

請(qǐng)你完成下列探究過(guò)程：

先將圖形特殊化，得出猜想，再對(duì)一般情況進(jìn)行分析并加以證明.

(1)當(dāng)NBAC=90。時(shí)，依問(wèn)題中的條件補(bǔ)全右圖;

觀察圖形，AB與AC的數(shù)量關(guān)系為；當(dāng)推出NDAC=15。時(shí)，可進(jìn)一步推出NDBC的度

數(shù)為；可得到NDBC與NABC度數(shù)的比值為；

(2)當(dāng)NBACV90叩寸，請(qǐng)你畫出圖形，研究NDBC與NABC度數(shù)的比值是否與(1)中的結(jié)

論相同，寫出你的猜想并加以證明.

考點(diǎn)：等腰梯形的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)。

專題：壓軸題。

分析：（1）利用題中的已知條件，計(jì)算出NACB=NABC,所以AB=AC（等角對(duì)等邊）；由等腰

三角形的性質(zhì)知NBAD=NBDA=75°,再根據(jù)三角形內(nèi)角和是180。，找出圖中角的等量關(guān)系，

解答即可；

（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，作NKCA=NBAC,過(guò)B點(diǎn)作BK〃AC交CK于點(diǎn)K,連接DK,構(gòu)建四

邊形ABKC是是等腰梯形，根據(jù)已知條件證明AKCD之ZkBAD（SAS）,再證明△DKB是正三角

形，最后根據(jù)是等腰梯形與正三角形的性質(zhì)，求得NABC與NDBC的度數(shù)并求出比值.

解答：解：（1）①當(dāng)NBAC=90°時(shí)，

VZBAC=2ZACB,

ZACB=45°,

在4ABC中，ZABC=1800-ZACB-ZBAC=45°,

，ZACB=ZABC,

AAB=AC（等角對(duì)等邊）;

②當(dāng)NDAC=15°時(shí)，

ZDAB=90°-15°=75°,

.,.ZBAD=ZBDA=75°,

ZDBA=180°-75°-75°=30°,

:.ZDBC=45°-30°=15°,即ZDBC=15°,

AZDBC的度數(shù)為15°；

（3）VZDBC=15°,NABC=45°,

，NDBC=15°：ZABC=45°=1：3,

...ZDBC與NABC度數(shù)的比值為1：3.

（2）猜想：NDBC與NABC度數(shù)的比值與（1）中結(jié)論相同.

證明：如圖2,作NKCA=NBAC,過(guò)B點(diǎn)作BK〃AC交CK于點(diǎn)K,連接DK.

，四邊形ABKC是等腰梯形，

，CK=AB,

VDC=DA,

二ZDCA=ZDAC,

ZKCA=ZBAC,

，ZKCD=Z3,

，AKCD^ABAD,

，N2=N4,KD=BD,

；.KD=BD=BA=KC.

VBK/7AC,

ZACB=Z6,

VZKCA=2ZACB,

AZ5=ZACB,

/.Z5=Z6,

/.KC=KB,

/.KD=BD=KB,

，NKBD=60°,

；ZACB=Z6=60°-Zl,

ZBAC=2ZACB=120°-2Z1,

VZ1+(60°-Zl)+(120°-2Z1)+Z2=180°,

/.Z2=2Z1,

...ZDBC與NABC度數(shù)的比值為1：3.

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了是等腰梯形的判定與性質(zhì)、正三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定以及

三角形的內(nèi)角和.

湖北省荊州市[2011年8月3日22:10]

2010北京卷最后一題的最后一問(wèn)的正確解答是：

作NKCA=NBAC,過(guò)B點(diǎn)作BK〃AC交CK于點(diǎn)K,連接DK.

VZBAC#90°.\四邊形ABKC是等腰梯形，CK=AB/KCA=NBAC

VDC=AD(已知)，NDCA=NDAC；.NKCD=NBAD,AAKCD^ABAD

，KD=BD,Z2=Z4

，KD=BD=AB=KC,

VZKCA=ZBAC=2ZACB

AZ5=ZACB,

：BK〃AC

，N6=NACB,

：.Z6=Z5：.KC=KB

KB=KD=BDAKBD是正三角形，ZKBD=60°

ZACB=6O°-Z1,ZBAC=2ZACB=120°-2Z1

Zl+Z2+(60°-Zl)+(120°-2Z1)=180°

/.Z2=2Z1

，NDBC與NABC度數(shù)的比值為1：3

24、（2011?北京）在水BCD中，/BAD的平分線交直線BC于點(diǎn)E,交直線DC于點(diǎn)F.

（1）在圖1中證明CE=CF；

（2）若NABC=90°,G是EF的中點(diǎn)（如圖2）,直接寫出NBDG的度數(shù)；

（3）若NABC=120°,FG〃CE,FG=CE,分別連接DB、DG（如圖3）,求NBDG的度數(shù).

