第八章歐氏空間

第八章歐氏空間第一頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日8.1向量的內(nèi)積一、內(nèi)容分布

8.1.1向量的內(nèi)積、歐氏空間的定義8.1.2向量的長(zhǎng)度、兩非零向量的夾角8.1.3兩向量正交、正交向量組的定義、性質(zhì)

二、教學(xué)目的：1．理解以下概念及其基本性質(zhì)：向量的內(nèi)積、歐氏空間、向量的長(zhǎng)度、單位向量、兩非零向量的夾角、兩向量正交、兩向量的距離．2．掌握常見(jiàn)的幾種歐氏空間；會(huì)用向量的內(nèi)積及歐氏空間的定義判斷向量ξ與η的內(nèi)積<ξ,η>．3．掌握三、重點(diǎn)難點(diǎn)：1.準(zhǔn)確理解并掌握向量的內(nèi)積、歐氏空間及兩向量正交的概念;2.不等式的靈活運(yùn)用.一些不等式第二頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日8.1.1向量的內(nèi)積、歐氏空間的定義

1)

2)

3)4)當(dāng)時(shí),定義1設(shè)V是實(shí)數(shù)域R上一個(gè)向量空間.如果對(duì)于V中任意一對(duì)向量有一個(gè)確定的記作

的實(shí)數(shù)與它們對(duì)應(yīng)，并且下列條件被滿(mǎn)足：

這里是V的任意向量，a是任意實(shí)數(shù)，

那么這個(gè)內(nèi)積來(lái)說(shuō)的一個(gè)歐氏空間（簡(jiǎn)稱(chēng)歐氏空間）.叫做向量ξ與η的內(nèi)積，而V叫做對(duì)于第三頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日例1在規(guī)定里,對(duì)于任意兩個(gè)向量容易驗(yàn)證,關(guān)于內(nèi)積的公理被滿(mǎn)足,因而對(duì)于這樣定義的內(nèi)積來(lái)說(shuō)作成一個(gè)歐氏空間.例2在規(guī)定里,對(duì)于任意向量不難驗(yàn)證,也作成一個(gè)歐氏空間.

第四頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日例3令C[a,b]是定義在[a,b]上一切連續(xù)實(shí)函數(shù)我們規(guī)定所成的向量空間,根據(jù)定積分的基本性質(zhì)可知,內(nèi)積的公理1)---4)都被滿(mǎn)足,因而C[a,b]作成一個(gè)歐氏空間.例4令H是一切平方和收斂的實(shí)數(shù)列所成的集合.在H中用自然的方式定義加法和標(biāo)量與向量的乘法:第五頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日設(shè)規(guī)定

向量的內(nèi)積由公式給出，那么H是一個(gè)歐氏空間.練習(xí)1

為向量空間中任意兩向量,證明:對(duì)作成歐氏空間的充分必要條件是m>0,n>0.

第六頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日8.1.2向量的長(zhǎng)度、兩非零向量的夾角定義2設(shè)ξ是歐氏空間的一個(gè)向量，非負(fù)實(shí)數(shù)的算術(shù)根叫做ξ的長(zhǎng)度，向量ξ的長(zhǎng)度用符號(hào)表示：定理8.1.1在一個(gè)歐氏空間里,對(duì)于任意向量有不等式(6)當(dāng)且僅當(dāng)ξ與η線性相關(guān)時(shí)，上式才取等號(hào).第七頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日定義3設(shè)ξ與η是歐氏空間的兩個(gè)非零向量，ξ與η的夾角θ由以下公式定義：例5令是例1中的歐氏空間.中向量的長(zhǎng)度是由長(zhǎng)度的定義,對(duì)于歐氏空間中任意向量ξ和任意實(shí)數(shù)a,有第八頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日注：一個(gè)實(shí)數(shù)a與一個(gè)向量ξ的乘積的長(zhǎng)度等于a的絕對(duì)值與ξ的長(zhǎng)度的乘積.例6考慮例1的歐式空間由不等式(6)推出,對(duì)于任意實(shí)數(shù)有不等式(7)(7)式稱(chēng)為柯西(Cauchy)不等式.第九頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日例7

考慮例3的歐氏空間C[a,b]，由不等式（6）推出，對(duì)于定義在[a,b]上的任意連續(xù)函數(shù)有不等式(8)(8)式稱(chēng)為施瓦茲(Schwarz)不等式.（7）和（8）在歐氏空間的不等式（6）里被統(tǒng)一起來(lái).因此通常把(6)式稱(chēng)為柯西-施瓦茲不等式.

