第二章誤差理論

第二章誤差理論第一頁，共三十四頁，2022年，8月28日第二章要點提示誤差理論既是本課程的基礎(chǔ)，又是本課程的難點，學(xué)習(xí)時①要注意正態(tài)分布（理論分布）的特點及其與上一章二項分布的聯(lián)系；②要注意樣本統(tǒng)計量如、Σy、、的概率分布類型（抽樣分布）及其參數(shù)與母總體概型及其參數(shù)的聯(lián)系和區(qū)別（中心極限定理）；③重點掌握誤差和抽樣誤差在某些取值區(qū)間如左尾、右尾或兩尾、中間概率的計算方法。涉及教材內(nèi)容：第三章，第四章第三、四節(jié)。作業(yè)布置：教材第四章P72～P73T3、T4、T5、T6、T7、T8、T9、T10。

第二頁，共三十四頁，2022年，8月28日第一節(jié)誤差及其特征數(shù)一、誤差的概念總體指研究對象全體，即具有相同性質(zhì)和特征的個體（可供抽樣觀察的基本單位）所組成的集團(tuán)?？傮w擁有的個體數(shù)目叫總體容量（N），統(tǒng)計學(xué)中的個體與生物個體不是一個概念。有時候總體“由一切可能的觀測結(jié)果組成”，此時的總體與個體只存在于特定的時空，可以想象，但既“看不見，又摸不著”，如多次稱量同一物體的質(zhì)量。樣本：隨機(jī)從總體中抽出來用于研究總體的那一部分個體（抽樣單位）。樣本擁有的個體數(shù)叫樣本容量（n）。誤差的本義是指隨機(jī)變量的任意一個觀察值與其真值的差異，即Yi-μ。但統(tǒng)計學(xué)不是把誤差當(dāng)作常量來研究（因為實際工作中真值往往是未知數(shù)或無法計算其具體數(shù)值），而是把它放在一定條件下作為隨機(jī)變量來對待，即利用概率分布理論來描述誤差在任一范圍取值的可能性大小，所以誤差實際被表述為“y–μ”。由于誤差的取值已不再局限于間斷性數(shù)據(jù)，其概率分布研究必須從連續(xù)性變量的實例作為出發(fā)點。第三頁，共三十四頁，2022年，8月28日第一節(jié)誤差及其特征數(shù)例2.1研究一10年生早熟無核蜜柑優(yōu)良單株（芽變新株系）的果實大小，將所結(jié)N=509個果實一個個地稱重，再將得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行分組歸類并統(tǒng)計各組次數(shù)如右圖所示。利用次數(shù)分布表計算出反映果實平均大小和彼此懸殊程度（變異度）的指標(biāo)，即總體平均數(shù)μ=147g和總體標(biāo)準(zhǔn)差σ=17g，它們也是“單果重”這一連續(xù)性變量的兩個最重要的參數(shù)，實際決定其概率分布的特征。第四頁，共三十四頁，2022年，8月28日第一節(jié)誤差及其特征數(shù)討論：如果說用公式（μ=ΣYi/N）計算總體真值μ來反映果實大小的平均水平很自然的話，用σ2=Σ（y–μ）2/

N計算σ就顯得非常特別，因為反映類似單果懸殊程度（簡稱變異度，反過來講就是整齊度）時也有人用所謂的“平均誤差”來表示過，其算式（Σ|y–μ|/

N）雖然比計算標(biāo)準(zhǔn)差的公式還簡單，但實際研究中已不再有人用它，原因是總體標(biāo)準(zhǔn)差不僅能從數(shù)值上顯示“變異度”的大小，更重要的它還是用作描述誤差概率分布的尺度。-51-34-170173451例2.1：μ=147gσ=17g第五頁，共三十四頁，2022年，8月28日第一節(jié)誤差及其特征數(shù)二、關(guān)于“概率尺”該名詞是誤差理論應(yīng)用于實際研究工作的需要而產(chǎn)生的，在我院教改課題《正交表在試驗統(tǒng)計中的新功用》的完成過程中提升為一個新的專業(yè)術(shù)語?？蛇@樣定義：將誤差或抽樣誤差轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量u、t或q、SSR的尺度（分母）。它是概率統(tǒng)計和試驗研究的結(jié)合點，是隨機(jī)變量最關(guān)鍵的變異特征數(shù)，可以是標(biāo)準(zhǔn)差或標(biāo)準(zhǔn)誤，也可以是與之相近的統(tǒng)計量。試驗統(tǒng)計中的核心問題就在于找到概率尺的準(zhǔn)確數(shù)值。