圖1圖2圖3

考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；菱

形的判定與性質(zhì)。

專題：計(jì)算題；證明題。

分析：（1）根據(jù)AF平分NBAD,可得NBAF=NDAF,利用四邊形ABCD是平行四邊形，求證

ZCEF=ZF.即可

（2）根據(jù)NABC=90°,G是EF的中點(diǎn)可直接求得.

（3）分別連接GB、GC,求證四邊形CEGF是平行四邊形，再求證4ECG是等邊三角形.

由AD〃BC及AF平分NBAD可得NBAE=NAEB,求證△BEGg^DCG,然后即可求得答案

解答：解：（1）如圖1,

?；AF平分NBAD,

二ZBAF=ZDAF,

?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

，AD〃BC,AB〃CD,

,NDAF=NCEF,NBAF=NF,

,NCEF=NF.

.*.CE=CF.

（2）ZBDG=45°

（3）解：連接GC、BG

?.?四邊形ABCD為平行四邊形，NABC=120°

YAF平分BAD

,NDAF=NDFA=30°

，AD=BC=DF

FG〃CE,FG=CE,CE=CF

，四邊形EGFC為菱形

AEG=CGZBEG=ZDCG=120°

VBE=BC-EC=AD-EC=DF-EC=DF-CF=DC

AABEG^ADCG

，BG=DG

ZBGD=ZBGE+ZEGD=ZDGC+ZEGD=60"

，ZBDG=60°

解法二：

如圖，延長(zhǎng)AB、FG,交于H,連接HD

易證四邊形AHFD為平行四邊形

ZABC=120°,AF平分NBAD

/.ZDAF=30°,ZADC=120°,ZDFA=30°

.??△DAF為等腰三角形

.\AD=DF

.??平行四邊形AHFD為菱形

...AADH,ADHF為全等的等邊三角形

，DH=DFZBHD=ZGFD=60°

VFG=CE,CE=CF,CF=BH

二BH=GF

.*.△BHD與AGFD全等

AZBDH=ZGDF

/.ZBDG=ZBDH+ZHDG=ZGDF+ZHDG=60°

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查平行四邊形的判定方法，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定

與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，應(yīng)用時(shí)要認(rèn)真領(lǐng)會(huì)它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，同時(shí)要根

據(jù)條件合理、靈活地選擇方法.

(2008海淀一模)23、已知：如圖，AC是。0的直徑，AB是弦，MN是過(guò)點(diǎn)A的直線，AB

等于半徑長(zhǎng).

(1)若NBAC=2NBAN,求證：MN是。0的切線.

(2)在(1)成立的條件下，當(dāng)點(diǎn)E是通的中點(diǎn)時(shí)，在AN上截取AD=AB,連接BD、BE、

DE,求證：ABED是等邊三角形.

考點(diǎn)：切線的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定。

專題：證明題。

分析：(1)連接OB.由AC是。0的直徑，AB是弦且等于半徑長(zhǎng)，易證AAOB為等邊三角形，

得至UNBAC=2NBAN=60°,得NBAN=30°,所以NCAN=NBAC+NBAN=90°；

(2)連接AE,由E是弧AB的中點(diǎn)，根據(jù)弧相等所對(duì)的圓心角相等和弧的度數(shù)與它所對(duì)圓心

角的度數(shù)的關(guān)系得到NBAE=NABE=15°,則NDAE=15°,易證aABE絲ZXADE.則BE=DE,

ZEDA=ZABE=15°,得到NBDE=NEBD=(180°-30°-30°)+2=60°,即可判斷ABED是等邊三

角形.

解答：證明(1)連接OB.如圖，

???AC是。0的直徑，AB是弦且等于半徑長(zhǎng)，

/.OA=OB=AB,

/.△AOB為等邊三角形，

...N0AB=60°,

VZBAC=2ZBAN=60°,

ZBAN=30°,

二ZCAN=ZBAC+ZBAN=90°,

即AC±MN,

所以MN是。0的切線；

(2)連接AE,0E,如圖，

???E是弧AB的中點(diǎn)，

，NBAE=NABE=15°,

二ZDAE=15°,

易證△ABEg^ADE.

，BE=DE,ZEDA=ZABE=15°.

:.ZBDE=ZEBD=(180°-30°-30°)+2=60°.

...ABDE是等邊三角形.

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定與性質(zhì)：過(guò)半徑的外端點(diǎn)與半徑垂直的直線是圓的切線；圓的

切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑.也考查了圓周角定理的推論以及三角形全等的判定與性質(zhì).

（2008海淀一模）25、已知：如圖，一塊三角板的直角頂點(diǎn)P放在正方形ABCD的AB邊上,

并且使一條直角邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,三角板的另一條直角邊與AD交于點(diǎn)Q.

（1）請(qǐng)你寫出此時(shí)圖形中成立的一個(gè)結(jié)論（任選一個(gè)）.

