第八章時間序列計量模型新

第八章時間序列計量模型新第一頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日第一節(jié)時間序列的基本概念一、時間序列數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性隨機變量是刻畫隨機現(xiàn)象的有力工具。隨機變量的動態(tài)變化過程稱為隨機過程。一般地，對于每一特定的t（t∈T），Yt為一隨機變量，稱這一族隨機變量{Yt}為一個隨機過程。若T為一連續(xù)區(qū)間，則{Yt}為連續(xù)型隨機過程。第二頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日若T為離散集合，則{Yt}為離散型隨機過程。離散型時間指標(biāo)集的隨機過程通常稱為隨機型時間序列，簡稱為時間序列。經(jīng)濟分析中常用的時間序列數(shù)據(jù)都是經(jīng)濟變量隨機序列的一個實現(xiàn)。第三頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日時間序列的平穩(wěn)性（stationaryprocess）是時間序列經(jīng)濟計量分析中的非常重要問題。時間序列的平穩(wěn)性是指時間序列的統(tǒng)計規(guī)律不會隨著時間的推移而發(fā)生變化。就是說產(chǎn)生變量時間序列數(shù)據(jù)的隨機過程的特征不隨時間變化而變化。用平穩(wěn)時間序列進行計量分析，估計方法和假設(shè)檢驗才有效。第四頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日GDP的時間序列19901991199219931994199519961997Y1Y2Y3Y4Y5Y6Y7Y818547.921617.826638.134634.446759.458478.167884.674462.6第五頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日一個平穩(wěn)的時間序列過程的概率分布與時間的位移無關(guān)。如果從序列中任意取一組隨機變量并把這個序列向前移動h個時間，其聯(lián)合概率分布保持不變。這就是嚴(yán)格平穩(wěn)的含義，其嚴(yán)格定義如下:平穩(wěn)隨機過程：對一個隨過程{Yt:t=1,2,…},h為整數(shù)，如的聯(lián)合分布與的聯(lián)合分布相同，那么隨機過程{Yt}就是平穩(wěn)的。第六頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日平穩(wěn)性的特征就是要求所有時間相鄰項之間的相關(guān)關(guān)系具有相同的性質(zhì)。判斷一個時間序列數(shù)據(jù)是否產(chǎn)生于一個平穩(wěn)過程是很困難的。通常而言，時間序列數(shù)據(jù)是弱平穩(wěn)的就足夠了。因此，弱平穩(wěn)是時間序列分析中的常用平穩(wěn)性概念。第七頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日弱平穩(wěn)也稱為協(xié)方差平穩(wěn)過程。弱平穩(wěn)是指隨機過程{Yt}的均值和方差不隨時間的推移而變化，并且任何兩時期之間的協(xié)方差僅依賴于該兩時期的間隔，而與t無關(guān)。即隨機過程{Yt}滿足第八頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日(1)均值，μ為與時間t無關(guān)的常數(shù)。(2)方差為與時間t無關(guān)的常數(shù)。(3)協(xié)方差，只與時間間隔h有關(guān)，與時間t無關(guān)。則稱{Yt}為弱平穩(wěn)過程。在時間序列計量分析中，平穩(wěn)過程通常指的是弱平穩(wěn)。第九頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日如果一個時間序列是不平穩(wěn)的，就稱它為非平穩(wěn)時間序列。也就是說，時間序列的統(tǒng)計規(guī)律隨時間的推動而發(fā)生變化。此時，要通過回歸分析研究某個變量在跨時間區(qū)域的對一個或多變量的依賴關(guān)系就是困難的，也就是說當(dāng)時間序列為非平穩(wěn)時，就無法知道一個變量的變化如何影響另一個變量。第十頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日在時間序列計量分析實踐中，時間序列的平穩(wěn)性是根本性前提，因此，在進經(jīng)濟計量分析前，必須對時間序列數(shù)據(jù)進行平穩(wěn)性檢驗。第十一頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日二、平穩(wěn)性的單位根檢驗時間序列的平穩(wěn)性可通過圖形和自相關(guān)函數(shù)進行檢驗。在現(xiàn)代，單位根檢驗方法為時間序列平穩(wěn)性檢驗的最常用方法。1.單位根檢驗（unitroottest）第十二頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日時間序列中往往存在滯后效應(yīng)，即前后變量彼此相關(guān)。對于時間序列Yt而言，最典型的狀況就是一階自回歸形式AR（1），即Yt與Yt-1相關(guān)，而與Yt-2,Yt-3，…無關(guān)。其表達式為（8.1）其中，vt為經(jīng)典誤差項，也稱之為白噪聲。第十三頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日如果式（8.1）中ρ=1，則（8.2）式（8.2）中Yt稱為隨機游走序列。隨機游走序列的特征為:Yt以前一期的Yt-1為基礎(chǔ)，加上一個均值為零且獨立于Yt-1的隨機變量。隨機游走的名字正是來源于它的這個特征。第十四頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日對式（8.2）進行反復(fù)迭代，可得（8.3）對式（8.3）取期望可得（8.4）隨機游走時間序列的期望值與t無關(guān)。第十五頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日假定Y0非隨機，則，因此