（千分?jǐn)?shù)）‰-51-34-170173451例2.1：μ=147gσ=17g0.74680.09430.1689第六頁，共三十四頁，2022年，8月28日第二節(jié)數(shù)據(jù)整理*對樣本（或總體）的全部觀察值進(jìn)行分組（歸類）并統(tǒng)計各類次數(shù)的過程叫做數(shù)據(jù)整理，其結(jié)果通常都以次數(shù)分布表（或圖）的形式體現(xiàn)出來。當(dāng)樣本（或總體）的觀察值較多時，進(jìn)行數(shù)據(jù)整理一方面可以更直觀地描述變量取值的分布規(guī)律，另一方面便于用加權(quán)法計算數(shù)據(jù)的特征數(shù)。數(shù)據(jù)的特征數(shù)包括（總體或樣本）平均數(shù)和（總體或樣本）標(biāo)準(zhǔn)差，還可以是標(biāo)準(zhǔn)誤，標(biāo)準(zhǔn)差和標(biāo)準(zhǔn)誤（平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差）都是反映數(shù)據(jù)變異性的數(shù)量指標(biāo)，各自蘊(yùn)藏著誤差和抽樣誤差（如樣本平均數(shù)和真值的差異）變異幅度的信息，但它們決非（抽樣）誤差本身。間斷性數(shù)據(jù)（含質(zhì)量性狀的指標(biāo)）大多可依據(jù)其性狀自然歸組。連續(xù)性數(shù)據(jù)則需要人為地進(jìn)行分組，方法是先根據(jù)觀察值（也稱原始數(shù)據(jù)）的個數(shù)確定大致的組數(shù)，然后按數(shù)據(jù)的極差范圍計算組距、調(diào)整組數(shù)，最后依最大的觀察值和最小的觀察值確定組限。第七頁，共三十四頁，2022年，8月28日第二節(jié)數(shù)據(jù)整理繼續(xù)按貝努利概型分析五粒以上種子發(fā)芽的統(tǒng)計概率分布，繪成條形圖?？梢钥闯?，服從二項分布的間斷性變量不論p是否等于q，只要n足夠大，則所得到的概率分布條形圖顯示的概率函數(shù)值總是以其中間的某一、兩項為最大，而后往兩邊依次遞減，當(dāng)n越來越大時，概率分布圖也是愈趨對稱，和上一節(jié)連續(xù)性變量表現(xiàn)出來的頻率（或次數(shù)）分布規(guī)律殊途同歸，呈現(xiàn)出兩頭低、中間高的變化模式。這正說明間斷性變量和連續(xù)性變量存在著某種必然的聯(lián)系，正態(tài)分布本身及其發(fā)現(xiàn)和重新發(fā)現(xiàn)的過程就是這種聯(lián)系的最好證明。

第八頁，共三十四頁，2022年，8月28日第二節(jié)數(shù)據(jù)整理第九頁，共三十四頁，2022年，8月28日第二節(jié)數(shù)據(jù)整理例2.2是由一個樣本整理出的次數(shù)分布結(jié)果，為反映“行長4尺的水稻產(chǎn)量”這種和例2.1“單果重”一樣的連續(xù)性變量取值的分布特征，將它繪制成頻率分布（面積）圖如右。可以看出，該圖雖然是用面積表示頻率，但其特征顯然是概率分布的反映。由于類似這種通過樣本間接描述變量概率分布特征的大量事實都證明“兩頭低，中間高”的概率分布規(guī)律普遍存在，尋找這一分布的理論函數(shù)也就成了正態(tài)分布作為第一個發(fā)現(xiàn)的理論分布的契機(jī)?！耄ㄇХ?jǐn)?shù)）例2.2n=140?=158gS=36g第十頁，共三十四頁，2022年，8月28日第三節(jié)正態(tài)分布fN(y)N（μ，σ2）μ-3σμ-2σμ-σμμ+σμ+2σμ+3σ-3σ-2σ-1σ01σ2σ3σyy-μ第十一頁，共三十四頁，2022年，8月28日第三節(jié)正態(tài)分布一、正態(tài)分布的概率函數(shù)二、正態(tài)分布概率函數(shù)曲線的特性⑴對稱性：絕對值相等的正負(fù)誤差出現(xiàn)的機(jī)會（概率）均等。

