高考數(shù)學（文科）總復習考點解析及習題第四章數(shù)列

高考數(shù)學（文科）總復習考點解析及習題（解析版）

第四章數(shù)列

考點1數(shù)列的概念與簡單表示法

考點2等差數(shù)列

考點3等比數(shù)列

考點4數(shù)列求和

考點測試1數(shù)列的概念與簡單表示法

高考概覽：高考在本考點的?？碱}型為選擇題、填空題和解答題，分值5分、12分,

中、低等難度。

考綱研讀：1.了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法（列表，圖像、通項公式）

2.了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù)

一、基礎小題

1.已知數(shù)列｛&｝的通項公式灰SGN*）,則占是這個數(shù)列的（）

/7（/?IZ）1ZU

A.第8項B.第9項C.第10項D.第12項

答案C

解析由題意知上不，解得〃=10,即會是這個數(shù)列的第10項.故選

IZU“0十/）12U

C.

2.在數(shù)列｛4｝中，"=2,且（〃+1）&=〃&+】，則a的值為（）

A.5B.6C.7D.8

答案B

解析由得宜;=2，所以數(shù)列色為常數(shù)列，則色=號=2,即2=2小

〃十1nnn1

所以a=2X3=6.故選B.

3.設8=-2〃2+29〃+3,則數(shù)列｛4｝的最大項是（）

865

A.107B.108C.—D.109

o

答案B

29\,,865

解析因為an=-2/?~+29/?+3=—2|〃￡N*,所以當〃=7時，為取得最

大值108.

4.數(shù)列｛a｝中，ai=l,對于所有的〃22,/?eN都有&?a?&...an=n,則2+

圣=()

61252531

A?而15.豆C.-D.正

答案A

92561

解析解法一：令〃=2,3,4,5,分別求出主=不.,?曲+曲=/.故選A.

41616

解法二：當時，a?色?a....an=n.

當〃e3時，a\*ai*as....afl-｝=(/?—1)\

兩式相除得&=(段y),?\既=*

61

.'.53+a5=—?故選A.

16

5.若數(shù)列｛a｝滿足國=2,&+1=丁^-，則兩8=()

1

T12-

A.B.1C.D.2

答案B

解析：數(shù)列｛4｝滿足團=2'-尸/111

l—2=f

ai=」~y=2,…，可知此數(shù)列有周期性，周期7=3,即a“+3=a,則a2<>w—am^i+2—~\.故

1---

2

選B.

6.把1,3,6,10,15,…這些數(shù)叫做三角形數(shù)，這是因為這些數(shù)目的圓點可以排成一個

正三角形（如圖所示）.

則第7個三角形數(shù)是（

A.27B.28C.29D.30

答案B

解析觀察三角形數(shù)的增長規(guī)律，可以發(fā)現(xiàn)每一項比它的前一項多的點數(shù)正好是該項的

序號，即&=8一+〃(〃22).所以根據(jù)這個規(guī)律計算可知，第7個三角形數(shù)是用=打6+7=

a$+6+7=15+6+7=28.故選B.

7.已知數(shù)列｛a｝的前〃項和為S,若S=24—4,〃CN*,則a,,=()

A.2"+,B.2"C.2"-'D.2T

答案A

解析因為S,=2a“一4,所以〃22時，有SI=2&T—4,兩式相減可得SLST=2/

—2a“即a=2a〃-24-1,整理得a=2&-1,即7一=2(〃22).因為S=a[=2&-4,所以

ai=4,所以&=27.故選A.

8.在數(shù)列｛a｝中，ai=2,an+\=an+\n1+\則4=()

A.2+lnnB.2+(/?-1)Inn

C.2+〃lnnD.l+〃+lnn

答案A

解析解法一：由己知得a+i—a〃=ln1+-=

n

In^―,而a=(區(qū)-1)+(&-i+a”-2)H----|-(色—臼)+囪，〃22,所以a=ln^^7

nn—\

+ln???+

Iny+2=ln—-r?~~；...?+2=ln0+2,〃22.當/?=1時，a=2=In1+2.故

1n-\n-21

選A.