第十頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日例8

設(shè)為歐氏空間V中任意兩個(gè)(1)當(dāng)且僅當(dāng)?shù)膴A角為0;非零向量.證明:(2)當(dāng)且僅當(dāng)?shù)膴A角為π;第十一頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日8.1.3向量的正交

定義4歐氏空間的兩個(gè)向量ξ與η說(shuō)是正交的,如果定理8.1.2

在一個(gè)歐氏空間里，如果向量ξ中每一個(gè)正交，

那么ξ與

的任意一個(gè)線性組合也正交.

與第十二頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日思考題1：設(shè)是n維歐氏空間V中證明:

兩個(gè)不同的向量,且

思考題2：在歐氏空間中,設(shè)

兩兩正交,且

的長(zhǎng)度

求A的行列式

的值.

第十三頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日8.2正交基第十四頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日一、內(nèi)容分布

8.2.1正交組的定義、性質(zhì)

8.2.2標(biāo)準(zhǔn)正交基的定義、性質(zhì)及存在性8.2.3子空間的正交補(bǔ)

8.2.4正交矩陣的概念

8.2.5n維歐氏空間同構(gòu)的概念及判別

二、教學(xué)目的：1．掌握正交向量組、n維歐氏空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基等概念及基本性質(zhì)．2．熟練運(yùn)用施密特正交化方法，由一個(gè)線性無(wú)關(guān)向量組求出一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交向量組3．掌握一個(gè)向量與一個(gè)非空子集正交、子空間的正交補(bǔ)的概念及基本性質(zhì)，并會(huì)求某些子空間的正交補(bǔ)．4．掌握正交矩陣的概念及其與標(biāo)準(zhǔn)正交基的關(guān)系．5．掌握n維歐氏空間同構(gòu)的概念及基本理論．三、重點(diǎn)難點(diǎn)：正交向量組、n維歐氏空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基等概念;子空間的正交補(bǔ)的概念及基本性質(zhì);施密特正交化方法第十五頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日8.2.1正交組的定義、性質(zhì)

定義1

歐氏空間V的一組兩兩正交的非零向量叫做V的一個(gè)正交組,如果一個(gè)正交組的每一個(gè)向量都是單位向量,這個(gè)正交組就叫做一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交組.

1．正交組的定義例1

向量構(gòu)成

一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交組，因?yàn)?/p>

第十六頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日2．正交組的性質(zhì)定理8.2.1

設(shè)

一個(gè)正交組，那么

線性無(wú)關(guān).

是歐氏空間的證：設(shè)有

使得

因?yàn)楫?dāng)i≠j時(shí)

，所以

但

，所以

即

線性無(wú)關(guān).

第十七頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日8.2.2標(biāo)準(zhǔn)正交基的定義、性質(zhì)及存在性

1．標(biāo)準(zhǔn)正交基的定義

設(shè)V是一個(gè)n維歐氏空間，如果V中有n個(gè)向量構(gòu)成一個(gè)正交組，那么由定理8.2.1，這個(gè)n個(gè)向量構(gòu)成V的一個(gè)基，叫做V的一個(gè)正交基。如果V的一個(gè)正交基還是一個(gè)規(guī)范正交級(jí)，那么就稱(chēng)這個(gè)基是一個(gè)規(guī)范的正交基。第十八頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日例2歐氏空間

的基是

i=1,2,…,n,的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基.

如果

正交基。令ξ是V的任意一個(gè)向量那么ξ是可是是n維歐氏空間V的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)以唯一寫(xiě)成

是ξ關(guān)于

的坐標(biāo)。由于是規(guī)范正交基，我們有第十九頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日（3）

這就是說(shuō)，向量ξ關(guān)于一個(gè)規(guī)范正交基的第i個(gè)坐標(biāo)等于ξ與第i個(gè)基向量的內(nèi)積；其次，令那么

（4）

由此得

（5）

（6）

第二十頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日2．標(biāo)準(zhǔn)正交基的性質(zhì)設(shè)

是的一個(gè)基，但不一定是正交基

問(wèn)題就解決了,因?yàn)閷?/p>

再分別除以它們的長(zhǎng)度，就得到一個(gè)規(guī)范正交借助幾何直觀，為了求出

正交基。從這個(gè)基出發(fā)，只要能得出

的一個(gè)基。先取我們考慮線性組合

從這里決定實(shí)數(shù)a，

使

正交，由

第二十一頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日及得取那么

又因?yàn)榫€性無(wú)關(guān)，所以對(duì)于任意實(shí)數(shù)a因而這就得到

的一個(gè)正交基

第二十二頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日3．標(biāo)準(zhǔn)正交基的存在性

定理8.2.2（施密特正交化方法)設(shè)是歐氏空間V的一組線性無(wú)關(guān)的向量,那么可以求使得

可以由

線性表示，k=1,2,…,m.