討論：這里提到誤差取某個“值”的概率問題，也就是連續(xù)性變量取某個觀察值的概率究竟有沒有意義？高等數(shù)學(xué)論及連續(xù)性變量取某一個實數(shù)的概率時，都認(rèn)定是在概率函數(shù)圖中用某個點上的垂線求面積，無疑應(yīng)該等于“0”。但應(yīng)用中獲得的觀察值不能簡單地理解為“一個”實數(shù)，而應(yīng)當(dāng)視為在精度有限的條件下，由最后一位有效數(shù)字按四舍五入規(guī)則決定的雖然小卻確實存在的區(qū)間。

N（0，σ2）fN(y-μ)-3σ-2σ–σ0σ2σ3σy-μ第十二頁，共三十四頁，2022年，8月28日第三節(jié)正態(tài)分布⑵鐘形：簡稱“兩頭低，中間高”，即fN（y）從+∞和-∞兩個遠(yuǎn)端朝接近μ的方向遞增（并在“拐點”處曲線由“凹”轉(zhuǎn)“凸”），表明絕對值小的誤差出現(xiàn)的概率大，絕對值大的誤差出現(xiàn)的概率小。

⑶非負(fù)性：fN（y）≮0，即曲線總在橫坐標(biāo)軸上方，兩尾以橫軸為漸進(jìn)線，和橫軸圍成的總面積就是P（Ω）=1。⑷特異性：隨機(jī)變量的兩個參數(shù)μ和σ分別決定fN（y）曲線的位置和形狀，表明正態(tài)分布是一組曲線系統(tǒng)。N（μ，σ2）fN(y-μ)-3σ-2σ–σ0σ2σ3σy-μ第十三頁，共三十四頁，2022年，8月28日第三節(jié)正態(tài)分布0.50000.1586μ-2σμ-σμ

μ+σ

μ+2σy-2σ-σ0σ2σy-μφ(u)fN(y-μ)fN(y)-2-1012u第十四頁，共三十四頁，2022年，8月28日第三節(jié)正態(tài)分布0.68270.13590.02270.1586fN(y)（μ=0σ=1）N（0，1）φ(u)u第十五頁，共三十四頁，2022年，8月28日第三節(jié)正態(tài)分布μ=0μ=1μ=2標(biāo)準(zhǔn)差（σ=1）相同而平均數(shù)各不相同的三種情形fN(y)y第十六頁，共三十四頁，2022年，8月28日第三節(jié)正態(tài)分布σ=1σ=1.5σ=2平均數(shù)（μ=0）相同而標(biāo)準(zhǔn)差各不相同的三種情形fN(y)y第十七頁，共三十四頁，2022年，8月28日第三節(jié)正態(tài)分布三、標(biāo)準(zhǔn)分布的累積函數(shù)例2.3假定y～N（μ，σ2），μ=30，σ=5，試計算：P（y≤26）、P（y≤40）、P（26＜y≤40）和P（y＞40）。解：根據(jù)附表2查得的Φ（u）即標(biāo)準(zhǔn)分布曲線的左尾面積（概率）P（y≤26）=FN（26）=Φ［（26－30）÷5］=Φ（-0.8）=0.2119P（y≤40）=FN（40）=Φ［（40－30）÷5］=Φ（2.0）=0.9773P（26＜y≤40）=FN（40）－FN（26）=0.7654P（y＞40）=1－FN（40）=1－0.9773=0.0227由此例可得到正確使用附表2的口訣：小于某數(shù)直接查，大于某數(shù)1減它；區(qū)間概率大減小，兩邊臨界一反查。例2.4給定中間概率為0.90或0.95時，u值應(yīng)等于多少？第十八頁，共三十四頁，2022年，8月28日第三節(jié)正態(tài)分布