解法二：由a=a〃-i+ln1+—-：=a-｝+In--7=a?-i+In〃一In(〃一1)(〃與2),可

n-1lln—1

知In〃=a,7—In(〃-1)(〃22).令b?=an—Inn,則數(shù)列｛4｝是以b=國一In1=2

為首項的常數(shù)列，故6〃=2,所以2=a〃-Inn,所以&=2+lnn.故選A.

2

9.已知數(shù)列EJ的通項公式為國尸/，則數(shù)列｛4｝中的最大項為()

8264125

A-R-r--D---

9381243

答案A

解析解法一(作差比較法)：

222n2

/rt

anA-\-an=(z?+l)~'-TTT'——7—?當〃<2時，即a〃+i>a；當〃=2時，

oJJJ

a-i—a=0,即a+j=/；當n>2時，—a/0,即為+Ka〃.所以a<%=&,a>a>描>???>a,

所以數(shù)列｛4｝中的最大項為續(xù)或43,且02=&=2乂可“=『故選A.

*J?z

解法二(作商比較法)：

土2=---T--=鼻1+一，令且」>1，解得水2；令*—^=1,解得〃=2；令色口<1,解得

a.2〃3na〃3n

n>2.又為>0,故水色=人色》曲〉金〉…>a,”所以數(shù)列｛a｝中的最大項為魚或色，且或=&

OO

=2X-2=-故選A.

O*7

10.已知數(shù)列｛4｝的通項公式為4=2〃2+5+1,若｛a｝是單調(diào)遞增數(shù)列，則實數(shù)￡的

取值范圍是()

A.(—6,+°°)B.(-8,—6)

C.(-8,-3)D.(-3,+8)

答案A

解析解法一：因為｛4｝是單調(diào)遞增數(shù)列，所以對于任意的〃6N*,都有a,m>a〃，即2(〃

+1)2+t("+1)+1>2/+5+1,化簡得力>一4〃一2,所以力一4〃一2對于任意的"GN"都成

立，因為一4〃一2W—6,所以t>-6.故選A.

解法二：設以力=2#+5+1,其圖象的對稱軸為〃要使｛a“｝是遞增數(shù)列，則一

t1+2

7—廣，即￡〉一6.故選A.

11.己知S是數(shù)列｛a｝的前〃項和，且有￡=戶+1,則數(shù)列｛a｝的通項為=.

_,[2(〃=1),

答案In、c、

2/7—1(〃22)

22

解析當〃=1時，ai=5=l+l=2,當?shù)?2時，a,t=Sn—Sn-\=(z?+1)—[(n-1)+

[2(/7=1),

1]=2/?—1.此時對于〃=1不成立，故a=,

[2/7-1(77^2).

12.對于數(shù)列｛4｝,定義數(shù)列｛4｝滿足：于￡N*),且/+L2=1(〃￡N*),

全=1,54=—1,則旬=.

答案8

解析由"一>=1知數(shù)列｛"｝是公差為1的等差數(shù)列，又慶=國一8=一2,所以A

=-4,bz=—3,8+/>2=(a-&)+(a-/)=a-a=-7,解得a=8.

13.記S為數(shù)列｛4｝的前〃項和，若S=24+1,則&=.

答案一63

解析根據(jù)S,=2a+L可得S+1=2&+1+1,兩式相減得a+1=2a“l(fā)2a,即&+1=24,

當〃=1時，S=ai=2&+1,解得以=-1,所以數(shù)列｛a｝是以-1為首項，以2為公比的等

比數(shù)列，所以&=63.

1-2

14.（2014.全國卷H）數(shù)列1｝滿足“尸士,a=2,則ak

答案!

解析由an+i=-r^~，得&=1二，’??國=2,.*.57=1-1=-,a=1--=-L?

13n3n+1乙乙&

=1——=2,…，??.{&}是以3為周期的數(shù)列，.??&=&=1.