（2）當(dāng)點(diǎn)P滿足什么條件時(shí)，有AQ+BC=CQ?請(qǐng)證明你的結(jié)論.

（3）當(dāng)點(diǎn)Q在AD的什么位置時(shí)，可證得PC=3PQ?并寫出論證的過(guò)程.

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)。

分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)，以及直角三角形的性質(zhì)即可判斷；

（2）連接CQ,延長(zhǎng)QP,交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.可證△APQ絲ABPE.即可證得：CQ=CE,

據(jù)此即可證得；

（3）首先證得：△APQs^BCP,然后對(duì)三角形的對(duì)應(yīng)邊，分兩種情況討論即可求解.

解答：解：（1）AAPQ^ABCP.（答案不唯一）

（2）當(dāng)P為AB中點(diǎn)時(shí)，有AQ+BC=CQ.

證明：連接CQ,延長(zhǎng)QP,交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

可證△APQg^BPE.

貝l」AQ=BE,PQ=PE.

又因?yàn)镃P_LQE,可得CQ=CE,

所以AQ+BC=CQ.

2

（3）當(dāng)AQ=時(shí)，有PC=3PQ.

證明：在正方形ABCD中，ZA=ZB=90°,AD=BC=AB.

又因?yàn)橹苯侨前宓捻旤c(diǎn)P在邊AB上，

所以Nl+/2=180°-NQPC=90°.

因?yàn)镽tZ^CBP中，Z3+Z2=90°,

所以N1=N3.

所以△APQs^BCP.

所以等=督=第，因?yàn)?Q=~AD=~AB,

2AR12

所以除=露所以"=』的‘或4P&（不合題意，舍去）.

所「產(chǎn)。^AP-AP=1

所以局一點(diǎn)一而一3-

所以PC=3PQ.

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了正方形的性質(zhì)，以及相似三角形的判定與性質(zhì)，正確進(jìn)行討論是關(guān)鍵.

（2008海淀二模）23、已知：aABC.

（1）如果AB=AC,D、E是AB、AC上的點(diǎn)，若AD=AE,請(qǐng)你寫出此圖中的另一組相等的線段;

（2）如果AB>AC,D、E是AB、AC上的點(diǎn)，若BD=CE,請(qǐng)你確定DE與BC的數(shù)量關(guān)系，并

證明你的結(jié)論.

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；三角形三邊關(guān)系；平行四邊形的判定與性質(zhì)。

分析：（1）根據(jù)等式的性質(zhì)，則DB=EC；

（2）過(guò)E點(diǎn)作EF〃AB,且EF=DB,連接BF.作NCEF的平分線EN交BC于N,連接NF.根

據(jù)SAS可以證明△ENFgAENC,所以NF=NC,根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊

形，得四邊形BDEF是平行四邊形.故DE=BF.再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可判斷.

解答：解：（1）DB=EC；

（2）結(jié)論：DE<BC.

過(guò)E點(diǎn)作EF〃AB,且EF=DB,連接BF.（3分）

作NCEF的平分線EN交BC于N,連接NF（4分）

因DB=EF,又因DB=EC,則EF=EC.

因EN平分NCEF,所以NFEN=NCEN.

(EF=EC

在AENF和AENC中，\z_FEN=/.CEN>

(EN=EN

所以AENF之△ENC,

所以NF=NC,

因DB〃EF,DB=EF,

所以四邊形BDEF是平行四邊形.故DE=BF.

在△BFN中，因BN+FN>BF,

所以BN+FN>DE.

所以DE<BC.

點(diǎn)評(píng)：此題綜合運(yùn)用了全等三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、三角形的三邊

關(guān)系.能夠巧妙構(gòu)造全等三角形是解決此題的關(guān)鍵.

(2008海淀二模)25、根據(jù)所給的圖形解答下列問(wèn)題：

(1)如圖1,AABCAB=AC,ZBAC=90°,AD_LBC于D,把4ABD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，并拼接

成一個(gè)與4ABC面積相等的正方形，請(qǐng)你在圖中完成這個(gè)作圖；

(2)如圖2,AABC中，AB=AC,ZBAC=90°,請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種與(1)不同的方法，將這個(gè)三

角形拆分并拼接成一個(gè)與其面積相等的正方形，畫出利用這個(gè)三角形得到的正方形；

(3)設(shè)計(jì)一種方法把圖3中的矩形ABCD拆分并拼接為一個(gè)與其面積相等的正方形，請(qǐng)你依

據(jù)此矩形畫出正方形，并根據(jù)你所畫的圖形，證明正方形面積等于矩形ABCD的面積的結(jié)

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)；作圖一應(yīng)用與

設(shè)計(jì)作圖。

專題：探究型。

分析：(1)、(2)根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及圖形拼接前后面積不變畫出圖形即可；

(3)根據(jù)題意畫出圖形，先證出四邊形EFGC是矩形，△AHBS^GBC,由矩形的性質(zhì)及相似

三角形的性質(zhì)可得出四邊形EFGC是正方形，再由BH〃CE,HE〃BC,BH=CE可得EFGC是正

方形，RtABAH^RtACDE,SABAH=SACDE?根據(jù)EF〃CGEH〃CB可得出SZ^MSBGB，進(jìn)而可得

出結(jié)論.