26400.21190.76540.0227yfN(y)第十九頁，共三十四頁，2022年，8月28日第三節(jié)正態(tài)分布0.900.0250.0250.05fN(y)（μ=0σ=1）N（0，1）φ(u)u第二十頁，共三十四頁，2022年，8月28日第三節(jié)正態(tài)分布

到此為止，本章內(nèi)容的講授已順著變量→連續(xù)性變量→誤差的路徑完成了知識結(jié)構(gòu)由概率論（正概率）→→統(tǒng)計學(xué)（逆概率）的轉(zhuǎn)變，其內(nèi)容也由“描述變量的概率分布”→→“推斷誤差變量（任一區(qū)間）取值的概率”。在學(xué)習(xí)下一節(jié)內(nèi)容之前，請一定先記牢三個要點：㈠將第一章樹立的研究隨機(jī)變量的思想深化到研究連續(xù)性變量的層次，且不論用y(教材)還是用x(電算器)表示單個變量，都不可看成未知常數(shù)；㈡描述連續(xù)性變量的概率分布的側(cè)重點與間斷性變量的方式不一樣，后者可用貝努利概型按牛頓二項展開式的第y+1項計算其任一取值的概率，而前者實際需要了解的是其取值在某些連續(xù)的實數(shù)區(qū)間的概率；㈢參數(shù)μ和σ已分別用作總體平均數(shù)和總體標(biāo)準(zhǔn)差的通用符號，也可以稱之為變量的平均數(shù)和變量的標(biāo)準(zhǔn)差，還可稱之為分布的平均數(shù)和分布的標(biāo)準(zhǔn)差。用正態(tài)分布描述誤差的概率分布時可以不知道μ的數(shù)值，但必須知道σ的準(zhǔn)確值，因為S本身不能用作描述誤差概率分布的尺度。第二十一頁，共三十四頁，2022年，8月28日第四節(jié)抽樣分布例2.5給定一有限總體｛2，4，6｝,即N=3,μ=4,σ2=8/3；現(xiàn)從中以n=2進(jìn)行復(fù)置抽樣，則所有可能的樣本數(shù)為Nn=9個，計算各樣本的統(tǒng)計量并整理成右表。解視?為變量的衍生總體參數(shù)：μ?=Σ?/Nn=36÷9=4σ2?=〔156–362÷9〕/9=4/3視Σy為變量的衍生總體參數(shù)：μΣy=Σ(Σy)/Nn=72÷9=8σ2Σy=〔624–722÷9〕/9=16/3以上兩個衍生總體均由“一切可能的抽樣觀察結(jié)果組成”，可以想象得到，但“看不見，也摸不著”，并且實際應(yīng)用中遇到的多為無限總體。

觀察值

?Σy

?2(Σy)222244162436

9362648

166442369364448166446510251006248166464510251006661236144Σ3672156624第二十二頁，共三十四頁，2022年，8月28日第四節(jié)抽樣分布復(fù)置抽樣時總體和隨機(jī)樣本的關(guān)系n=1n=2第二十三頁，共三十四頁，2022年，8月28日第四節(jié)抽樣分布前例可歸納出抽樣研究的部分結(jié)論：⑴由Nn個?構(gòu)成的衍生總體；?～N（μ?，σ2?）且有：μ?=μ，σ2?=σ2/n并有：u=（?－μ?）÷σ?⑵由Nn個Σy構(gòu)成的衍生總體；Σy～N（μΣy，σ2Σy）且有：μΣy=nμ，σ2Σy=nσ2又有：u=（Σy－μΣy）÷σΣy⑴和⑵表明抽樣分布的類型實質(zhì)上還是正態(tài)分布，只是其變量特殊罷了。⑶只有以自由度n–1算得的樣本方差S2

才是σ2的無偏估計值。（但S不是σ的無偏估計值）

觀察值 ?ΣyS2?2

(Σy)22224 041624 36293626 488166442 36293644 480166446 51022510062 488166464 510 22510066 612036144Σ 3672 24156624

（

ΣS2/Nn=24÷9=8/3=σ2）第二十四頁，共三十四頁，2022年，8月28日第四節(jié)抽樣分布例2.6調(diào)查336個平方米的小地老虎蟲危害結(jié)果，μ=4.73頭，σ=2.63頭。求抽樣n=30時?≤4.37頭的概率。解由上述結(jié)論⑴知，須先求標(biāo)準(zhǔn)誤：σ?=σ/√n