15.(2016?浙江高考)設數(shù)列{a〃}的前〃項和為S“若S=4,a?+1=2S?+l,〃GN*,則

3\=,W=.

答案1⑵

解析解法一：,.,&+i=2S+l,???色=2$+1,即S—國=2&+1,又?.?S=4,???4一

a=2"+1,解得功=1.又&+尸S,+LS,???￡+LS=2S,+1,即S+】=3S+1,由￡=4,

可求出￡=13,51=40,￡=121.

解法二：由a〃+i=2S+l,得色=25+1,即S一"=2勁+1,又￡=4,?二4一向=24

+1,解得a=l.又&+i=S+i—S,?,.S+i—S=2S+1,即S+i=3S+l,則S+i+B=3(S,+g)

又S+J=*

??.〔$+,是首項為*公比為3的等比數(shù)列，.?.S+<=/X3i,即S=一，.?.w=一

=121.

16.設數(shù)歹U｛4｝滿足功=1,且a+i—a〃=〃+l，則數(shù)列出前10項的和為

20

答案T7

解析由已知得，a2—ai=l+l,a—改=2+1,ai—a3=3+1,…，a—=1+

1(〃22),則有&-&=1+2+3+…+〃-1+(/7—1)(〃22),因為ai=l,所以&=1+2+3

2I2?

H------F〃(〃22),即&>="2〃(〃22),又當n=l時，國=1也適合上式，故a=4產(chǎn)(〃￡

N*),所以工從而工+工+^--1-----F^-=2X[\_1]+2X+

ann+nynn-r\)a\愚aw\Z)3J

2X(}-{1+…+2x(/%X(T)號

17.已知數(shù)列｛4｝滿足：Vm,〃￡N*,都有&?&=4+9且&那么的=()

1111

C

一-

A.B.4I).2

3216

答案A

解析,?,數(shù)列｛4｝滿足：Vm,4wN,都有4?a=&+加，且a=g,，及=所d=；,&

11

那么a=4,及=法故選A.

金

18.在數(shù)列｛aj中，ai=l,2&-1=a-1+(-1)"(〃22,〃￡N"),則一的值是()

法

151533

A，mB?瓦C%D.豆

答案C

解析由已知得和=1+(—1)2=2,?,.2a3=2+(—1)、殳=|,??.；ai=g+(―1”，出

=3,A3a5=3+(-1)\???勁故選C.

Odi)//4

19.己知數(shù)列｛$｝滿足&+2=足+1一為|(〃GN*),若X|=1,*2=a(aWl,a#0),且藥+3

=x.對于任意的正整數(shù)〃均成立，則數(shù)列｛項｝的前2020項和￡必=()

A.673B.674C.1345D.1347

答案D

解析,**Xi=11x?=a(aW1,a"0),x^=&—x\|a-11=1—a,；?汨+x?+x：＜=1

+a+(l—a)=2,乂拓+3=x,對于任意的正整數(shù)〃均成立，.?.數(shù)列｛的｝的周期為3,.?.數(shù)列

｛筋｝的前2020項和$02。=$—=673X2+1=1347.故選D.

20.數(shù)列｛a,,｝滿足：4=1,且對任意的加，neN\都有a?=&+a.+秋則(+?+?

念018

2017201840344036

A，2018B.2019C，2018'2019

答案D

解析,/ai=1,且對任意的偏N'都有a+“=&+&+/〃/?,.??&+[=&+〃+1,即4+i

(刀-1)(〃+2)1)?1211?1

—a=n+1,用累加法可得&=a\2=-2~?

*'afin(n+1)n+1**'a\

+早+…+，=2-…+-^-^=警

故選D.

