高中數(shù)學第三章函數(shù)的應(yīng)用2函數(shù)模型及其應(yīng)用2函數(shù)模型的應(yīng)用實例作業(yè)

PAGE3.2.2函數(shù)模型的應(yīng)用實例基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．一輛汽車在某段路程中的行駛速度v與時間t的關(guān)系圖象如圖，則t＝2時，汽車已行駛的路程為()A．100km B．125kmC．150km D．225km[答案]C[解析]t＝2時，汽車行駛的路程為：s＝50×0.5＋75×1＋100×0.5＝25＋75＋50＝150km，故選C.2．某公司招聘員工，面試人數(shù)按擬錄用人數(shù)分段計算，計算公式為：y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x，1≤x＜10，x∈N*，,2x＋10，10≤x＜100，x∈N*，,1.5x，x≥100，x∈N*.))其中，x代表擬錄用人數(shù)，y代表面試人數(shù)，若應(yīng)聘的面試人數(shù)為60，則該公司擬錄用人數(shù)為()A．15 B．40C．25 D．130[答案]C[解析]令y＝60，若4x＝60，則x＝15＞10，不合題意；若2x＋10＝60，則x＝25，滿足題意：若1.5x＝60，則x＝40＜100，不合題意，故擬錄用人數(shù)為25，故選C.3．某林場計劃第一年造林10000畝，以后每年比前一年多造林20%，則第四年造林()A．14400畝 B．172800畝C．20736畝 D．17280畝[答案]D[解析]設(shè)年份為x，造林畝數(shù)為y，則y＝10000×(1＋20%)x－1，∴x＝4時，y＝17280，故選D.4．某工廠第三年的產(chǎn)量比第一年的產(chǎn)量增長44%，若每年的平均增長率相同(設(shè)為x)，則下列結(jié)論中正確的是()A．x>22%B．x<22%C．x＝22%D．x的大小由第一年產(chǎn)量確定[答案]B[解析]由題意設(shè)第一年產(chǎn)量為a，則第三年產(chǎn)量為a(1＋44%)＝a(1＋x)2，∴x＝0.2.故選B.5．一天，亮亮發(fā)燒了，早晨6時他燒得很厲害，吃過藥后感覺好多了，中午12時亮亮的體溫基本正常，但是下午18時他的體溫又開始上升，直到半夜24時亮亮才感覺身上不那么發(fā)燙了．則下列各圖能基本上反映出亮亮一天(0～24時)體溫的變化情況的是()[答案]C[解析]從0時到6時，體溫上升，圖象是上升的，排除選項A；從6時到12時，體溫下降，圖象是下降的，排除選項B；從12時到18時，體溫上升，圖象是上升的，排除選項D.6．(2016·四川理，5)某公司為激勵創(chuàng)新，計劃逐年加大研發(fā)資金投入，若該公司2015年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是()(參考數(shù)據(jù)：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)A．2018年 B．2019年C．2020年 D．2021年[答案]B[解析]設(shè)x年后該公司全年投入的研發(fā)資金為200萬元，由題可知，130(1＋12%)x＝200，解得x＝log1.12＝eq\f(200,130)＝eq\f(lg2－lg1.3,lg1.12)≈3.80，因資金需超過200萬，則x取4，即2019年，選B.二、填空題7．某藥品經(jīng)過兩次降價，每瓶的零售價由100元降為81元，已知兩次降價的百分率相同，設(shè)為x，則求兩次降價的百分率列出的方程為________.[答案]100(1－x)2＝81[解析]因為兩次降價的百分率相同，故列出的方程為100(1－x)2＝81.8．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的eq\f(3,4)，要使存留的污垢不超過1%，則至少要清洗的次數(shù)是________(lg2≈0.3010).[答案]4[解析]設(shè)至少要洗x次，則(1－eq\f(3,4))x≤eq\f(1,100)，∴x≥eq\f(1,lg2)≈3.322，所以需4次．三、解答題9．某池塘中野生水葫蘆的面積與時間的函數(shù)關(guān)系圖象如圖所示．