（8.5）式（8.5）表明隨機游走序列的方差是時間t的線性函數(shù)，說明隨機游走過程是非平穩(wěn)的。第十六頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日表達時間序列前后期關(guān)系的最一般模型為m階自回歸模型AR（m）。(8.6)引入滯后算子L，（8.7）第十七頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日則式(8.6)變換為（8.8）記為則稱多項式方程為AR（m）的特征方程?？梢宰C明，如果該特征方程的所有根在單位圓外（根的模大于1），則AR（m）模型是平穩(wěn)的。第十八頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日對于AR（1）過程。（8.9）vt為經(jīng)典誤差項，如果ρ＝1，則Yt有一個單位根，稱Yt為單位根過程，序列Yt是非平穩(wěn)的。因此，要判斷某時間序列是否平穩(wěn)可通過判斷它是否存在單位根，這就是時間序列平穩(wěn)性的單位根檢驗。第十九頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日檢驗一個時間序列Yt的平穩(wěn)性，可通過檢驗一階自回歸模型中的參數(shù)ρ是否小于1。或者檢驗另一種表達形式（8.10）中參數(shù)γ是否小于0。式（8.9）中的參數(shù)ρ=1時，時間序列Yt是非平穩(wěn)的。式（8.10）中，γ=0時，時間序列Yt是非平穩(wěn)的。第二十頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日2.DF檢驗要檢驗時間序列的平穩(wěn)性，可通過t檢驗完成假設(shè)檢驗。即對于下式

（8.11）要檢驗該序列是否含有單位根。設(shè)定原假設(shè)為:ρ=1，則t統(tǒng)計量為（8.12）第二十一頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日但是，在原假設(shè)下（序列非平穩(wěn)），t不服從傳統(tǒng)的t分布，因此t檢驗方法就不再適用。Dickey和Fuller于1976年提出了這一情況下t統(tǒng)計量服從的分布（此時表示為τ統(tǒng)計量），即DF分布，因此該檢驗方法稱為DF檢驗。第二十二頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日該方法采用OLS法估計式（8.11），計算t統(tǒng)計量的值，與DF分布表中給定顯著性水平下的臨界值比較。如果t統(tǒng)計量的值小于臨界值（左尾單側(cè)檢驗），就意味著ρ足夠小，拒絕原假設(shè):ρ=1，判別時間序列Yt不存在單位根，是平穩(wěn)的。第二十三頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日Dickey和Fuller研究認(rèn)為DF檢驗的臨界值與數(shù)據(jù)序列的生成過程以及回歸模型的類型有關(guān)。因此，他們針對以下三種模型編制了DF分布表。第二十四頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日(1)一階自回歸模型（8.13）（2）包含常數(shù)項的模型（8.14）（3）包含常數(shù)項和時間趨勢項的模型（8.15）DF檢驗常用的表達式為如下的差分表達式，即第二十五頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日DF檢驗常用的表達式為如下的差分表達式，即（8.16）令γ＝ρ－1，則（8.17）同理，可得另外兩種模型為（8.18）（8.19）第二十六頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日對于式（8.17）、（8.18）、（8.19）而言，對應(yīng)的原假設(shè)和備擇假設(shè)為（非平穩(wěn)）（平穩(wěn)）DF檢驗的判別規(guī)則是：DF≥臨界值，則Yt非平穩(wěn)，D<臨界值，Yt則是平穩(wěn)的。第二十七頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日