續(xù)曲續(xù)。18223201820192019

21.已知數(shù)列｛a｝滿足a+2a2+3aH-----1■刀&=刀+1(〃eN“)，則數(shù)列｛4｝的通項公式為

2,/?=1,

答案

“22

解析已知明+2a2+3&H-----1■〃&=〃+1,將〃=1代入，得a1=2；當〃22時，將〃

—1代入得國+2&+3aH----卜(〃-兩式相減得=(〃+1)—〃=1,...&=一,

n

2,〃=1,

?■?&=41-

一，〃22.

n

(2"—1,〃W4,

22.數(shù)列｛a｝的通項為a=2,、(〃￡N*),若比是面｝中的最大值，

[~n+(^—1)/7,欄5

則a的取值范圍是.

答案[9,12]

解析當4時\a=2〃一1單調(diào)遞增，因此/7=4時取最大值，^=2-1=15.當〃25

時，&=一〃+(H—1)〃=一〃-"J+J.35是｛4｝中的最大值，

a—1

一~―W5.5,

解得9〈d〈12.???4的取值范圍是[9,12].

1-25+5(5-1)^15,

二、大題

1.己知各項都為正數(shù)的數(shù)列｛a｝滿足a=1,a?—(2&+i-1)a-2a+i=0.

(1)求@2，&i；

⑵求｛&｝的通項公式.

解⑴由題意得色=；，^3=-.

(2)由a—(2aw+i—1)a〃-2&+i=0得2aH?[(a〃+1)=a〃(a〃+1).

因為｛a,,｝的各項都為正數(shù)，所以%

故｛&｝是首項為1,公比為;的等比數(shù)列，因此&=貴.

2.已知數(shù)列｛&J滿足&=；且為+i=a〃-4(〃￡N*).

(1)證明：；

ivi

(2)設數(shù)列｛*｝的前〃項和為S,證明：丁西〈,W丁亦(〃eN*).

2(A十幺)n2(〃十1)

證明(1)由題意得&)+、一&=—」W0,

即a+Wa”故

由a〃=(1—Qn-\)dn-\，得

a=(1—&T)(1一/一2)…(1—句)句>0.

由0〈a,忘］得上='^=；仁(1,2］,

乙H〃+Ia,-at!La“

即1<—^2.

dn+\

N11

(2)由題意得a：=aa,所以上--------,

a〃+1a〃+1Q-n

Sn=-a^+i.①

■11?

由-----------和1<-----W2,得

3n+14+1a。a?+1

11一

1<----------W2,

a〃+13/t

所以n<-------^W2〃，

3n+la\

因此，"1i\Wa“+K』(〃eN*).②

2(〃十1)〃十2

1c1

由①②得訴歷〈］W布而(〃CN*).

3.已知數(shù)列｛d)中，a?=1+,-----(yjGN*,a￡R,且aWO).

a十2(〃一1)

⑴若a=-7,求數(shù)列｛品｝中的最大項和最小項的值；

⑵若對任意的〃WN”,都有劣式與成立，求&的取值范圍.

解⑴,??a=l+-r7^--(/?eN\aGR,且aWO),

a+2(〃一1)

a=-7,a=1+-------(z?eN*).

lt2〃一y

結合函數(shù)f(x)=1+廠二的單調(diào)性，

2x—9

可知1>&>以>a>&,屈>&>可>???>4>1(〃￡N*).

；?數(shù)列｛a｝中的最大項為主=2,最小項為國=0.

1

,12

(2)a〃=1+-~=1+7

a+2(/?—1)2

22—a

??,對任意的〃WN*,都有成立，結合函數(shù)f(x)=l+—；—的單調(diào)性，???5＜二一

L-az

<6,A-10<a<-8.

4.已知數(shù)列｛&J的前〃項和為S,ai=l,a*0,a&+i=4S—1(〃￡N*).

(1)證明：a+2—4=4；

(2)求數(shù)列｛品｝的通項公式.

解⑴證明：...&&+I=4SLL

**?石什I<an+2=4S?+1-1,

???/+I(a+2-&)=43r>+1?

又0?&>+2-Qn=4?

(2)由&&+i=4S—1,&=1,得a2=3.