解答：解：(1)如圖1；

(2)如圖2,M、N分別是HE、GF的中點(diǎn)；

(3)如圖4,設(shè)AB=aBC=b

①以點(diǎn)B為圓心，以BH=VH5為半徑畫弧，交AD于H；

②過(guò)C點(diǎn)作CE〃BH交AD的延長(zhǎng)線于E,過(guò)點(diǎn)C作CG1BH于點(diǎn)G；

③過(guò)E點(diǎn)作EF_LCE于E,交BH的延長(zhǎng)線于F,則正方形EFGC為所求.

證明：

易證四邊形EFGC是矩形，

可證△AHBS^GBC,

.ABBH

,,CG=JC,

.".備CG^ccb

.??四邊形EFGC是正方形.

圖1困2圖314

VBH/7CE,HE//BC,

...四邊形BCEH是平行四邊形.

/.BH=CE.

...EFGC是正方形.

易證RtABAH^RtACDE.

?'?SABAH=SACDE-

?；EF〃CGEH〃CB,

:.ZFEH=ZGCB.

XVZEFH=ZCGB=90°,EF=CG,

，AEFH^ACGB.

SAEFH=SACGB-

S正方形EFGC=S矩形ABCD-

，四邊形EFCG為所求.

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，涉及到全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的

性質(zhì)及作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，熟知以上知識(shí)是解答此題的關(guān)鍵.

（2009海淀一模）24、在課外小組活動(dòng)時(shí)，小慧拿來(lái)一道題（原問(wèn)題）和小東、小明交流.

原問(wèn)題：如圖1,已知AABC,NACB=90°,ZABC=45°,分別以AB、BC為邊向外作AABD與

△BCE,且DA=DB,EB=EC,ZADB=ZBEC=90°,連接DE交AB于點(diǎn)F.探究線段DF與EF的

數(shù)量關(guān)系.

小慧同學(xué)的思路是：過(guò)點(diǎn)D作DGLAB于G,構(gòu)造全等三角形，通過(guò)推理使問(wèn)題得解.

小東同學(xué)說(shuō)：我做過(guò)一道類似的題目，不同的是NABC=30°,NADB=NBEC=60度.

小明同學(xué)經(jīng)過(guò)合情推理，提出一個(gè)猜想，我們可以把問(wèn)題推廣到一般情況.

請(qǐng)你參考小慧同學(xué)的思路，探究并解決這三位同學(xué)提出的問(wèn)題：

（1）寫出原問(wèn)題中DF與EF的數(shù)量關(guān)系；

(2)如圖2,若NABC=30°,ZADB=ZBEC=60°,原問(wèn)題中的其他條件不變，你在(1)中得

到的結(jié)論是否發(fā)生變化？請(qǐng)寫出你的猜想并加以證明；

(3)如圖3,若NADB=NBEC=2NABC,原問(wèn)題中的其他條件不變，你在(1)中得到的結(jié)論

是否發(fā)生變化？請(qǐng)寫出你的猜想并加以證明.

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)。

專題：閱讀型。

分析：本題的解題思路是通過(guò)構(gòu)建全等三角形來(lái)求解.先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，等邊三角

形的性質(zhì)得到一些隱含的條件，然后根據(jù)所得的條件來(lái)證明所構(gòu)建的三角形的全等；再根據(jù)

全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得出DF=EF的猜想.

解答：解：(1)DF=EF.

(2)猜想：DF=FE.

證明：過(guò)點(diǎn)D作DGJ_AB于G,貝IJNDGB=9O度.

VDA=DB,NADB=60度.

，AG=BG,Z\DBA是等邊三角形.

.\DB=BA.

VZACB=90°,ZABC=30°,

.,.AC=*AB=BG.

/.△DBG^ABAC.

.\DG=BC.

VBE=EC,ZBEC=60°,

???AEBC是等邊三角形.

.\BC=BE,NCBE=60度.

/.DG=BE,ZABE=ZABC+ZCBE=90°.

VZDFG=ZEFB,ZDGF=ZEBF,

/.△DFG^AEFB.

.,.DF=EF.

(3)猜想:DF=FE.

證法一：過(guò)點(diǎn)D作DH±AB于H,連接HC,HE,HE交CB于K,則NDHB=90

t3

：DA=DB,

/.AH=BH,Z1=ZHDB.

,/ZACB=90°,

/.HC=HB.

VEB=EC,HE=HE,

，AHBE^AHCE.

AZ2=Z3,Z4=ZBEH.

/.HK±BC.

，ZBKE=90°.

ZADB=ZBEC=2ZABC,

二ZHDB=ZBEH=ZABC.

