第五章解析函數(shù)的羅朗展式

第五章解析函數(shù)的羅朗展式第一頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日第一節(jié)、解析函數(shù)的洛朗展式1、定義形如被稱為關(guān)于的雙邊冪級(jí)數(shù)。一、雙邊冪級(jí)數(shù)第二頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日則有在H內(nèi)絕對(duì)收斂且內(nèi)閉一致收斂于在H內(nèi)逐項(xiàng)求導(dǎo)p次，p=1,2,……2、性質(zhì)定理5.1設(shè)雙邊冪級(jí)數(shù)的收斂圓環(huán)為第三頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日rRp展開式是唯一的可展開成雙邊冪級(jí)數(shù)（關(guān)于即其中若則二、定理5.2(Laurent定理)(*)第四頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日注：（1）若在內(nèi)能展開成Laurent級(jí)數(shù);*（3）若則展開式必為如下形式：表示成（4）展開法------根據(jù)展開式唯一，只須將(*)即為L(zhǎng)aurent展開式。（2）Taylor級(jí)數(shù)與Laurent級(jí)數(shù)的關(guān)系;第五頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日（1）（2）解：例1.求函數(shù)在下列區(qū)域內(nèi)的羅朗展式（1）在內(nèi)解析內(nèi)可展開成羅朗級(jí)數(shù)，即在第六頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日在在（1）內(nèi)解析內(nèi)可展開成羅朗級(jí)數(shù)，即第七頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日同理可得第八頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日其級(jí)數(shù)形式為令則（2）在內(nèi)解析在內(nèi)可展成羅朗級(jí)，第九頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日即(1)又因第十頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日(2)由（1）、（2）可知第十一頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日在處的去心鄰展成羅朗級(jí)數(shù)。解：以和為奇點(diǎn)的的去心鄰域?yàn)榱顒t有且例2.將第十二頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)于有第十三頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日第十四頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日設(shè)a為的孤立奇點(diǎn)，即使在去心鄰域內(nèi)可以展開成Laurent級(jí)數(shù)。此時(shí)，為在a的正則部分。為在點(diǎn)a處的主要部分。第二節(jié)、解析函數(shù)的孤立奇點(diǎn)及其分類若在點(diǎn)a處的主要部分為零，的可去奇點(diǎn)；則稱為若在點(diǎn)a處的主要部分為的m級(jí)極點(diǎn)；則稱為若在點(diǎn)a處的主要部分有無窮多項(xiàng)，的本性奇點(diǎn)；則稱為1、定義5.3第十五頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日定理5.3為設(shè)的孤立奇點(diǎn)，則的可去點(diǎn);為在的主要部分為0;在點(diǎn)a的去心鄰域內(nèi)有界。2、各類孤立奇點(diǎn)的特征第十六頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日解：的可去奇點(diǎn)為解：例1.判別下列函數(shù)在指定奇點(diǎn)處的類型為的可奇點(diǎn)。第十七頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日設(shè)以為孤立奇點(diǎn)，則下列命題等價(jià)以為m級(jí)極點(diǎn);在處的主要部分：定理5.4在點(diǎn)a處解析，為m級(jí)零點(diǎn);以第十八頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日解：僅以為奇點(diǎn)例2.判斷下列函數(shù)在指定點(diǎn)處的性質(zhì)在處解析，且記的孤立奇點(diǎn)。為為的一級(jí)極點(diǎn)。第十九頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日解：以z=0,1為奇點(diǎn)為的孤立奇點(diǎn)。例2.判斷下列函數(shù)在指定點(diǎn)處的性質(zhì)我們有對(duì)于為的二級(jí)極點(diǎn)。在處解析，第二十頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日在處解析，同理我們有對(duì)于為的一級(jí)極點(diǎn)。定理5.5設(shè)的某鄰域內(nèi)不恒等于零，則在以為m級(jí)極點(diǎn)以為m級(jí)零點(diǎn)第二十一頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日解：記則所以存在為一級(jí)零點(diǎn)以處解析，且在處的函數(shù)值不等于零的函數(shù)使得為的二級(jí)零點(diǎn)。在處解析，且為故為二級(jí)極點(diǎn)。第二十二頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日不存在且不為定理5.7為的本性奇點(diǎn)，且在點(diǎn)a的充分小去的本性奇點(diǎn)心鄰域內(nèi)不為零，則也必為定理5.6為的本性奇點(diǎn)本性奇點(diǎn)的特征：第二十三頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日不存在且不為為故的本性奇點(diǎn)。不存在且不為的本性奇點(diǎn)所以由定理5.7可知為即也為的本性奇點(diǎn)。均為與的本性奇點(diǎn).證明:為的本性奇點(diǎn).例3.證明：第二十四頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日分析：在關(guān)鍵是討論是存在使內(nèi)解析。解：下列函數(shù)是否以例4.為孤立點(diǎn)？在有限復(fù)平面上僅以為奇點(diǎn)在內(nèi)解析為的孤立奇點(diǎn)。為的孤立奇點(diǎn)的定義：內(nèi)解析，則稱為的一個(gè)孤立奇點(diǎn)。定義5.4若函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)（去心）鄰域第三節(jié)、解析函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性質(zhì)第二十五頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日為奇點(diǎn)在有限復(fù)平面內(nèi)以解：而時(shí),的非孤立奇點(diǎn)故為第二十六頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日(2)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的分類與判定方法在為孤立奇點(diǎn)，則設(shè)以內(nèi)解析，令則在函數(shù)為的孤立奇點(diǎn)。在內(nèi)解析，即的可去奇點(diǎn)，m級(jí)極點(diǎn)和本性奇點(diǎn)，則相應(yīng)地的可去奇點(diǎn)，m級(jí)極點(diǎn)和本性奇點(diǎn)。為為第二十七頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日在的性質(zhì)判定下列函數(shù)解：令則且例5.的可去奇點(diǎn)為的可去奇點(diǎn).為第二十八頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日例5.判定無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的類型

(2)解:則令則的二級(jí)極點(diǎn)為的二級(jí)極點(diǎn)。為第二十九頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月2