由*2—劣=4知數(shù)列｛甌｝和｛期-J都是公差為4的等差數(shù)列，

?,.d=3+4(〃-1)=2(2〃)一1,

52,-1=1+4(/7-1)=2(2n-l)-l,

/.an=2n—\.

考點測試2等差數(shù)列

高考概覽

本考點是高考必考知識點，?？碱}型為選擇題、填空題和解答題，分值5分、12分,

中、低等難度

考綱研讀

1.理解等差數(shù)列的概念

2.掌握等差數(shù)列的通項公式與前〃項和公式

3.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關系，并能用有關知識解決相應的問題

4.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、二次函數(shù)的關系

一、基礎小題

1.已知｛&｝為等差數(shù)列，其前〃項和為S”若句=1,名=5,5=64,則〃=()

A.6B.7C.8D.9

答案C

解析因為電=2,所以+"〃=，+〃(〃-D=64,解得〃=8.故選

C.

2.在等差數(shù)列｛4｝中，已知a+a=10,則3a5+4=()

A.10B.18C.20D.28

答案C

解析由題意可知功+/=%+合=10,所以3&+濟=2既+%+&=2a+2條=20,故選

C.

3.已知S,是數(shù)列｛a｝的前〃項和，且SrM=S+&+3,a+%=23,則W=()

A.72B.88C.92D.98

答案C

解析由S+i=S+a”+3得/+i-&=3,所以｛%｝為等差數(shù)列，公差為3,由國+徐=

23得2動+74=23,所以團=1,S=8+1x8X7X3=92.故選C.

4.設S為等差數(shù)列｛a｝的前〃項和，若國=1,公差d=2,S+2—S*=24,則4=()

A.8B.7C.6D.5

答案D

解析由的=1,公差d=2,得通項品=2〃-1,又￡+2—￡=&+1+國+2,所以24+1+

24+3=24,解得衣=5.故選D.

5.已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為S”若愚+共+41=30,則Si3=()

A.130B.65C.70D.140

答案A

解析設等差數(shù)列｛2｝的首項為國，公差為M由比+國+劭1=30,可得&+6d=10,

故品="國產(chǎn)叨=13(&+6中=130.故選A.

6.設｛a｝是公差不為0的等差數(shù)列，且a：+愛=a/+a；,則該數(shù)列的前10項和S°=()

A.-10B.-5C.0D.5

答案C

解析由4+1=謠+器得/一江=常一發(fā)，即(國一呆)(國+③)=(&—))(&+=),也即

—2dX2a=2dX2a6,由掙0,得a+&=a+aio=O,所以So=5(a[+囪o)=0.故選C.

7.在等差數(shù)列｛4｝中，已知S=l,W=4,設S=&7+di8+ai9+a2o,則S的值為()

A.8B.9C.10D.11

答案B

解析由S=l,&=4得￡—S=3,所以S”一S=5,所以Si6—S2=7,所以S=S0—

516=9.故選B.

8.等差數(shù)列｛&｝的前〃項和為S.已知ai+afa：=0,甌~產(chǎn)38,則加=.

答案10

解析因為ai+a+i-a：=0,數(shù)列｛a｝是等差數(shù)列，所以24-a：=0,解得%=0或

a.=2.又S-=38,所以a尸0不符合題意，所以a尸2.所以必一戶⑵-1)(;?2-)=

(2/7/—1)&=38,解得m=10.

9.設S為等差數(shù)列｛4｝的前〃項和，若3s=S+S,4=2,則全=()

A.-12B.-10C.10D.12

答案B

/3X2\

解析設該等差數(shù)列的公差為d,根據(jù)題中的條件可得3X0X2+T。q=2X2+d

4x3

+4X2+—5二?%解得d=-3,所以全=a+4d=2—12=—10,故選B.

10.記S為等差數(shù)列｛a｝的前〃項和.若國+a=24,S=48,則｛a｝的公差為()

A.1B.2C.4D.8

答案C

解析在等差數(shù)列｛&｝中，&=3+?X6=48,則a+a=16=/+%.又國+&=24,

所以國一選=24=24—16=8,得〃=4.故選C.