3.ADF檢驗進行DF檢驗時，假定誤差項為經(jīng)典誤差項，不存在自相關(guān)，即時間序列是一階自相關(guān)過程AR（1）。但多數(shù)時間序列經(jīng)濟計量模型均不能滿足這一條件，使用OLS法進行參數(shù)估計通常表現(xiàn)為隨機誤差項為自相關(guān)，導(dǎo)致DF檢驗無效。為了保證單位根檢驗的有效性，Dickey和Fuller對DF檢驗進行擴充，形成了ADF（augmentDickey-Fullertest）。第二十八頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日ADF檢驗是通過如下三個模型完成的(1)（8.20）(2)（8.21）(3)（8.22）第二十九頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日模型（3）中t是時間變量。原假設(shè)都是，即存在單位根。ADF檢驗的原理與DF檢驗相同，模型不同時，檢驗臨界值亦不同。實際檢驗時，首先對模型（3）進行單位根檢驗，然后模型（2）、模型（1）。在此過程中，只要“不存在單位根”的結(jié)論出現(xiàn)，檢驗就結(jié)束。否則就一直檢驗到模型（1）。第三十頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日【例8.1】檢驗中國1985-2005年城鎮(zhèn)居民家庭人均實際消費支出與實際可支配收入的平穩(wěn)性。表8.1中國1985-2005年城鎮(zhèn)居民家庭人均實際消費支出與實際可支配收入單位：元第三十一頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日由于城鎮(zhèn)居民家庭人均實際消費支出與實際可支配收入均為有長期趨勢的時間序列，因此應(yīng)選用模型（3）進行ADF檢驗。檢驗結(jié)果如表8.2所示。設(shè)X為居民家庭人均實際可支配收入，Y為居民家庭人均實際消費支出。第三十二頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日表8.2時間序列平穩(wěn)性檢驗表變量ADF檢驗值顯著性水平臨界值檢驗結(jié)果XY0.0790.2515%5%-3.675-3.675不平穩(wěn)不平穩(wěn)第三十三頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日由檢驗結(jié)果可以看出，ADF檢驗的τ統(tǒng)計量均為正值，大于臨界值，因此不能拒絕原假設(shè)，序列X,Y均存在單位根，居民家庭人均實際消費支出Y與實際可支配收入X均為不平穩(wěn)時間序列。第三十四頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日第二節(jié)單整、趨勢平穩(wěn)與差分平穩(wěn)隨機過程一、單整對于隨機游走序列，其一階差分為（8.23）由于是一個白噪聲序列，因此差分后時間序列{}是平穩(wěn)的。第三十五頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日如果一個時間序列經(jīng)過一次差分后變?yōu)槠椒€(wěn)的序列，則稱該時間序列是一階單整序列，記為{Yt}～I(1)。一般地，如果序列{Yt}經(jīng)過d次差分后平穩(wěn)，則稱該序列是d階單整，記為{Yt}～I(d)，如果時序列本身是平穩(wěn)的，稱為0階單整序列，記為{Yt}～I(0)。第三十六頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日在現(xiàn)實經(jīng)濟系統(tǒng)中，多數(shù)經(jīng)濟變量的時間序列是非平穩(wěn)的，如GDP、財政收入、居民收入等。只有少數(shù)時間序列是平穩(wěn)的，如利率、通貨膨脹率等。多數(shù)非平穩(wěn)的時間序列經(jīng)過一次或多次差分可變?yōu)槠椒€(wěn)的。也有少數(shù)時間序列不能通過差分變?yōu)槠椒€(wěn)的，稱這類序列為非單整時間序列。第三十七頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日【例8.2】檢驗例8.1中居民家庭人均實際消費支出Y與實際可支配收入X的單整性。使用ADF檢驗，結(jié)果如表8.3所示。