，NDBC=NDBH+NABC=NDBH+NHDB=90°,

ZEBH=ZEBK+ZABC=ZEBK+ZBEK=90°.

，DB〃HE,DH〃BE.

/?四邊形DHEB是平行四邊形.

，DF=EF.

證法二：分別過(guò)點(diǎn)D、E作DHJ_AB于H,EK_LBC于K,連接HK,則/

ZDHB=ZEKB=90度.

ZACB=90°,

，EK〃AC.

VDA=DB,EB=EC,

/.AH=BH,Z1=ZHDB,

CK=BK,Z2=ZBEK.

，HK〃AC.

.?.點(diǎn)H、K、E在同一條直線上.

下同證法一.

點(diǎn)評(píng)：此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)

等知識(shí)點(diǎn)，在做題時(shí)要注意隱含條件的運(yùn)用.

（2009海淀二模）25、已知：在四邊形ABCD中,AD〃BC,NBAC=ND,點(diǎn)E、F分別在BC、

CD上，且NAEF=NACD,試探究AE與EF之間的數(shù)量關(guān)系.

（1）如圖1,若AB=BC=AC,則AE與EF之間的數(shù)量關(guān)系是什么；

（2）如圖2,若AB=BC,你在（1）中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化？寫出猜想，并加以證明;

（3）如圖3,若AB=kBC,你在（1）中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化？寫出猜想不用證明.

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)。

專題：探究型。

分析：（1）中所給的是最特殊的一種情況，但對(duì)整個(gè)題來(lái)說(shuō)，要從（1）中找到基本的解題思

路，此題難的是構(gòu)造全等三角形，從而證明線段相等.雖然（1）中沒(méi)有要求步驟，但能正確

的解出（1）可以給（2）和（3）定一個(gè)基調(diào)；

（2）是將（1）中的等邊三角形變?yōu)榈妊切危痍P(guān)鍵作用的條件沒(méi)變，任然可以仿照

（1）中的方法去做；

（3）中將三角形變?yōu)楦话愕娜切?，但和?）比較起來(lái)還是有兩個(gè)條件沒(méi)變，而利用這

兩個(gè)條件能證明兩個(gè)三角形相似，從而利用相似的對(duì)應(yīng)邊成比例得出結(jié)論.

解答:解：（1）AE=EF；

證明：如圖：過(guò)點(diǎn)E作EH〃AB交AC于點(diǎn)H.

則NBAC+NAHE=180°,ZBAC=ZCHE,

AB=BC=AC,，ZBAC=ZACB=60°,

ZCHE=ZACB=ZB=60°,

，EH=EC.

?.，AD〃BC,AZFCE=180°-ZB=120°,

XZAHE=180°-ZBAC=120°,

ZAHE=ZFCE,

VZAOE=Z（DF,ZAEF=ZACF,AZEAC=ZEFC,

，AAEH^AFEC,

，AE=EF；

（2）猜想：（1）中的結(jié)論是沒(méi)有發(fā)生變化.

證明：如圖：過(guò)點(diǎn)E作EH〃AB交AC于點(diǎn)H,則NBAC+NAHE=180°,NBAC=NCHE,

VAB=BC/.ZBAC=ZACB

，ZCHE=ZACB/.EH=EC

?.,AD〃BC，ND+NDCB=180°.

ZBAC=ZD/.ZAHE=ZDCB=ZECF

VZAOE=ZCOF,NAEF=NACF,

，NEAC=NEFC,

D

DDA

AAAEH^AFEC

，AE=EF；

(3)猜想：(1)中的結(jié)論發(fā)生變化.

證明：過(guò)點(diǎn)E作EH〃AB交AC于點(diǎn)H.

由(2)可得NEAC=NEFC,

?；AD〃BC,ZBAC=ZD,

ZAHE=ZDCB=ZECF,

AAEH^AFEC,

AAE：EF=EH：EC,

VEH/7AB,

/.AABC^AHEC,

/.EH：EC=AB：BC=k,

AAE：EF=k,

/.AE=kEF.

點(diǎn)評(píng)：主要考查了全等三角形的判定.本題三問(wèn)由特殊到一般，注意比較它們之間的異同,

關(guān)鍵抓住不變量，從而得出結(jié)論.本題難度很大.

(2010海淀一模)25、已知：AAOB中，AB=0B=2,ACOD中,CD=0C=3,ZABO=ZDCO.連

接AD、BC,點(diǎn)M、N、P分別為OA、OD、BC的中點(diǎn).

(1)如圖1,若A、0、C三點(diǎn)在同一直線上，且NAB0=60°,貝QPMN的形狀是,

(2)如圖2,若A、0、C三點(diǎn)在同一直線上，且NAB0=2a,證明△PMNs/^BAO,并計(jì)算第

的值(用含a的式子表示)；

(3)在圖2中，固定aAOB,將aCOD繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)，直接寫出PM的最大值.