11.等差數(shù)列｛a｝的首項為1,公差不為0.若&,a,或成等比數(shù)列，則｛4｝前6項的

和為()

A.-24B.-3C.3D.8

答案A

解析?設等差數(shù)列｛4｝的公差為&依題意得演=9?我,即(1+2"=(1+中(1+5中，

6X5

解得d=—2或d=0(舍去)，又包=1,所以&=6X1+—(―2)=-24.故選A.

12.已知等差數(shù)列｛&｝前.9項的和為27,如=8,則a?=()

A.100B.99C.98D.97

答案C

解析設｛2｝的公差為d,由等差數(shù)列的前〃項和公式及通項公式，得

9X8

S)=9a+2d=27,ai=-L

解得a=&+(〃-1)d=〃-2,所以<3IOO=100—2

d=l,

Vio=ai+9d=8,

=98.故選C.

13.設｛a｝是等差數(shù)列，且必=3,念+a=36,則｛a｝的通項公式為.

答案a=6〃一3

解析設等差數(shù)列｛a｝的公差為d,則戊+&=囪+"+國+4d=2a）+5d=6+5d=36,

，d=6,，a=a+（Z7—1）d=3+6（〃-1）=6/7—3.

14.已知｛&｝是等差數(shù)列，S是其前〃項和.若a+/=-3,W=10,則施的值是

答案20

解析設等差數(shù)列｛a｝的公差為"，則由題設可得

a+（a+6獷=-3,

"=3,

<_,5X4解得從而國=a+8d=20.

5c?i+~~--rf=10,<?i=-4,

15.設S為等差數(shù)列｛a｝的前〃項和，已知a=S=3,則S的值為（）

A.13B.0C.3D.6

答案B

解析解法一：由&=34=3,得色=1,又a=3,則公差d=-2,故￡=必+/+&

+同=3+1+（—1）+（—3）=0,故選B.

解法二：/+&=$一&=（）,則$=2（4+a）=0,故選B.

16.已知公差不為0的等差數(shù)列｛&｝的前〃項和為S",若合=34，且W=4國，則A

的值為（）

A.18B.20C.21D.25

答案A

解析設等差數(shù)列｛a｝的首項為國,公差為必由&=3%,得a+5d=3（國+3中，所

以功=-2d.由W=4國，得9&+36d=大（d+3中，代入功=—2d,得4=18.故選A.

17.在等差數(shù)列｛4｝中，若S為其前〃項和，2&=a+5,則&的值是（）

A.55B.11C.50D.60

答案A

解析依題意有生一（續(xù)一屆）=5,即8-d=5（d為｛a｝的公差），亦即a=5.從而S”

=11a6=11X5=55.故選A.

18.《九章算術》是我國古代的數(shù)學名著，書中《均屬章》有如下問題：“今有五人分

五錢，令上二人所得與下三人等.問各得幾何.”其意思為“已知兒B,CD,總五人分5

錢，45兩人所得與C,D,少三人所得相同，且力，B,C,D,〃每人所得依次成等差數(shù)列.問

五人各得多少錢？”（“錢”是古代的一種重量單位）.在這個問題中，后所得為（)

A.B.C.D.

答案A

解析由題意，設力所得為a—44B所得為a—3d,C所得為a—2d,。所得為a-d,

5a—100t=5,92

￡?所得為a,則、，c°,解得a=鼻，故？所得為滯.故選A.

[2a-7d=3a-3d,33

19.己知在等差數(shù)列｛aj中，-1〈更<0,若它的前〃項和S,有最大值，則當$>0時，n

的最大值為()

A.11B.12C.13D.14

答案B

解析由數(shù)列｛&｝為等差數(shù)列，且它的前〃項和S有最大值，可得K0.因為-1〈效〈0,

a

由亙<0,得證>0,a7<0,由巴>一1,得生士生>0,所以曲+&>0,所以劫+國2〉0,所以$2>0,

a&a

又5；!=13a7<0,則當5?>0時，n的最大值為12,故選B.

