第二節(jié)中心極限定理

第二節(jié)中心極限定理第一頁，共二十五頁，2022年，8月28日一、中心極限定理的意義在實(shí)際問題中許多隨機(jī)變量是由相互獨(dú)立隨機(jī)因素的綜合（或和）影響所形成的.例如，炮彈射擊的落點(diǎn)與目標(biāo)的偏差，就受著許多隨機(jī)因素（如瞄準(zhǔn)，空氣阻力，炮彈或炮身結(jié)構(gòu)等）綜合影響的.每個(gè)隨機(jī)因素對(duì)彈著點(diǎn)（隨機(jī)變量和）所起的作用都是很小的.那么彈著點(diǎn)服從怎樣分布？第二頁，共二十五頁，2022年，8月28日一、中心極限定理的意義

如果一個(gè)隨機(jī)變量是由大量相互獨(dú)立的隨機(jī)因素的綜合影響所造成，而每一個(gè)別因素對(duì)這種綜合影響所起的作用不大，則這種隨機(jī)變量一般都服從或近似服從正態(tài)分布.自從高斯指出測量誤差服從正態(tài)分布之后，人們發(fā)現(xiàn)，正態(tài)分布在自然界中極為常見.高斯第三頁，共二十五頁，2022年，8月28日一、中心極限定理的意義現(xiàn)在我們就來研究獨(dú)立隨機(jī)變量之和所特有的規(guī)律性問題.當(dāng)n無限增大時(shí)，這個(gè)和的極限分布是什么呢？在什么條件下極限分布會(huì)是正態(tài)的呢？第四頁，共二十五頁，2022年，8月28日一、中心極限定理的意義第五頁，共二十五頁，2022年，8月28日一、中心極限定理的意義在概率論中，習(xí)慣于把和的分布收斂于正態(tài)分布這一類定理都叫做中心極限定理.第六頁，共二十五頁，2022年，8月28日二、李雅普諾夫中心極限定理1.李雅普諾夫(Lyapunov)定理第七頁，共二十五頁，2022年，8月28日注意：二、李雅普諾夫中心極限定理第八頁，共二十五頁，2022年，8月28日二、李雅普諾夫中心極限定理對(duì)于李雅普諾夫定理中的隨機(jī)變量序列，將其約束條件改為獨(dú)立同分布，即林德貝爾格—勒維中心極限定理第九頁，共二十五頁，2022年，8月28日三、勒維中心極限定理2.林德貝爾格－勒維（Lindeberg-Levy）定理第十頁，共二十五頁，2022年，8月28日三、勒維中心極限定理第十一頁，共二十五頁，2022年，8月28日三、勒維中心極限定理第十二頁，共二十五頁，2022年，8月28日例1

對(duì)敵人的防御地段進(jìn)行100次轟炸，每次轟炸命中目標(biāo)的炸彈數(shù)目是隨機(jī)變量，其期望為2，方差為1.69.求在100次轟炸中有180顆至220顆炸彈命中目標(biāo)的概率.解：設(shè)Xi-第i次轟炸命中目標(biāo)的炸彈數(shù)，i=1,2,…,100三、勒維中心極限定理則100次轟炸命中目標(biāo)的炸彈總數(shù)為依題意，第十三頁，共二十五頁，2022年，8月28日例1

對(duì)敵人的防御地段進(jìn)行100次轟炸，每次轟炸命中目標(biāo)的炸彈數(shù)目是隨機(jī)變量，其期望為2，方差為1.69.求在100次轟炸中有180顆至220顆炸彈命中目標(biāo)的概率.由中心極限定理,三、勒維中心極限定理于是，第十四頁，共二十五頁，2022年，8月28日三、勒維中心極限定理例2計(jì)算機(jī)在進(jìn)行數(shù)學(xué)計(jì)算時(shí)，遵從四舍五入原則.為簡單計(jì)，現(xiàn)從小數(shù)點(diǎn)后第一位進(jìn)行舍入運(yùn)算，設(shè)誤差.若一項(xiàng)計(jì)算中進(jìn)行了100次數(shù)字運(yùn)算，求平均誤差落入上的概率.解：設(shè)Xi-第i次運(yùn)算中產(chǎn)生的誤差，i=1,2,…,100則諸Xi獨(dú)立，服從，100次運(yùn)算的平均誤差為第十五頁，共二十五頁，2022年，8月28日于是，依題意，由中心極限定理,三、勒維中心極限定理第十六頁，共二十五頁，2022年，8月28日對(duì)于勒維中心極限定理中的隨機(jī)變量序列，將其約束條件改為獨(dú)立同0-1分布，即三、勒維中心極限定理拉普拉斯中心極限定理第十七頁，共二十五頁，2022年，8月28日四、拉普拉斯中心極限定理3.棣莫佛－拉普拉斯（DeMoivre-Laplace）定理第十八頁，共二十五頁，2022年，8月28日定理表明:二項(xiàng)分布的極限分布是正態(tài)分布

四、拉普拉斯中心極限定理在n重貝努利試驗(yàn)中，描述A事件發(fā)生次數(shù)的隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布.當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)較多時(shí)，根據(jù)中心極限定理，可利用正態(tài)分布近似計(jì)算二項(xiàng)分布，即第十九頁，共二十五頁，2022年，8月28日四、拉普拉斯中心極限定理例3100臺(tái)車床獨(dú)立工作，每臺(tái)實(shí)際工作時(shí)間占全部工作時(shí)間的80%.求任一時(shí)刻有70至86臺(tái)車床工作的概率.解：則依題意，第二十頁，共二十五頁，2022年，8月28日四、拉普拉斯中心極限定理例3100臺(tái)車床獨(dú)立工作，每臺(tái)實(shí)際工作時(shí)間占全部工作時(shí)間的80%.求任一時(shí)刻有70至86臺(tái)車床工作的概率.由中心極限定理,于是，第二十一頁，共二十五頁，2022年，8月28日五、課程小結(jié)1.標(biāo)準(zhǔn)化因子第二十二頁，共二十五頁，2022年，8月28日五、課程小結(jié)中心極限定理其實(shí)是描述的隨機(jī)變量序列和，經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化后，當(dāng)序列容量無限大時(shí)的極限分布.2.中心極限定理的內(nèi)容第二十三頁，共二十五頁，2022年，8月28日五、課程小結(jié)第二十四頁，共二十五頁，2022年，8月28日六、課堂練習(xí)