表8.3時間序列單整性檢驗表變量ADF檢驗值顯著性水平臨界值檢驗結(jié)果X二次差分Y二次差分-4.902-4.3055%5%-3.712-3.712平穩(wěn)平穩(wěn)第三十八頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日由表8.3的檢驗結(jié)果可以看出ADF檢驗的τ統(tǒng)計量均小于臨界值，因此拒絕原假設(shè)，序列X,Y的二次差分序列均不存在單位根，為平穩(wěn)序列。因此，居民家庭人均實際消費支出Y與實際可支配收入X均為二階單整序列，即I(2)序列。第三十九頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日二、趨勢平穩(wěn)與差分平穩(wěn)隨機過程經(jīng)濟系統(tǒng)中存在一些時間序列，雖然在經(jīng)濟意義上彼此不相關(guān)，但由于二者表現(xiàn)出共同的變化趨勢，當(dāng)對它們進行回歸時往往表現(xiàn)出較高的擬合優(yōu)度和統(tǒng)計顯著性。但這種回歸結(jié)果并沒有實際意義，這是一種虛假的回歸，稱為偽回歸。第四十頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日偽回歸就是對于兩個獨立的一階單整序I（1）進行回歸時，常常會得到一個顯著的t估計量。第四十一頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日例如，{Xt}和{Yt}分別為相互獨立的隨機游走序列。，，at,et為白噪聲，且相互獨立。這就意味著{Xt}和{Yt}是相互獨立的，如果Yt對Xt做回歸，即，因為Xt,Yt彼此獨立，回歸系數(shù)應(yīng)該是不顯著的，即原假設(shè)是不能拒絕的。第四十二頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日但是，葛蘭杰和紐博爾德（GrangerandNewbold,1974）通過模擬證明事實并非如此，即使與是彼此獨立的，在很大比例的次數(shù)里，對的回歸都會產(chǎn)生一個統(tǒng)計上顯著的t統(tǒng)計量。這種現(xiàn)象就是偽回歸，即Yt與Xt之間根本沒有關(guān)系，但用了t統(tǒng)計量的OLS回歸往往表示它們之間存在某種關(guān)系。第四十三頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日為了避免這種偽回歸，可通過引入趨勢變量t消除這種趨勢性影響。但這種方法僅適用于趨勢變量是確定性的，不適用于趨勢變量為隨機性的。要判斷一個時序的趨勢是確定性的還是隨機性的，可通過ADF檢驗的模型（3）來完成。如檢驗表明給定時間序列有單位根，則該時序列具有隨機性趨勢。如果它沒有單位根，則表明該序列具有確定性趨勢。第四十四頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日對于具有確定性趨勢的時間序列{Yt}，可表示為（8.24）如果式（8.24）中vt是平穩(wěn)的，則是平穩(wěn)的，此時稱{Yt}是趨勢平穩(wěn)隨機過程。第四十五頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日對于具有隨機性趨勢的時間序列{Yt}可表示為（8.25）如果式（8.25）中的vt是平穩(wěn)的，則是平穩(wěn)的，稱{Yt}為差分平穩(wěn)過程。對于經(jīng)濟預(yù)測而言，趨勢平穩(wěn)過程的預(yù)測是可靠的，而差分平穩(wěn)過程的預(yù)測則是靠不住的。第四十六頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日第三節(jié)時間序列模型利用平穩(wěn)時間序列進行時間序列分析就是建立恰當(dāng)?shù)臅r間序列模型并利用模型進行預(yù)測。時間序列模型不同于經(jīng)典回歸模型，建立模型的依據(jù)不是據(jù)不同變量之間的因果關(guān)系，而是通過對時間序列的分析尋找時間序列自身的變化規(guī)律。在進行預(yù)測時則是依據(jù)時間序列的過去值預(yù)測未來值。第四十七頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日一、時間序列模型的分類時間序列模型是指僅用時間序列的過去值和誤差項建立的模型，其一般形式為

（8.26）第四十八頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日1.自回歸過程如果一個線性隨機過程可以表達為（8.27）其中，是回歸系數(shù)，是白噪聲，則稱式（8.27）為p階自回歸過程，用AR（p）表示。它是由的p個滯后變量的加權(quán)和以vt及相加而成的，因此稱為自回歸過程。第四十九頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日對于自回歸模型AR（p），如果特征方程的所有根的絕對值都大于1（根的模大于1），則該自回歸模型AR（p）是平穩(wěn)的，即該隨機過程是平穩(wěn)的。第五十頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日2.移動平均過程如果一個線性隨機過程可以表達為

（8.28）是回歸系數(shù)，vt是白噪聲，則稱式（8.28）為q階移動平均過程。第五十一頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日可以用滯后算子表達為（8.29）由定義可知，任何一個q階移動平均過程都是由q＋1個白噪聲變量的加權(quán)和組成，因此有限階移動平均過程都是平穩(wěn)的過程。第五十二頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日3.自回歸移動平均過程由自回歸和移動平均兩部分共同構(gòu)造的隨機過程稱為自回歸移動平均過程。記為ARMA（p,q），其中p,q為自回歸和移動平均分量的滯后階數(shù)。ARMA（p,q）的一般表達式為

（8.30）第五十三頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日ARMA（p,q）模型是由AR（p）模型和MA（q）模型組合而成的。由于MA（q）模型總是平穩(wěn)的，因此，ARMA（p,q）模型的平穩(wěn)性就只依賴于AR（p）部分的平穩(wěn)性。如果AR（p）部分是平穩(wěn)的，則ARMA（p,q）模型是平穩(wěn)的。第五十四頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日如果特征方程的根的值在單位圓上，稱這種根為單位根，含有單位根的時間序列是非平穩(wěn)的時間序列。但經(jīng)過若干次差分后該過程可以轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)過程。如果隨機過程經(jīng)過d次差分后可以變換為一個包含p階自回歸算子，q階移動平均算子平穩(wěn)隨機過程，則稱為（p,d,q）階單整自回歸移動平均過程，記為ARIMA(p,d,q)過程。第五十五頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日二、隨機時間序列模型的識別隨機時間序列模型的識別就是找出一個平穩(wěn)的隨機時間序列是由什么隨機過程或模型生成的，即判斷該時間序列是AR(p)過程或MA(q)過程或ARMA(p,q)過程。實際中單憑對時間序列的觀察很難確定其屬于哪一種模型，通常使用自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)識別模型的類別。第五十六頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日（一）自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)1.自相關(guān)函數(shù)ACF為了了解自相關(guān)函數(shù)先介紹自協(xié)方差概念。隨機過程{Yt}中的每一個元素都是隨機變量。對于平穩(wěn)的隨機過程，其期望為常數(shù)μ，其方差也是常數(shù)。第五十七頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日相隔k期的兩個隨機變量和的協(xié)方差就是自協(xié)方差，其定義為（8.31）自協(xié)方差序列，k=0,1,…,K，稱為隨機過程{Yt}的自協(xié)方差函數(shù)，其中K一般為有限值。當(dāng)k＝0時，，轉(zhuǎn)化為方差。第五十八頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日自相關(guān)系數(shù)的定義為對于平穩(wěn)隨機過程，所以