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定；確定圓的條件。

專題：綜合題。

分析：(1)由于AB=OB,CD=OC,ZABO=ZDCO,且NAB0=60°,則AAOB和△COD都為等

邊三角形，又A、0、C三點(diǎn)在同一直線上，則△PMN為等邊三角形，AD=BC.

(2)連接BM、CN,由于AABO與AMPN都為等腰三角形，且證得NMPN=NABO,則

△PMN^ABAO,第的值可在RtABMA中求得.

(3)結(jié)合圖形，直接可寫出aCOD繞點(diǎn)0旋轉(zhuǎn)后PM的最大值.

解答:解：(1)連接BM,CN,

?.,△AOB中，AB=0B=2,ACOD4>,CD=0C=3,ZAB0=60°,

AAPB與ACOD是等邊三角形，

又?.,點(diǎn)M、N、P分別為OA、OD、BC的中點(diǎn)，

ABM1AC,CN1BD,NMBO=*NABO=NNCO或/0CD=30。,

APM=PN=1BC,

，NPBM=NPMB,ZPCN=ZPNC,

VZBA0=ZDC0=60°,

，AB〃CD,

/.ZABC+ZDCB=180°,

/.ZMBP+ZBCN=1800-ZABM-ZDCN=120°,

/.ZBPM+ZNPC=360°-2(ZMBP+ZBCN)=120°,

ZMPN=60°,

AAPMN是等邊三角形，

/.PM=PN=MN,

VAD=2MN,BC=2PM,

(2)證明：連接BM、CN.

由題意，得BMLOA,CN±OD,ZA0B=ZC0D=90°-a.

,；A、0、C三點(diǎn)在同一直線上，，B、0、D三點(diǎn)在同一直線上.

ZBMC=ZCNB=90°.VP為BC中點(diǎn)，

，在RtABMC中，PM=-2BC.

在RtABNC中，PN=-BC,/.PM=PN.

2

，B、C、N、M四點(diǎn)都在以P為圓心，28。為半徑的圓上.I.NMPN=2NMBN.

又；4MBN=-/-ABO=a,ZMPN=ZABO./.APMN^ABAO.

2

湍=畏.由題意，MN=又PM

.ADMN.AD=AO

-PM-?*BC—~BA-

在RtABMA中，器=sina.

VAO=2AM,.,.需=2sina.：.^=2sina.

說(shuō)明：取BO的中點(diǎn)R,連PR,PR=1/28=1.5RM=1^BA=1當(dāng)CO〃AB時(shí)，即四邊形ABCO是梯形時(shí)，P,R,M

三點(diǎn)共線,PM有最大值.PM=1+1.5=2.5

PM=(AB+CD)+2=(2+3)+2=驍.

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)及等邊三角形的確定條件，綜合性強(qiáng)，較為復(fù)雜.

（2010海淀二模）25、如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0,2）,點(diǎn)D在x

軸的正半軸上，N0DB=30°,OE為ABOD的中線，過(guò)B、E兩點(diǎn)的拋物線y=ax2+—X+C

6

與x軸相交于A、F兩點(diǎn)（A在F的左側(cè)）.

（1）求拋物線的解析式；

（2）等邊AOMN的頂點(diǎn)M、N在線段AE上，求AE及AM的長(zhǎng)；

（3）點(diǎn)P為AABO內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)m=PA+PB+PO,請(qǐng)直接寫出m的最小值，以及m取得

最小值時(shí)，線段AP的長(zhǎng)。

（備用圖）

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題。

專題：代數(shù)幾何綜合題。

分析：（1）已知點(diǎn)B的坐標(biāo)，可求出OB的長(zhǎng)；在RtaOBD中，已知了N0DB=30°,通過(guò)解直

角三角形即可求得OD的長(zhǎng)，也就得到了點(diǎn)D的坐標(biāo)；由于E是線段BD的中點(diǎn)，根據(jù)B、D

的坐標(biāo)即可得到E點(diǎn)的坐標(biāo)；將B、E的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求得待定系數(shù)的值,

由此確定拋物線的解析式；

（2）過(guò)E作EG，x軸于G,根據(jù)A、E的坐標(biāo)，即可用勾股定理求得AE的長(zhǎng)；

過(guò)。作AE的垂線，設(shè)垂足為K,易證得△AOKS^AEG,通過(guò)相似三角形所得比例線段即可

求得OK帳^RSOMK中，通過(guò)解直角三角形，即可求得MK瞳，而AK的長(zhǎng)可在RSAEK

中由勾股定理求得，根據(jù)AM=AK-KM或AM=AK+KM即可求得AM的長(zhǎng)；

（3）由于點(diǎn)P到AABO三頂點(diǎn)的距離和最短，那么點(diǎn)P是AABO的費(fèi)馬點(diǎn)，即

ZAP0=Z0PB=ZAPB=120°；易證得AOBE是等邊三角形，那么PA+PO+PB的最小值應(yīng)為AE

的長(zhǎng)；求AP的長(zhǎng)時(shí)，可作AOBE的外切圓（設(shè)此圓為。Q）,那么。Q與AE的交點(diǎn)即為mW

最小值時(shí)P點(diǎn)的位置；設(shè)。Q與x軸的另一交點(diǎn)（。點(diǎn)除外）為H,易求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)，即

可得到點(diǎn)H的坐標(biāo)，也就得到了AH的長(zhǎng)，相對(duì)于OQ來(lái)說(shuō)，AE、AH都是。Q的割線，根據(jù)

割線定理即可求得AP的長(zhǎng).