=2.63÷√30=0.48頭

u=（?－μ）÷σ/√n=

-0.75

=（4.37－4.73）÷0.48

P(?≤4.37)=Φ(-0.75)=0.2266查附表2表明本例所求結(jié)果實際為獲得|-0.36|這種抽樣誤差的兩尾概率（之和）為2×0.2266=0.4532。?fN(?)

n=1n=4n=9第二十五頁，共三十四頁，2022年，8月28日第四節(jié)抽樣分布回眸例2.1求獲得抽樣誤差的概率：

μ=147g，σ=17g，N=509；?=148.84g，S=14.23g，n=25解按慣例所求兩尾概率即抽樣誤差的絕對值達(dá)到1.84的概率，因此有：σ?=σ/√n

=17÷√25=3.4gu=1.84÷σ/√n=

0.54反查附表3或順查附表2可得：P(|?–μ|≥1.84)=

P(|u|≥0.54)=2P(u≤-0.54)=2Φ(-0.54)=2×0.2946=0.5892≈0.59以上兩例已由總體標(biāo)準(zhǔn)差σ深化到總體標(biāo)準(zhǔn)誤σ?，使連續(xù)性變量的概率分布研究從誤差y–μ升華到抽樣誤差?－μ?，即?–μ。但這還不夠，歷史上也沒有因此避免正態(tài)分布在應(yīng)用上的危機(jī)，因為要獲得σ的準(zhǔn)確數(shù)值，其難度比μ大得多。到1908年W.S.Gosset公開發(fā)表一篇論文才使抽樣誤差的研究走出應(yīng)用上的困境。如例2.1中定義樣本標(biāo)準(zhǔn)誤S?=S/√n，則可將抽樣誤差轉(zhuǎn)換成另一個標(biāo)準(zhǔn)化變量t=(?－μ)÷S/√n=1.84÷2.85=0.65

查附表4可知獲得1.84的兩尾概率當(dāng)在0.5以上（n－1=24）。

第二十六頁，共三十四頁，2022年，8月28日第四節(jié)抽樣分布例2.7假定第一總體｛2，4，6｝,N1=3，μ1=4,σ12=8/3；第二總體｛3，6｝,N2=2，μ2=4.5,σ22=9/4?，F(xiàn)從中分別以n1=2和n2=3進(jìn)行復(fù)置抽樣,試研究?1-?2抽樣分布。解來自兩個母總體的?之差數(shù)?1-?2構(gòu)成的衍生總體容量N1n1

×N2n2=9×8=72，其全部可能的取值及次數(shù)分布列表如右,按數(shù)據(jù)整理時用過的加權(quán)法計算其參數(shù)如下:μ?1-?2=Σf(?1-?2)÷Σf=-36/72=μ?1-μ?2=

μ1-μ2=-0.5σ2?1-?2=Σf(?1-?2+0.5)2

/Σf=150/72=σ2?1+

σ2?2=σ12

/n1

+σ22/n2

=8/3÷2

+

9/4÷3=25/12?1-?2ff(?1-?2)

e2f·e2-41-412.2512.25-35-156.2531.25-212-242.2527.00-118-180.254.501800.254.5112122.2527.0025106.2531.2531312.2512.25Σ72-36——150e=(?1-?2)

–μ?1-?2=(?1-?2)

–(μ1-μ2)

第二十七頁，共三十四頁，2022年，8月28日第四節(jié)抽樣分布復(fù)置抽樣時總體和隨機(jī)樣本的關(guān)系n=1n=2n=3第二十八頁，共三十四頁，2022年，8月28日第四節(jié)抽樣分布復(fù)置抽樣后差數(shù)?1-?2構(gòu)造衍生總體示意圖第二十九頁，共三十四頁，2022年，8月28日第四節(jié)抽樣分布由例2.7針對“平均數(shù)的差數(shù)”?1-?2進(jìn)行的抽樣研究結(jié)果，實際上也是中心極限定理內(nèi)容之一：?1-?2～N（μ?1-?2，σ2?1-?2），于是又有：u=〔(?1-?2)－μ?1-?2〕÷σ?1-?2=〔(?1-?2)－(μ1-μ2)〕/√(σ12/n1+σ22/n2)