當(dāng)k＝0時，有（自相關(guān)系數(shù)為1）。第五十九頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日以滯后期k為變量的自相關(guān)系數(shù)序列稱為自相關(guān)函數(shù)，其中K為有限值。自相關(guān)函數(shù)是隨機變量與其不同滯后期變量的相關(guān)系數(shù)序列，可以用來考察變量與其滯后變量的自相關(guān)程度。因為，即Yt與的自相關(guān)系數(shù)相等，所以自相關(guān)函數(shù)是以0為對稱的，實際研究中只需給出自相關(guān)函數(shù)的正半部分即可。第六十頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日2.偏自相關(guān)函數(shù)PACF偏自相關(guān)函數(shù)是描述隨機過程結(jié)構(gòu)特征的另一種方法。用表示k階自回歸式中第j個回歸系數(shù)，則k階自回歸模型表示為

（8.34）第六十一頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日其中是最后一個回歸系數(shù)。若把視為滯后期的函數(shù)，則稱，k＝1，2，…為偏自相關(guān)函數(shù)。它由式（8.35）的組成。

（8.35）第六十二頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日因為偏自相關(guān)函數(shù)中每一個回歸系數(shù)恰好表示與在排除了其中間變量影響后的相關(guān)系數(shù)，因此稱為偏自相關(guān)系數(shù)。第六十三頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日（二）AR(p)過程的識別1.用自相關(guān)函數(shù)ACF識別對于一階自回歸模型AR(1)（8.36）用同乘式（8.31）兩側(cè)得（8.37）兩側(cè)同取期望（其中），得，兩側(cè)同除，得第六十四頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日（8.38）因為，所以有（8.39）對于平穩(wěn)時間序列，有，所以當(dāng)?shù)闹禐檎龝r，自相關(guān)函數(shù)呈指數(shù)衰減至0。當(dāng)?shù)闹禐樨?fù)1時，自相關(guān)函數(shù)正負(fù)交錯呈指數(shù)衰減至0。這種現(xiàn)象稱為拖尾或稱AR(1)有無窮記憶。第六十五頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日對于AR（p）過程，按特征根的取值不同，自相關(guān)函數(shù)有兩種不同表現(xiàn)。（1）當(dāng)特征方程的根為實數(shù)時，自相關(guān)函數(shù)將隨著k的增加而呈幾何衰減至0，稱為指數(shù)衰減。（2）當(dāng)特征方程的根中含有一對共軛復(fù)根時，自相關(guān)函數(shù)將按正弦振蕩形式衰減。第六十六頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日實際中的平穩(wěn)自回歸過程的自相關(guān)函數(shù)常由指數(shù)衰減和正弦衰減兩部分混合而成。由式（8.39）可以看出，當(dāng)特征方程的根較小時，自相關(guān)函數(shù)會很快衰減至0。當(dāng)有一個實數(shù)根接近1時，自相關(guān)函數(shù)將衰減很慢，近似于線性衰減，稱具有拖尾特征。當(dāng)有兩個以上的根接近1時，自相關(guān)函數(shù)同樣會衰減很慢。第六十七頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日2.用偏自相關(guān)函數(shù)PACF識別對于AR（p）過程，當(dāng)k≤p時，，當(dāng)k>p時，。偏自相關(guān)函數(shù)在滯后期p以后具有截尾特性，因此可以用此特性識別AR(p)過程的階數(shù)。對于AR(1)過程，當(dāng)k＝1時，，當(dāng)k>1時，。所以AR(1)過程的偏自相關(guān)函數(shù)特征是在k＝1時出現(xiàn)峰值（），然后截尾。第六十八頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日在實際識別時，由于樣本偏自相關(guān)函數(shù)是總體偏自相關(guān)函數(shù)的一個估計，因為樣本波動，當(dāng)k>p時，不會全為0，而是在0的左右波動?？梢宰C明，當(dāng)k>p時，服從漸近正態(tài)分布：～N(0,1/n),n為樣本容量。如果樣本偏自回歸函數(shù)滿足,就可以以95.5％的置信水平判斷該時間序列在k>p后截尾。第六十九頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日（三）MA(q)過程的識別1.用自相關(guān)函數(shù)ACF識別對于MA(1)過程（8.40）有當(dāng)k＝0時

