初一奧數(shù)題附答案

初一奧數(shù)題（附答案）1．設a，b，c為實數(shù)，且｜a｜+a=0，｜ab｜=ab，｜c｜-c=0，求代數(shù)式｜b｜-｜a＋b｜-｜c-b｜＋｜a-c｜的值．2．若m＜0，n＞0，｜m｜＜｜n｜，且｜x＋m｜＋｜x-n｜=m＋n，求x的取值范圍．3．設(3x-1)7=a7x7＋a6x6+…+a1x＋a0，試求a0+a2＋a4＋a6的值．4．解方程2｜x+1｜+｜x-3｜=6．5．解不等式｜｜x＋3｜-｜x-1｜｜＞2．6．x，y，z均是非負實數(shù)，且滿足：x＋3y＋2z=3，3x＋3y+z=4，求u=3x-2y＋4z的最大值與最小值．7．求x4-2x3＋x2+2x-1除以x2+x＋1的商式和余式．12．如圖1－88所示．小柱住在甲村，奶奶住在乙村，星期日小柱去看望奶奶，先在北山坡打一捆草，又在南山坡砍一捆柴給奶奶送去．請問：小柱應該選擇怎樣的路線才能使路程最短？13．如圖1－89所示．AOB是一條直線，OC，OE分別是∠AOD和∠DOB的平分線，∠COD=55°．求∠DOE的補角．14．如圖1－90所示．BE平分∠ABC，∠CBF=∠CFB=55°，∠EDF=70°．求證：BC‖AE．15．如圖1－91所示．在△ABC中，EF⊥AB，CD⊥AB，∠CDG=∠BEF．求證：∠AGD=∠ACB．16．如圖1－92所示．在△ABC中，∠B=∠C，BD⊥AC于D．求17．如圖1－93所示．在△ABC中，E為AC的中點，D在BC上，且BD∶DC=1∶2，AD與BE交于F．求△BDF與四邊形FDCE的面積之比．18．如圖1－94所示．四邊形ABCD兩組對邊延長相交于K及L，對角線AC‖KL，BD延長線交KL于F．求證：KF=FL．19．任意改變某三位數(shù)數(shù)碼順序所得之數(shù)與原數(shù)之和能否為999？說明理由．20．設有一張8行、8列的方格紙，隨便把其中32個方格涂上黑色，剩下的32個方格涂上白色．下面對涂了色的方格紙施行“操作”，每次操作是把任意橫行或者豎列上的各個方格同時改變顏色．問能否最終得到恰有一個黑色方格的方格紙？21．如果正整數(shù)p和p+2都是大于3的素數(shù)，求證：6｜(p＋1)．22．設n是滿足下列條件的最小正整數(shù)，它們是75的倍數(shù)，且恰有30．某工廠甲乙兩個車間，去年計劃完成稅利750萬元，結(jié)果甲車間超額15％完成計劃，乙車間超額10％完成計劃，兩車間共同完成稅利845萬元，求去年這兩個車間分別完成稅利多少萬元？甲：460萬乙：290萬31．已知甲乙兩種商品的原價之和為150元．因市場變化，甲商品降價10％，乙商品提價20％，調(diào)價后甲乙兩種商品的單價之和比原單價之和降低了1％，求甲乙兩種商品原單價各是多少？甲：105乙：4532．小紅去年暑假在商店買了2把兒童牙刷和3支牙膏，正好把帶去的錢用完．已知每支牙膏比每把牙刷多1元，今年暑假她又帶同樣的錢去該商店買同樣的牙刷和牙膏，因為今年的牙刷每把漲到1.68元，牙膏每支漲價30％，小紅只好買2把牙刷和2支牙膏，結(jié)果找回4角錢．試問去年暑假每把牙刷多少錢？每支牙膏多少錢？牙刷：1.4牙膏：2.433．某商場如果將進貨單價為8元的商品，按每件12元賣出，每天可售出400件，據(jù)經(jīng)驗，若每件少賣1元，則每天可多賣出200件，問每件應減價多少元才可獲得最好的效益？11元34．從A鎮(zhèn)到B鎮(zhèn)的距離是28千米，今有甲騎自行車用0．4千米/分鐘的速度，從A鎮(zhèn)出發(fā)駛向B鎮(zhèn)，25分鐘以后，乙騎自行車，用0．6千米/分鐘的速度追甲，試問多少分鐘后追上甲？35．現(xiàn)有三種合金：第一種含銅60％，含錳40％；第二種含錳10％，含鎳90％；第三種含銅20％，含錳50％，含鎳30％．現(xiàn)各取適當重量的這三種合金，組成一塊含鎳45％的新合金，重量為1千克．