20.已知數(shù)列｛aj的前〃項和為且數(shù)列當為等差數(shù)列，若&=1,S?！币籗M6=5,則

n

￡(H8=?

答案3027

解析依題意，設]=x/?+y(x,y￡R),則*=|=2x+y,且甑途一Soi6=2O18%+2018y

-(20162%+2016y)=5,聯(lián)立可解得還，曠=能.則$="束〃2+焉〃，Soi8=3O27.

ZU1OlUUoZUiolUUo

二、大題

1.記S〃為等差數(shù)列｛a,J的前〃項和，己知a=一7,￡=—15.

(1)求｛a｝的通項公式；

(2)求￡,并求S的最小值.

解⑴設｛a,,｝的公差為4由題意，得3&+3d=-15.

由團=—7,得d=2.

所以｛a,｝的通項公式為&=-7+(刀-1)X2=2/7—9.

2

(2)由(1),得Sn=nX(—7)+"21)義2=萬-8〃=(/?—4)—16.

所以當〃=4時，S取得最小值，最小值為一16.

2.設｛&｝是等差數(shù)列，月.a=ln2,比+a=51。2.

(1)求｛a｝的通項公式；

(2)求ea+ea2+…+ea/?.

解⑴設｛a｝的公差為a

因為柩+〃3=5皿2,所以2a+3d=51n2.

又ai=ln2,所以"=ln2.

所以國產(chǎn)國+(〃-1)"=〃ln2.

pa

⑵因為ea=e"2=2,----=ea—an—l=e['｝2=2,

Q3n—1n

所以｛eaj是首項為2,公比為2的等比數(shù)列.

1—2"

所以eai+ea2H---l-ea?=2X--7=2(2"-1)=2e一2.

1—乙

3.記$為等比數(shù)列｛a“｝的前〃項和.已知S=2,￡=—6.

(1)求｛&｝的通項公式；

⑵求￡,并判斷￡+”S,S+2是否成等差數(shù)列.

解(1)設｛&｝的公比為g,由題設可得

阿1+0)=2,

1@(1+<?+/)=-6.

解得Q——2,a\=-2.

故｛&｝的通項公式為%=(-2)".

(2)由(1)可得=-1+(一1)"?

一尸1—q：)33

c\十1

=2-~+(―1)'?-=2S/,

故Si,S”S+2成等差數(shù)列.

4.己知數(shù)列｛4｝滿足⑸+L1)?⑸-1)=3(a-a+i),ai=2,令bn=

(1)證明：數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列；

⑵求數(shù)列｛a｝的通項公式.

解(1)證明：—^――-'=/”-

=〈，二4"一4=J,...數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列.

OO

1112

(2)由(1)及b\-r=7=1,知6?=[7?+三，

a\—T33

,_]___3_.〃+5

??&+2'+2-

5.已知等差數(shù)列｛&｝的公差流0,前〃項和為S”且a??a=45,Sx—28.

(1)求數(shù)列｛a,,｝的通項公式；

⑵若Q套(C為非零常數(shù))，且數(shù)列㈤也是等差數(shù)列，求C的值.

解(1)：S=28,.?.(?+：)義4=28,

??3】+國14,??3,2,+己314,

又a?續(xù)=45,公差cf>0,

??42〈的，色=5,&,=9,

3\+d~~5,[=1,

解得

1+2d=9,[d=4,

??5n=4/73.

(2)由(1)知$=2--〃，/.b“=3-」:

n-￥cn-tc

.,__1_/__6_,15

..g+c，&-2+c，3+，

又｛&｝是等差數(shù)列，

**?仇+bs=2,bzf

口n61.15

即2X；7^=7^+T^，

2+c1+c3+c

解得c=—；(c=0舍去).

6.在數(shù)列｛4｝中，&+i+a=2〃-44(〃￡N*),a\——23.

⑴求為；

⑵設S為｛&｝的前〃項和，求S的最小值.