當(dāng)k＝1時

第七十頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日當(dāng)k>1時因此，MA(1)過程的自相關(guān)函數(shù)為

（8.41）由式（8.41）可以看出，MA(1)過程的自相關(guān)函數(shù)具有截尾特征。當(dāng)k>1時，。第七十一頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日同理，MA(q)過程的自相關(guān)函數(shù)也具有截尾特征。當(dāng)k≤q時，自相關(guān)函數(shù)呈衰減特征。當(dāng)k>q時，自相關(guān)函數(shù)為0，具有截尾特征。第七十二頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日在實際識別時，由于樣本自相關(guān)函數(shù)是總體自相關(guān)函數(shù)的一個估計，因為樣本波動，當(dāng)k>p時，不會全為0，而是在0的左右波動?？梢宰C明，當(dāng)k>p時，服從漸近正態(tài)分布：～N(0,1/n),n為樣本容量。如果樣本自回歸函數(shù)滿足,就可以以95.5％的置信水平判斷該時間序列在k>p后截尾。第七十三頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日2.用偏自相關(guān)函數(shù)PACF識別MA(1)過程可以表達為關(guān)于無窮序列的線性組合，即（8.42）

這是一個AR(∞)過程，它的偏自相關(guān)函數(shù)非截尾但確趨于0，因此MA(1)偏自相關(guān)函數(shù)是拖尾但卻趨于0.第七十四頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日在式（8.42）中，只有時才有意義，否則就表示距離越遠的Y值對的影響越大，這是不符合常理的。所以，是MA(1)的可逆性條件（invertibilitycondition）或可逆性。第七十五頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日因為任何一個可逆的MA(q)過程都可以轉(zhuǎn)換成一個無限階的、系數(shù)按幾何級數(shù)衰減的AR過程，所以MA(q)過程的偏自相關(guān)函數(shù)呈緩慢衰減特征，稱為拖尾特征。MA(1)過程的偏自相關(guān)函數(shù)呈指數(shù)衰減特征。若，偏自相關(guān)函數(shù)呈交替改變符號式衰減；若，偏自相關(guān)函數(shù)呈負(fù)數(shù)的指數(shù)衰減。第七十六頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日對于MA(2)過程，若特征方程的根是實數(shù)，偏自相關(guān)函數(shù)由兩個指數(shù)衰減形式疊加而成。特征方程的根是虛數(shù)若，偏自相關(guān)函數(shù)呈正弦衰減特征（拖尾特征）。第七十七頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日（四）ARMA(p,q)過程的識別ARMA(p,q)的自相關(guān)函數(shù)可以視為AR(p)的自相關(guān)函數(shù)和MA(q)的自相關(guān)函數(shù)的混合物。當(dāng)p＝0時，它具有截尾性質(zhì)，當(dāng)q＝0時，它具有拖尾性質(zhì)，當(dāng)p,q都不為0時，它具有拖尾性質(zhì)。第七十八頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日對于ARMA(1,1)過程，自相關(guān)函數(shù)從開始衰減。的大小取決于和。若，指數(shù)衰減是平滑的，或正或負(fù)。若，自相關(guān)函數(shù)為正負(fù)交替式指數(shù)衰減。對于高階的ARMA過程，自相關(guān)函數(shù)的表現(xiàn)形式比較復(fù)雜，有可能呈指數(shù)衰減、正弦衰減或二者的混合衰減。第七十九頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日ARMA(p,q)過程的偏自相關(guān)函數(shù)也是無限延長的，其表現(xiàn)形式與MA(q)過程的偏自相關(guān)函數(shù)類似。據(jù)模型中移動平均分量的階數(shù)q和參數(shù)的不同，偏自相關(guān)函數(shù)呈指數(shù)衰減和正弦衰減混合形式。第八十頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日對于時間序列數(shù)據(jù)，自相關(guān)函數(shù)通常是未知的。相關(guān)圖是對自相關(guān)函數(shù)的估計。因為MA過程和ARMA過程中MA分量的自相關(guān)函數(shù)具有截尾特性，所以可以利用相關(guān)圖估計MA過程的階數(shù)q。相關(guān)圖是識別MA過程和ARMA過程中MA分量階數(shù)的重要方法。第八十一頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日對于時間序列數(shù)據(jù)，偏自相關(guān)函數(shù)通常是未知的。偏相關(guān)圖是對偏自相關(guān)函數(shù)的估計。因為AR過程和ARMA過程中AR分量的偏自相關(guān)函數(shù)具有截尾特性，所以可以利用偏相關(guān)圖估計自回歸過程的階數(shù)p。偏相關(guān)圖是識別AR過程和ARMA過程中AR分量階數(shù)的重要方法。第八十二頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日三、隨機時間序列模型的建立對于時間序列模型，完成了平穩(wěn)性檢驗和模型識別后就可以估計模型參數(shù)建立計量模型。時間序列模型的建立主要有以下三個步驟。第一步，進行模型識別。第二步，模型參數(shù)的估計。第八十三頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日對AR(p)模型的估計較簡單。因為滯后變量都是t期以前的，這些滯后變量與誤差項相互獨立，所以可以使用普通最小二乘法估計模型參數(shù)，得到具有一致性的估計量。對于MA(q)和ARMA(p,q)模型的估計就比較困難。