假設(shè)其函數(shù)關(guān)系為指數(shù)函數(shù)，并給出下列說法：①此指數(shù)函數(shù)的底數(shù)為2；②在第5個月時，野生水葫蘆的面積就會超過30m2③野生水葫蘆從4m2蔓延到12m④設(shè)野生水葫蘆蔓延至2m2、3m2、6m2所需的時間分別為t1、t2、t3，則有t1＋t2＝t3；⑤野生水葫蘆在第1到第3個月之間蔓延的平均速度等于在第2到第4個月之間蔓延的平均速度．上述哪些說法是正確的？[解析]∵關(guān)系為指數(shù)函數(shù)，∴可設(shè)y＝ax(a>0且a≠1)．由圖可知2＝a1.∴a＝2，即底數(shù)為2，∴說法①正確；∵25＝32>30，∴說法②正確；∵指數(shù)函數(shù)增加速度越來越快，∴說法③不正確；t1＝1，t2＝log23，t3＝log26，∴t1＋t2＝t3.∴說法④正確；∵指數(shù)函數(shù)增加速度越來越快，∴說法⑤不正確．綜上，①②④說法正確．10．某企業(yè)生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場調(diào)查與預測，A產(chǎn)品的利潤與投資成正比，其關(guān)系如圖1；B產(chǎn)品的利潤與投資的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖2(注：利潤和投資單位：萬元).(1)分別將A，B兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資的函數(shù)關(guān)系式；(2)已知該企業(yè)已籌集到18萬元資金，并將全部投入A，B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)．①若平均投入生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，可獲得多少利潤？②問：如果你是廠長，怎樣分配這18萬元投資，才能使該企業(yè)獲得最大利潤？其最大利潤約為多少萬元？[解析](1)設(shè)A，B兩種產(chǎn)品分別投資x萬元，x≥0，所獲利潤分別為f(x)萬元、g(x)萬元．由題意可設(shè)f(x)＝k1x，g(x)＝k2eq\r(x).根據(jù)圖象可解得f(x)＝0.25x(x≥0)．g(x)＝2eq\r(x)(x≥0)．(2)①由(1)得f(9)＝2.25，g(9)＝2eq\r(9)＝6.∴總利潤y＝8.25萬元．②設(shè)B產(chǎn)品投入x萬元，A產(chǎn)品投入(18－x)萬元，該企業(yè)可獲總利潤為y萬元．則y＝eq\f(1,4)(18－x)＋2eq\r(x)，0≤x≤18.令eq\r(x)＝t，t∈[0,3eq\r(2)]，則y＝eq\f(1,4)(－t2＋8t＋18)＝－eq\f(1,4)(t－4)2＋eq\f(17,2).∴當t＝4時，ymax＝eq\f(17,2)＝8.5，此時x＝16,18－x＝2.∴當A，B兩種產(chǎn)品分別投入2萬元、16萬元時，可使該企業(yè)獲得最大利潤，約為8.5萬元.能力提升一、選擇題1．一個人以6米/秒的速度去追停在交通燈前的汽車，當他離汽車25米時，交通燈由紅變綠，汽車以1米/秒2的加速度均加速開走，那么()A．人可在7秒內(nèi)追上汽車B．人可在10秒內(nèi)追上汽車C．人追不上汽車，其間距最少為5米D．人追不上汽車，其間距最少為7米[答案]D[解析]設(shè)汽車經(jīng)過t秒行駛的路程為s米，則s＝eq\f(1,2)t2，車與人的間距d＝(s＋25)－6t＝eq\f(1,2)t2－6t＋25＝eq\f(1,2)(t－6)2＋7，當t＝6時，d取得最小值為7，故選D.2．隨著我國經(jīng)濟不斷發(fā)展，人均GDP(國內(nèi)生產(chǎn)總值)呈高速增長趨勢．已知2008年年底我國人均GDP為22640元，如果今后年平均增長率為9%，那么2020年年底我國人均GDP為()A．22640×1.0912元 B．22640×1.0913元C．22640×(1＋0.0912)元 D．22640×(1＋0.0913)元[答案]A[解析]由于2008年年底人均GDP為22640元，由2008年年底到2020年年底共12年，故2020年年底我國人均GDP為22640×1.0912元．