出V的一個(gè)正交組

證

先取

那么

是

的線性組合，且

其次取

第二十三頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日又由

所以正交。假設(shè)1＜k≤m，而滿(mǎn)足定理要求的都已作出.

那么是的線性組合，并且因?yàn)?/p>

線性無(wú)關(guān)，所以

第二十四頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日取所以

是

的線性組合。由于假定了

i=1,2,…,k-1，所以把這些線性組合代入上式，得

的線性組合，線性無(wú)關(guān)，由

得

第二十五頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日又因?yàn)榧俣?/p>

兩兩正交。這樣，也滿(mǎn)足定理的要求。所以定理得證。

第二十六頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日任意n（n>0）維歐氏空間一定有正交基，因而有標(biāo)準(zhǔn)正交基.例4

在歐氏空間

中對(duì)基

施行正交化方法得出

的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基.

解:第一步，取第二十七頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日第二步，先取然后令第二十八頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日第三步，取

再令于是

就是

的一個(gè)規(guī)范正交基。

第二十九頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日練習(xí)1設(shè)

試把

的基的一個(gè)基,并將它標(biāo)準(zhǔn)正交化.擴(kuò)充成第三十頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日8.2.3子空間的正交補(bǔ)

1.向量與一個(gè)非空子集正交

定理8.2.4

令W是歐氏空間V的一個(gè)有限維子空間，那么因而V的每一個(gè)向量ξ可以唯一寫(xiě)成這里(7)第三十一頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日設(shè)令證明

當(dāng)W={0}時(shí)，定理顯然成立，這時(shí)

設(shè)由于W的維數(shù)有限，因而可以取到W的一個(gè)規(guī)范正交基第三十二頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日那么而由于是W的基，所以ζ與W正交，這就證明了即剩下來(lái)只要證明這個(gè)和是直和。這是那么從而定理被證明。顯然的，因?yàn)槿绻谌?yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日證明對(duì)于任意所以定理8.2.5

設(shè)W是歐氏空間V的一個(gè)有限維子空間，ξ是V的任意向量，η是ξ在W上的正射影，那么對(duì)于W中任意向量，都有

第三十四頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日于是如果

那么

所以

即我們也把向量ξ在子空間W上的正射影η叫做W到ξ的最佳逼近。第三十五頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日8.2.4正交矩陣的概念

定義2

一個(gè)n階實(shí)矩陣U叫做一個(gè)正交矩陣，如果

n維歐氏空間一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基到另一標(biāo)準(zhǔn)正交基的過(guò)渡矩陣是一個(gè)正交矩陣.例6

設(shè)

是歐氏空間V的標(biāo)準(zhǔn)正交基，且

證明：當(dāng)T是正交矩陣時(shí),

是標(biāo)準(zhǔn)正交基.

第三十六頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日練習(xí)2設(shè)

標(biāo)準(zhǔn)正交基,證明:

也是V的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基.是三維歐氏空間V的第三十七頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日8.2.5n維歐氏空間同構(gòu)的概念及判別1．n維歐氏空間同構(gòu)的定義定義3

歐氏空間V與

說(shuō)是同構(gòu)的，如果

(i)作為實(shí)數(shù)域上向量空間，存在V到

的一個(gè)同構(gòu)映射(ii)對(duì)于任意，都有

第三十八頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日2．n維歐氏空間同構(gòu)的概念及判別

兩個(gè)有限維歐氏空間同構(gòu)的充分且必要條件是它們的維數(shù)相等.推論8.2.8

任意n維歐氏空間都與

同構(gòu).

思考題

求的解空間W的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基.的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基.

并求其正交補(bǔ)第三十九頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日8.3正交變換一、內(nèi)容分布8.3.2正交變換的等價(jià)條件8.3.1正交變換的定義1．掌握并會(huì)用正交變換的概念及幾個(gè)等價(jià)條件．3．掌握并會(huì)用正交矩陣的某些性質(zhì)．

二、教學(xué)目的：2．掌握的正交變換的全部類(lèi)型．三、重點(diǎn)難點(diǎn)：正交變換的概念及幾個(gè)等價(jià)條件

第四十頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日8.3.1正交變換的定義定義1歐氏空間V的一個(gè)線性變換σ叫做一個(gè)正交變換，如果對(duì)于任意都有例1在里,把每一向量旋轉(zhuǎn)一個(gè)角的的一個(gè)正交變換.線性變換是

例2令H是空間里過(guò)原點(diǎn)的一個(gè)平面.對(duì)于每一向量，令對(duì)于H的鏡面反射與它對(duì)應(yīng).是的一個(gè)正交變換.第四十一頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日例3歐氏空間V的一個(gè)線性變換是正交變換的充要條件是使任意兩個(gè)向量的距離保持不變,即對(duì)一切,