(1)0.9+0.25x

(2)求新合金中含第二種合金的重量范圍；最大：1.035最?。?.905

(3)求新合金中含錳的重量范圍．0.０１～０.５４參考答案

2．因為｜a｜=-a，所以a≤0，又因為｜ab｜=ab，所以b≤0，因為｜c｜=c，所以c≥0．所以a＋b≤0，c-b≥0，a-c≤0．所以

原式=-b＋(a＋b)-(c-b)-(a-c)=b．3．因為m＜0，n＞0，所以｜m｜=-m，｜n｜=n．所以｜m｜＜｜n｜可變?yōu)閙＋n＞0．當x+m≥0時，｜x+m｜=x＋m；當x-n≤0時，｜x-n｜=n-x．故當-m≤x≤n時，

｜x＋m｜＋｜x-n｜=x＋m-x＋n=m＋n．4．分別令x=1，x=-1，代入已知等式中，得

a0+a2＋a4＋a6=-8128．10．由已知可解出y和z

因為y，z為非負實數(shù)，所以有

u=3x-2y+4z11.所以商式為x2-3x+3，余式為2x-4

12．小柱的路線是由三條線段組成的折線(如圖1－97所示)．

我們用“對稱”的辦法將小柱的這條折線的路線轉(zhuǎn)化成兩點之間的一段“連線”(它是線段)．設甲村關于北山坡(將山坡看成一條直線)的對稱點是甲′；乙村關于南山坡的對稱點是乙′，連接甲′乙′，設甲′乙′所連得的線段分別與北山坡和南山坡的交點是A，B，則從甲→A→B→乙的路線的選擇是最好的選擇(即路線最短）

顯然，路線甲→A→B→乙的長度恰好等于線段甲′乙′的長度．而從甲村到乙村的其他任何路線，利用上面的對稱方法，都可以化成一條連接甲′與乙′之間的折線．它們的長度都大于線段甲′乙′．所以，從甲→A→B→乙的路程最短．13．如圖1－98所示．因為OC，OE分別是∠AOD，∠DOB的角平分線，又∠AOD+∠DOB=∠AOB=180°，所以∠COE=90°．

因為∠COD=55°，所以∠DOE=90°-55°=35°．

因此，∠DOE的補角為180°-35°＝145°．14．如圖1－99所示．因為BE平分∠ABC，所以

∠CBF=∠ABF，

又因為∠CBF=∠CFB，所以∠ABF=∠CFB．

從而AB‖CD(內(nèi)錯角相等，兩直線平行)．

由∠CBF=55°及BE平分∠ABC，所以∠ABC=2×55°=110°．①

由上證知AB‖CD，所以∠EDF=∠A=70°，②

由①，②知BC‖AE(同側(cè)內(nèi)角互補，兩直線平行)．15．如圖1-100所示．EF⊥AB，CD⊥AB，所以∠EFB=∠CDB=90°，

所以EF‖CD(同位角相等，兩直線平行)．所以∠BEF=∠BCD(兩直線平行，同位角相等)．

①又由已知∠CDG=∠BEF．②由①，②∠BCD=∠CDG．

所以BC‖DG(內(nèi)錯角相等，兩直線平行)．

所以∠AGD=∠ACB(兩直線平行，同位角相等)．16．在△BCD中，

∠DBC＋∠C=90°(因為∠BDC=90°)，①又在△ABC中，∠B=∠C，所以

∠A＋∠B＋∠C=∠A＋2∠C=180°，

所以由①，②17．如圖1－101，設DC的中點為G，連接GE．在△ADC中，G，E分別是CD，CA的中點．所以，GE‖AD，即在△BEG中，DF‖GE．從而F是BE中點．連結(jié)FG．所以