不能簡單的用最小二乘法估計參數(shù)，一般應(yīng)該采用迭代式的非線性最小二乘法，這些方法在流行的經(jīng)濟計量分析軟件中的廣泛使用。第八十四頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日完成模型的識別與參數(shù)估計后，應(yīng)對估計結(jié)果進行診斷與檢驗，以求發(fā)現(xiàn)所選用的模型是否正確。若不合適，應(yīng)該知道下一步怎樣修改。這一階段主要檢驗擬合的模型是否正確。一是檢驗估計值是否具有統(tǒng)計顯著性；二是檢驗殘差序列的隨機性。第八十五頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日參數(shù)估計值的顯著性檢驗是通過t統(tǒng)計量完成的，而模型擬合的優(yōu)劣以及殘差序列隨機性的判別是用伯克斯-皮爾斯（Box-Pierce,1970）提出的Q統(tǒng)計量完成的。若擬合模型的誤差項為白噪聲過程，統(tǒng)計量第八十六頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日漸近服從分布，其中T表示樣本容量，rk表示用殘差序列計算的自相關(guān)系數(shù)值，K表示自相關(guān)系數(shù)的個數(shù)或最大滯后期，p表示模型自回歸部分的最大滯后值，q表示移動平均部分的最大滯后值。這時的原假設(shè)為（模型的誤差序列是白噪聲過程）。第八十七頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日用殘差序列計算自相關(guān)系數(shù)估計值，進而計算Q統(tǒng)計量的值。若擬合的模型不正確，殘差序列中必含有其他成分，Q值將很大。反之，Q值將很小。判別規(guī)則是：若，則接受H0。若，則拒絕H0。其中α表示檢驗水平。第八十八頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日EViews操作：1.進入方程對話框，輸入自回歸模型估計命令D(Y)cAR(1)2.如果有移動平均項，用MA（q）表示。3.點View鍵，選ResidualTests,Correlogram-Q-statistics,指定滯后期，得到殘差序列的相關(guān)和偏相關(guān)圖。4.點擊估計結(jié)果窗口的Forcast鍵，進行預(yù)測。第八十九頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日自相關(guān)圖判斷：平穩(wěn)序列：自相關(guān)系數(shù)很快（滯后階數(shù)大于2或3）趨于0，即落入隨機區(qū)間。非平穩(wěn)序列：自相關(guān)系數(shù)很慢趨于0。白噪聲序列：自相關(guān)系數(shù)都落入隨機區(qū)間。第九十頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日第四節(jié)協(xié)整與誤差修正模型一、協(xié)整的概念協(xié)整（Cointegration）的概念是由恩格爾和格蘭杰（EngleandGranger）于1987年正式指出，這個概念的提出使得非零階單整變量的回歸也變得有意義。經(jīng)濟系統(tǒng)中的某些變量具有長期依存關(guān)系，經(jīng)濟學(xué)中稱其為均衡關(guān)系，這種均衡關(guān)系的存在是經(jīng)濟計量等建模的依據(jù)。第九十一頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日這種均衡關(guān)系的存在表示經(jīng)濟系統(tǒng)中形成均衡的機制是穩(wěn)定的，當(dāng)因為季節(jié)影響或隨機干擾這些變量偏離其均衡點時，均衡機制會在下一期進行調(diào)整使其重新回到均衡狀態(tài)。但是，如果這種偏離是持久的，則變量之間的均衡機制是不穩(wěn)定的，均衡關(guān)系已遭到破壞。協(xié)整就是這種均衡關(guān)系的統(tǒng)計表示。第九十二頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日協(xié)整概念的提出使得我們能研究兩個或多個變量之間的均衡關(guān)系。對于每個單獨的序列而言可能是非平穩(wěn)的，但是這些時間序列的線性組合卻可能是平穩(wěn)的。協(xié)整：時間序列{Xt}，{Yt}是兩個I（1）過程，如果存在β使得Yt-βXt成為I（0）過程，則稱Xt和Yt是協(xié)整的。其實，協(xié)整就是指多個非平穩(wěn)時間序列的某種線性組合是平穩(wěn)的。第九十三頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日協(xié)整的定義告訴我們，只有兩個變量都是單整變量，并且它們的單整階數(shù)相同時，才能協(xié)整，如果它們的單整階數(shù)不同，就不可能協(xié)整。協(xié)整的經(jīng)濟定義在于：具有各自長期波動規(guī)律的兩個時間序列，如果它們是協(xié)整的，則它們之間存在著一個長期穩(wěn)定的協(xié)整關(guān)系。從變量之間的協(xié)整關(guān)系出發(fā)建立經(jīng)濟計量模型是牢固可靠的，可以避免出現(xiàn)偽回歸。因此，協(xié)整檢驗是經(jīng)濟計量分析建模的根本所在。第九十四頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日二、協(xié)整的檢驗協(xié)整檢驗從檢驗對象上可以分為兩類，一類是基于回歸殘差的協(xié)整檢驗，這種檢驗也稱為單一方程的協(xié)整檢驗。另一類是基于回歸系數(shù)的協(xié)整檢驗。這里，我們只考慮單一方程的協(xié)整檢驗。第九十五頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日1.兩變量的恩格爾－格蘭杰檢驗這種協(xié)整檢驗方法就是對回歸方程的殘差進行單位根檢驗。從協(xié)整的思想來看，兩變量之間具有協(xié)整關(guān)系就是具有長期均衡關(guān)系。因此，被解釋變量不能由解釋變量解釋的部分即殘差序列應(yīng)該是平穩(wěn)的。如果殘差是平穩(wěn)的，說明兩變量之間的線性組合是平穩(wěn)的，則變量之間具有協(xié)整關(guān)系。第九十六頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日