都有.第四十二頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日8.3.2正交變換的等價(jià)條件

定理8.3.1

歐氏空間V的一個(gè)線性變換σ是正交變換的充分且必要條件是：對(duì)于V中任意向量

，.證明

條件的充分性是明顯的.因?yàn)椋?）中取ξ=η，就得到，從而.反過(guò)來(lái)，設(shè)σ是一個(gè)正交變換，那么對(duì)于ξ,η∈

V，我們有第四十三頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日然而由于比較上面兩個(gè)等式就得到：第四十四頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日設(shè)V是一個(gè)n維歐氏空間，σ是V的一個(gè)線性變換，如果σ是正交變換，那么σ把V的任意一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基仍舊變成V的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基；反過(guò)來(lái)，如果σ把V的某一標(biāo)準(zhǔn)正交基仍舊變成V的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基，那么σ是V的一個(gè)正交變換.

n維歐氏空間V的一個(gè)正交變換σ關(guān)于V的任意標(biāo)準(zhǔn)正交基的矩陣是一個(gè)正交矩陣；反過(guò)來(lái)，如果V的一個(gè)線性變換關(guān)于某一標(biāo)準(zhǔn)正交基的矩陣是正交矩陣，那么σ是一個(gè)正交變換.第四十五頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日例5

在歐氏空間中,規(guī)定線性變換σ為:證明:σ是正交變換.第四十六頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日思考題

設(shè)是歐氏空間V的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基,試求正交變換σ,使σ適合

練習(xí)設(shè)V是一個(gè)歐氏空間,是一個(gè)非零向量,對(duì)于,規(guī)定V的一個(gè)變換證明:τ是V的一個(gè)正交變換,且ι是單位變換.第四十七頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日8.4對(duì)稱(chēng)變換和對(duì)稱(chēng)矩陣

第四十八頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日一、內(nèi)容分布

8.4.1對(duì)稱(chēng)變換的定義

8.4.2對(duì)稱(chēng)變換和對(duì)稱(chēng)矩陣之間的關(guān)系

8.4.3對(duì)稱(chēng)變換的性質(zhì)二、教學(xué)目的：1．掌握對(duì)稱(chēng)變換的概念，能夠運(yùn)用對(duì)稱(chēng)變換和對(duì)稱(chēng)矩陣之間的關(guān)系解題．2．掌握對(duì)稱(chēng)變換的特征根、特征向量的性質(zhì)．3．對(duì)一個(gè)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣Ａ，能熟練地找到正交矩陣Ｔ，使

為對(duì)角形三、重點(diǎn)難點(diǎn)：1.對(duì)稱(chēng)變換和對(duì)稱(chēng)矩陣之間的關(guān)系;對(duì)稱(chēng)變換的特征根、特征向量的性質(zhì);2.對(duì)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣Ａ，能熟練地找到正交矩陣Ｔ，使為對(duì)角形第四十九頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日8.4.1對(duì)稱(chēng)變換的定義

定義1設(shè)σ是歐氏空間V的一個(gè)線性變換，如果對(duì)于V中的任意向量，等式成立，那么就稱(chēng)σ是一個(gè)對(duì)稱(chēng)變換.例1以下的線性變換中,指出哪些是對(duì)稱(chēng)變換?第五十頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日8.4.2對(duì)稱(chēng)變換和對(duì)稱(chēng)矩陣之間的關(guān)系

設(shè)σ是n維歐氏空間V的一個(gè)對(duì)稱(chēng)變換，如果σ關(guān)于一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基的矩陣是對(duì)稱(chēng)矩陣，那么σ是一個(gè)對(duì)稱(chēng)變換.證

設(shè)σ關(guān)于V的一個(gè)規(guī)范正交基的矩陣是對(duì)稱(chēng)的，令是V的任意向量。那么第五十一頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日同樣的計(jì)算可得因?yàn)樗约处沂且粋€(gè)對(duì)稱(chēng)變換。第五十二頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日8.4.3對(duì)稱(chēng)變換的性質(zhì)

實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征根都是實(shí)數(shù).證

設(shè)是一個(gè)n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣.令λ是A在復(fù)數(shù)域內(nèi)一個(gè)特征根。于是存在不全為零的復(fù)數(shù)使得（2）

第五十三頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日令的共軛復(fù)數(shù)。用矩陣左乘（2）的兩邊得即:（3）

等式（3）兩端取軛復(fù)數(shù)，注意是實(shí)數(shù)。得（4）

第五十四頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日又因?yàn)榍业仁剑?）與等式（4）左端相等，因此而