又S△EFD＝S△BFG-SEFDG=4S△BFD-SEFDG，

所以S△EFGD=3S△BFD．

設S△BFD=x，則SEFDG=3x．又在△BCE中，G是BC邊上的三等分點，所以S△CEG=S△BCEE，

從而所以SEFDC=3x＋2x＝5x，

所以S△BFD∶SEFDC=1∶5．18．如圖1－102所示．

由已知AC‖KL，所以S△ACK=S△ACL，所以

即KF=FL．＋b1=9，a+a1=9，于是a+b+c＋a1＋b1+c1=9＋9+9，即2(a十b＋c)=27，矛盾！20．答案是否定的．設橫行或豎列上包含k個黑色方格及8-k個白色方格，其中0≤k≤8．當改變方格的顏色時，得到8-k個黑色方格及k個白色方格．因此，操作一次后，黑色方格的數(shù)目“增加了”(8-k)-k=8-2k個，即增加了一個偶數(shù)．于是無論如何操作，方格紙上黑色方格數(shù)目的奇偶性不變．所以，從原有的32個黑色方格(偶數(shù)個)，經(jīng)過操作，最后總是偶數(shù)個黑色方格，不會得到恰有一個黑色方格的方格紙．21．大于3的質(zhì)數(shù)p只能具有6k＋1，6k＋5的形式．若p=6k＋1(k≥1)，則p+2=3(2k＋1)不是質(zhì)數(shù)，所以，p=6k＋5(k≥0)．于是，p＋1=6k＋6，所以，6｜(p＋1)．22．由題設條件知n=75k=3×52×k．欲使n盡可能地小，可設n=2α3β5γ(β≥1，γ≥2)，且有(α+1)(β+1)(γ＋1)=75．

于是α＋1，β+1，γ＋1都是奇數(shù)，α，β，γ均為偶數(shù)．故取γ=2．這時(α+1)(β+1)=25．

所以故(α，β)=(0，24)，或(α，β)=(4，4)，即n=20?324?52

23．設凳子有x只，椅子有y只，由題意得3x＋4y+2(x+y)＝43，

即5x+6y＝43．

所以x=5，y=3是唯一的非負整數(shù)解．從而房間里有8個人．24．原方程可化為

7x-8y+2z＝5．

令7x-8y=t，t＋2z=5．易見x=7t，y=6t是7x-8y=t的一組整數(shù)解．所以它的全部整數(shù)解是

而t=1，z=2是t＋2z=5的一組整數(shù)解．它的全部整數(shù)解是

把t的表達式代到x，y的表達式中，得到原方程的全部整數(shù)解是

25．(1)第一個位置有8種選擇方法，第二個位置只有7種選擇方法，…，由乘法原理，男、女各有8×7×6×5×4×3×2×1＝40320

種不同排列．又兩列間有一相對位置關系，所以共有2×403202種不同情況．(2)逐個考慮結(jié)對問題．

與男甲結(jié)對有8種可能情況，與男乙結(jié)對有7種不同情況，…，且兩列可對換，所以共有2×8×7×6×5×4×3×2×1=80640種不同情況．26．萬位是5的有4×3×2×1=24(個)．

萬位是4的有4×3×2×1=24(個)．

萬位是3，千位只能是5或4，千位是5的有3×2×1=6個，千位是4的有如下4個：

34215，34251，34512，34521．

所以，總共有24+24＋6+4＝58

個數(shù)大于34152．27．兩車錯過所走過的距離為兩車長之總和，即92＋84=176(米)．

設甲火車速度為x米/秒，乙火車速度為y米/秒．兩車相向而行時的速度為x+y；兩車同向而行時的速度為x-y，依題意有

解之得

解之得x=9(天)，x＋3=12(天)．

解之得x=16(海里/小時)．

經(jīng)檢驗，x=16海里/小時為所求之原速．30．設甲乙兩車間去年計劃完成稅利分別為x萬元和y萬元．依題意得

解之得

故甲車間超額完成稅利

乙車間超額完成稅利

所以甲共完成稅利400+60=460(萬元)，乙共完成稅利350+35=385(萬元)．31．設甲乙兩種商品的原單價分別為x元和y元，依題意可得

由②有

0.9x+1.2y=148.5，③

由①得x=150-y，代入③有

0.9(150-y)＋1.2y＝148.5，

解之得y=45(元)，因而，x=105(元)．32．設去年每把牙刷x元，依題意得

2×1.68＋2(x+1)(1+30％)=[2x＋3(x+1)]-0.4，

即2×1.68＋2×1.3+2×1.3x＝5x＋2.6，

即2.4x=2×1.68，

所以x=1.4(元)．

若y為去年每支牙膏價格，則y=1.4＋1=2.4(元)．33．原來可獲利潤4×400=1600元．設每件減價x元，則每件仍可獲利(4-x)元，其中0＜x＜4．由于減