恩格爾－格蘭杰檢驗法也稱為EG兩步法，其檢驗程序如下。第一步，如果Xt,Yt均為d階單整序列，用OLS法估計回歸方程（協(xié)整回歸）(8.22)得到殘差第九十七頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日第二步，檢驗的平穩(wěn)性。如果為平穩(wěn)序列，則Xt與Yt是協(xié)整的，否則不是協(xié)整的。如果Xt與Yt不是協(xié)整的，則它們的任一線性組都是非平穩(wěn)的，因此殘差也是非平穩(wěn)的。通過對殘差的平穩(wěn)性檢驗，就可判斷Xt與Yt之間是否存在協(xié)整關(guān)系。第九十八頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日檢驗的平穩(wěn)性的方法可使用前面介紹的DF檢驗或ADF檢驗。這里的DF或ADF檢驗是針對協(xié)整回歸計算出的殘差項進行的，并不是針對非均衡誤差進行的，對于平穩(wěn)性檢驗的DF與ADF臨界值比正常的DF與ADF臨界值要小。麥克金農(nóng)（Mackinnon,1991）通過模擬試驗給出了協(xié)整檢驗的臨界值。第九十九頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日【例8.3】中國城鎮(zhèn)居民家庭人均可支配收入與消費支出的協(xié)整檢驗。由前面的檢驗結(jié)果可知，居民家庭人均實際消費支出Y與實際可支配收入X均為二階單整的。Y對X進行協(xié)整回歸可得(8.23)t(17.480)(128.318)DW=2.001第一百頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日對該模型的殘差進行ADF檢驗，結(jié)果τ統(tǒng)計量為-3.712，5％顯著性水平臨界值為-2.918。檢驗結(jié)果表明ADF檢驗的τ統(tǒng)計量小于臨界值，因此拒絕原假設(shè)，殘差序列不存在單位根，為平穩(wěn)序列。因此，居民家庭人均實際消費支出Y與實際可支配收入X均為（2，2）階協(xié)整的，兩變量之間存在長期的穩(wěn)定均衡關(guān)系。第一百零一頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日2.多變量協(xié)整關(guān)系檢驗對多個變量間的協(xié)整關(guān)系的檢驗要比雙變量協(xié)整關(guān)系檢驗復(fù)雜。因為對于多變量而言，可能存在多種穩(wěn)定的線性組合，也就是存在多個協(xié)整關(guān)系。多變量協(xié)整檢驗與雙變量協(xié)整檢驗的原理是相同的，就是判斷是否有穩(wěn)定的線性組合。檢驗的步驟如下：第一百零二頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日第一步，對于k個同階單整序列，建立回歸方程(8.24)用OLS法估計該模型，得到殘差為