可見，來自兩個母總體的差數(shù)?1-?2與其真值μ?1-?2的抽樣誤差e取值的概率分布也可以用正態(tài)分布來描述，當(dāng)兩個母總體的參數(shù)已知時，同樣可以轉(zhuǎn)化為用標(biāo)準(zhǔn)分布求算概率。只是因為實際應(yīng)用中遇到的多為兩個母總體參數(shù)未知的情況，所以差數(shù)的抽樣誤差無法轉(zhuǎn)化成正態(tài)離差u而只能轉(zhuǎn)化成另一個標(biāo)準(zhǔn)化離差t，即：t=〔(?1-?2)－μ?1-?2〕÷S?1-?2，其中S?1-?2叫差數(shù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)誤，由S12

、S22算出，并且計算公式和差數(shù)的總體標(biāo)準(zhǔn)誤相類似。

關(guān)于“差數(shù)的抽樣”還有不同于兩個獨立樣本的抽樣研究，也就是從一個參數(shù)μσ2既定的母總體中隨機(jī)抽取容量相同的兩個樣本，若將兩者的觀察值隨機(jī)配對，則配對觀察值差數(shù)d將服從正態(tài)分布，即d～N（μd，σ2d）,且μd=0，σ2d=2σ2；繼續(xù)研究“差數(shù)的平均數(shù)”，即Σd/n=?，根據(jù)例2.5所述中心極限定理結(jié)論⑴有：?～N（μ?，σ2?）,且μ?=μd=0，σ2?=σ2d/n

=2σ2/n?！?/p>

u=(?－μ?)/σ?=?/√(2σ2/n)于是，當(dāng)參數(shù)σ2未知時，同理應(yīng)有：t=(?－μ?)/S?=?/Sd/

√n第三十頁，共三十四頁，2022年，8月28日第五節(jié)二項總體抽樣一、二項總體參數(shù)本節(jié)是針對一類特殊的母總體進(jìn)行抽樣研究，這類總體內(nèi)的個體不管有多少個，都可按某種性狀出現(xiàn)與否分為兩組，故稱二項總體。將其中出現(xiàn)某種性狀的個體的觀察值定為“1”，否則定為“0”。若已知二項總體的個體有N個，出現(xiàn)某種性狀的概率為p，則其參數(shù)計算如下：

μ=Σfy/N=Np/N=pσ2=Σf(y–μ)2/N=Np(1-p)/N=pq可見二項總體的兩個參數(shù)μ,σ2都由平均數(shù)p(即個體出現(xiàn)某種性狀的概率)唯一確定。二、衍生總體參數(shù)從二項總體中以樣本容量n進(jìn)行復(fù)置抽樣，根據(jù)前述中心極限定理的有關(guān)結(jié)論，同樣有：?或p～N(μ?，σ2?)且：μ?=μ=p，σ2?=σ2p=σ2/n=pq/nΣy或np～N(μΣy，σ2Σy)且：μΣy=nμ=np,σ2Σy=σ2np=nσ2=npq于是u=(?–μ?)/σ?=(p–p)/√pq/nu=(Σy–μΣy)/σΣy=(np–np)/√npqyff·yy-μf(y–μ)21NpNp1-pNp(1-p)20N(1-p)0-pN(1-p)p2ΣNNp—Np(1-p)第三十一頁，共三十四頁，2022年，8月28日第五節(jié)二項總體抽樣例2.8假定調(diào)查某地全部棉株受盲椿危害的情況，發(fā)現(xiàn)704株受害，且N=2000，得μ=0.352,σ=0.4776；現(xiàn)從中以n=200抽取一個樣本，知受害株數(shù)np=74，受害率p=0.37，試計算獲此抽樣誤差的概率。解依題意應(yīng)求P(|p–p|≥0.018)

∵σp=σ/√n

=0.4776÷√200=0.034∴原式=P(|u|≥-0.53)=2P(u≤-0.53)=2Φ(-0.54)=2×0.2981=0.5962依題意也可求P(|np–np|≥3.6)

∵σnp=√n·σ

=√n