解⑴?.?&+i+&=2〃-44(〃eN*),①

&+2+a〃+i=2(/?+1)—44,②

由②一①，得a+2-a=2.

又???/+句=2—44,句=-23,???/=-19,

同理得，&=-21,國=-17.

故以,出法，…是以句為首項，2為公差的等差數(shù)列，改、a,a,…是以優(yōu)為首項,

2為公差的等差數(shù)列.

一f/7-24,〃為奇數(shù),

從而a~

nn—21,n為偶數(shù).

⑵當〃為偶數(shù)時，

$=(ai+aj+(a+ai)+…+(a〃-i+a”)

=(2X1-44)+(2X3-44)H-----F[2(/?-!)-44]

n[j

=2[l+34----|-(/?-l)]--X44=y-22/7,

故當n=22時，S,取得最小值為一242.

當〃為奇數(shù)時，

S=&+(a?+&)+(2+余)H---F(a?-i+a)

=ai+(2X2-44)+—+[2X(n-1)-44]

n—1

="+2[2+4+…+(〃-1)]+~~~?(—44)

,(??+1)(/2—1)..

=-23+-----------22(〃-1)

if3

=-■—227?-

故當〃=21或〃=23時，S取得最小值一243.

綜上所述：當〃為偶數(shù)時，S取得最小值為一242；當〃為奇數(shù)時，S取得最小值為一243.

考點測試3等比數(shù)列

高考概覽

本考點是高考必考知識點，?？碱}型為選擇題、填空題和解答題，分值5分、12分,

中、低等難度

考綱研讀

1.理解等比數(shù)列的概念

2.掌握等比數(shù)列的通項公式與前〃項和公式

3.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等比關系，并能用有關知識解決相應的問題

4.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關系

一、基礎小題

1.在等比數(shù)列｛a｝中，己知研=1,&=8,則a$=()

A.16B.16或一16

C.32D.32或一32

答案A

解析由&=&/,則g=2,所以35=340=1.6.故選A.

2.在等比數(shù)列｛a｝中，已知小團2=5,則備硒&0加=()

A.10B.25C.50D.75

答案B

解析因為a82=&&1=3980=5,所以如戊&0功1=52=25.故選B.

3.已知等比數(shù)列｛&｝的公比為正數(shù)，且魚a=9a,為=1,則&的值為（）

11

A.3B.-3C.——D."

O0

答案D

解析設數(shù)列I｛a｝的公比為q,由四?a=9團，得&,a2g'=9d2g,,解得（［=9,所以q

=3或°=一3（舍去），所以&=色=〈.故選D.

Q3

4.已知等比數(shù)列｛4｝的前〃項和S,=a?3"T+6,貝印=()

b

A.-3B.-1C.1D.3

答案A

解析??,等比數(shù)列｛a｝的前〃項和S產(chǎn)a?3'I+A

/.a\=S\=a+bf9=￡—S=3a+Zr—a—b=2a,&=￡—S=9a+/r-3a—。=6外二?等

比數(shù)列｛&｝中，4=國。，；?(2a)°=(a+6)X6a,解得[=-3.故選A.

b

5.若等比數(shù)列｛a｝滿足為如尸16〃，則公比為()

A.2B.4C.8D.16

答案B

[a"+i

解析由aa+1=40=16">0知力0,又=16,所以q=4.故選B.

3n3ft+11b

6.設S,是等比數(shù)列｛2｝的前〃項和，若微=3,則5=()

301

73

A.2B.-C.—D,1或2

J1V

答案B

解析設6="，則￡=3%由數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列(易知數(shù)列｛a｝的公比斤一1),得

c7k

Sz,S-S,&-S為等比數(shù)列，又￡=hSLSz=2k,S=4k:?Sb=lk,/.-7r=—=

3k

7,

鼻，故選B.

30

7.設｛&｝是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，公比g=2,且a、a2a3.........atm—2,則a3a6備...........a30

=()

A.210B.22