解答：解：（1）過(guò)E作EG±OD于G（1分）

VZB0D=ZEGD=90°,ZD=ZD,

/.ABOD^AEGD,

?.,點(diǎn)B(0,2),Z0DB=30°,

可得0B=2,OD=2百；

?；E為BD中點(diǎn)，

.EG_DE_GD

''B0~DB~0D~2

/.EG=1,GD=y/3

:.0G=V3

...點(diǎn)E的坐標(biāo)為(y[3,1)(2分)

,拋物線丫=OX?+J%+。經(jīng)過(guò)B(0,2)、E<V3/1)兩點(diǎn),

6

.?.I=Q)4------Xy/3+2,

6

可得Q=-I；

2

，拋物線的解析式為y=-+=%+2；(3分)

(2)?.?拋物線與x軸相交于A、F,A在F的左側(cè),

:.A點(diǎn)的坐標(biāo)為(-V3/0?

:.AG=2翼,EG=1,

.,.在AAGE中，ZAGE=90°,AE=J（2陋）2+l2=V13（4分）

過(guò)點(diǎn)0作OK±AE于K,

可得△AOKs/iAEG

.OK__EG_

,'AO~AE

.OK_1

??瓦一聲

6vli

AO2-OK2=

VAOMN是等邊三角形,

/.ZNM0=60°

MM="K+KM=%,或AM=AK-KM=%（6分）

（寫出一個(gè)給i分）

(3)如圖;

以AB為邊做等邊三角形AO'B,以O(shè)A為邊做等邊三角形AOB'；

易證0E=0B=2,N0BE=60°,則4OBE是等邊三角形；

連接00'、BB'、AE,它們的交點(diǎn)即為m最小時(shí)，P點(diǎn)的位置(即費(fèi)馬點(diǎn));

VOA=OB,NB'0B=ZA0E=150°,OB=OE,

/.△AOE^AB,OB；

，NB'BO=ZAEO；

在AE上截取EP'=BP,又OB=OE,NB'BO=ZAEO,則△OPBg/\OP'E；

.?.OP=OP'；[注：三角形OPP'為等邊三角形，pp'=op']

.?.PA+PB+PO=AP+OP'+P'E=AE；

即m最,］、=AE=\13；

如圖；作正aOBE的外接圓。Q,根據(jù)費(fèi)馬點(diǎn)的性質(zhì)

知NBP0=120°,貝UNBP0+NB0P=120°,而NEB0=NE0B=60°；

NPBE+NP0E=180°,ZBPO+ZBEO=180°；

即B、P、0、E四點(diǎn)共圓；

易求得Q（室’1）’則H（馬0）；

.\AH=^；

由割線定理得：AP?AE=OA?AH,

即：AP=OA*AH4-AE=y3x^.wT3=^^-.

故：m可以取到的最小值為JTI

當(dāng)m取得最小值時(shí)，線段AP的長(zhǎng)為窖.

（如遇不同解法，請(qǐng)老師根據(jù)評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)酌情給分）

點(diǎn)評(píng)：此題是二次函數(shù)的綜合類試題，涉及到二次函數(shù)解析式的確定、等邊三角形的性質(zhì)、

解直角三角形以及費(fèi)馬點(diǎn)位置的確定和性質(zhì)，能力要求極高，難度很大.

（2008西城一模）

25.如圖，正六邊形ABCDEF中，點(diǎn)M在AB邊上，ZFMH=120°,MH與六邊形外角的平分線BQ

交于點(diǎn)H.

(1)當(dāng)點(diǎn)M不與點(diǎn)A、B重合時(shí)，求證：ZAFM=ZBMH.

(2)當(dāng)點(diǎn)M在正六邊形ABCDEF一邊AB上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)M不與點(diǎn)B重合)時(shí)，猜想FM與MH的數(shù)

量關(guān)系，并對(duì)猜想的結(jié)果加以證明.

考點(diǎn):正多邊形和圓;全等三角形的判定與性質(zhì).

專題:探究型.

分析:(1)先有正多邊形的內(nèi)角和定理得出六邊形ABCDEF內(nèi)角的度數(shù)，再根據(jù)NFMH=120。，

A、M、B在一條直線上，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論；

(2)①當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)A重合時(shí)，ZFMB=120°,MB與BQ的交點(diǎn)H與點(diǎn)B重合，故可直接得出

結(jié)論；

②當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)A不重合時(shí)，連接FB并延長(zhǎng)到G,使BG=BH,連接MG,由全等三角形的判定定

理可得出△MBHgaMBG,再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論.