3．根據(jù)統(tǒng)計，一名工人組裝第x件某產(chǎn)品所用的時間(單位：分鐘)為f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(c,\r(x))，x＜A，,\f(c,\r(A))，x≥A，))(A，c為常數(shù))．已知工人組裝第4件產(chǎn)品用時30min，組裝第A件產(chǎn)品用時15min，那么c和A的值分別是()A．75,25 B．75,16C．60,25 D．60,16[答案]D[解析]由題意知，組裝第A件產(chǎn)品所需時間為eq\f(c,\r(A))＝15，故組裝第4件產(chǎn)品所需時間為eq\f(c,\r(4))＝30，解得c＝60.將c＝60代入eq\f(c,\r(A))＝15，得A＝16.4．一個高為H，盛水量為V0的水瓶的軸截面如圖所示，現(xiàn)以均勻速度往水瓶中灌水，直到灌滿為止，如果水深h時水的體積為V，則函數(shù)V＝f(h)的圖象大致是()[答案]D[解析]水深h越大，水的體積V就越大，故函數(shù)V＝f(h)是遞增函數(shù)，一開始增長越來越快，后來增長越來越慢，圖象是先凹后凸的，曲線斜率是先增大后變小的，故選D.二、填空題5．某種放射性元素的原子數(shù)N隨時間t的變化規(guī)律是N＝N0e－λt，其中N0，λ是正的常數(shù)．由放射性元素的這種性質(zhì)，可以制造出高精度的時鐘，用原子數(shù)N表示時間t為________.[答案]t＝－eq\f(1,λ)lneq\f(N,N0)[解析]N＝N0e－λt?eq\f(N,N0)＝e－λt?－λt＝lneq\f(N,N0)?t＝－eq\f(1,λ)lneq\f(N,N0).6．一種專門侵占內(nèi)存的計算機病毒，開機時占據(jù)內(nèi)存2KB，然后每3分鐘自身復制一次，復制后所占內(nèi)存是原來的2倍，那么開機后經(jīng)過________分鐘，該病毒占據(jù)64MB內(nèi)存(1MB＝210KB).[答案]45[解析]設(shè)過n個3分鐘后，該病毒占據(jù)64MB內(nèi)存，則2×2n＝64×210＝216?n＝15.故時間為15×3＝45(分鐘)．三、解答題7．大氣污染已經(jīng)成為影響群眾身體健康的重要因素，治理大氣污染成為各鋼鐵企業(yè)的首要任務(wù)，其中某鋼鐵廠在處理工業(yè)廢氣的過程中，每經(jīng)過一次處理可將有害氣體減少20%，那么要讓有害氣體減少到原來的5%，求至少要經(jīng)過幾次處理？參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.3010.[解析]設(shè)工業(yè)廢氣在未處理前為a，經(jīng)過x次處理后變?yōu)閥，則y＝a(1－20%)x＝a(80%)x.由題意得eq\f(y,a)＝5%，即(80%)x＝5%，兩邊同時取以10為底的對數(shù)得xlg0.8＝lg0.05，即x＝eq\f(lg0.05,lg0.8)≈13.4.因而需要14次處理才能使工業(yè)廢氣中的有害氣體減少到原來的5%.8．2015年，某公司推出了一種高效環(huán)保型洗滌用品，年初上市后，公司經(jīng)歷了從虧損到盈利的過程，右面的二次函數(shù)圖象(部分)刻畫了該公司年初以來累積利潤S(萬元)與銷售時間t(月)之間的關(guān)系(即前t個月的利潤總和S與t之間的關(guān)系)．根據(jù)圖象提供的信息解答下列問題：(1)由已知圖象上的三點坐標，求累積利潤S(萬元)與時間t(月)之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)求截止到第幾月末公司累積利潤可達到30萬元；(3)求第八個月公司所獲利潤是多少萬元？[解析](1)由二次函數(shù)圖象可知，設(shè)S與t的函數(shù)關(guān)系式為S＝at2＋bt＋c(a≠0)．由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝－1.5，,4a＋2b＋c＝－2，,25a＋5b＋c＝2.5，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝－1.5，,4a＋2b＋c＝－2，,c＝0，))或eq\b\lc\{\rc\(\a