解答:(1)證明：???六邊形ABCDEF為正六邊形，

二每個(gè)內(nèi)角均為120°.

VZFMH=120°,A、M、B在一條直線上，

...ZAFM+ZFMA=ZFMA+ZBMH=60°,

：.ZAFM=ZBMH.

(2)解：猜想：FM=MH.

證明：①當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)A重合時(shí)，ZFMB=120°,MB與BQ的交點(diǎn)H與點(diǎn)B重合，有FM小H.

②當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)A不重合時(shí)，

證法一：如圖1,連接FB并延長(zhǎng)到G,使BG=BH,連接MG.

VZBAF=120°,AF=AB,

/.ZAFB=ZFBA=30°.

V{BH=BGZMBH=ZMBGMB=MB,

，NMHB=NMGB,MH=MG,

VZAFM=ZBMH,ZHMB+ZM1IB=3O°,

.,,ZAFM+ZMGB=30°,

VZAFM+ZMFB=30°,

：.NMFB=NMGB.

.\FM=MG=MH.

ED

證法二：如圖2,在AF上截取FP=MB,連接PM.圖2

VAF=AB,FP=MB,

；.PA=AM

VZA=120°,

/.ZAPM=12X（180°-120°）=30°,

有NFPM=150°,

〈BQ平分NCBN,

.,.ZMBQ=120°+30°=150°,

ZFPM=ZMBH,

由（1）知NPFM=NHMB,

/.FM=MH.

點(diǎn)淬；本題考查的是正多邊形和圓，涉及到正多邊形的內(nèi)角和定理、全等三角形的判定與性

質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，涉及面較廣，難度較大.

（2008西城二模）

25.設(shè)點(diǎn)E是平行四邊形ABCD的邊AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC邊上一點(diǎn)，線段DE和AF相交于點(diǎn)P,

點(diǎn)Q在線段DE上，且AQ〃PC.

（1）證明：PC=2AQ.

（2）當(dāng)點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)時(shí)，試比較aPFC和梯形APCQ面積的大小關(guān)系，并對(duì)你的結(jié)論加以

證明.

考點(diǎn):相似三角形的判定與性質(zhì);全等三角形的判定與性質(zhì);平行四邊形的性質(zhì);梯形.

專題:幾何綜合題.

分析:（1）延長(zhǎng)DE,CB,相交于點(diǎn)R,作BM〃PC,交DR于點(diǎn)M.根據(jù)題意得NAQE=NEMB,

可證得△AEQ之△BEM,AAED^ABER.則AD=BR=BC,再根據(jù)BM〃PC,證出△RBMs/\RCP,即

可得出PC=2AQ.

（2）作BN〃AF,交RD于點(diǎn)N，則4RBNsaRFP.則BN/PF=RB/RF=2/3.還可證明aBNEg△APE.根

據(jù)相似二角形的性質(zhì)得出SAPR.~S梯形APCQ.

證法一：延長(zhǎng)DE,CB,相交于點(diǎn)R,作BM〃PC,交DR于點(diǎn)M.

VAQ//PC,BM〃PC,

.,.MB/7AQ.

ZAQE=ZEMB

是AB的中點(diǎn)，D、E、R三點(diǎn)共線，/.AE=EB,ZAEQ=ZBEM.

AAAEQ^ABEM.

/.AQ=BM.

同理△AEDgABER.

/.AD=BR=BC.

VBM//PC,

ARBM^ARCP,相似比是1：2.

PC=2MB=2AQ.

證法二：連接AC,交PQ于點(diǎn)K,易證△AKEs/\CKD,

/.AE/DC=AK/KC=l/2.

AQ〃PC.

AAAKQ^ACKP.

VAK/KC=l/2,

.*.AQ/PC=l/2,

即PC=2AQ.

(2)解：SAPFC=SU?APC?-

作BN〃AF,交RD于點(diǎn)N.

AARBN^ARFP.

?.?F是BC的中點(diǎn),RB=BC,

RB=2/3RF.

，BN/PF=RB/RF=2/3.

易證△BNE絲4APE.

，AP=BN.

，AP=2/3PF.

因PFC(視PC為底)與梯形APCQ的高的比等于APFC與APQC中PC邊上的高的比，

易知等于PF與AP的比，于是可設(shè)APFC中PC邊上的高h(yuǎn)=3k,梯形APCQ的高h(yuǎn)z=2k.再設(shè)

AQ=a,則PC=2a.

.\SAPFC=l/2X2ahl=3ka,S梯形APCQ=l/2(AQ+PC)h2=l/2(a+2a)?2k=3ka.

=

因此SAPFCSfHuflAPCQ?

點(diǎn)淬：